大型选举打成平手的可能性有多大？

作为一个值得注意的特例，当π包含单个分布π时，该定理的上、下部分重合，并且该定理刻画了I.I.D.的pmv-in-polydedrone问题。主要的限制是，渐近界中的常数依赖于q，π和H，并假定它们是可修正的；第二，π必须严格为正。然而，我们相信，至少在社会选择的情况下，这两个限制是温和的，因为正如在下一节以及在[66]中可以看到的那样，定理1的应用（或者更确切地说，在3.1节中定理2中它对多个多面体的单位的推广）回答了在amore一般现实模型下的社会选择中的开放问题，而不是IC。此外，如文[66]所述，许多经典模型，如马洛模型和随机实用模型，都是严格实证的。与文[66，引理1]比较的注记。为了便于参考，我们将[66，引理1]的一个等价且简单的版本作为下面的引理*。引理*([66，引理1])。设H={~x∈RQ:E·(~x)>=~>和S·(~x)><~>}，其中E、S为整数矩阵，E·~>=~>和S·~>=~>。那么，sup~π∈πnpr~x~π∈H为0,exp(Ω(n))，或O（n-秩(E)/2)，我们认为我们的定理1是引理*在以下三个方面的非平凡的有意义的改进。首先，定理1对任意多面体H=~x:A·(~x)>≤~b>具有任意整数矩阵A起作用，而引理*要求A·~>=~>，并且本质上要求~b中的元素为0或-1，它们分别对应于引理*中的E部分和S部分。第二，定理1提供了渐近紧的界，而引理*只要求这些界对n个n′是渐近紧的。第三，定理1刻画了最小敌手的光滑似然性，而引理*只对最大敌手起作用。定理1的最小敌手部分的证明与最大敌手部分的证明是相似的，这是由于改进的技巧和引理（附录中的引理1和引理2）。没有它们，我们就看不到将引理*推广到最小对抗性的简单方法。证明可以在附录A.1中找到，在附录a.1.1中给出了证明简图，在附录a.1.2.3.1中给出了定理1对多面体并集的充分证明。在本小节中，我们给出了定理1对I∈N多面体并集的推广，其表示为C=si≤ihi，其中hi={~x∈Rq:ai·(~x)>≤~bi>}且ai是q列的整数矩阵。我们将PMV-in-C问题定义为PMV-in-C问题（定义4）类似于pmv-in-Polydrode问题（定义6）,只不过H被C替换为c-definition 6（定义PMV-in-C问题）。给定q,I∈N,C=si≤iHi,其中πI≤I,hi Rq是一个多面体，且[q]上有一个分布集合π，我们感兴趣的是上界sup~π∈npr(~x~π∈C)和下界inf~π∈npr(~x~π∈C)对于每个pmv~x~π，关键观察是以下直截了当的不等式:maxi≤ipr~x~π∈Hi≤pr~x~π∈C≤xi≤ipr~x~π∈Hi(6)见图2关于I=3的说明。请注意，(6)的右边不是thanI·maxi≤ipr(~x~π∈Hi)，而是thanI·maxi≤ipr(~x~π∈Hi)，因为I是一个常数。扩展背后的高层思想是基于一个加权完全二分激活图，它根据定理1表示CH(π)与C中多面体之间的关系。设Hi,60表示Hi的特征锥。≤Pr（！#∈)≤Pr(∈)+Pr(利于）+Pr(利于）Pr(利于）,Pr(利于）,Pr(利于）,Pr(利于）,Pr(利于）max 3 1 3 1 2 2 3 1 2 2图2：不等式（6）的图解，其中C=HüHüH。定义7（激活图Gπ，C,n）。对于[q]上的任意一组分布π,任意C=Sii=1Hi,任意n∈n,如果HZi,n6=é,则称Hiis（在n处）是有效的；否则Hiis被称为beinactive（在n处）。此外，我们将激活图Gπ,C,nas定义为。o顶点。顶点为CH(π)和{hi:1≤i≤i}。o边和权。

在每个π∈CH(π)和每个Hi之间存在一条边，其权重为(π，Hi)，-∞如果Hi在n-nlog处不活动，如果π/∈Hi,60dim(Hi,60）另一个，例如，在图3中，他在n处不活动，而两只手都是活动的，π∈H1,60TMH2,60和π/∈H3,60。注意(π，H)上的权重是dim(H2,60）而不是dim(H)。“conv(π)…-∞dim(+,-.）activeinactiveactive+0-12341+,-.0,-.”，-.0-。图3：激活图Gπ，C，n的说明。直观地说，定理1的0,指数和多项式情况（应用于π={π}）分别对应于-∞边、-nlog内奇和dim(Hi，60)边。即对于任意~π∈πn，pnj=1πj=n·π,Pr(~x~π∈Hi)大致为激活图中π与Hii之间的权重的幂，即nwn(π,Hi）。因此，根据（6）,Pr(~x~π∈C)主要由激活图中与π相连的所有边的最大权值wn(π,Hi）决定。正式规定如下。规定8（活动尺寸）。给定C，n和π∈Rq，我们求出C在π和n处的最大活动维数（简称π处的活动维数，当C和n从上下文中清楚时），用dimmaxC,n(π)表示如下。dimmaxC,n(π),maxi≤iwn(π,Hi）这是使用-nlog n的原因。如果-nlog被任何一个负数替换，定理2仍然成立。因此，一个max-（分别，最小）敌手的目的是选择~π=(π,...,πn)∈πntomaximize（分别，最小化）dimmaxC,n(npnj=1πj)，它们的特征是αn(分别，βn)定义如下。αn，maxπ∈CH(π)dimmaxC,n(π)βn，minπ∈CH(π)dimmaxC,n(π)βn，αn，βn依赖于π和C，这在上下文中往往是清楚的。另外，需要说明的是，αn=-∞等效于β=-∞,后者等效于czn=é。我们现在准备用αn和βn来给出定理1对PMV-in-C问题的推广。定理2（PMV-in-C的平滑似然）。给定[q]上的任意q，I∈N，任意闭正态和严格正态π，且任意C=Si∈Ihicharaceter，对于任意N∈N，sup~π∈πnpr~xπ∈C=0如果αN=-∞exp(-θ(N))如果-∞<αN<0θNαn-q否则（即αN>0)，如果βN=-∞exp(-θ(N))如果-∞<βN<0θNβn-q否则（即βN>0)，如果βN=-∞exp(-θ(N))，如果βN=-∞exp(-θ(N))，粗略地说，最大-（分别是最小-）光滑一个(N，q)-PMV在C中的ED似然约为Nαn-q（分别为Nβn-q)。这个证明是将定理1到π的应用和每一个Hi结合起来进行的，可以在附录A.2中找到。关于定理2的应用的注释。我们相信定理2是研究社会选择中许多事件和性质的平滑似然性的一个有用的和通用的工具，如[66]和本文其余部分所示。与定理1一样，定理2的威力在于它提供了一种系统的方法，将概率分析简化为最坏情况和非概率分析，即αn和βn的特征。然而，刻画αN，βN仍然是一个挑战，这相当于刻画活跃的Hi、Hi、60和dim(Hi，60),正如我们将在下一节中看到的。4平顺似然性在本节中，我们应用定理2在一些通常研究的投票规则下提供平顺似然性的二分刻画（定义2）。4.1整数位置计分规则我们将定理2应用于与例1相似的多面体，得到整数位置计分规则的以下定理。定理3（平顺似然性：整数位置计分规则）。对于任意M≥3，设M=(θ,L(A),π)为严格正闭的单代理偏好模型，且设~s为整数得分向量。对于任意2≤k≤m和任意n∈n,gtiemaxπ(R~s,k,n)=0,如果插P∈L(A)n,r~s(P)6=kexp(-θ(n)),如果插P∈L(A)n,r~s(π)<kθ(n-k-1),否则gtiemaxπ(R~s,k,n)=0,如果插P∈L(A)n,r~s(P)6=kexp(-θ(n)),否则gtiemaxπ(R~s,k,n)=0,如果插P∈L(A)n,r~s(P)6=kexp(-θ(n)s.t,则gtiemaxπ(R~s,k,n)=0。

R~s(π)<kθ(n-k-1)。以定理2中关系的最大光滑似然为例。和定理1一样，0情况下的假设是微不足道的。假设0情形不发生，如果π的凸包中的分布（视为分数）在R~s下至少没有k个赢家，则指数情形发生。否则，多项式的情况发生。即在R~s下存在一个n-pro-p，并且存在至少有k个winner的π∈CH(π)。请注意，这种P的存在（依赖于n，而不是π)并不意味着这种π的存在（依赖于π，而不是n)，反之亦然。当均匀分布πuniisin CH(π)时，由于r~s(πuni)=A和A=m≥k，我们立即得到定理3的以下推论，这意味着不发生指数情形。注意，推论不需要πuni∈π.corrollary 1（最大平局平滑似然：位置计分规则）。对于任意参数M≥3，设M=(θ,L(A)，π)是一个严格正闭的单主体偏好模型，且πuni∈CH(π)。对于任何整数计分向量~s和任何k≤m,对于任何n∈n,gtiemaxπ(r~s,k,n)=(0如果P∈L(A)n,r~s(P)6=kθ(n-k-1)。例如，当r是复数规则，k=m和m-n时，0.如文[66]所述，πuni∈CH(π)是一个自然的假设，对于许多单agentpreference模型也是成立的。4.2基于边序的规则由于在K-维关系的多面体表示中难以刻画有效的Hi、Hi、60和dim(Hi、60)而使基于边序的规则的刻画变得更加复杂。在WMG W.R.T.中，我们引入了必要的符号来正式定义基于边顺序的规则，该规则的获胜者只依赖于所有边的顺序。它们的权重，称为回文顺序。第9条（回文顺序）。E={（A,b)∈A×A:A6=b}是回文的，如果对于E中的任一对边（A,b）,（c,d）,（A,b）O（c,d）当且仅当（d,c）O（b,A）,其中E是严格排在ein O之上的E,而E和EE是绑定在O上的E。设E上所有回文序的集合。对于A上任何有权有向图G{w(A,b):A6=b}使得w(A,b)=-w(b,A）,设EO(G)∈O是回文序w.R.T。权重的递减顺序。对于任意的P，设EO(P)=EO(WMG(P))。在本文中，我们经常使用回文序的层表示，它将Edgest划分为等价类（层）。第10条（回文序的层表示和重新定义）。将任何回文序O∈OAcan划分为层:O=t···TT t TT+1···T2t,其中对于每1≤i≤t,Tiare中的边被绑定,T2t+1-IL中的边被绑定,T2t+1-IL中的边通过对TI中的边进行翻转得到。Tis称为中间层，它由所有边e组成，其中eo e，e表示被削弱的e。只允许是空的。设关系式(O)=pti=1(Ti-1)+t/2。若对所有元素对（e,e）,e Oe蕴涵e Oe。例3。图4展示了一个profielle P、它的WMG和它相应的回文顺序的示例。在图4(b)中，只显示了具有正权重的边。{1 2 3,1 3 2}1322 2{（1,2）,（1,3）}{z}T{（2,3）,（3,2）}{z}T{（2,1）,（3,1）}{z}T(a)。(b)WMG(P)。(c)EO(P)。图4：一个实例，它的WMG和它的回文顺序。让O={（1,2）}{z}t{（1,3）}{z}t{（2,3）,（3,2）}{z}t{（3,1）}{z}t{（2,1）}{z}t我们有TIE(EO(P))=3,TIE(O)=1和O refoundnes EO(P)。我们现在准备使用回文顺序正式地定义基于边缘顺序的规则。定义11（基于边缘顺序的规则）。

一个投票规则r是基于边序的，如果前一对po,Pwith EO(P)=EO(P)，我们有r(P)=r(P)。许多基于WMG的规则，如Copeland、Maximin、Schulze和排序对，都是基于边序的。任何基于边序的规则r的定义域都可以自然地扩展到回文序。当将定理2应用于基于边序的规则时，C中的每个多面体都被索引为具有k个共赢者的回文序O，使得HZi，n对应于边序为O的n个边序的直方图。我们现在对从n个边序中得到的回文序进行定义和刻画。对于任意n∈n，设OnA,{EO(P):P∈L(A)n}。设OA是中间层为空的回文序O的集合。命题1。对于任意A和任意n≥m,ONA=OAIF2 NOAIF2-n。命题1的证明委托给附录C.1。其次，我们将OπR,k,nas定义为满足三个条件的回文序O的集合:(1)O∈ONA；（2）在r下O中有kwinners；（3）O refiren EO(π),其中π被看作是一个小数。Letoπr,k,n,sπ∈CH(π)Oπr,k,n。当Oπr,k,n6=θ时，我们用`表示Oπr,k,n中回文序的最小连系数。当Oπr,k,n6=θ时，我们设`Mmdm表示最大条数，其中对所有π∈CH(π)取最大条数，对任一给定π取最小条数，对Oπr,k,n中所有回文阶取最小条数。我们注意到\'minand\'依赖于π，r，k和n，它们是从上下文中分离出来的。正式规定见附录C.2。事实上，\'Minand\'mm对应于M！-αNAND M！定理2。我们现在准备给出基于EO的规则的定理。定理4（关系的平滑似然性：基于边序的规则）。对于任意m≥3，设m=(θ,L(A),π)是严格正闭的单主体偏好模型，设r是基于边序的规则。对于任意2≤k≤m和任意n∈n,gtiemaxπ(r,k,n)=0,如果pulf O∈OnA,则r(O)6=kexp(-θ(n)),否则如果Oπr,k,n=θn-`min,则gtiemaxπ(r,k,n)=0,如果pulf O∈OnA,则r(O)6=kexp(-θ(n)),否则如果pulf O∈OnA,则r(O)6=kexp(-θ(n))。Oπr,k,n='Aθn-`mm,另一个证明可在附录C.3中找到。在本节的其余部分中，我们应用定理4给出了推论1中模型在Copelandα、maximin、Schulze和秩对下的最大光滑似然的二分刻划，其中包括作为特例的IC。命题2（环的最大光滑似然:Copelandα)。对于任意m≥3,letM=(θ,L(A)，π)是一个严格正闭的单主体偏好模型，且πuni∈CH(π),设Lα=min{t∈N:tα∈Z}。对于任意2≤k≤m且任意n∈n,Gtiemaxπ(CDα,k,n)=0如果2-n,2 k,和k≥m-1θ(n-k)如果2 n,2 k,和(1)k=m，或(2)k=m-1和α≥，或(3)k=m-1和k≤lα(Lα+1)θn-lα(Lα+1)如果2 n,2 k,k=m-1,α<和k>lα(Lα+1)θ(1)否则（即如果2-k或k≤m-2)，则θ(1)情况最典型，当k为奇数或k≤m-2时发生。θ(n-Lα(Lα+1))的情况似乎最有趣，因为它的度取决于最小的自然数Lα，因此αLα是一个整数。例如，对于任何无理数α来说，L=1，L1/3=3，L2/5=5和Lα=∞（这意味着当ek<∞=Lα(Lα+1)时，不发生θ(n-Lα(Lα+1))情况）。虽然θ(1)情形可以用标准中心极限定理和并界来证明，但我们不知道以前有关于它的工作。标准技术对于其他情况来说太粗糙了。命题3（最大平滑的联系可能性：maximin）。对于任意m≥3,letM=(θ,L(A)，π)是一个严格正闭的单主体偏好模型，且πuni∈CH(π),对于任意2≤k≤m且任意n∈n,gtiemaxπ(MM,k,n)=θ(n-k-1),命题4（关系的最大平滑似然：Schulze）。对于任意m≥3，设m=(θ,L(A)，π)是一个严格正闭的单主体偏好模型，且πuni∈CH(π)。对于任意2≤k≤m且任意n∈n，Gtiemaxπ(Sch,k,n)=θ(n-k-1)。命题5（关系的最大光滑似然：秩对）。

对于任意m≥3,letM=(θ,L(A),π)是一个严格正闭的单主体偏好模型，且πuni∈CH(π),对于任意2≤k≤m且任意n∈n,Ω(n-k-1)≤gtiemaxπ(RP,k,n)≤n-Ω（log klog log k）。此外，当m≥k+5dlog ke时，GTiemaxπ(RP,k,n)=Ω(n-dlog ke）。当k=2时，我们得到了AXπ(RP,2,n)=θ(n-0.5).命题2、3、4和5的证明简图。对于本文所研究的任何基于EO的规则r,对于任意大的n,都可以用命题1来证明0的条件。如果0情形不发生，那么指数情形也不发生，因为对于r(O)=k的任何O∈OnAsuch，O扩展EO(πuni)，这是只有中间层T的回文序。这也意味着对于每π∈CH(π)，我们有Oπr，k，nOπunir，k，n。因此，`mini是在πuni上实现的。因此，大量的证明集中在用r(O)=K的最小数目的铁质来刻画O∈ONA。这可能比它看起来更复杂，例如，当2-和α不是0或1时，排列对和Copelandα。特别地，对于排序对，我们只能得到（非紧的）上下界。命题2、3、4和5的充分证明分别见于附录C.4、C.5、C.6和C.7。24.3 STV和Coombs定理5（关系的平滑似然性：STV和Coombs）。对于任意m≥3,设r∈STV,Coombs},且m=(θ,L(A),π)为严格正闭单代理偏好模型。对于任意2≤k≤m和n∈n,gtiemaxπ(r，k，n)（分别为gtieminπ(r~s，k，n))为0,exp(-θ(n))或θ(poly(n))。该定理的形式陈述和证明委托给附录D。为了准确地刻画多项式情况下的次，我们引入PUT结构（definition21）作为回文序的对应物来定义和分析活动多面体及其特征锥的维数。有关其正式定义和一个示例，请参见附录D。与第4.2节一样，该定理可用于刻画分布π的最大光滑似然性，其中πuni∈CH(π)，如下命题所示。命题6（关系的最大光滑似然性：STV和Coombs）。对于任意m≥3,设r∈{STV,Coombs},且设m=(θ,L(A)，π)是一个严格正闭的单代理偏好模型，且πuni∈CH(π)。对于任意2≤k≤m且任意n∈n,如果(1)m≥4,或(2)m=3且k=2,或(3)m=k=3且(2n、3n)0,否则（即m=k=3,2-n,3-n),则Gtiemaxπ(r,k,n)=θ(n-k-1)为证明命题，我们证明了STV和Coombs（引理3）刻划活动多面体的McGarvey[42]型结果。5实验研究在Borda、Multiume、veto、maximin、排列对、Schulze、Copeland0.5、STV、Coombs等条件下，我们使用模拟数据和pre-viliibdata[41]检验了具有两个或多个方式联系的profires的分数。所有的实验都是在Python 3中实现的，并且是在一台带有3.1GHz Intel Core i7 CPU和16 GB内存的MacOS笔记本电脑上进行的。我们在IC下产生了M=4个备选方案。n从20到200不等。在每一个设置中，我们生成100000个实例，在合成数据上进行实验的目的是为本文的理论结果提供一个健全的检验。为了清晰起见，我们在图5中给出了Borda、STV、maximin、rankedpairs和Copeland0.5的结果。上述所有投票规则的结果可以在附录E中的图15中找到。图5在IC下的推论1和命题2、3、5和6如导言中所讨论的：任意方式平局的概率为θ(1)，对于共价为0.5，对于其他规则为θ(√n)。图5：在IC下平局的比例。pree pomib数据。

由于STV和Resked对的PUT版本是NP难计算的[13,7]，我们使用了STV和Resked对的基于AI搜索的实现[62]，并计算了Pree Commib的选举数据处理下的严格顺序完全列表(SOC)中307个profections的分数[41]，结果总结在下面的表2中。我们强调，这些观察结果仅来自总统选举前的数据，不应被解释为总统选举中打成平手的可能性的一般性结论。表2：在总统选举前数据中打成平手的百分比呈弱增长顺序。Borda copeland0.5multium Maximin Schulze排名对STV Coombs VetoTies 1.6%2.6%4.6%6.8%6.8%7.5%10.4%31.3%表2显示，在Borda下打成平手的频率最低（占选举前的1.6%），这与图5中对合成数据的实验一致。两个有趣的观察结果是：在0.5（2.6%）以下，领带很少；其次，在否决下经常出现联系(31.3%)，这主要发生在替代方案的数量大于选民的数量时--在某种情况下，选举被保证在否决下是联系的。这两个观察结果与图5相当吻合，这可能是因为现实生活中的偏好数据可以从IC中得到显著的吻合，正如文献[34]6所广泛承认的那样。未来工作我们看到未来工作的三个直接方向。首先，在技术上，我们如何改进更一般的模型，特别是通过放弃π的严格性假设？第二，我们如何将研究扩展至其他与投票有关的事件，例如投票规则的稳定性和边缘化，以及更一般的其他议题，如多赢者选举、判断聚合、配对和资源分配？第三，平滑的复杂度是什么？Pre ComeIb提到，这一类别可以被解释为选举数据，尽管不是所有的数据都来自现实生活中的选举。参见附录E中的一些统计数据。我们在[62]中使用了相同的数据集，其中PUT排名对可以在一小时内完成。在投票的各种计算方面[4]，如获胜者的确定[68]、操纵、贿赂和控制？7感谢鲁珀特·弗里曼、韩启申、刘奥、马库斯·皮瓦托、阮锡凯、罗希特·瓦伊什、郑伟强、比尔·茨威克、COMSOC视频研讨会的与会者和匿名评论者提供有益的评论。这项工作得到了NSF#1453542、ONR#N00014-17-1-2621和GoogleGiftFund的支持。1996年。信息聚合、理性与Condorcet陪审团定理。《美国政治科学评论》90,1（1996）,34-45.[2]Haris Aziz,Serge Gaspers,Nicholas Mattei,Nina Narodytska和Toby Walsh。2013年。平局：当随机投票打破平局时操纵的复杂性。在IJCAI的进程中。[3]约翰·F·班扎夫三世。1968年。一个人，3.312票：对选举学院的数学分析。Villanova Law Review 13,2（1968）,第3条。[4]Dorothea Baumeister,Tobias Hogrebe和Jéorg Rothe。2020年。走向现实：计算社会选择中的平滑分析。在AAMAS的诉讼中。1691-1695.纳撒尼尔·贝克。1975年。关于并列选举概率的注记。公共选择23,1（1975）,75-79。2005年。Rd中的一个Lyapunov型界。概率论及其应用49,2（2005）,311-323。[7]Markus Brill和Felix Fischer。2012年。排名对方法中立的代价。载于全国艺术情报会议论文集(AAAI)。加拿大多伦多，1299-1305年。1974年。黑格尔论投票的微积分。《公共选择》11(1974)，99-101[9]诺埃尔·坎贝尔和马库斯·威彻。2015年。政治企业家精神：杰奎尔森，贝亚德，和1800年的选举。《创业与公共政策杂志》第4,3（2015）,298-312.[10]加里·张伯伦和迈克尔·罗斯柴尔德。1981年。关于投得票概率的注记。

《经济理论杂志》第25,1（1981）,152-162页。[11]Christine Chung,Katrina Ligett,Kirk Pruhs和Aaron Roth。2008年。随机混乱的代价。在算法博弈论国际研讨会上。[12]孔多塞侯爵。1785年。应用程序的分析是一种可能性，也是一种可能性，也是一种普遍存在的可能性。巴黎:L\'Imprimerie Royale。[13]文森特·科尼策，马修·罗尼利，夏立荣。2009年。偏好函数与最大似然估计。第二十一届国际艺术情报联合会议录。美国加利福尼亚州帕萨迪纳，109-115.文森特·科尼策和托比·沃尔什。2016年。操纵投票的障碍。Felix Brandt,Vincent Conitzer,Ulle Endriss,J\'er Ome Lang,andAriel Procaccia（编辑）。剑桥大学出版社，第6章。[15]威廉·库克，阿尔贝图斯·M·H·杰拉德，亚历山大·施里耶弗，伊娃·塔多斯。1986年。整数线性规划中的灵敏度定理。数学规划34,3（1986）,251-264。[16]Constantinos Daskalakis,Anindya De,Gautam Kamat和Christos Tzamos。2016年。泊松多项式的SizeFree CLT及其应用。在STOC论文集上。1074-1086.[17]Ilias Diakonikolas，Daniel Mertz Kane和Alistair Stewart。2016年。泊松多项式分布的fourier变换及其算法应用。载于《史记》1060-1073。[18]西里尔·多姆。1960年。晶体中合作现象的理论。物理学进展9,34（1960）,149-244。[19]安东尼·唐斯。1957年。民主的经济理论。纽约：Harper&Row。[20]Piotr Faliszewski和Jéorg Rothe。2016年。在投票中的控制和贿赂。在计算社会选择手册中。剑桥大学出版社，第7章。[21]蒂莫西·费德森和沃方·佩森多弗。1996年。摇摆选民的诅咒。《美国经济评论》86（1996）,408-424.[22]Rupert Freeman,Markus Brill,Vincent Conitzer。2015年。计算社会选择的一般破局图式。在2015年自治代理和多代理系统国际会议论文集中。1401-1409。[23]Ehud Friedgut，Gil Kalai，Nathan Keller和Noam Nisan。2011年。三个选择的吉伯德-萨特思韦特定理的定量版本。暹罗·J·康普特。40，3(2011)，934-952.[24]安德鲁·盖尔曼，加里·金，和约翰·博斯卡丁。1998年。估计从未发生的事件的概率：你的投票何时起决定性作用？J.Amer。统计员。阿索克。93（1998）,1-9.[25]Andrew Gelman,Nate Silver,和Aaron Edlin。2012年。你的投票有多大可能会让一个DI变得更好？《经济调查》50,2（2012）,321-326.[26]Allan Gibbard。1973年。操纵投票方案：一个普遍结果。《经济计量学》41(1973)，587-601。[27]拉斐尔·吉列特。1977年。集体犹豫不决。行为科学22,6（1977）,383-390。[28]拉斐尔·吉列特。1980年。在多数派、孔多塞和博尔达投票程序下出现模棱两可结果的相对可能性。公共选择35,4（1980）,483-491。[29]Good和Lawrence S.Mayer。1975年。估计投票的可能性。行为科学20,1（1975）,25-33。1956年。关于独立审判成功次数的分布。数理统计年鉴27,3（1956）,713-721。1963年。有界随机变量和的概率不等式。J.Amer。统计员。阿索克。58,301（1963）,13-30.[32]黄丽沙，滕尚华。2007年。关于Leontief市场均衡的逼近和平滑复杂度。在一汽院刊中。[33]Michel Le Breton,Dominique Lepelley和Hatem Smaoui。2016年。相关性，分割性和在多数规则下投决定性一票的概率。Journal of MathematicalEconomics 64（2016）,11-22.[34]Aki Lehtinen和Jaakko Kuorikoski.2007年。理性选择理论中的不切实际的假设。

社会科学哲学37,2（2007）,115-138.[35]刘敖，路云，夏立荣，瓦西里斯·齐卡斯。2020年。你的投票有多私密？。在WADE-18研讨会上发言。在UAI论文集[36]L.Lov\'Asz和M.D.普卢默。2009年。匹配理论。北荷兰；爱思唯尔科学出版社；Thomas R.Magrino,Ronald L.Rivest,Emily Shen,David Wagner。2011年。计算IRV选举的胜利。在2011年EVT/WOTE会议记录中。[38]蒂埃里·马尔尚。2001年。与评分方法联系的概率：一些结果。社会选择与福利18,4（2001）,709-735.[39]霍华德·马戈利斯。1977年。平局选举的可能性。公共选择31（1977）,135-138。[40]尼古拉斯·马泰，尼娜·纳罗迪茨卡，托比·沃尔什。2014年。通过断绝关系来控制选举有多难？。《第二十届欧洲智能艺术会议论文集》。1067-1068。[41]尼古拉斯·马提和托比·沃尔什。2013年。Preflib：偏好数据的库。《第三届算法决策理论国际会议进程》(《智能艺术》课堂讲稿）[42]大卫·C·麦加维（David C.McGarvey）。1953年。关于投票悖论构造的一个定理。Econometrica21,4（1953）,608-610。[43]Iain McLean和Fiona Hewitt（编辑）。1994年。孔多塞：社会选择和政治理论的基础。爱德华·埃尔加出版社[44]卡尔·D·迈耶。2000年。矩阵分析和应用线性代数。45 Elchanan Mossel、Ariel D.Procaccia和Miklos Z.Racz。2013年。从无能为力到绝对权力的平稳过渡。《艺术情报研究杂志》48,1（2013）,923-951.[46]Elchanan Mossel和Miklos Z.Racz.2015年。一个没有中立性的定量Gibbard-Satterthwaite定理。Combinatorica 35,3（2015）,317-387.[47]Casey B.Mulligan和Charles G.Hunter。2003年。关键投票的经验频率，《公共选择》116,1/2（2003）,31-54。2000年。大型泊松游戏。《经济理论学报》84(2000)，7-45。[49]马特阿斯·内兹和马库斯·皮瓦托。2019年。揭示真相的大人口投票规则。游戏和经济行为113（2019）,285-305。[50]斯维特拉娜·奥布拉兹佐娃和伊迪丝·埃尔金德。2011年。随机打破平局下投票操纵的复杂性。载于第二十二届国际艺术情报联合会议论文集(IJCAI)。巴塞罗那，加泰罗尼亚，西班牙，319-324。[51]斯维特拉娜·奥布拉兹佐娃，伊迪丝·埃尔金德，诺姆·哈松。2011年。关系很重要：重新审视投票操纵的复杂性。第十届国际自治Agent和多Agent系统联合会议论文集(AAMAS)。台北，台湾，71-78。[52]Svetlana Obraztsova,Yair Zick和Edith Elkind。2013年。基于计分规则的多赢选举操纵研究。在AAMAS的诉讼中。[53]Ariel D.Procaccia和Je2007年。军政府的分配和操纵选举的平均情况。艺术情报研究杂志(JAIR)28(2007)，157-181。[54]Martin Raiéc.2019年。一个具有显式常数的多元Berry-Esseen定理。Bernoulli25,4A（2019）,2824-2853.[55]William H.Riker和Peter C.Ordeshook。1968年。投票的微积分理论。《美国政治科学评论》62,1（1968）,25-42.Mark Satterthwaite。1975年。策略证明性和阿罗条件：投票程序和社会福利函数的存在性和对应定理。《经济理论杂志》10(1975)，187-217。[57]亚历山大·施里耶弗。1998年。线性和整数规划理论。威利。[58]马库斯·舒尔茨。2011年。一种新的单调、克隆无关、反向对称和Condorcet一致的单赢家选举方法。《社会选择与福利》36，2(2011)，267-303。[59]丹尼尔·A·斯皮尔曼，滕尚华。2009年。平滑分析：在实践中解释算法行为的尝试。Commun.

ACM 52,10（2009）,76-84.[60]Thorwald Nicolaus Tideman.1987年。克隆人的独立性作为投票规则的标准，《社会选择与福利》4,3（1987）,185-206。[61]格雷戈里·瓦利安特和保罗·瓦利安特。2011年。估计看不见的：熵和支持大小的n/log(n)样本估计，通过新的CLTS显示最佳。在STOC论文集上。685-694.[62]王军、苏乔伊·西克达尔、泰勒·谢泼德、赵志兵、姜春恒、夏立荣.2019.平行宇宙突破平衡点的STV和排序对的实用算法。AAAI诉讼程序。[63]维基百科。[N.D.]。https://en.wikipedia.org/wiki/resolvability_criterion.[64]夏立荣。2012年。计算各种投票规则的胜率。在ACM电子商务会议的进程中。西班牙巴伦西亚，982-999.[65]夏立荣。2015年。广义决策评分规则：统计、计算和公理化性质。第十六届ACM经济与计算会议论文集。美国俄勒冈州波特兰，661-678.[66]夏立荣。2020年。平滑的社会选择的可能性。载于《神经IPS论文集》[67]夏立荣和文森特·康尼泽。2008年。广义评分规则和联盟可操作频率。载于ACM电子商务会议论文集。109-118。[68]夏立荣和郑伟强。2021年。计算Kemeny和Slater排序的平滑复杂度。内容1导言11.1相关工作和讨论。..............................42预备63 pmv在多面体中的问题和主要技术定理83.1定理1在多面体并中的推广。..................114平滑平局的可能性134.1整数位置得分规则。.............................134.2基于边缘顺序的规则。.................................144.3 STV和Coombs。....................................175实验研究176未来工作187确认19A第3节材料25A.1定理1的证明。....................................25A.1.1定理1的证明简图。...........................25A.1.2定理1的充分证明。.............................27A.2定理2的证明。....................................4.1节的附录：整数位置计分规则48B.1定理3的证明。....................................48C第4.2节的附录：基于EO的规则50C.1命题1的证明。..................................50C.2基于边序的规则的正式确认（第4.2节）。............51C.3定理4的证明。....................................51C.4命题2的证明。..................................53C.5命题3的证明。..................................58C.6命题4的证明。..................................59C.7命题5的证明。.................................6.61D第4.3节的附录：STV和Coombs 62D.1正式规定和结果说明。.....................62D.2引理3的证明。....................................65D.3定理5的证明。....................................68D.4命题6的证明。..................................70E所有规则72A材料的实验结果。第3A节。1定理1的证明定理1。（主要技术定理）。

给定[q]上的任意q∈N，任意闭正态和严格正态π，以及任意具有整数矩阵A的多面体H,对于任意N∈N,sup~π∈πnpr~x~π∈H=0,如果hzn=exp(-θ(N)),如果hzn6=θ和HüCH(π)=ndim(H)-q,否则（即。Hzn6=é和HüCH(π)6=),如果hzn=exp(-θ(n)),则inf~π∈πnpr~x~π∈H=0,如果hzn6=é和CH(π)6Hθndim(H)-q,否则（即。a.1.1定理1的证明草图在本小节中，我们给出了一个关于定理1的指数和多项式情况的证明草图，因为0的情况是很平凡的。关于定理1的指数界的直觉和证明草图。我们注意到~x~π是一个整数向量值的随机变量。因此，Pr(~x~π∈H)=Pr(~x~π∈HZn)主要由两个因素决定:(1)E(~x~π)与HZn之间的距离，(2)HZn中整数向量的密度。标准的浓度界，例如Hoe和Ding不等式，告诉我们当E(~x~π)和Hzna离开θ(n)时，~x~π在HZnis中的概率指数很小。这是指数情况背后的直觉，如图1(a)所示。如图1(b)所示，在多项式情况下，锥(π)离H为O(1),当E(~x~π)接近H时，可以得到sup~π∈npr(~x~π∈H),那么Pr(~x~π∈H)主要由HZN中整数向量的密度决定。一个自然的猜想是，密度可以用H的维数来测量，但这不是真的，如下面图6(A)所示，其中dim(H)=2，这与图1(b)中的dim(H)相同。然而，当n→∞时，图6(a)中的Pr(~x~π∈H)比图1(b)中的Pr(~x~π∈H)小，因为图6(a)中的hznn的“体积”并不随n的增加而增加，这证明了它的维数是正确的测度。例如，图1(b)中的dim(H)=1infigure6(a)和dim(H)=2。其余的证明利用了H的矩阵表示和V-表示之间的相互作用，这是由Minkowski-Weyl定理（参见，例如，[57，p.100])所完善的。更确切地说，H的V-表示是H=V+H，其中V是一个完全生成的多面体，而His是H的特征锥。图6(a)和图1(b)中H的V-表示分别见图6(b)和(c)。为了精确上界Pr(~x~π∈H)，我们将~x~π的q维数划分为两个集合：I和I,使得HZN中的向量可以通过高可选性地枚举它们的成分来枚举，条件是成分或多或少地确定。更准确地说，满足以下两个条件。！“#$%&\'()\'*+&(*！，-./0\'(\'*$1,234./0\'(&\'*+%”=+“=+(a)a=1-1-1和~b=-√。(b)(a)的V-rep。(c)图1(b)的V-rep。图6：暗(H)>暗手V的一个例子--(a)中的H和图1(b)中的H的表示。条件（1）。对于任意~h∈Zi≥0,Hznon~h的限制由HZn~h={~h∈Zi≥0:(~h,~h)∈HZn}表示，包含一个常数（n）的整数向量。条件（2）。当~x~π的乘积具有高（边际）概率时，~x~π的乘积在Hzn~his o ndim(H)-q中的条件概率。一旦这样的乘积和乘积被求出，在应用全概率定律后，上界就会随之出现。我们使用H的矩阵表示来求乘积和乘积，这与[66，引理1]中的证明相似，只是我们的证明适用于一般的A。设A=表示A的隐式等式，它是A的最大行集，对于所有~x∈H,我们有A=·(~x)>=~>。我们注意到A=不依赖于~B，并且rank(A=)=q-dim(H)[57,方程（9）,p.100]。例如，在图1(b)中，a==anddim(H)=2。然后我们使用a=~的简化行梯队形式（又称行标准型）[44]来定义和i。