大型选举打成平手的可能性有多大？

由于Lα≥4且k>Lα(Lα+1),因此不难证明AüAisk中所有备选方案的Copelandα得分为Lα+αLα+αLα≤Lα+2≤Lα+Lα<k,而备选方案的Copelandα得分为Lα+αLα+αLα≤Lα+Lα<k。证明了当Lα为均匀时，`min≤Lα(Lα+1)。我们现在证明了`min≥Lα(Lα+1)。该证明类似于θ(n-k)情形（3）的证明，更确切地说，为了矛盾，存在一个图G，即cdα(G)=k=m-1和Ties(G)<Lα(Lα+1)<k。因此，k个赢家的Copelandα得分是一个整数。然而，为了使与G（与其他任何可选性）相联系的任一可选性a的Copelandα得分与bean整数一致，遵循与证明θ(n-k)情形（3）相同的论证，我们必须有(G)≥Lα(Lα+1)，这是一个矛盾。这意味着`min=Lα(Lα+1)。这就完成了命题2.C.5的证明，命题3的证明，命题3的证明。（Max抚平了平局的可能性：maximin）。设M=(θ,L(A)，π)为严格正闭单主体偏好模型，其中πuni∈CH(π)。对于任意2≤k≤m，任意n∈n，Gtiemaxπ(MM,k,n)=θ(n-k-1)证明。应用定理4证明了该命题的0情形和指数情形。证明了当n>m时，不存在定理4的0和指数情况。通过命题1并注意EO(πuni)只包含T，可以证明对于任意k,存在M(O)=k的O∈OAsuch。这是通过对一个有向加权图G进行解算来完成的，然后设O=EO(G)。设G表示A上的以下有向加权图，如图10所示。图10：maximin的构造，其中m=5和k=4.·G包含以下k个边圈，每个边的权为m+1。E={1→2,2→3,。.,(k-1)→k,k→1}o{1,..k}具有与m+1相同的奇偶性，且绝对值严格小于m+1且严格大于0。o任何其它边的绝对值与m+1相同奇偶性且严格大于m+1。另外，对于任意1≤i≤k且任意k+1≤j≤m,i→j上的权是正的。不难检验MM(G)={1,...,k}。设O=EO(G)。由于G中没有结，所以中间层Tin EO(G)是空的，这意味着O∈OA ONA。多项式情况。我们用上面给出的O对0和指数情况证明了`min≤k-1。只有两层有一个以上元素，即对应于E和逆E的层，这意味着Ties(O)=k-1。我们现在证明`min≥k-1。对于任何O∈OπR,k,n,假定W.L.O.G.最大值Winners是{1,.对于每个1≤i≤k，设i→ai表示与i的minscore相对应的任意边，因为{1，...,k}具有相同的最小得分，{i→ai:1≤i≤k}必须在相同的层中。如果它们在T中，则T1至少包含2k条边{i→ai,ai→i:1≤i≤k}，这意味着关系(O)≥T/2≥k。如果它们不在T中，则TIE(O)≥k-1。在任何一种情况下，我们都有`min≥k-1。因此，`min=k-1。这就完成了命题3.C.6的证明，命题4的证明，命题4的证明。（马克斯抚平了平局的可能性：舒尔茨）。设M=(θ,L(A)，π)是一个严格正的闭单主体偏好模型，且πuni∈CH(π)。对于任意2≤k≤m，任意n∈n，Gtiemaxπ(Sch,k,n)=θ(n-k-1)证明。应用定理4证明了该命题的0情形和指数情形。当n>m时，不存在定理4的0和指数情况。这是由与图10所示命题3的证明相同的图G证明的。多项式情况。对于同样的G用倒命题3用O=EO(G)证明了`min≤k-1.现在我们证明了`min≥k-1。对于任意O∈Oπr,k,n,设W.L.O.G.Schulze winnersare A={1,...,k}。我们定义了以下t个未加权有向图。

对于任意1≤i≤t+1,设Gidene A上的图的边为té。...TT+1-i。设GT+1表示具有任意边的图。根据规定G=UMG(O)。给定任意未加权有向图G，节点a是无支配的，如果对于任意节点b，存在从b到a的有向路径，则存在从a到b的有向路径。对于每一个1≤i≤t，{1,...,k}在Gi.证明中是无支配的。为了矛盾起见，假设该主张不是真的，而W.L.O.G.备选方案1在Gifor数1≤i≤T中由j支配。设w表示tt+1-i中边的权重。这意味着S[j,1]≥w，并且在从1到j的每条路径中都有一条边的权严格小于w。因此，S[j,1]>S[1,j]，它压缩了1是一个赢者的假设。对于每个1≤i≤t，设Si等于Githat交线上的连通分量={1,...,k},设ηi=Si。根据权利要求8，在Sin中的每个集合S没有来自A\\Sin Gi的传入边，否则SüAA在Gi中占优。如果η>1，那么我们有T≥2(k-1)，这意味着Ties(O)≥k-1，因此`min≥k-1，这证明了这个命题。在其余的证明中，我们假定η=1。对于每一个1≤i≤t，由于Giby去掉一些边得到Gi+1,所以SI+1中的每一个集合一定是SI中一个集合的子集。若ηi+1>ηi，则在Si+1中至少存在ηi+1-ηi+1集，以Si+1表示，它们是GI中某些集的严格子集。对于任意si+1∈si+1，设si∈Sibe theset使得si+1(si。根据权利要求8，si+1不包含来自A\\si+1ingi+1的任何传入边，特别是，从si\\si+1到si+1的边（它们在Gi+1中，并且至少有一个边，因为Siis是Gi中的连通分量）在Gi+1中。这意味着TT+1-Icontainst在SI+1中的每个集合中至少有一个进入边，并且这些边集合是不重叠的，因为I+1由A的不重叠子集组成。因此，TT+1-I≥ηI+1-ηI+1。如果ηi+1=ηi，那么显然我们有tt+1-i≥ηi+1-ηi+1=1。回想一下η=1和ηt+1=k，我们有:ties(O)=txi=1(tt+1-i-1)+t/2≥txi=1(ηi+1-ηi)=ηt+1-η=k-1，我们有`min≥k-1。这就完成了命题4的证明。C.7命题5的证明命题5。（平局的最大平滑可能性：排列对）。设M=(θ,L(A)，π)为严格正闭单主体偏好模型，且πuni∈CH(π)。对于任意2≤k≤m，任意n∈n，Ω(n-k-1)≤gtiemaxπ(RP,k,n)≤n-Ω（log klog log k)，当m≥k+5dlog ke时，gtiemaxπ(RP,k,n)≤Ω(n-dlog ke）当k=2时，gtiemaxπ(RP,2,n)=θ(n-0.5)证明。应用定理4证明了该命题。当n很大时，不难证明定理4的0情形和指数情形不发生。让skote表示这个elargest整数，这样sk！≤K。接下来是sk=O（log klog log k）。为了证明该命题陈述中的不等式，我们需要证明SK-1≤`MIN≤K-1。我们通过构造一个加权有向图G来证明`MIN≤K-1,这样(EO(G))=K-1,RP(G)=k,且EO(G)∈OA。事实上，我们可以使用图10所示命题3的证明图。胜利者由循环1→2→···→k→1中边之间的平局打破顺序决定。我们现在证明了`min≥sk-1。设O∈OnAdenote回文序，这样(O)=`min。在排序对中，断开连接的方法总数不超过(`min+1)！，当tt之前的一层包含所有l+1个连接边时，达到最大值。因此，wemust have(`min+1)！≥k，表示`min≥sk-1.“而且”部分。这一部分是通过构造来证明的。当m≥5dlog ke+k时，构造了一个加权有向图G，使得(1)EO(G)∈OA,(2)RP(G)=k,（3）Ties(EO(G))=dlog ke。该结构如图11(b)所示。我们让A表示以下三组备选方案的联合。o{0,...,k-1}。这些是排名对的获胜者。

请注意，索引从0开始，而不是从1开始。o对于每一个i≤dlog ke，都有备选项{ai,bi,ci,di,fi}。o设A表示剩余的m-k-5Dlog ke备选项。在G中存在具有相同权重的dlog ke对：对于任何i≤dlog ke,wG(ai→ci)=wG(bi→di)。这些边被分成以下几组，以便较早组中的权重高于较晚组中的权重。我们进一步要求除了ai→ci和bi→di以外，没有一对边具有相同的权重，特别是没有一条边具有权重0.o群1。对于每个i≤dlog ke，我们有以下边:CI→bi，DI→ai，CI→fi，DI→fi。对于每一个0≤j≤K-1，从j到A中的每一个备选方案都有一条边。对于each0≤j≤K-1和每一个i≤dlog ke，如果j的二进制表示中从右数开始的第i位是0，则有一条边j→AI；否则存在边j→Bi。o群2。对于每个i≤dlog ke和每个0≤j≤K-1，存在一个边FI→j.0A1B1C1D1F1A2B2C2D2F21 23图11：排序对的构造。AI→CI和BI→DIH具有相同的权重。foungureonly显示第1组边缘。o第3组。对于每一个i≤dlog ke，如果AI→CII在BI→di之前（分别在BI→di之后）被定义，则从每一个0≤j≤K-1有一条路径，其二进制中从右数开始的第i位为0（分别在1）到FI。因此，对于所有i≤dlog ke，通过断开{ai→ci,bi→di}之间的联系来调整组1中的边后，存在一个唯一的备选方案0≤j≤k-1，该方案具有到所有fi的路径。然后，{0,...,k-1}中除j以外的每个备选项将至少有一个FI的传入边。因此，j将成为排名双人组的获胜者。我们注意到{0,....,k-1}中的每一个选择都可以通过某种方式打破联系来赢得。因此，在EO(G)中，我们有t=，并且有包含多个边的dlog ke层，每个层正好包含两个边。这意味着当k=2时，Ties(EO(G))=dlog ke,即`min≤dlog ke。对于一般K来说，已经证明了Ω(n-0.5)的下限。因此，ITSU-CES证明`min≥1。为了矛盾起见，假设这不是真的。然后，存在一个回文序O使得Ties(O)<1且RP(O)=2。但是，Ties(O)=0表示WMG(P)中没有边被绑定。因此，RP(O)=1.6=2，这是一个矛盾。这就完成了4.3节的命题5.D附录：STV和Coombs.1结果的正式定义和陈述我们正式定义了多轮基于分数的淘汰(MRSE)规则，它是STV和Coombs的推广。定义20。针对m个备选方案的多轮基于分数的消除(MRSE)规则r被定义为M-1个规则（r,...,rm）的向量，使得对于每2≤i≤m，RI是针对i个备选方案的整数位置计分投票规则，该规则根据它们的分数输出对它们的总预排序。给定P优于m个备选方案，r(P)在M-1个步骤中选择。对于每1≤i≤M-1，在第i轮中，RM+1-II2下的一个失败者（最低层的替代者）将被淘汰出选举。如果有一种方法来打破联系，使b是在第1轮淘汰后剩下的替代方案，则替代方案b是赢家。我们现在在第4.2节中对回文顺序的对应方进行筛选，称为PUT结构，它包含了确定MRSE规则赢家所需的所有信息。识别21（PUT结构）。A上的PUT结构是一个映射W，它将eachB（A）映射到A\\B上的总预序。设WAdenote是A上的所有PUT结构的集合。对于任何MRSE规则r和任何预序P，设PSr(P)表示PUT结构W，使得对于任何B(A，W(B)=RM-B(P A\\B)是A\\B上的总预序，其中P A\\B是通过去除B中的所有备选方案从P得到的A\\B上的预序。我们注意到PSr(P)依赖于r和P。

PUT结构W可以等价地表示为PUT图，其中节点是A的非空子集，每个节点B由W(B)标号，节点B与Bif B=B{A}之间存在边，且A位于W(B)的最低层。我们也将用W来表示它的PUT图，它的主要组成部分是它的子图，它的节点可以从“？”到达，表示为byMC(W)。例如，图12中显示了profielle P和PSSTV(P)的主要组成部分。我们注意到，获胜者只取决于profielle的PUT结构的主要组成部分。第22条（PUT结构的层表示和重新定义）。对于任意PUTstructure W∈Wa，且任意B(A)，设t···ts表示W(B)的层表示，其中对于每个i≤s，Tiare中的备选方案是绑定的。设带(W(B))=pi≤s(Ti-1)和带(W)=pb(ATies(W(B))。一个PUT结构取另一个PUT结构W，如果对于所有的B(A，W(B)取W(B)，在总的预购顺序中取W(B).例19。图12显示了profile P和PSSTV(P)的PUT图。MC(PSSTV(P))是节点为{0,{1},{2},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,4},{1,3,4},{2,3,4}}的子图。LetW=PSSTV(P)。我们有领带(W(ρ))=领带(W({1}）)=领带(W({2}））=1，而对于任何其他B(A)，领带(W(B))=0，这意味着Ties(W)=3。首选项乘法1 3 2 4 11 2 3 4 22 1 3 4 33 2 1 4 44 1 2 3 6}{2}{1}{2,3}{2,3}{2,3}{1,3,4}{1,4}{3,4}{1,2,3}4 3{1,2}4{2,3}2 4 1{1,4}31 3 23 43 2 31 41 31 2(a)a profilfile P.(b)PSSTV(P)及其主要组成部分的PUT图。图12：一个优先选项P，其STV下的PUT结构PSSTV(P)及其对应的PUT图。其次，我们给出了STV下的光滑似然关系定理的符号。对于具有层表示t··Tt的弱阶O,其中任何层中的元素都是连接的，我们让GCD(O)表示O中t层大小的最大公约数，即GCD(O)=GCD(t,...,Tt）例20。设W表示图12(b)中的PUT结构。我们有GCD(W(Ⅵ))=GCD(3 4{1,2}）=GCD(1,1,2)=1。另一个例子是，GCD({3,4}{1,2}）=GCD(2,2)=2。下一个引理指出，对于任意大的n，W可以用STV下的PUTstructure或某个n函数的Coombs表示当且仅当n对于所有B(A引理3（STV和Coombs下的PUT结构）可被GCD(W(B)整除）。设r∈{STV,Coombs}。对于anym≥3,存在N∈N,使得对于A上的任意PUT结构W,且任意N≥N,(p∈L(A)ns.t。PSr(P)=W)phile§(The B(A，GCD(W(B))n)证明见附录D.2。根据引理3，对于任意A和任意n∈n，wede wn是A上的PUT结构，使得对于每B(A，gcd(W(B))n.definition 23。设r∈{STV,Coombs}。给定任一个A,任一个n∈n,任一个2≤k≤m,和L(A)上的任一分布π,对于L(A)上的任一分布π集，设Wπr,k,n={W∈WN:r(W)=k和W Refornes PSr(π)},设Wπr,k,n=Sπ∈CH(π)Wπr,k,n。当Wπr,k,n6=é时，我们给出wmin=minW∈Wπr,k,nTies（W）。当Wπr,k,n6=é对于所有π∈CH(π),我们给出wmm=maxπ∈CH(π)minW∈Wπr,k,nTies（W）,wn由所有n-prof在r∈{STV,Coombs}下产生的所有PUT结构组成。Wπr,k,nis是满足三个条件的PUT结构集：（1）W是r下n-prof的PUT结构；（2）根据r在W中正好有k个赢家；（3）W refoundnespsr(π)。WπR,k,nis是对应于所有π∈CH(π)的所有PUT结构的并集。Wπr,k,n中PUT结构中的连接数是最小的。wmmis系的最大数目，其中对于所有π∈CH(π)取最大值，对于任意给定的π，Wπr,k,n中的所有PUT结构取最小值。我们注意到WMIN和WMM依赖于r,{STV,Coombs},π,k和n,这在上下文中是清楚的。

事实上，wminand WMM对应于M！-αNAND M！对于STV和Coombs，我们分别得到了定理2和定理5。（平局的可能性：STV和Coombs）。设r∈STV,Coombs}和M=(θ,L(A),π)是严格正闭的单主体偏好模型。对于任意2≤k≤m且任意n∈n,gtiemaxπ(r,k,n)=0,如果W∈Wn,r(W)6=kexp(-θ(n)),否则如果Wπr,k,n=θn-wmin,否则gtieminπ(r,k,n)=0,如果W∈Wn,r(W)6=kexp(-θ(n))。Wπr,k,n='Aθn-Wmm另一个证明可在附录D.3中找到。与第4.2节一样，我们接着刻划了分布π的最大光滑似然性，其中πuni∈CH(π)。（最大平滑平局的可能性：STV和Coombs）。设r∈{STV,Coombs}和M=(θ,L(A)，π)是一个严格正闭的单主体偏好模型，且πuni∈CH(π)。对于任意2≤k≤m和任意n∈n，Gtiemaxπ(r,k,n)=θ(n-k-1)如果(1)m≥4,或(2)m=3和k=2,或(3)m=k=3和(2n或3n)0否则（即m=k=3,2-n和3-n)，命题6的证明可以在附录D.4中找到。D.2引理3的证明引理3。（将结构置于STV和梳子下）。设r∈{STV,Coombs}。对于anym≥3,存在N∈N,使得对于A上的任意PUT结构W,且任意N≥N,(p∈L(A)ns.t。PSr(P)=W)证明(λB(A,GCD(W(B))n)。本文证明了r=STV的引理，并对如何修改证明公式进行了评述。注意：注意到除去B后所有备选方案的总pluralityscore（即n）可被GCD（W(B)整除）后，STV的指示如下。更准确地说，对于任何n-pro-p，使得PSSTV(P)=W和任何B(A)，设W(B)的层表示为：W(B)=t t··tt，对于每s≤t，设γst表示去掉B后ts中任何备选方案的复数得分。因此，我们得到了=xa∈(a\\B)scorreplu(pa\\B，a)=x1≤s≤tγsts，它可被GCD(W(B))整除。对于任一个B A和任一对备选方案A、B∈A\\B，在这一步中，我们定义M！-PB,A,ba为构造块。定义24(PB,A,B）。对于任一对二价备选方案a、b和任一个b((a\\{a,b}）,PB,a,bis由L(a)得到如下。对于每一个B*,使得bb*(A\\{A,B}）,o如果B*\\B是偶数，那么我们将[B*B A others]替换为[B*A B others]，其中“others”代表其他备选项，而B*中的备选项和“others”是W.R.T.词典编纂顺序。o如果b*\\b是奇数，然后我们将[b全a b其他]替换为[b全b a其他]。表3显示了一个例子，其中只显示了L(A)与P{1},2,3之间的关系。b*{1}{1,4}{1,5}{1,4、5}L(A)1 3 2 4 5 1 4 2 3 5 1 3 4 1 4 5 3 2 2p{1},2,31 2 3 4 5 1 4 3 2 5 1 5 3 2 4 1 1 4 5 2 2 3表3：对于m=4,B={1},A=2,B=3,L(A)与P{1},2,3之间的关系。我们现在证明PB,A,B具有以下权利要求中描述的两个性质。figurrstproperty指出，对于任何b6=B，去掉Bis后，PB、a、ba\\bare中其余备选项的多个分数相等。第二个性质是，在B从PB、a、B中移除后，a的复数分数增加1，B的复数分数减少1，并且在B从PB、a、B中移除后，其他备选方案的复数分数相同。权利要求9（PB、a、B的性质）。设PB,a,B表示第24条中的结果，(i)对于任意B(a with B6=B和任意c∈a\\(B"a{a,B}）,我们有coreplu(PB,a,BA\\B,c)=ScorePlu(PB,a,BA\\B,a)=ScorePlu(PB,a,BA\\B,B)(ii)对于任意c∈a\\(B"a{a,B}）,我们有coreplu(PB,a,BA\\B,c)=ScorePlu(PB,a,BA\\B,c)=ScorePlu(PB,a,BA\\B,a)-1=ScorePlu(PB,a,BA\\B,B)+1证明。

我们证明在B（A）被移除后(i)成立，对于B的下列情况。o如果B6B，那么在Bis被移除后，B中至少有一个替代方案没有被移除。根据PB,a,b的定义（定义24)，所有剩下的备选方案的复数分数是相同的，这验证了(i).o如果a∈b，则注意到PB,a,b只在a和b相邻的某些排序中切换位置。因此，在移除Bis之后，即a被移除，(i)成立。o类似地，我们可以证明，如果b∈b，则(i)成立。唯一剩下的情况是b b(a\\{a,b}）。其次，我们证明了假设B B(a\\{a,B}）,(ii)成立当且仅当B=B,否则(i)成立（即当B(B(a\\{a,B}））。首先，对于任意c∈a\\(Bü{a,B}）,注意PB,a,带L(a)之间的di仅是除去Bis后a和B的多个分数。因此，对于任意B，我们有coreplu(PB,a,ba\\B,c)=scorreplu(L(a)a\\B,c）。其次，我们计算了在PB,a,B中的a的复数与在L(a)中的a的复数之间的关系。如第24条所述，这是通过检查在某些投票中切换a和b（相邻）位置的e----ect来完成的。更确切地说，对于每一个B*带有B*的B*（A{A,B}），我们有以下的观察。o如果B**B，那么在去掉Bis之后，A不排在[B*A B其他]或[B*B A其他]的前几位。因此，与B*相对应的PB、a、带L(a)之间的di值在去掉Bis后，并不等于PB、a、带L(a)中的a的多个分数中的di值。o如果B*带B*\\B是偶数，那么根据对PB、a、B的识别（识别24)，PB、a、在L(a)中以[B*a、B其他]递减[B*a、B其他]。注意，去掉Bis后，b在前一个排名中排名第一，而a在后一个排名中排名第一。因此，a（分别，b)的复数分数增加（分别，减少）1在PB，a，b，除去Bis后，与a的多个分数相比（分别为，b）在L(A)中。o同样，如果b*带b*\\b是一个奇数，那么在去掉bb后，在PB,a,b中a（分别，b)的多个分数比在L(a)中a（分别，b)的多个分数减少（分别，b)增加1。因此，我们有以下的计算。scorreplu(PB,a,ba\\b，a)-scorreplu(L(a)a\\b，a)=xb*:bb*b(-1)b*\\b=xb-bi=0(-1)ib-bi=1如果b=B0。）=-xB*:BB*b(-1)b*\\b=-1，如果b=B0，则遵循当b=b时(ii)成立，否则(i)成立。这证明了索赔9。对于每一个B(A)，我们用PB,A,B来调谐去除B时的多个备选项的分数，使它们之间的弱序变为W(B)。对于每一个0≤n≤m！-1，使得对于每一个B(A，GCD(W(B))n，我们构造一个profile Pn，使得Pnn(mod m！）和PSSTV（mod m！）（mod m！）（mod m！）（mod m！）（mod m！）（mod m！）（mod m！）（mod m！）

当gcd(W(B)=xts=1ηs×Ts，对于每1≤s≤t，且每B∈Ts，我们在Pn上加上以下公式，其中为方便起见，我们将PB,aB,aB=-如果ηt≥0，那么我们加上PB,aB,B的ηTnGcd(W(B))副本；-如果ηt<0，那么我们加上PB,B,aB的ηTnGcd(W(B))副本。o步骤2.4。最后，对于（a,b）topnn的某些组合，我们将添加PB,a,b的多个副本，以便层之间的顺序与W中相同。在形式上，对于W(B)的层表示为t···Tt的每一个B(A)，且每1≤s≤T-1,我们添加了sa∈TS，B∈TTPB,A,bto Pn的Cscopies,其中C，..，ct-1是保证W(B)的常数。这是因为去掉B后，Sa∈TS，B∈TTPB，a，bto Pn增加了Tsby Tt中每个备选方案的复数分数，减少了TtbyTs中每个备选方案的复数分数。它遵循Pnn(mod M！）并且PSSTV(Pn)=W。设N=max1≤N≤m！-1 pn。对于任意n>n，设n=n(mod m！）,且P=pn+n-nm！×L(A)，不难证明P是n-pro，而PSSTV(P)=W证明了部分flemema 3,从而完成引理3的STV部分的证明。Coombs的证明。请注意，Coombs在每一轮中使用否决，一个排名的否决分数是反向排名的复数分数。根据这种联系，证明类似于STV部分，主要的结论是，对于Coombs，我们使用PB，a，b，即通过颠倒所有排名从PB，a，b中扣除（扣除24）。这就完成了引理3.D.3定理5定理5的证明。（平局的可能性：STV）。设M=(θ,L(A),π)是一个严格正闭的单代理偏好模型。当任意2≤k≤m且任意N>N时，gtiemaxπ(STV，k，N)=0,如果插W∈Wn,则STV(W)6=kexp(-θ(N)),否则WπSTV,k,N=θn-wmin,否则gtieminπ(STV，k，N)=0,如果插W∈Wn,则STV(W)6=kexp(-θ(N))。wπstv,k,n=θn-wmm另有证明。与定理3的证明一样，该定理是通过将k个赢家的集合建模为常多个多面体的并集，然后应用定理2来证明的。与引理3的证明一样，我们给出了r=STV的证明，并对如何修改这些证明进行了评述。证明按以下三个步骤进行。在步骤1中，对于每个PUTstructure W，我们定义一个多面体HW，该多面体HW表征PUTstructure所在的profigure。在步骤2中，我们证明了关于HW的一些性质，特别是dim(HW)=M！-领带(W)。在步骤3中，我们正式地将定理2应用于C=SW∈WN:STV(W)=KH。我们将在构造中使用向量。第25条（STV的两两向量）。对于任意一对di-everent交替a,b和任意一个b∈a\\{a,b}，我们设PairB,a,b表示向量，使得对于任意一个R∈L(a)，PairB,a,bis scorreplu(Ra\\b,a）-scorreplu(Ra\\b,b）的R-分量。换句话说，PairB,a,breply表示去掉b后a的复数分和b的复数分之间的di-everence。我们现在用这些向量来构造一个与给定的PUT结构W相对应的多面体。给定一个PUT结构W，对于具有以下约束AW·(~xa)>≤~B>:对于任一对备选方案a W(B)B，存在一个不等式对B,B,a·~xa≤-1；对于任一对备选方案awbb，存在一个不等式airb,b,a·~xa≤0。STV的第二步：证明关于hw的性质。我们证明了以下关于HW的主张。主张10（HW的性质）。对于任意PUT结构W，我们有:(i)对于任意pro，Hist(P)∈HWif，且仅当PSSTV(P)=W；(ii)对于任意~x∈RM！，~x∈HWif，且仅当W是PSSTV(~x)；(iii)dim(HW)=M！-领带(W)。证明。(i)和(ii)在确认HW之后。为了证明第(iii)部分，再次根据[57]第100页的等式(9)，我们需要证明AW的本质等式的秩（用A=表示）是Ties(W)。

我们证明了a=={PairB,a,B:λB(a和aW(B)B}，(24)其中aW(B)B表示a和B在W(B)中绑定。显然A=包含右手边的ofEquation（24）。通过引理3，存在一个（m！）-亲p*使得PSSTV(p*)=W。因此，Hist(p*)是HWin的一个内点，即方程（24）右边没有提到的所有不等式在Hist(p*)下都是严格的，这意味着方程（24）成立。我们现在证明秩(a=)=Ties(W)。对于任意B(A)，设W(B)=T···TsdenoteT W(B)的层表示。设ABbe为a=由对b、b、a组成的子矩阵，对于所有对的备选方案aW(b)b。对于任意Ti,{PairB,a,b:a,b∈Ti}中的每一个向量都可以表示为Ti-1个线性阶子集的线性组合，因此检验Rank(AB)≤Ties(W)是不难的。这意味着秩(a=)≤Pb(ATies(W(B))=Ties(W).秩(a=)≥Ties(W)紧随引理3之后。更确切地说，为了矛盾起见，假定Rank(A=)<Ties(W)，并设A表示A=的任意行基。根据鸽子洞原理，存在B（A使得A包含不超过Ties（W(B)）rowsin AB,这意味着存在一层tize使得A包含不超过Ti-2 rowsin{PairB,A,B:A,B∈Ti}。这意味着Tican被划分为两个集合{a,...,at}和{b,...,bt},使得对于1≤I≤Tan和1≤I≤T的任意组合，a不包含PairB、ai、BI。根据引理3，存在一个（M！）-亲P使得对于所有B6=B，除去Bis后所有备选方案都是绑定的，且PSr(P)(B)由两层组成：第一层是Tü···(R)Ti-1{a,...,at}，第二层是{b,...,bt}@ti+1@···@tt。不难检验ata·(Hist(P))>=~>，但PairB,a,b·Hist(P)6=0。这意味着PairB,a,b∈a=不是a中行的线性组合，这与a是a=的基的假设相矛盾。因此Rank(a=)=Ties(W)。这就完成了权利要求10的证明。STV的步骤3：应用定理2。设C=SW∈WN:STV(W)=KHW。因此，对于任意pro，STV(P)=k当且仅当Hist(P)∈C。因此，对于任意n和任意~π∈n，我们有:prp'A~π(STV(P)=k)=Pr(~x~π∈C)回想一下，对于A上的所有PUT结构W，通过权利要求10(iii)我们有dim(HW)=m！-ties(P)+1。这意味着αn=m！-`minandβn=m！因此，为了证明定理5，必须证明定理5中的0,指数和多项式情形的条件与定理2中的0,指数和多项式情形的条件（分别适用于C和π)是等价的。这遵循了与权利要求10(ii)相结合的定理3证明的步骤3中的类似推理。这就完成了定理5的STV部分的证明。Coombs的证明。在引理3的Coombs部分的证明中，注意Coombs在每一轮中都使用veto，而一个排序的veto得分是反向排序的复数得分，因此，证明与STV部分相似，主要的结论是，对于Coombs来说，在求成对得分的di-erence向量时，我们使用veto规则而不是复数规则。这就完成了引理3.D.4命题6命题6的证明。（最大平滑平局的可能性：STV和Coombs）。设r∈{STV,Coombs},且M=(θ,L(A)，π)是一个严格正闭单主体偏好模型，且πuni∈CH(π)。对于任意2≤k≤m且任意n∈n，当(1)m≥4,或(2)m=3且k=2,或(3)m=k=3且（2 n或3 n)0否则（即m=k=3,2-n和3-n)证明Gtiemaxπ(r,k,n)=θ(n-k-1)。根据定理5，我们将证明：（1）指数情形不发生，(2)wmin=k-1在多项式情形中。为了看(1)，注意如果定理5的0情形不成立，那么存在W∈wn，使得STV(W)=k。

还要注意，πuni∈CH(π)和PSSTV(πuni)是PUT结构，其中所有选项都绑定在任何B（A）被移除之后，这意味着任何PUT结构都是PSSTV(πuni)的重新组合。因此，Wπr，k，n6=，这意味着定理5的指数情况不成立。要看(2)，注意对于任何PUT结构W，任何标记为B(A，且B≤M-2)B的结点的出边数为带(W(B))+1。因此，Ties（W）至少是W中没有传出边的节点总数减去1。因此，对于STV(W)=k的PUT结构W，我们必须有关系(W)≥K-1,这意味着WMM≥K-1。在续篇中，我们将通过构造命题6所描述的多项式情况来证明WMM=K-1。更准确地说，我们将证明存在一个n-pro-p，即(PSSTV(P))=k-1和STV(PSSTV(P))=k。根据引理3，构造了如下结构W:(1)Ties(W)=k-1,(2)STV(W)=k,（3）对于每一个B(A,GCD(W(B))nθ(n-k-1)子情形(1):m≥4。当m≥4时，我们设W表示PUT结构，这样W()=kk+1···m{1,...,k-1}W({1}）=2··k-2k+1···m{k-1,k}，而对于任何其他B的W(B)是一个线性序，因此在W的图表示中，存在没有出边的knod，其赢家是{1,...,k}。有关m=k=4的示例，请参见图13(a).{3}{1}{3,4}{2,3,4}{1,4}{1,2,4}{1,3}{1,3}{2,4}{2,4}{3,4}{1,2,3}2{3,3}1 3 42 1 41 3 23 21 31 22}{3}{3}{2}1{2=3}1 33 22 12{2,3}1(a)m=k=4.(b)m=3和k=2。图13：STV的PUT结构。不难验证Ties(W)=K-1和STV(W)=k。请注意，对于每一个B(A)，在W(B)中存在一个由单个备选方案组成的层，这意味着GCD(W(B))=1，因此，W∈WN。这证明了对于m≥4情形，θ(n-k-1)子情形(2):m=3和k=2的命题。图13(b)所示的PUTstructure证明了m=3和k=2的情况，θ(n-k-1)子情况(3):m=k=3和（2 n或3 n）。图14(a)所示的PUT结构证明了m=k=3和2n的情况。用图14(b)所示的PUT结构w，证明了m=k=3和3 n的情况。{{3}{2}{1,3}胜利者{1}{1,2}1{2,3}{1,3}3 22 12{2,3}13}{3}{2}{1,3}胜利者{1}{1,2}{1,2}{1,2}1,2,3}1 33 22 12{2,3}1 3(a)2 n。(b)3 n.图14：STV.0情况下的PUT结构。当m=k=3,2-n和3-n时，为了矛盾起见，假设存在n-profective P，使得STV(P)=3。设W=PSSTV(P)。那么，对于某些B(a（这意味着GCD(()W(B))=3,因此3n)，或者W(B)是三个备选方案中的一个平局，或者对于某些B=1（这意味着GCD(()W(B))=2,因此2n)，或者W(B)是两个备选方案中的一个平局。这两种情况都导致了矛盾。因此，在这种情况下，Wπr，k，n='A.所有规则的实验结果图15：Ic下平局的百分比。图16：本文研究的307个pre-emib SOC数据中候选人数和选民数的直方图。