大型选举打成平手的可能性有多大？

更准确地说，我们应用Gauss-Jordan消元法将线性方程组A=~·(~x)>=~0,n>转化为另一个线性方程组(~xi)>=D·(~xi，n)>,其中~xi是~x的乘积，II=[q]，I=Rank(a=)+1=q-dim(H)+1，D是不依赖于n的(q-dim(H)+1)×dim(H)有理矩阵。例如，在图1(b)中，i={1}、i={2}和D=参见[66，附录中的示例4]提供了一个更丰富的例子。然后，我们在附录A.1.2中的权利要求1中证明了上述条件（1）成立。条件（2）通过应用逐点反集中界[66，附录中引理3]和将PMV表示为简单贝叶斯网络[66]证明了条件（2）。这部分的证明是文[66]中证明中最难的，也是最彻底的证明。我们将根据H的V-表示，指定~π和一个（dim(H)-1)维区域Bnin，该区域与E(~x~π)的距离为O(√n),如图7所示，它延续了图1(b)的设置。更确切地说，我们任意地选择以下三个向量，然后在整个证明过程中对它们进行充分的证明：让~x*∈HTMCH(π),~x#∈HTMZq≥0,并且让~x@是H的一个内点。例如，在图7中，我们让~x*=π，因为π是HTMCH(π)中唯一的向量。！#！@&1s！*-！-！！#CH(π)3s！@！*=2锥(π)！-（！<)=~1>？图7：定理1中的多项式下界的证明。给定任意n∈n，我们定义~x`，`~x*+~x#+√~x@,其中`∈R≥0是为了保证~x`·~1=n。然后，我们定义了以下向量:oL∞中与~x′相距isO(1)的整数向量~yn∈Hzn.用整数规划的敏感性分析([15,定理1(i)]，w=~0)保证了这类~ynis的存在性。o一个向量~π=(π,...,πn)∈πn，E(~x~π)=pnj=1πj=~x`处O(√n)。这是通过舍入n乘以~x*的表示来实现的，它是π中不超过q个分布的凸组合，这是由凸壳的Carath\'Eodory定理所保证的。这是通过对H中~x@的一个γ邻域进行修改，用bγ表示，然后设Bn,~yn+√`(Bγ-~x@)。该构造保证了Bn包含Ωndim(H)-1个整数向量，每个向量与E(~x~π)的距离为O(√n)。然后，我们证明了引理1（它适用于任意严格正的PMVs，因而强于[66，附录中的引理4]，它只适用于I.I.D.PMVs)中的一个逐点集中界，表明对于每个整数向量~x∈Bn，~x~π取~x的概率为Ω(n1-q)。下限变为ΩNDIM(H)-1×ΩN1-Q=ΩNDIM(H)-Q，与上限渐近匹配。（PMVs的逐点浓度范围）。对于任意q∈N，任意>0，任意α>0，存在Cq，，α>0，使得对于任意N∈N，任意(N，q)-PMV~x~π，其中~π在上，任意整数向量~x∈Zq≥0，且~x·1=N和~x-e(~x~π)∞<α√N,我们有:PR(~x~π=~x)>Cq，，α·n1-q，将解泊松二项式变量约束优化问题的思想推广到PMVs[30],证明了1引理。引理1可能是独立的。A.1.2定理1的充分证明。证明该定理对所有大n都成立。换句话说，我们将证明给定H和π，存在N∈N，使得该定理对所有N>N都成立。这是因为给定任意常数N∈N，该定理对任意N≤N都成立-注意anysup~π∈πnpr~x~π∈H6=0（分别为inf~π∈πnpr~x~π∈H6=0)可以看作exp(-θ(N))或θndim(H)-q，且对任何N都是零情况。关于sup的指数上界的证明。对于任意n∈n和任意~π∈n,让~μ~π=(μ~π,1,...,μ~π,q)=E(~x~π/n)表示~x~π/n的均值，让~σ~π=(σ~π,1,...,σ~π,q)表示~x~π/n中各组分的标准差。

因为π是严格正的，所以存在>0,>0使得对于所有n,所有~π∈πn,所有i≤q,我们有<μ~π，i<和τn<σ~π，i<τn。我们证明了他的su与CH(π)是完全分离的。注意到他的凸起和闭合。由于π是封闭有界的，所以CH(π)是凸封闭紧的。由于HüCH(π)=，根据严格的超平面分离定理，存在一个严格分离手CH(π)的超平面。换句话说，存在>0使得对于任意~x∈Hand任意~x∈CH(π)我们有~x-~x∞>，其中·∞是L∞范数，然后我们证明了当n=~x·~1时，离E(~x~π)=n~μ~π的任意~x∈HZnisθ(n)是su-cientlylarge。利用Minkowski-Weyl定理，我们可以写出H=V+H={~V+~H:~V∈V，~H∈H}，设Cmax=max~x∈V~x∞。对于任意~x∈H,设~x=~x+~x，其中~x∈V和~x∈H。我们有:~x-E(~x~π)∞=~x-n~μ~π∞=~x+~x-n~μ~π∞≥n~xn-~μ~π-Cmax≥n-Cmax,因此，当~x~π∈HZn时，~x~π必须至少离开E(~x~π)n-Cmaxin L∞。对于anyn>2cmax，我们有n-cmax>n。因此，pr~x~π∈Hzn≤pr~x~π-E(~x~π)∞>n-cmax≤pr~x~π-n~μ~π∞>n≤qxi=1prx~π,i-nμ~π,i>n≤2qexp-()n4(1-2)最后一个不等式紧随Hoe-ding不等式（文献[31]中定理2）之后，其中回忆率是不确定的，所以π在上面。实际上，下界可以通过任意~π∈πn来实现。设~y∈[q]n表示任意向量，使得Hist(~y)∈Hzn。由于π在上面，我们有Pr(~x~π∈H)≥Pr(~y=~y)≥n=exp(n log)，即exp(-o(n))。在这部分的证明中，我们使用了H=v+hin的V-表示。此外，我们将使用A的等价表示，作为用A=表示的蕴涵等式和用A+表示的其他不等式，形式上定义如下。定义13（（2）在[57]第99页）。对于任何整数矩阵A,设A=表示蕴涵等式,它是A的最大行集,使得对于所有~x∈H,我们有A=·(~x)>=~>。设A+表示A的其余行。我们注意到A=和A+不依赖于~B。我们很快就会看到，a=是~x~π在H中的主要约束。为了简化表示法，在整个证明过程中，我们设o=Rank(a=)=q-dim(H)，其中由于[57,p.100,方程(9)]这个方程成立。下面的运行示例说明了这些概念及其设置将在整个证明中使用。示例4（运行示例：H和a=对于IC下的Borda赢家是{1,2}）。我们使用了Borda W.R.T.下m=3个备选方案上k=2路关系的子情况。例如IC。注意q=m！=6。六个结果中的每一个都是线性顺序。设1 2 3,1 3 2,2 1 3,2 3 1,3 1 2,3 2 1分别表示结果1,2,3,4,5,6。然后，Bordaco-赢家是{1,2}当且仅当~xic是由以下线性不等式表示的多面体H中的变量为~x=(x，x，x，x，x，x):x+2x-x-2x+x-x≤0(7)-x-2x+x+2x-x+x≤0(8)-2x-x-x+x+x+2x≤1(9)方程（7）说明备选方案1的Borda得分不大于备选方案2的Borda得分。方程（8）说明2的Borda得分不超过1的Borda得分。方程（9）说明3的Borda得分至少比备选1的Borda得分少一个。因为Borda得分总是整数，方程（9）相当于要求3的Bordascore严格小于1的Borda得分。然后，我们有:A=12-1-21-1-21-1-1-1-1 2和~B=-1不难验证A=由两个行组成，即A==12-1-21-1-1-21-1-1和o=秩(A=)=1。为了计算Pr(~x~π∈H)，我们将重点讨论简化的行梯队形式（又称A。

可以用高斯-乔丹消元法计算的a=~的行规范形式[44]：存在I[q]，I=秩a=~和有理矩阵D，使得a=~·(~x)>=“~>n#当且仅当(~xi)>=D·(~xi，n)>,其中I=[q]\\I。换句话说，~xIan被看作是”自由“变量，它的值可以很容易地确定，对于任何~x∈H，~xi完全由~xi决定。我们有I=秩a=~=秩(a=)+1,因为~1在a=中与其它变量线性无关。为了了解为什么这是真的，为了矛盾起见，假设~1与A=中的行是线性相关的。然后，通过对a=的认识，对于所有的~x∈H，我们有~x·~1=0。因此，对于任意的~x∈H，根据Minkowski-Weyl定理，我们可以写出~x=~v+~H，其中~H∈Hand~vis在一个有限生成的多面体中。这意味着~X·~1=~V·~1+~H·~1=~V·~1，这意味着~X·~1是一个常数的上界。然而，这与多项式情形的前提相矛盾，因为当n是su_ciently大时，hn=hzn=é。W.L.O.G.设I={1,...,o+1}和I={o+2,...,q}。我们还注意到D不依赖于n，这意味着对于任意~x∈Rq，a=·(~x)>=~>当且仅当(~xi)>=D·~xi,~x·~>。下面的例子说明了例4中设置的高斯-乔丹消元法。例5（运行示例：高斯-乔丹消元法，D，I和I）。继续例4，我们运行高斯-乔丹消元如下：A 0~1 N=1 2-1-2 1-1-2 1-1 1 N R 1；R2+R1；R3-R 1----------------------------→1 2-1-1 00 0 0 0 0 0 00-1 2 0 2 N R 1+2R3；R2；-R 3------------------------------------------------------------------------------x,x,x,x,x,x],我们有1 0 3 4 1 30 1-2-3 0-2·(~x)>=2 n-n,这相当于xx=1 00 1×xx=-3-4-1-3 22 3 0 2-1×xxxn。因此，我们有D=-3-4-1-3 22 3 0 2-1,i={1,2},i={3,4,5,6}。与[66]一样，我们采用以下Y的替代表示形式。...,YN。对于每个j≤n，我们用一个随机变量zj∈0,1}来表示Yjis的结果是在I中（对应于zj=0)还是在I中（对应于zj=1)。然后，我们用另一个随机变量wj∈[q]来表示Yjconditioned在zj上的结果。结论14（Y,...,yn[66])。对于每个j≤n,我们构造了具有两个随机变量ZJ∈{0,1}和WJ∈[q]的aBayesian网络，其中ZJ∈[q]是WJ的父。条件概率如下:o对于每个`∈{0,1}，Pr(zj=`)=Pr(yj∈i`)o对于每个`∈{0,1}，并且每个t≤q，Pr(wj=tzj=`)=Pr(yj=tyj∈i`)。特别地，如果t6∈i`，则Pr(wj=tzj=`)=0。例6（运行示例：均匀分布j的替代表示）。为了表示的目的，我们给出了对应于L(A)上均匀分布的YJ的Zjand Wj.我们有Pr(zj=0)=1/3和Pr(zj=1)=2/3。Pr(wj=1 2 3zj=0)=Pr(wj=1 3 2zj=0)=和Pr(wj=2 1 3zj=1)=Pr(wj=2 3 1zj=1)=Pr(wj=3 2 2zj=1)=以上未给出的所有条件概率都为零。应用全概率定律，不难证明对于任何j≤n的情况下，wj服从Yj。对于任意~z∈0,1}n,我们设Id(~z)[n]表示~z的分量等于0的指数。给定~z，我们定义以下随机变量:o设~wid(~z)={wj:j∈Id(~z)}。即~wid(~z)由随机变量{wj：zj=0}.设Hist(~wid(~z))表示o+1=I随机变量的向量，该向量对应于~wid(~z)的直方图，在~wid(~z)中，每个随机变量的定义域为[q]，但由于它们只在I上得到正概率，当Hist(~wid(~z))被定义时，它们被视为ii上的随机变量。o同样地，让~wid(~z)={wj:j∈Id(~z)}和让Hist(~wid(~z))表示I=q-o-1个随机变量的向量，这些随机变量对应于~wid(~z)的直方图。例7（运行示例:Id(~z)和Id(~z))。继续例6，假设n=5，~z=(0,1,1,0,1）。

我们有_Id(~z)={1,4},~wid(~z)=~W{1,4}={W,W},Hist(~wid(~z))表示两个I.I.D.的直方图。{1 2 3,1 3 2}上的均匀分布。·Id(~z)={2,3,5},~WID(~z)=~W{2,3,5}={W,W,W},Hist(~WID(~z))表示三个I.I.D的直方图。{2 1 3,2 3 1,3 1 2,3 2 1}上的均匀分布。对于任意~h∈Zq-O-1≥0,我们设Hzn~h表示~h∈Hzn的Icomponents=~h的Icomponents。从形式上看，HZn~h={~h∈ZO+1≥0:(~h，~h)∈HZn}，仅当~xi∈HZn~xi。我们注意到Hzn~hcan包含两个或多个元素，因为即使对于任意~x∈H来说~xi完全由~xi决定，这种关系对于~x∈Hzn可能不成立。在后面的权利要求1中，我们将证明向量的个数hzn~his的上界是一个不依赖于n的常数。示例8（运行示例:hzn~h)。续例7，设~h=(1,1,1,0）。那么，我们有HZn~H={（2,0）}。注意，在这个例子中，对于所有~h来说，hzn~h≤1，因为a=对应的~b分量是0，这意味着~his由~h决定，即~h=D·~h,n>。因为~h=D·~h,n>可能不是非负整数的向量，所以hzn~h=é是可能的。例如，当~h=(1,2、0,0)，我们有~h=D·~h，n>=(-1，3)、意思是hzn~h=.接下来，我们将全概率定律应用于~x~π和Hzn~h的(~z，~w)表示，得到以下关于Pr(~x~π∈H)=Pr(~x~π∈Hn)=Pr(~x~π∈HZn)=x~z∈{0,1}nPr(~z=~z)Pr~x~π∈HZn~z=~z（全概率定律）=x~z∈{0,1}nPr(~z=~z)Pr hist(~wid(~z))∈HZnHist(~wid(~z))~z=x~z∈{0,1}nPr(~z=~z))~z=x~z∈{0,1}nPr(~z=~z))~z=x~z∈{0,1}H∈Zq-O-1≥0Pr Hist(~wid(~z))=~H~z=~z×Pr Hist(~wid(~z))∈HZn~H~z=~z,Hist(~wid(~z))=~h（全概率定律）=x~z∈{0,1}nPr(~z=~z)x~h∈Zq-O-1≥0Pr Hist(~wid(~z))=~h~z=~z×Pr Hist(~wid(~z))∈Hzn~h~z=~z(10)≤x~z∈{0,1}n:Id(~z)≥0.9nPr(~z=~z)x~h∈Zq-O-1≥0Pr Hist(~wid(~z))=~h~z=~z×Pr Hist(~wid(~z))=~h~z=~z×Pr Hist Id(~z))∈HZn~H~z=~z+Pr(Id(~z)<0.9n)(11)，其中Id(~z)表示~z中0的个数。方程（10）之所以成立，是因为根据贝叶斯网络结构，给定ZJ的WJ是相互独立的，这意味着对于任意~z∈0,1}n,Hist(~WID(~Z))和Hist(~WID(~Z))是相互独立的。下面的示例说明了当~z=(0,1,1,0,1）和0.9<时，(11)中的求和，遵循示例8的设置。示例9（运行示例：求和（11））。继续例8，（11）中的和变为:Pr(~z=~z)x~h∈Zq-O-1≥0Pr hist(~wid(~z))=~h~z=~z×Pr hist(~wid(~z))∈Hzn~h~z=~z=Pr(~z=(0,1,1,0,1))x~h∈Zq-O-1≥0pr Hist(~w{2,3,5}）=~h~z=(0,1,1,0,1)×pr Hist(~w{1,4}）=hzn~h~z=(0,1,1,1,1）作为一个更具体的例子，让~h=(1,1,1,0,0）如例8所示，我们在上面的公式中求和为:pr Hist(~w{2,3,5}）=(1,1,1,0)~z=(0,1,1,1,1)×pr Hist(~w{1,4}））∈{（2,0）}~z=(0,1,1,0,1）,它是以下两项的乘积:(1)~w{2,3,5}直方图为（1,1,1,0）的概率。即，第二、第三和第三代理的投票以任意顺序为{2 1 2,2 3 1,3 1 2}，(2)直方图~w{1,4}为（2,0）的概率。我们强调，这个例子只说明了(11)~z=(0,1,1,0,1）和~h=(1,1,1,0）。（11）需要对~z和~H的其他组合求和。到上界(11)，我们将表明给定Id(~z)≥0.9n，对于任意~H∈Zq-O-1≥0，在将以下两部分合并后，Pr Hist(~wid(~z))∈Hzn~H~z=~z=O((0.9n)-O)=O(n-O)(12)(12)如下。第1部分：下面的索赔1，它指出Hzn~his中整数向量的个数由一个仅依赖于H的常数所上界，这意味着它不依赖于n。索赔1。存在一个常数ch>0，使得对于每一个~h∈Zq-O-1≥0，HZn~h≤ch.证明。

我们证明了一个观察，即存在一个仅依赖于H的常数c*,使得对于任意~x∈HZn,我们有(~xi)>-D·(~xi，n)>∞<c*。根据H的V-表示，我们可以写~x=~V+~x，其中~V∈V是有界的，而~x∈H，这意味着~xi>-D·~xi，~x·~>=~>。回忆一下V中向量的Ma ximum L∞范数，得到~v∞≤Cmax,即~v·~1=~x·~1=~x·~1=~x·~=n-~x·~≤qCmaxLet Cmax表示D中项的最大绝对值，且设c*=Cmax+2qcmaxc。对于任意~h∈HZn~h,我们有:(~xi)>-D·(~xi,n)>∞=~vi+~xi>-D·~vi+~xi,n.>∞=(~vi)>-D·~vi，n-~x·~>∞≤Cmax+2qcmaxc=c*,因为(~h,根据以上的观察，我们有~h>-D·~h,n>∞<c*。因此，HZn~his包含在边长为2c*且以D·~h,n>为中心的i维立方体中。验证多维数据集包含的点不超过(2c*+1)qinteger并不难。通过设CH=(2c*+1)q.o第2部分：逐点反集中界[66，附录中的引理3]来证明这一主张。为了完整起见，我们在下面的符号中回忆引理([66，附录中的引理3])。已知qut∈N且>0，存在常数cutí>0，使得对于[qí]上的任意nut∈N和严格正向量~πé，且任意向量~xut∈zqé≥0，我们有Pr(~x~πé=~xé)<cé(Né)1-qé.我们注意到（12）中的O(n-o)中的常数只依赖于H（因此是q）和notonπ或N，然后，在Hzn~H中应用Lemmato（常多）向量（由权利要求1保证）后，(12)通过设qè=I=O+1和Nè=Id(~z)。下一个示例说明了Lemmain的应用，即示例9的设置。示例10（运行示例：等式（12））。继续示例9，回想一下在这个运行示例中~z=(0,1,1,0,1）（示例7）和~h=(1,1,1,0）（示例8）。因此，(12)变成:Pr hist(~w{1,4}）∈{（2,0）}~z=(0,1,1,0,1）。然后，我们在Lemma中设q~=I=2和n~=2,并将其应用于~x~=(2,0）,这是Hzn~H中唯一的向量。回到(11)，我们现在将（11）中的Pr(Id(~z)<0.9n)部分上界。由于~y中的随机变量在上面，所以对于所有j≤n，zj至少以概率取0。因此，E(Id(~z))≥n。利用Hoe-ding不等式,Pr(Id(~z)<0.9n)在n中是指数小的,当n很大时,Pr(~x~π)H≤x~z∈{0,1}n:Id(~z)≥0.9npr(~z=~z)x~H∈Zq-O-1≥0 Pr hist(~wid(~z))=~H[~z]Id(~z)=~×O(n-O)+O(n-O)=O(n-O).这证明了当hzn6=é和Hüch(π)6=é时的多项式上界,其中constant TIN O（N-O）依赖于H和（但不依赖于π或n）。在步骤1中，对于任意su大的n∈n，我们得到一个非负整数向量~yn∈Hzn及其邻域bn Hn，使得bna中的向量远离锥(π)为O(τn)。在步骤2中，我们对对手选择的一个向量~π∈πn进行求取，以达到下界。在步骤3中，我们证明了Bn包含θndim(H)-1多个非负整数向量。在第4步中，当根据~π生成偏好时，对于任意非负整数~x∈Bn，~x~π为~x的概率为θ(n(1-q))。最后，在步骤5中，我们表明~x~π在H中出现BE的概率至少为Ωndim(H)-1×Ωn(1-q)=Ω(n-o)。对于任意su-ciently大n∈n，定义一个非负整数向量~yn∈Hzn，及其邻域bn Hn。在第1.1步中，~Yn将被定义为一个整数，近似于~X`=`~X*+√`~X@+~X#，其分量被定义如下。如图7所示。o~x*∈HTMCH(π)，它可能不是整数。o~x@是H的内点，这意味着A=·~x@→>=~>和A+·~x@→><~>。注意~x@在H或CH(π)中可能不是整数的、非负的。o~x#∈H是一个整数向量，它可能不在锥(π)中。例如，~x#可以是hzn#中的任意整数向量，对于最小的N#∈N，使得hzn#6=.

这样的n#存在，否则定理的0情况成立。o`∈R≥0是一个用来保证~yn·~1=~x`·~1=n的数。也就是说，~x`·~1=`+√`(~x@·~1)+~x#·~1=n，或者等价地，因为`≥0，我们有`=-~x@·~+qn-~x#·~1+(~x@·~)。我们注意`可能不是一个整数。~x*、~x@和~x#是任意选择的，但在整个证明过程中是有规定的。让我们在下面的示例中说明其中的一种选择。示例11（运行示例:~X*、~X@、~X#和~X`)。继续例10，回想一下π只包含均匀分布。因此，~x*=(，，，，)，这是HüCH(π)中唯一的分布。设~x@=(1.2,-0.2,1.2,-0.2,0,0）和~x#=(2,0,1,1,1,0）（其中#=~x#·~1=5)。那么，~xl=`·(，，，，，){z}~x*+√`·(1.2,-0.2,1.2,-0.2,0,0）{z}~x@+(2,0,1,1,0）{z}~x#当n=100时，`+2√`+5=100，这意味着`=(√96-1）。第1.1步定义一个非负整数近似~ynto~x`。首先，我们注意到`只依赖于H（因为选择了~x@和~x#)和n，而不依赖于πor。注意，当~x`·~1=n时，它可能包含负分量，因为~x@可能包含负分量。Letn是su和ciently大的，使得~x`∈Rq≥0，这意味着~x`∈HN。这是因为(i)~x′的每个分量都是θ(n)，因为~x′在很大程度上由`~x′和`=θ(n)决定，以及(ii)~x′的每个分量至少是，因为~x′∈CH(π)。设an=a~-~-iq和~bn=(~b,n,-n,0,..,0{z}q)，其中iq是q×q单位矩阵。因此，Hnis被Anand~BN所修饰。换言之，HN={~x:An·(~x)>≤~bn>}设CH=q(An),其中(An)是An的全平方子矩阵行列式中的最大绝对值。注意CHonly依赖于A而不依赖于n，，或π。证明~x`∈Hn并不难，而且我们在定理的上半部分假定Hzn6=é为多项式有界的条件，这意味着Hn包含一个整数向量。因此，由[15，定理1(i)]（设~w=~0)，存在一个（非负）整数向量~yn∈Hn，使得~yn-~x`∞≤ch。请注意，通过defunnition~yn∈Hzn。为了完备性，我们在下面的记号中回忆[15，定理1(i)]。[15]中的定理1(i)。设A为L×Q整数矩阵，~B为Q维向量，且~W为Q维向量，使得A·(~x)>≤~b>有整数解且存在max{~w·~x:A·(~x)>≤~b>}。然后，对于每一个最优解~xoptto max{~w·~x:A·(~x)>≤~b>}，存在一个最优解~zopt∈Zqto max~w·~x:A·(~x)>≤~b>，~x与~xopt-~zopt∞≤q(A)积分。对于任意γ>0，我们定义了一个由向量~x组成的邻域BγRq，使得(i)a=·(~x)>=(~0)>,(ii)~x-~x@i∞≤γ,(iii)~x·~1=~x@·~1。形式上，bγ,{~x:±I∈I,xi-x@I≤γ和(~xi)>=D·~xi,~x@·~>}回想起~x@是H的一个内点，这意味着a=·~x@>=~>，或者等价地，~x@I>=D·~x@I,~x@·~>。因此，对于任意~x∈Bγ,我们有~xi-~x@I=D·~xi,~x·~>-~x@I，~x@·~>=D·~x@~x@I，~x@~>=D·~x@~x@I，0>因此，不难验证bγ-~x@={~∈rq:±I∈I,I≤γ和~I>=D·~I,0>}（13）回想一下~x@是H的一个内点，这意味着tata=·~x@>=~>和a+·~x@><~>因此存在γ>0，使得对于任意~x∈Bγ,我们有a=·(~x)>=~>和a+·(~x)><~>。换句话说，Bγ中的所有向量都是H中的内点。不难验证dim(Bγ)=Q-O-1=dim(H)-1,其中-1来自附加的线性约束~x·~1=~x@·~1。注意bγ只依赖于h，而不依赖于n，，或π。LetBn,~yn+√`(bγ-~x@)={~yn+√`~ut):~∈Bγ-~x@}直观地说，Bnis通过将(bγ-~x@)向上扩展到√`来定义，然后将其添加到~yn之上。这意味着在高水平上，BN由一个局部空间的内部点组成，该空间类似于以~yn为中心的手，加上一个需要~x·~1=n的附加线性约束。请注意~x`不能在Bn中。示例12（运行示例:Bγ和Bn)。

继续例11,设γ=1,我们有b={(-3x-4x-x-3x+4,2x+3x+2x-2,x，x，x，x，x):x∈[0.2,2.2],x∈[-1.2,0.8],x∈[-1,1],x∈[-1,1]}b-~x@={(-3è-4è---3+2、、、、)=[-1，1]}设n=100,我们有b=~yn+(√96-1)·(B-~x@)。在以下三个步骤中，我们证明了任意su.首先，我们证明了BN H。由于~yn∈HZn，我们有A=·(~yn)>≤~b=>，其中~b=是~b对应于A=的子向量。对于所有的~@∈Bγ-~x@，回想一下（13）中的~@i=D·~i,0>，这意味着a=·()>=~>。因此，a=·~yn+√`~㎡>=a=·(~yn)>+a=·√`~㎡>=a=·(~yn)>+a=·(~yn)>≤~b=>还要注意:~yn+√`~㎡=~yn-~x`+~x`+~x`+~x`~x@+~)+~x#因此，我们在a+·~yn+√`~>=a+·~yn+√>+A+·~x#>≤O(1)·~1+~0Ω(√`)·~>+~B+>(14)(14)是在注意到~yn-~x`∞=O(1)，~x(R)∈H,~x@+~=是一个内点inH（这意味着A+·~x@+~>≤-Ω(1)·~1),而~x#∈H。因此，当`issu_ciently大时，我们有:A+·~yn+√`~>≤~b+>这意味着~yn+√`~H，因此Bn∈H。o第二，对于任何~∈Bγ-~x@，我们有~··~yn+τ`~]，我们有1=0。因此，(~yn+√`~)·~1=n.o第三，我们证明了bn Rq≥0。回想一下~ynis O(1)远离~x`（如步骤1.1中构造的）。~x`的每个分量都是Ω(`)，因为~x*的每个分量至少>0。还注意到，对于任意的~∈Bγ-~x@，~∞=O(1)。因此，每个向量的每个分量在bnisΩ(`)-O(√`)-O(1)中，当`是su大时，该分量严格为正。definne~π=(π,...,πn)∈ns.t。E(~x~π)=PnJ=1πJ，离Bnin L∞为O(√n）。由于~x*∈Hüch(π)，根据凸/锥壳的Carath\'Eodory定理（见[36,p.257])，我们可以将~x*写成π中1≤t≤q分布的凸组合，而不考虑π的基数，这可能是有限的。形式上，设~x==pti=1αiπ=i，其中对于每一个i≤t，αi>0且ππi∈π，且pti=1αi=1。我们注意到~xπ≥·~1，因为π是严格正的(by)。我们现在定义~π∈πn，然后证明~π·~1在l∞中离`~xπ=pti=1`αiππi1=O(√n)。形式上，对于每一个i≤t-1，让~π′等于ππi的βi=b`αic拷贝的向量。设~π`kdenotete向量为βt=n-pt-1i=1βIcopies为π*t。因此，对于任意i≤t-1，βI-`αi≤1,且βT-`αt≤t+(~yn·~1-`~x＇·~1)=O(√`)=O(√n)，其中O(√n)中的常数依赖于H（因为~yn·~1-`~x＇·~1依赖于H）而不依赖于π（因为t≤q)，或n，让~π=(~π`，)。..,~π`t),或等效地~π=(π*,。..,π*{z}β,π*,。.，π*{z}β，。..,π*T,....,π*T{z}βt)得出E(~x~π)=~π·~1=pti=1βiπ*i，这意味着(~x~π)-`~x*∞=txi=1(βi-`αi)π*i∞=O(√n）回想一下~x`-`~x*=√`~x@+~x#。这意味着E(~x~π)=~π·~1离~x`inl∞也是O(√n）。回想一下Bnis中的任何向量O(√`)远离~yn，它是O(1)远离~x`。因此，~π·~1离L∞中BNN中的任何一个向量都是O(√n)，其中渐近界上的常数依赖于H而不依赖于π，或n。步骤3。BN包含Ω、NDIM(H)-1-多个整数向量。从直觉上看，这是正确的，因为bn由来自~yn的邻域的足够多的向量组成，该邻域看起来像h，带有附加的线性约束~x·~1=n。因此，在BN中，向量的组成成分可以是可视化变量，每个变量可以在一个Ω(√n)区间内取任何值，该区间包含Ω(√n)个整数。一旦Bnis中一个向量的Icomponent给定，它的Icomponent就多或少确定（见如权利要求1及其证明），更准确地说，我们将在BNI中枚举出Ω-ndim(H)-1许多整数向量，其形式为~yn+d·~i,0>，~i,其中~i∈zi≥0回想一下我们已经假定了W.L.O.G.I={1,...,o+1}和I={o+1,...,q}。设ρ是D中项的分母的最小公倍数。例如，在例5中ρ=1，因为D中的所有项都是整数。然后，我们枚举了满足以下两个条件的~i=(o+2,...,q)∈zi≥0。o条件1。

对于每一个o+2≤j≤q，ρdiffector iffector iffector ando条件2。对于每个o+2≤j≤q，j<γ√n。回想一下，γ>0是用来定义bγ的常数。条件1保证~i=D·~i,0>∈zi。条件2保证了~yn+~∈bn，当γ√n<γ√时，该条件对于任意su_ciently n成立，因为limn→∞n`=1。请注意，满足这两个条件的~@i\'s的组合的总个数至少是bγ√nρci。当n是su-ciently大以致于γ√nρ>1和γ√n<γ√时，整数向量的个数在bnis'Ani='Andim(H)-1中，其中渐近下界的常数依赖于H，而不依赖于π，或n。这证明了第3步。第4步。~x~π在BnisΩn(1-q)中为任意给定向量的概率。这是在步骤2(~π·~1离Bn为O(τn)之后，以及下面引理1，它扩展了I.I.D的点态浓度界。泊松多项式变量[66，附录中的引理4]是一般泊松多项式变量对应于严格正（但不必完全相同）分布的引理1（泊松多项式变量的逐点集中界）。对于任意q∈N,任意>0,任意α>0,存在Cq，，α>0,使得对于任意N∈N,任意（N,q)-泊松多项式随机变量~x~π,其中~π在上面，任意整数向量~x∈Zq≥0,且~x·1=nand~x-e(~x~π)∞<α√N,我们有:pr(~x~π=~x)>Cq，，α·n1-q证明。证明分三个步骤进行。在步骤(i)中，我们证明了对于一个特殊的~π，在最多使用2q型分布的情况下，证明了Lemma的存在性。这是通过分析给定>0的下列线性规划得到的，~x∈Zq≥0,~μ∈Rq≥0,且变量为~π=(π,...,πn),其中每个πj=(π,...............................................................................................................................................在步骤(ii)中，我们证明了任意一个~π的引理，它是由一个恒定数目的二次分布（每个分布在~π中可能出现多次）组成的。这可以看作是I.I.D.的逐点浓度范围的扩展。PoissonMultiomial变量[66，引理4在附录中]的PMV的常数数的二项式分布。在步骤(iii)中，我们结合步骤1和步骤2中的结果来证明这个引理。对于任意B[q]，设~πB表示分布sin~π的集合（等价地，子向量），其B-分量正好是。例13。例如，设q=5,=0.1,n=4,~π=(π,π,π,π),其中πππ=π=π=πuni(0.25,0.2,0.3,0.15,0.1)(0.2,0.4,0.15,0.15,0.1)(0.2,0.2,0.2,0.2,0.2,0.2）我们有~π=(π,π),~π{5}=(π,π),对于任何其他B[5],~πB=.通过认识，~π和SB[q]~πB包含相同的（多）分布集。关于（15）的最优解，我们有以下主张。主张2。（15）有一个最优解~π*，其中对于每一个B[q]，当~π*B6=，所有分布sin~π*都是相同的。设π表示[q]上的所有分布的集合。由于Pr(~x~π=~x)可以看作是~π中的一个多项式，因此π是紧致的，而Pr(~x~π=~x)是连续的。因此，由于极值定理，(15)有解。设~π*表示一个任意解，其在~π*中分布的概率总数的最大值等于，即~π*=(π*,...,π*n)∈arg max~π是（15）{j≤n,i≤q:πj(i)=}的解，假设为矛盾起见，该主张不成立。那么，存在B[q]，使得~π*B，至少包含两个di-everent分布。W.L.O.G.设B={q+1,...,q}，并设该分布为π*和π*,使得对于某些q*≤q,对于每个1≤i≤q*,π*(i)6=π*(i),对于每个q*+1≤i≤q,π*(i)=π*(i)。因此，q*≥2。让~π=(π,...）。

πn表示π中n个分布的任意向量（即~π可能不是（15）的解），使得对于每1≤i≤q*，π(i)6=π(i)，对于每q*+1≤i≤q，π(i)=π(i)，对于任意~ψ=(ψ,）。...,φq~*)使得~φ·~1=0且~φ∞很小，我们设~π~φ表示由~π通过将π替换为π+(~φ，~0)和将π替换为π-(~φ，~0)而得到的分布向量。例14。继续例13，我们设B={5}。那么，Q=4，qπ=3,~ρ=(ψ,φ,φ)和~π~φ=((0.25+ψ,0.2+ψ,0.3+ψ,0.15，0.1)，(0.2Ω，0.4Ω，0.15Ω，0.15,0.1）,π,π)对任意~x∈Zq≥0且~x·~1=n且任意~π,我们将证明Pr~x~π~π=~x-Pr~x~π=~x~x=xi≤q±fii(-ρi+ρi(π(i)-π(i)))+x1≤i<qéfit(-2ρiθt+ρi(π(t)-π(t))+ρt(π(i)-π(i)))(16),其中对任意1≤i≤t≤qé,Fitis对~x{π,π,i）的概率。πn}是由~x从第i个元素和第t个元素中减去1得到的向量（如果i=t，则从第i个元素中减去2）。请注意，一些fit可以是0。例15。继续例14，我们设~x=(2，1，1，0，0)。回想一下π和π是均匀分布。我们有f=，f=f=f=，和f=f=0。然后，(16)变成:pr~x~π~π=~x~pr~x~π=~x=(-ρ-0.05ρ)+(-2ρρ+0.2ρ-0.05ρ)+(-2ρρ-0.15ρ-0.05ρ)+(-2ρρ-0.15ρ+0.2ρ)，(16)用全概率定律对(π,....,πn)直方图进行证明。对于任意1≤i<t≤q*,设~ei,t∈{0,1}q表示在第i个分量和第t个分量上取1的向量，而在其他分量上取0的向量。对于任意1≤i≤q*,让~ei∈{0,2}qdenote向量在第i个分量上取2，在其他分量上取0。根据总概率理论，我们得到:pr~x~π=~x=x1≤i≤t≤q^pr~x(π，…，πn)=~x-~eit×pr x(π，π)=~eit~x(π，…，πn)=~x-~eit=x1≤i≤t≤q^fit×pr x(π，π)=~eit~x(π，π)=~x-~eit=x1≤i≤t≤q^fit×pr x(π，π)=~x-~eit=x1≤i≤t≤q^fit×pr x(π，π)=~x-~eit=x1≤i≤t≤q^fit×pr x(π，π)=~eit，因为n对于pr~x~π~ρ=~x可以得到一个类似的公式。即Pr~X~π~ψ=~X=x1≤i≤t≤qéfit×Pr X(π+(~ψ,~0),π-(~ψ,~0))=~eit,因此Pr~X~π~π=~x-pr~X~π=~X=x1≤i≤t≤qéfit×hpr(X(π+(~ψ,~0),π-(~ψ,~0))=~eit)-Pr(X(π,π)=~eit)i(17),当i=t和i<t时，我们分别计算了pr x(π+(~ψ,~0),π-(~ψ,~0))=~eit-pr x(π,π)=~eit。o当i=t时，我们有:pr x(π+(~ψ,~0),π-(~ψ,~0))=~ei-pr~x(π,π)=(π(i)+ρi)(π(i)-ψi)-π(i)π(i)=ρi+ψi(π(i)-π(i))(18)o当1≤i<t≤q*时，我们有:prx(π+(~ψ,~0),π-(~ψ,~0))=~ei-pr~x(π,π)=[(π(i)+ψi)(π(t)-ψt)+(π(t)+π(t)π(i)]=-2φiφt+ρi(π(t)-π(t))(19)(16)。为了方便起见，我们将（16）改写成矩阵形式。对于任意1≤i<t≤q*,设fti=Fitandlet F=(Fit)q^×q*表示q^×q*对称矩阵。~δ=(π(1)-π(1),...,π(q^)-π(q^))。根据对q*的认识，~δ的任何分量都不为0。用矩阵表示法，(16)变为pr~x~π~ρ=~x-pr~x~π=~x=-~ρ·F·~ρ>+~ρ·F·~δ>(20)例16。继续例15，我们有F=和~δ=(-0.05，0.2，-0.15)。设A表示(q*-1)×q*矩阵1-1......1-1和~ψ=(ψ,...,ψq*-1)。回想一下~ρ·~1=0，我们有ρqπ=-ρ-···-ρqπ-1，这意味着~ρ=~ρ·A。因为π和π是概率分布，所以我们有~δ·~1=~0，这意味着δqπ=-δ-···-δqπ-1。因此，设~δ=(π(1)-π(1),...,π(q＇-1)-π(q＇-1))，我们有~δ=~δ·a。设F=A·F·(A)>。然后，(20)变为:Pr~x~π~ρ=~x-Pr~x~π=~x=-~ρ·F·~ρ>+~ρ·F·~δ>(21)例17。继续示例16，我们有A=1 0-10 1-1,f=----和~δ=（-0.05,0.2）。因此，f·~δ>=-和（21）变成:pr~x~π~ρ=~x-pr~x~π=~x=-[ψ,ρ]·-§-§·ψ+[ψ,ρ]·-注意，f依赖于~x和~π。接下来，我们考虑~π*的情况，我们记得它是（15）的最优解，并且q*是基于~π*而定义的。我们将证明F·~δ>=~>，其中F是对应于~x和~π*的矩阵。

为了矛盾起见，假设这不是真的。W.L.O.G.假定f·~δ>的f_rst分量为非零。然后，通过设φ=···=ψqπ-1=0，对于某些常数A和B，当b6=0时，(21)变成了φ+B，b6=0的存在，使得（21）严格地小于零。这与~π*是（15）的最优解的假设相矛盾。下面的例子说明了当f·~δ>6=~>时，如何选择~ρ，从而得到另一个目标值较小的可行解。注意在这个例子中~x不是（15）的最优解。继续例17，请注意f·~δ>的f_rst分量是非零，因此，设φ=0，我们得到pr~x~π~φ=~x-pr~x~π=~x=ρ-ρ=0.05，这意味着φ=-0.05。因此，对于任意γ∈R，如果设~π=γ~δ，则（21）为零，这意味着如果~π*γ~δ严格为正，则它也是（15）的最优解。回想一下~δ的所有成分都是非零的。因此，我们可以从γ=0开始，逐步增加γ的值，直到π*+(γ~δ，~0)或π*-(γ~δ，~0)中的q*分量的任意一个变成。然后，不难证明~π*γ~δ是（15）的最优解，其严格概率大于等于，这与~π*在（15）的最优解中包含最大概率等于的假设相矛盾，从而得出权利要求2的证明。步骤(ii)。我们证明了Lema的以下特例。权利要求3。对于任意>0，α>0，q∈N和q∈N,存在常数Cq，，α，q，N,即对于[q]上的任意q分布集πq，任意~π∈πnq,任意整数向量~x∈Zq≥0,且~x·1=N和~x-e(~x~π)∞<α√N,我们证明了~x~π=~x>Cq，，α,q·n1-q。因为πQ=Q，所以存在在~π中至少出现dnQe次的π*∈πQ。letn=dnQe,let~x表示(n，q)-PMV对应于(π*,...,π*{z}n）。让~x表示(n-n，q)-PMV，它对应于~π中的其余分布。回想一下~π中的每个分布都是严格正的。由Hoe-ding不等式，设α=(1-)log(4q),对于每个i≤q，Wehavepr[~x]i-[E(~x)]i>α√n-n≤2q.因此，在并界下，我们有:Pr~x-e(~x)∞>α√n-n≤，注意~x和~x是独立的。现在我们可以通过总概率定律计算Pr~x~π=~x，通过枚举~x表示的~x的目标值如下:Pr~x~π=~x(22)=x~x∈Zq≥0:~x·~1=n-npr~x=~x-~x~x=~x·pr~x=~x(~x和~x无关）=x~x∈Zq≥0:~x·~1=n-npr~x=~x-~x·pr~x=~x(~x)∞≤α)在应用I.I.D.的点状浓度界限后，则为：~x·~1=n-n，~x=~x-x·pr~x=~x=x~x∈Zq≥0:~x·~1=n-n，且~x-e(~x)∞≤α√n-nΩn1àq·pr~x=~x(23)=Ωn1àq·pr~xàE(~x)∞≤α√n-n=Ωn1àq(23)。泊松多项式变量[66，引理4在附录中]按以下方式进行。回想一下E(~x~π)=E(~x)+E(~x)，~x-E(~x~π)∞<α√n和~x-E(~x)∞≤α√n。我们有:~x-e(~x)∞=~x-e(~x)-(~x-e(~x))∞=α√n+≤α√n-n≤(αQ+α(q-1))√这就完成了权利要求3的证明。步骤(iii)。根据权利要求2,在[q]上存在一个n个分布的向量~π*,每个分布都在上面,使得(i)Pr(~x~π=~x)≥Pr(~x~π=~x)和E(~x~π)=E(~x~π*),(ii)~π*由不超过q=2个与[q]的子集相对应的qdi分布组成。注意~π*可能不在πn中。在用~π=~π*应用权利要求3之后，引理1如下。步骤5。最后的计算。最后，结合第3步和第4步，我们得到:Pr~x~π∈H≥Pr~x~π∈Bn≥Bn×min~x∈BNPr~x~π=~x≥Ωndim(H)-1×Ωn(1-q)=Ωn-o，其中渐近界中的常数依赖于H（因此也依赖于q)，而不依赖于π或n的其他部分。