我们是否利用所有信息进行反事实分析？的好处 因子模型与特质校正

然而，在过程tVtu的严格平稳性和治疗EextEstimator的无偏性下，可以按照Masini和Medeiros(2019，2020)或Chernozhukov，Wüuthrich和Zhu(2020)中描述的过程对干预前的残差进行重新采样，以计算感兴趣统计量的样本分位数。如前所述，这两种方法的主要区别在于前者仅利用预处理观测估计反事实模型，而后者则利用全样本估计反事实模型。在对发明前阶段Pt_8q采取的渐近极限下，通过命题1，我们得到了pφ′φ′oPp1q,其中φ:φPVT`1。..,VTQ。因此，可以用φ的分布来估计pφ的分布。考虑只使用干预前样本的连续观测的大小块来构建pφ。有t`t`1个这样的块用pφj表示：“φppvj，..，Pvj`t\'1q，j“1，...,t\'t\'1,其中Epvt：“干预前时期的z1t\'pγw1t\'pλpft\'pθpu\'1t\'。估算值spγ、pλ、pFt、pθ和pu1既可以是预干预的，也可以是全样本的，这取决于实践者选择的推论方法。对于每一个j，我们有pφj′φj′oPp1q，其中φj:“φpvj，”。.，vj`t`1q和φj，对于所有j等于φ。因此，我们提出用它的经验分布有关更多细节，请参见Masini andMedeiros(2019，2020)和Chernozhukov，Wüuthrich和Zhu(2020)。3.4特质贡献的检验统计和实际感兴趣的问题是特质成分是否有助于治疗的估计。为了回答这个问题，把（3.3）写成：ZT“yenwt`ft`Ut,t P t1,。..,T u,其中ZT：“pZ1t，。.，Zntq，UT:“pU1t，..、Untq和WT：“pW1t、...,WNTQ。pn nkq分块对角矩阵γ具有由pγ，给出的分块。...γNQ。最后，λ:“pλ，。..,λnq.让π:“pπijq1^i,j^n表示UT的pnnq协方差矩阵。我们的方法利用了π的O-对角元的解析性。特别是，我们有兴趣测试Whetheru1THAS线性预测能力处理单位U1T。这相当于以下高维假设检验:h:π1j“0,@2^j^n。为了进行检验，我们提出了以下检验统计量S：”}Q}，其中Q：“？t@tt”1dt,dt：“pu1tpu1t,puit：”rit′pλipft。也设C@pτq是高斯引导函数s的τ-分位数：“}q}，其中q z,W”N p0,p“q”。对于一个给定的对称核Kpéq，其带宽为hó0（决定滞后数），我们有:p:“`atkp`{hqxm`withxm`:”ttt“``1dtdt``是长程协方差矩阵的估计量，其中q：”？ttt“1u1tu1t。注意，如果选择kpèq为三角核，tpq只是Newey-West估计量。更一般地说，核的选择可以在Andrews(1991)描述的核类中做出。这种方法的有效性在Fan等人的研究中得到了证明。（2021年）在更一般的设置下。特别地，作者在H.4实践指南中的一些正则条件supτPp0,1qpps_cτpτqq_τ“op1q下，为FarmTreat方法的实施提供了实际指导。当然，这依赖于应用程序。然而，典型的候选对象是时间的确定性函数，即fptq，以捕捉趋势，截距以消除平均值，季节性假体或其他日历e ects，或任何其他假体以消除潜在的离群点。

对感兴趣的变量进行单位根检验也可能是决定是否应该对数据进行修正的重要因素。第二步是估计全样本在干预前和干预后的λ和因子序列tFt、t P Zu。因此，我们不能仅仅依靠干预前时期来估计因素。另一方面，如果我们使用处理单元的所有观测结果，在非零处理的替代方案下，我们的估计会产生偏差。因此，有两种可能的方法来估计因素和因素负荷：1。一个简单的方法是估计因子和因子负载，而不是处理单元，为了估计该单元的负载spλ，我们对估计的因子进行回归。这是在模拟和经验应用中都采用的方法。估算的方法是将估算的PλPFTT用于被测单元1的干预后阶段，然后应用整个数据重新估算因素和因素负荷，仅用干预前阶段估算Pλ和PFTT。请注意EpRtq“0 by definition。因此，我们可以将干预后的R1T观察值替换为0，以便进行因子分析。由于预计干涉后观测的数量很少，这种替换将具有可以忽略不计的e-----ects。然而，重要的是要注意，我们这样做只是为了估计因子，为了确定因子的数量，我们主张使用特征值比检验（Ahn andHorenstein，2013)。另一种可能性是使用Baiand Ng(2002)中讨论的信息标准之一，在估计了公共因子结构后，我们可以使用3.3节中描述的检验来检验剩余的交叉依赖性。在拒绝没有剩余依赖项的零的情况下，最后一步由套索回归组成。这一步骤的测试是可选的，以评估治疗e-ect，因为套索的稀疏性不包括e-ect作为一个特定的例子。然而，特质成分是否对预测力有贡献是一个有趣的统计问题。对于LASSO中惩罚参数的选择，我们建议使用一个信息准则，如Masini和Medeiros(2021)BIC，其步骤是检验关于干预的无效假设。当预干预样本较小时，我们遵循Chernozhukov、Wüuthrich和Zhu(2020)的方法，在零值下估计模型。请注意，在这种情况下，我们应该使用完整的样本重新估计模型。5模拟本节我们报告模拟结果，以研究本文提出的方法的样本行为。我们考虑以下数据生成过程:zit“δit`γiwt`Rit,Rit”λift`Uit,ft“0.8ft`1`Vt,Uit”$\'&\'%βu1t`εit，如果i“1,εit，否则，(5.1)其中tεitu是一个独立正态分布的零均值随机变量序列，如果i”1和β‰0,方差等于0.25；如果i“1或β‰0,方差等于1。Vtis是一个独立的正态分布的零均值随机向量序列，对于所有I、t和S取值为EpVtVtq“0.25I和Epεitvsq”0。WITS由两个均值和方差均等于1的独立高斯随机变量组成。参数设置如下:γiispp`2)-维向量，其中，对于每一个复制，第1项从均值为零、方差为1的高斯随机变量中随机挑选；第二项从-5和5之间的均匀分布中随机选择；最后两个元素是均值为0.5、方差为1的高斯分布。Foreach复制，λi，i^1的元素独立于均值为2和单位方差的正态分布，对于i“1，λi1的元素来自均值为6和方差为0.04的正态分布。

β的两个元素要么设置为0.5，其余的设置为零，要么我们设置所有的元素都等于零。我们考虑以下样本大小：T“50，75，100，150，250，500和1000；和T“1。对于每个样本量，n是setas n“tT,2t,3t U。因子数设置为2。对于大小模拟，δit“0对所有i和t。对于功率模拟，δit“2对i”1和t“t`1。表1和表2显示了反事实估计的描述性统计。该表分别描述了空假设和交替假设下δt`1的均值、中值和均方误差(MSE)。考虑了三种情况。在第一个中，忽略了因子结构，并估计了因子单元对其余单元的稀疏套索回归。这是Carvalho、Masini和Medeiros(2018)提出的ArCo方法。第二种方法相当于Gobillon和Magnac(2016)的方法，其中考虑了纯因子模型。最后，我们考虑了FarmTreat方法，它包含了前面的两种方法作为一个特定的示例。我们还在括号中报告了Chernozhukov，Wüuthrich和Zhu(2020)所倡导的使用全样本估计反事实模型时的相同统计量。表1和表2显示了反事实估计的描述性统计量。该表分别描述了空假设和交替假设下δt`1的均值、中值和均方误差(MSE)。考虑了三种情况。在第一个中，忽略了因子结构，并估计了因子单元对其余单元的稀疏套索回归。这是Carvalho、Masini和Medeiros(2018)提出的ArCo方法。该方法等价于Gobillon和Magnac(2016)的方法，其中考虑了纯因子模型；我们称这种方法为主成分回归(PCR)。最后，我们考虑了theFarmTreat方法，它包含了前面的两种方法作为一个具体示例。我们还在括号之间报告了Chernozhukov，Wüuthrich和Zhu(2020)所倡导的使用全样本来估计反事实模型时的相同统计数据。从对表中结果的检查来看，很明显，估计治疗E和ECT的偏差很小，并且MSEs随着样本量的增加而减少，正如预期的那样。此外，ArCo提供了非常稳健的估计，但通过FarmTreat方法可以大幅降低MSE。因此，有强有力的证据支持本文的方法推导，这与我们的理论结果是一致的。第二，正如在Carvalho、Masini和Medeiros(2018)的模拟中已经显示的那样，纯因子模型的性能在MSE方面很差。当n或T较小时，情况尤其如此，因为这些因素没有得到很好的估计。当这种情况发生时，idiosyncraticcomponents的预测能力就会发挥作用（将性能与FarmSelect进行比较）。这令人信服地证明了使用特质成分来增强预测的必要性。当与整个样本用于估计模型时的结果相比较时，两个事实从表中浮现出来。首先，当零假设为真时，使用完整样本的收益是无可争议的。但是，当null为false时，使用完整样本是个坏主意，特别是小样本。这在某种程度上是意料之中的，因为在后一种情况下，我们在估计样本中包括了由干预所产生的观测结果。表3给出了当干预后有单个观测结果时，再抽样检验的经验大小，并且根据上面描述的方法估计了反事实。很明显，当Tis很小时，尺寸失真很高。随着样品的增加，尺寸收敛到正整数。

另一方面，使用全样本来估计模型可以纠正扭曲，并且在小样本的情况下强烈推荐。表4显示了经验的力量。重采样方法提供了很高的功率，特别是当考虑ArCo和FarmTreat方法时。另一方面，当考虑整个样本时，测试会失去很多动力。图1比较了当DGP没有特异性贡献时，PCR和FarmTreat的MSEs。这种情况有利于PCR。正如我们所看到的，FarmTreat在聚合酶链反应中获得了类似的结果，表明该方法相当稳健。6需求的价格弹性6.1数据描述如1.1节所述，目标是为巴西的大型零售商链确定产品的最优价格。应该计算每个城市的最优价格。我们的数据集包括市一级商品的日销售价格和数量。Cecompany的1400多家商店基本上横跨城市和城市内部，从产品选择有限的小型便利店到非常大的便利店，出售从糖果到家电和衣服的一切。商店可以是街边商店，也可以是位于购物中心的canbe。销售的产品被分成几个部门。在这里，我们考虑糖果和糖果单元的产品。所选择的产品取决于销售额、价格范围和在公司收入中所占份额的重要性。例如，每家商店在可用期间和各城市的日销售额中位数从0（产品V）到35（产品II）不等。我们的样本包括大约50%有商店的城市。由于各城市的商店数量和规模，我们将每个城市的日销售额除以该特定位置的商店数量。为了确定每种产品的最优价格（利润最大化或收益最大化）并避免混淆，进行了随机对照实验。对于每种产品，在一组城市中改变了价格（治疗组），而在另一组中，价格保持在原来的水平（对照组）。注意，随机化是在城市一级进行的，而不是在商店一级。通过应用我们的方法，可以计算出该区域内每个城市以及其他聚集级别的最优价格。为了确定对照组的价格，可以在第二批实验中通过颠倒组来重复实验。在此，我们将报告随机实验组的结果，治疗组和对照组的选择是根据每个城市的社会经济和人口学特征以及商店的分布进行的。使用了以下变量：人类发展指数、就业、人均国内生产总值、人口、女性人口、识字人口、平均家庭收入（总额）、家庭收入（城市地区）、商店数量和便利店数量。有关方法的详细情况可在补充材料中找到。正如在介绍中提到的，我们使用关于每个城市的产品销售数量的noinformation来创建治疗组和对照组。因此，我们避免了任何选择偏差，保持了利益干预与产出无关的假设的有效性。值得强调的是，尽管实验是随机的，但传统的直接投资-间接投资估计器不能被认为是为了估计与随机化水平完全相同的市政水平的价格弹性。

然而，我们可以依靠地效关系来估计国家一级的干预措施。6.2结果在本节中，我们报告上一小节描述的实验结果。表5描述了对每个产品进行的每个实验。该表显示了样本、试验周期（通常为两周）、试验类型（如果价格是增加还是减少）、价格变化的幅度以及治疗组(n)和对照组(n)中的市政府数量。n是考虑到的城市总数。n，n和n根据产品而异，但为了简化，我们省略了产品identi。对于每一天t，qpjqit，对于城市i，表示产品j的销售量，其中i“1,”。..,n,t“1,..T和j“1,....,5.为方便表示，假定i P t1，..,Nurepress城市在控制组和i P Tn`1,。..,nu索引了该区域组中的市政当局。最后，defignerqpjqit“qpjqit{nsi，其中nsii是位置i的商店数量。分析是针对rqpjqit进行的。图2显示了应用程序中考虑的figurrst产品的数据。加温产品的数据显示在补充材料的图4-7中。资料中的(a)小组报告了按各组商店数量划分的各组市镇（全部、治疗和控制）的日销售额。更具体的是，该图显示了qpjqall,t-“séni”1qpjqit,qpjqcontrol,t-“séni”1qpjqit和qpjqtreature,t-“séni”n`1qpjqit的每日演变。图中显示了价格变化前后的数据，干预日期用水平线表示。(b)和(c)面板分别显示了干预前后、治疗组和对照组的FRQPJQIT时间平均数在各个城市的分布情况。图(d)和图(e)给出了FRQPJQIT演化的扇形图。那里的黑色曲线代表了一段时间内的横断面平均数。几个事实从图中浮现出来。首先，销售的动态变化取决于产品和所考虑的样本。其次，数据中有一个每周的季节性模式，所有产品都有这种模式。在面板(a)中观察到的产品II和IV的大峰值与主要促销有关。我们选择了这些特殊的产品和样本来说明我们的方法对异常值是稳健的。值得注意的一点是，在对照组和治疗组中都有晋升，因此，对我们的方法没有任何有害的影响。观察图2和图7中(a)的图表，我们观察到实验开始前销售额的实质性下降，并且在治疗组的两个对照组中都发生了下降。这个实验清楚地显示了我们的方法在比较中的优点，例如，与前后(BA)估计器相比。BA估计器不考虑治疗组和对照组的共同趋势或全球冲击。最后，关于产品IV和V要强调的一点是，与其他三种产品相比，每天的销售额相当小。例如，每家商店的平均日销售额不到产品五的一个单位，干预前产品五销售额下降的原因之一是一些城市的可用单位数量大幅下降。例如，在大约3%的城市，无论是治疗组还是对照组，都没有一种产品可以出售。正如我们将在后面看到的，这将对该特定产品获得的结果产生影响。最后，通过观察图(d)和图(e)，我们注意到了城市之间的异质性。模型是在城市一级估计的。

对于每个产品和每个城市，在一周中的七个假人，线性决定趋势和在t天在城市i开放的商店数量上，都有一个阶段回归frqpjqiton一周中的七天，一个线性决定趋势和一天在城市i开放的商店数量。对于对照组的城市，上述回归是用全样本估计的。对于市政当局，在治疗组中，我们只使用直到时间T的数据。第二步包括对初始阶段残差的估计因子。我们通过特征值比检验选择因子数k。在第三步中，我们在对照组的特质项上对治疗单位的每个特质成分进行套索回归。如第4节所述，penaltyparameter由BIC确定。最后，我们计算每个自治市的反事实i“1,。..,nfor t“t`1,...,T：prqpjqit。我们还分别计算了瞬时和平均干预影响aspδpjqit“rqpjqit”prqpjqitandp“pjqi”tt@tt“t`1 pδpjqit。我们用重新取样的方法检验干预假说e-ect,h:δpjqit“0@TíT,以φppδT`1,。..,pδtq“@tt”t`1 pδtorφppδt`1,。.,pδtq“@tt”t`1 pδt。在线性需求函数的假设下，每个城市和产品j的价格弹性IJ，可以恢复为pij“pβijpij,t′1 qij,其中epβij”pijnipj,piji是城市i和产品j的估计平均ECT,Niis是商店数量，pji是价格变化，pij，t′1是干预前的价格，qij是平均反事实销售量。在线性需求函数的假设下，每个城市和产品j的价格弹性IJ可以恢复为p ij“pβijpij,t′1是平均反事实销售量。最后，产品最大化的最佳价格可以通过以下方法确定：P1IJ“P1Taxesijqpqijpij,T1QPβij Costsij2Pβijp1Taxesijq,其中Taxesijand Costsijj分别是市政产品规定的税收和成本。表6报告了每种产品的最小值、5%-、25%-、50%-、75%和95%分位数、最大值、平均值和几种统计数据的标准差。我们考虑在所有处理过的城市的分配。在表格中的面板(a)中，我们报告了干预前模型的r-平方的结果。面板(b)显示了在实验期间内平均间隔时间的ECT。图(c)和图(d)分别用平方或绝对值统计描述了第3.3节所述的无干预零假设的抽样检验的p值结果。小组(e)给出了没有特质贡献的无效假设的p-值的结果。表7为每种产品提供了估计弹性和估计最优价格与当前价格之间的百分比的描述性统计数据。与表6所示相反，在表7中，我们只报告了估计的平均数E_ects具有正确符号的城市的结果（当价格下降时为正，当价格上升时为负），并且在统计上处于10%水平。表中的最后一栏显示了采用上述标准的城市的比例。附加结果显示在补充材料中的图3和图8-11中。对于每一个产品，在附录中的面板(a)显示了无效假设H的再取样测试的p值的扇形图:δt“0对于处理后的每个给定t，使用测试统计量φppδtq”pδt，这与使用测试统计量pδt相同。黑色曲线表示时间t的横截面中位数。小组(b)显示了一个城市的例子。该小组显示了治疗后期间每家商店的实际和反事实销售额。反事实路径95%的conformenceintervals也被发现了。从结果中出现了几个事实。首先，产品II和IV的平均r平方相当高，产品I和III的平均r平方适中。

这一事实提供了一些证据，表明平均而言，估计模型能够正确地描述销售的动态。对于产品II、IV来说，这种情况更加明显，因为在最坏的情况下，R平方分别为0.4669和0.4028。另一方面，产品V的模型产生了非常低的r平方。结果不佳的主要原因是产品I的每家商店销售额很小，有些城市在某些日子里没有销售额。第二个原因是对平均干预的估计。不出所料，平均而言，产品I-IV的估计平均值e-ects(p)具有正确的符号。对于产品I，90%的城市具有正确的符号（负值），在所有处理过的城市中，约37%的城市具有10%的统计意义。在P@0的城市中，只有一个我们在10%的水平上发现了统计意义。对于产品II,89%的被处理城市的P∞有正确的符号，而在所有被处理城市中约33%的结果是有意义的。对于产品III，这些数字是相似的。然而，在没有一个用相反的符号估计的城市中，e和ects是有意义的。对于产品IV，59%的城市中估计的平均治疗E-ect有正确的标志。幸运的是，在41个估计值有错误符号的案例中，结果只有三个是有意义的。对于产品V，估计值只有35%的城市有正确符号。然而，在只有四个城市中，带有错误标志的结果在10%的水平上具有统计学意义。产品V结果不佳的原因可能是双重的。首先，正如前面所提到的，销售perstore相当小，而in-sample firet很差。其次，在实验期间有一个库存问题。补充材料中的图12显示了各城市可用产品单位分布的演变。从图(a)的检验可以清楚地看出，分布在实验日期前后发生了变化，表明产品V的库存下降幅度很大。如果我们使用前-后(BA)估计器来计算平均处理量，则值得将表6图(b)中的结果与结果进行比较。英国航空公司对EachMulligency的估计只是干预后一段时间的平均销售额减去干预前几天的平均销售额。结果在补充材料中的表16中报告。正如我们前面讨论中所预料的那样，英国税务管理局过度估计了价格表的E例证，特别是对产品I和II的价格表，并产生了带有错误符号的Productiv的估计。对于产品V，英国广播公司的估计甚至比来自FarmTreatMethodology的估计更负。从小组(e)的检查中发现的一个事实是，特质termsto构造反事实的贡献在几个案例中具有统计相关性。现在我们转向表7。如果我们只关注具有估计的平均弹性的城市，这些城市具有正确的符号，并且这种E-ects在统计上是有意义的，我们估计的平均弹性非常高；见表7中的面板(a)。从图(b)中，我们注意到在平均价格上必须降低。7结论本文提出了一种新的方法来估计当可能只有一个（或几个）被处理单位时的干预措施。随着时间的推移，对处理的和未处理的单元观察感兴趣的输出，形成时间序列数据的面板。未处理的单元被称为对等点，在没有干预的情况下，通过编写对等点感兴趣的单元的模型关系来构造对等点感兴趣的输出的反事实。本文的创新之处在于如何构建这个模型。我们将因子模型与稀疏回归相结合。

该模型包括对原始测量数据的主成分回归和稀疏回归。该方案的主要优点是避免了通常的（近似）稀疏性假设，并使模型选择一致性条件更容易被充分利用。本文还提出了一个正式的测试来证明这种特殊成分的使用。在实际应用中，我们展示了如何使用我们的方法来计算巴西零售业产品的最优价格。我们的结果表明，最佳价格大大低于该公司目前采用的价格。参考资料。（2021）。使用综合控制：可行性、数据要求和方法学方面。《经济文献杂志》59,391-425。A.A.Abadie,A.Diamond,J.Hainmueller(2010)。比较研究的综合控制方法：加利福尼亚烟草控制计划的评价。《美国统计协会杂志》105，493-505，Abadie,A.和J.Gardeazabal(2003)。犯罪的经济成本：一个BasqueCountry的案例研究。《美国经济评论》93,113-132。Ahn,S.和A.Horenstein(2013)。特征值比检验因子数。《经济计量学》81,1203-1227.Andrews,D.W.K.（1991）。异方差与自相关一致性协方差矩阵估计。Econometrica 59（3）,817-858。Athey,S.和G.Imbens（2017）。应用计量经济学的现状-因果关系和政策评估。经济观点学报31,3-32。白建、吴俊（2002）。确定近似因子模型中的因子数。经济计量学70,191-221。白建和吴俊（2008）。大维因子分析。计量经济学的基础与趋势3，89-163.卡瓦略，C.R.Masini，M.Medeiros(2018)。ARCO：高维面板时间序列数据的一种巧妙的反事实方法。计量经济学杂志207,352-380.Chernozhukov,V.K.Wuuthrich,Y.Zhu（2020）.反事实控制和综合控制的精确和鲁棒的适形推理方法。Arxiv:1712.09089，Arxiv.Chernozhukov，V.K.Wüuthrich和Y.Zhu(2021).合成控制的t检验。ARXIV:1812.10820，ARXIV.Doudchenko，N.和G.Imbens(2016)。平衡、回归、双极性和综合控制方法：一个综合。22791，NBER。可查阅ARXIV:1610.07748.Du,Z.和L.Zhang（2015）。限购、房产税与中国房价：反事实分析。计量经济学学报188,558-568.范建，柯永，王凯（2020）.因子调整正则化模型选择。计量经济学杂志216,71-85。范建，李荣，C.H。Zhang和H.Zou（2020）。数据科学统计基础。CRCPress.Fan,J.,R.Masini和M.Medeiros（2021）。桥接因子和稀疏模型。ARXIV:2102.11341，普林斯顿大学。戈比隆，L.和T.马格纳克（2016）。区域政策评估：交互式的、有条理的ECTS和综合控制。经济学与统计学评论98,535-551.萧长，程海顺，万世坚（2012）.项目评估的面板数据方法：衡量香港与中国内地政治和经济融合的好处。应用计量经济学报27,705-740.李凯（2020）.综合控制方法估计的平均处理量的统计推断。《美国统计协会学报》120，2068-2083.李，K.和D.贝尔（2017）。用面板数据估计平均待遇：渐近理论与实现。计量经济学杂志197,65-75.Masini,R.和M.Medeiros（2020）.用非平稳数据进行反事实分析和推断。商业和经济统计杂志。Masini,R.和M.Medeiros出版社（2021年+)。带有艺术控制的反事实分析：推论、高维度和非平稳性。《美国统计协会杂志》。即将出版。欧阳，M.Y.Peng(2015).

ECT估计：以2008年中国经济刺激方案为例。计量经济学杂志188,545-557。图1：MSE比率报告了当特质成分之间没有交叉依赖时，FarmTreat方法和主成分回归(PCR)的均方误差(MSE)的比率。50 75 100 150 250 500 1000T000.20.40.60.811.2MSE比率（FarmTreat/PCR)n=Tn=2Tn=3T图2：产品I的数据。面板(a)报告了所有城市以及治疗组和对照组的日销售额除以商店总数。情节还标明了干预的日期。图(b)和图(c)分别显示了治疗组和对照组各城市每一家商店的平均销售额随时间的分布情况。小组(d)和(e)列出了治疗组和对照组在每个给定时间点的销售额变化的扇形图。图3：产品I的结果。面板(a)显示了一个扇形图，显示了在治疗后的每个时间t中NULLH:δt“0的重新抽样测试的p值，在治疗组的所有城市中。黑色曲线代表的是在T上各个城市的P值中值。小组(b)展示了一个城市的例子。该小组描述了治疗后期间每家商店的实际和反事实销售额。反事实路径的95%预测间隔也被发现。表1：在null下的平均治疗估计。该表报告了在no e-ect(δt`1“0）的null下的平均治疗估计的描述性统计。该表报告了干预后观察的估计值的平均值、中位数和均方误差(MSE)。(a)小组审议了通过对所有同行的处理单位进行套索回归来估计反事实的情况。这是卡瓦略、马西尼和梅德罗斯（2018）提出的反事实艺术方法。面板(b)给出了通过主成分回归(PCR)来估计事实的结果，即对从对等体池中计算的因素进行处理单元的普通最小二乘(OLS)回归。这相当于Gobillon和Magnac(2016)的方法。因子数由Ahn和Horenstein(2013)的eigenvalueratio检验确定。最后，面板(c)显示FarmTreatMethod的结果。

在括号之间，我们报告了相同的统计数据，但使用切尔诺朱科夫倡导的全样本估计的模型，沃特里奇，和Zhu(2020)。面板(a)：拉索（阿科）-卡瓦略，马西尼，和Medeiros（2018）平均中位数MSEn“T n”2 T n“3 T n”T n“2 T n”3 T n“T n”2 T n“3 T n”T n“2 T n”3 TT“50-0.036 0.010 0.023-0.073 0.023 0.074 1.114 0.975 0.901[0.017][0.003][0.000][0.024][-0.004][0.008][0.178][0.188][0.188][0.188][0.188]-0.084 0.025-0.011-0.080 0.025 0.015 0.832 0.785 0.763 16 0.068 0.026-0.021 0.079 0.028 0.732 0.674 0.632[-0.020][-0.005][-0.022][0.014][0.014][0.009][0.317][0.311][0.264]0.0040.037-0.0700.0210.038-0.0830.6080.655 0.590[-0.000][-0.020][0.022][-0.037][-0.012][0.362][0.349]-0.013-0.026-0.028 0.021-0.040-0.039 0.539 0.517 0.566[-0.000][-0.020][-0.016][-0.012][-0.362][-0.288][0.349][0.362][0.349]0.018-0.028 0.052-0.028 0.052 0.032-0.062 0.042-0.042 0.419 0.382 0.424[0.002][0.016][0.362]-0.011][0.009][0.007][0.005][0.321][0.300][0.280]1,0000.029 0.033-0.028 0.047 0.049 0.005 0.323 0.378 0.350[-0.026][-0.035][0.029][-0.053][-0.026][0.054][0.274][0.303][0.275]小组(b):聚合酶链反应-Gobillon和Magnac（2016）平均中位数MSEn“T n”2 T n“3 T n”T n“2 T n”3 T n“T n”2 T n“3 T n”2 T n“3 TT”50-0.030-0.001 0.038-0.120 0.008 0.015 1.259 0.916 0.842[0.032][-0.013][0.014][0.004][-0.053][0.042][0.665][0.696][0.665][0.696]-0.041 0.011-0.002 0.014 0.023-0.005 0.957 0.958[0.670]-0.065 0.083 0.014-0.087 0.080-0.011 0.989 0.807 0.863[-0.019][-0.012][-0.012][-0.001][0.024][0.004][0.683][0.719][0.636]-0.045-0.022-0.093-0.005-0.040-0.083 1.071 0.860 0.914[-0.017][-0.031][0.036][-0.036][-0.023][0.701][0.772][0.732][0.732][0.732][0.732][0.042-0.045-0.038-0.041-0.057-0.018 0.982 0.778 0.861[-0.008][-0.015][-0.001][-0.007][-0.025][0.728][0.762][0.778][0.728][0.772][0.778]0.006 0.001 92 0.758[-0.018][0.057][-0.006][-0.009][0.015][-0.078][0.740][0.809][0.751]1,0000.028 0.050-0.046 0.075 0.049-0.052 0.720 0.783 0.763[-0.024][-0.051][0.057][-0.026][-0.053][0.076][0.739][0.801][0.790]小组(c):FarmTreatMean中位数MSEn“T n”2 T n“3 T n”T n“2 T n”3 T n“T n”2 T n“3 T n”T n“2 T n”3 T TT“50-0.024-0.036 0.035-0.080-0.026 0.026 0.964 0.684 0.630[0.017][0.003][0.000][0.024][-0.004][0.258][0.178][0.188][0.188]-0.048-0.017-0.019-0.030-0.036-0.015 0.607 0.529 0.048 0.014-0.036 0.061 0.009 0.548 0.377 0.404[-0.020][-0.005][-0.022][0.014][0.014][0.009][0.317][0.311][0.264]-0.0630.016-0.055-0.0350.012-0.0630.5850.3430.343[-0.000][-0.020][0.022][-0.016][-0.037][-0.362][0.288][0.349]-0.0330.003-0.024-0.048 0.007-0.025 0.4530.3120.301[-0.022][-0.018][-0.003][-0.003][-0.311][0.313][0.317]0.017-0.0210.0260.007-0.0100.0190.301 7][0.005][0.321][0.300][0.280]1,00000.031 0.036-0.034 0.035 0.068-0.024 0.246 0.291 0.263[-0.026][-0.035][0.029][-0.053][-0.026][0.054][0.274][0.303][0.275]表2：两种方法下的平均治疗估计。该表报告了在无E-ect(δT`1“2）零值下的平均治疗估计的描述性统计。该表报告了干预后观察的估计值的平均值、中位数和均方误差(MSE)。(a)小组审议了通过对所有同行的处理单位进行套索回归来估计反事实的情况。这是Carvalho等人提出的反事实艺术（ArCo）方法。（2018年）。