我们是否利用所有信息进行反事实分析？的好处 因子模型与特质校正

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摘要翻译：
自综合控制方法提出以来，基于人工控制构建的反事实来衡量单个（或几个）治疗单元的治疗（干预）效果已成为应用统计学和经济学中的一种流行做法。在高维背景下，我们经常使用主成分或（弱）稀疏回归来估计反事实。我们是否使用了足够的数据信息？为了更好地估计价格变化对销售的影响，我们提出了一个高维相关数据反事实分析的一般框架。该框架既包括主成分回归，也包括稀疏线性回归作为具体案例。它同时使用因子和特质成分作为预测因子进行改进的反事实分析，形成了一种称为因子调整正则化处理方法（FarmTreat）的评价方法。我们令人信服地证明，在许多应用中，使用因子或稀疏回归都不足以进行反事实分析，信息增益的情况可以通过使用特质成分来实现。我们还发展了理论和方法来正式回答公共因素是否足以估计反事实的问题。此外，我们考虑了一种简单的重采样方法来进行治疗效果的推断，以及bootstrap测试来获取特质成分的相关性。基于巴西一家大型零售连锁店的销售数据，我们应用所提出的方法评估了价格变化对一组产品销售的影响，并证明了在治疗效果评估中使用额外的特殊成分的好处。
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英文标题：
《Do We Exploit all Information for Counterfactual Analysis? Benefits of
  Factor Models and Idiosyncratic Correction》
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作者：
Jianqing Fan, Ricardo P. Masini, Marcelo C. Medeiros
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最新提交年份：
2021
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分类信息：

一级分类：Economics        经济学
二级分类：Econometrics        计量经济学
分类描述：Econometric Theory, Micro-Econometrics, Macro-Econometrics, Empirical Content of Economic Relations discovered via New Methods, Methodological Aspects of the Application of Statistical Inference to Economic Data.
计量经济学理论，微观计量经济学，宏观计量经济学，通过新方法发现的经济关系的实证内容，统计推论应用于经济数据的方法论方面。
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一级分类：Computer Science        计算机科学
二级分类：Machine Learning        机器学习
分类描述：Papers on all aspects of machine learning research (supervised, unsupervised, reinforcement learning, bandit problems, and so on) including also robustness, explanation, fairness, and methodology. cs.LG is also an appropriate primary category for applications of machine learning methods.
关于机器学习研究的所有方面的论文（有监督的，无监督的，强化学习，强盗问题，等等），包括健壮性，解释性，公平性和方法论。对于机器学习方法的应用，CS.LG也是一个合适的主要类别。
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一级分类：Statistics        统计学
二级分类：Applications        应用程序
分类描述：Biology, Education, Epidemiology, Engineering, Environmental Sciences, Medical, Physical Sciences, Quality Control, Social Sciences
生物学，教育学，流行病学，工程学，环境科学，医学，物理科学，质量控制，社会科学
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一级分类：Statistics        统计学
二级分类：Methodology        方法论
分类描述：Design, Surveys, Model Selection, Multiple Testing, Multivariate Methods, Signal and Image Processing, Time Series, Smoothing, Spatial Statistics, Survival Analysis, Nonparametric and Semiparametric Methods
设计，调查，模型选择，多重检验，多元方法，信号和图像处理，时间序列，平滑，空间统计，生存分析，非参数和半参数方法
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一级分类：Statistics        统计学
二级分类：Machine Learning        机器学习
分类描述：Covers machine learning papers (supervised, unsupervised, semi-supervised learning, graphical models, reinforcement learning, bandits, high dimensional inference, etc.) with a statistical or theoretical grounding
覆盖机器学习论文（监督，无监督，半监督学习，图形模型，强化学习，强盗，高维推理等）与统计或理论基础
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英文摘要：
  The measurement of treatment (intervention) effects on a single (or just a few) treated unit(s) based on counterfactuals constructed from artificial controls has become a popular practice in applied statistics and economics since the proposal of the synthetic control method. In high-dimensional setting, we often use principal component or (weakly) sparse regression to estimate counterfactuals. Do we use enough data information? To better estimate the effects of price changes on the sales in our case study, we propose a general framework on counterfactual analysis for high dimensional dependent data. The framework includes both principal component regression and sparse linear regression as specific cases. It uses both factor and idiosyncratic components as predictors for improved counterfactual analysis, resulting a method called Factor-Adjusted Regularized Method for Treatment (FarmTreat) evaluation. We demonstrate convincingly that using either factors or sparse regression is inadequate for counterfactual analysis in many applications and the case for information gain can be made through the use of idiosyncratic components. We also develop theory and methods to formally answer the question if common factors are adequate for estimating counterfactuals. Furthermore, we consider a simple resampling approach to conduct inference on the treatment effect as well as bootstrap test to access the relevance of the idiosyncratic components. We apply the proposed method to evaluate the effects of price changes on the sales of a set of products based on a novel large panel of sale data from a major retail chain in Brazil and demonstrate the benefits of using additional idiosyncratic components in the treatment effect evaluations.
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2022-4-19 19:09:11 上传

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关键词：反事实分析 实分析 econometrics Applications intervention

我们利用所有的信息进行反事实分析吗？因子模型和特性校正的优点--普林斯顿大学运筹学和金融工程学系李嘉图·马西尼切特统计和机器学习，普林斯顿大学圣保罗经济学院(EESP)，格图利奥·巴尔加斯基金会马塞洛·C·梅德罗斯经济学系里约热内卢天主教大学（PUC-Rio）2022年1月12日摘要最优定价，即确定商品利润或收入最大化的价格水平，是零售业的一项重要任务。要选择这样一个数量，需要从产品需求来估计价格弹性。回归方法通常不能恢复这种弹性，由于混杂的电子产品和价格的内生性。因此，通常需要随机实验。然而，弹性可能是高度异构的，这取决于商店的位置，例如。由于随机化经常发生在城市一级，标准的直接投资方法也可能失败。可能的解决方案是基于测量单个（或仅仅几个）治疗单元上的治疗的方法，基于从艺术控制中构建的反事实。例如，对于治疗组中的每个城市，可以从未治疗的位置构建反事实。本文应用一种新的高维统计方法对巴西一家大型零售商的日销售额价格变化进行了测量，该方法将主成分（因子）和稀疏回归相结合，形成了一种称为因子调整正则化处理评价法（FarmTreat）的方法。这些数据包括400多个城市的商品日销售额和价格。所考虑的产品属于甜和糖果类别，并在2016年和2017年进行了实验。我们的结果纠正了高度异质性的假设，在不同的城市中产生了非常直接的定价策略。JEL代码:C22、C23、C32、C33。关键词：反事实估计、合成控制、ArCo、处理e----ects、因子模型、高维测试、最佳定价、零售、价格设定、需求。致谢：我们感谢一位副编辑和三位匿名参考人士的非常有见地的评论。Fan的研究得到了NSF资助DMS-1712591、DMS-2052926、DMS-2053832和ONR资助N00014-19-1-2120。Masini和Medeiros的研究得到了CNPq和Capes的部分支持。我们还感谢ThiagoMilagres在数据集方面的帮助，以及D-Lab@PUC-RIO的所有团队提供了一个出色的研究环境。1介绍自Abadie and Gardeazabal(2003)和Abadie,Diamond and Hainmueller(2010)提出合成控制(SC)方法以来，基于从Arti firecialControls构建的反事实（即在没有干预的情况下不可观察的结果）对单个（或几个）处理单元进行治疗评估已经成为应用统计学中的一种流行做法。通常，这些人工（合成）对照是从干预前后一段时间内提供的未经治疗的对照面板中建立的。大多数基于人工对照的方法依赖于对治疗单元和干预前测量的潜在的大量来自同行的解释变量之间的统计模型的估计。反事实的构建面临着许多技术和经验上的挑战。通常，要估计的反事实模型的维数比可用的观测数大，并且必须施加一些限制。此外，目标变量的兴趣是非平稳的。最后，对反事实动力学进行推断并不简单。

尽管Abadie和Gardeazabal(2003)的原始工作能够处理其中的一些挑战，但已经提出了一些扩展；最近的讨论见Doudchenko和Imbens(2016)，Athey和Imbens(2017)，或Abadie(2021)。在零售商行业中，需要确定产品的最优价格，因此，我们开发了一种新的方法来构造反事实，该方法嵌套了其他几种方法，并对所有可用的信息进行了探索。本文提出的方法适用于平稳和非平稳数据，也适用于高维和低维数据。1.1异质弹性和最优价格。产品最优价格的确定在零售业中具有重要意义，所谓最优价格是指利润或收入最大化的价格。为了确定这一数量，我们需要从需求方面估计价格弹性。这并不是一项简单的任务，因为标准的回归方法通常无法恢复混淆电子产品和众所周知的价格内生性的感兴趣的参数。我们的新数据集包括巴西amajor零售商的每日价格和销售数量，在城市一级汇总。公司拥有1400多家分店，分布在全国400多个城市，覆盖了全国所有的州，无论从销售额还是在公司总收入中所占的份额来看，Chosendes产品都非常重要。总体目标是通过反事实分析计算城市一级的最佳价格。我们的方法确定了由于价格变化而导致的销售损失，并给出了需求弹性估计，进一步用于计算最优价格。为了确定每种产品的最优价格，我们进行了随机对照实验。更具体的是，对于每种产品，一组城市（治疗组）的价格发生了变化，而另一组城市的价格保持在原来的水平（对照组）。不同产品的价格变化幅度从5%到20%不等。此外，三种产品的价格有所上升，另外两种产品的价格有所下降。治疗组和对照组的选择是根据每个城市的社会经济和人口学特点以及商店在每个城市的分布情况进行的。然而，必须强调三个事实。首先，在随机化过程中，我们没有使用关于每个城市的产品销售量的信息，这是我们的输出变量。这样，我们就避免了任何选择偏差，并且可以保持利益干预与结果无关的假设是有效的。其次，尽管根据城市特点，我们在群体间保持了同质均衡，但平行趋势假说被违背，即使在控制了可观测数据后，每个城市的销售量和消费者行为也存在很强的异质性。这意味着价格弹性是相当不均匀的，最优价格可以在城市之间显著地相互影响。最后，数据中存在明显的季节性模式，并有共同的因素反映了各城市间的销售动态。我们的结果反映了干预中的异质性模式，产生了各城市间的房地产弹性和最优价格。此外，这些影响也影响到产品的质量。总体而言，在治疗组中，超过20%的个体的价格变化具有统计学意义，从利润最大化的角度来看，最优价格通常低于实际价格。

因此，我们建议，从利润最大化的角度来看，最优政策是改变那些具有统计意义的城市的价格。如果不可能获得统计意义的结果，可能需要进一步的实验来评估这些城市价格变化的e值。由于合同协议，1.1.2方法创新在前一小节讨论的实证应用的推动下，本文提出了一种包括主成分回归（因子）和稀疏线性回归的方法，用于估计反事实，以更好地评估价格变化后一系列产品的销售情况。它利用隐藏但可估计的特性成分的信息，在对等方和被处理方之间的映射中不存在稀疏性或近似稀疏性。此外，我们还表明，当干预后观测的数量被填满时，类似于Masini和Medeiros(2021)或Chernozhukov，Wüuthrich和Zhu(2020)中提出的检验可以应用。最后，我们还考虑了一个高维检验来回答使用特质成分是否真的能更好地估计治疗效果的问题。我们的框架可以应用于更广泛的预测和估计领域，因此我们将更抽象和一般性的理论发展留给了一篇论文（Fan et al.，2021)。所提出的方法包括四个步骤，称为FarmTreat。在一种方法中，去掉了外生（对感兴趣的干预）变量的e-ects，例如，异质性确定性（非线性）趋势、季节性和其他日历e-ects，和/或已知的离群值。在第二步中，基于firerst-step模型的残差估计因子模型。ideais是为了发现驱动被处理单元和对等体动态的公共组件。第二步是放松稀疏性假设的关键。为了探索各单元之间潜在的剩余关系，第三步建立了因子模型中的残差之间的LASSO回归模型，称之为因子模型中的特质成分。稀疏性只在第三个步骤中被施加，它比在第二个步骤中的稀疏性假设限制更少。注意，这三个步骤都是在干预前阶段进行的。最后，在第四步中，假设同伴不支持干预，对干预后阶段的模型进行了预测。受Fan、Ke和Wang（2020）的启发，我们将这里发展起来的the methodology称为FarmTreat，即用于治疗评估的因子调整正则化方法。上述过程既适用于平稳数据，也适用于确定性非线性和异构趋势的情况。在单位根的情况下，该程序应该在假设因子遵循一个综合过程（有或无漂移）的情况下进行。在这种情况下，我们的结果来自Bai and Ng(2008)的第7节。在此步骤之后，可以恢复目标变量和反事实变量的水平，并进行推理。我们证明了瞬时处理的估计量是无偏的。这一结果使得使用残差再取样程序成为可能，就像Masini和Medeiros(2021)或Chernozhukov，Wüuthrich和Zhu(2020)中的程序一样，在不依赖于干预后阶段的任何渐近结果的情况下，检验关于ECT治疗的假设。Masini and Medeiros(2021)或Chernozhukov，Wüuthrich and Zhu(2020)的检验过程与以下结论相似：第一篇论文考虑仅用预干预样本估计的模型，而第二篇论文主张使用全样本估计模型。

根据作者和我们的模拟，使用完整的数据在小样本中产生了更好的大小属性。我们相信我们的结果具有普遍的重要性，原因如下。首先也是最重要的一点是，在panela中所有单元之间的相互依赖程度很高的应用程序中，关于回归Coe的稀疏性或近似稀疏性假设似乎并不合理。此外，由于交叉依赖关系，也违反了LASSO或其他高维正则化方法的一致性所需的条件（Fan,Ke,and Wang,2020）。其次，对趋势、季节性e-ects和/或异常值进行筛选似乎是合理的，以便通过删除无信息的术语来突出潜在的干预e-ects。最后，建立被治疗单位和稀疏对等单位之间的剩余互依赖性模型，以收集有关单位的相关结构的所有相关信息也很重要。在综合控制文献中标准的治疗是外生的假设下，我们得到了干预后治疗单位前一个时间的治疗量的无偏估计。如果治疗是外源性的，只针对对等体，我们可以确定特定干预对被治疗单位的作用，即完全知道干预的时间。这可能是对几个宏观经济应用的兴趣，例如，英国退出欧盟关于英国经济的电子摘要，记录了事件发生的日期。我们进行了一项模拟研究，以评估本文讨论的估计和推理过程的样本性质。我们表明，即使在很小的样本中，所提出的方法也是相当有效的。此外，作为一个案例研究，我们使用一个来自巴西一个拥有1400多家商店的主要零售连锁店的新数据集来估计价格变化对产品销售的影响。我们展示了本文所讨论的方法如何用于估计异质需求价格弹性，并进一步用于确定多种产品的最优价格。此外，我们还证明了特质成分确实为更好地估计弹性系数提供了有用的信息。1.3与文献中的文献相比较，扩展了原有的SC方法，并在只处理单个单元的情况下导出了反事实的估计量。我们从与卡瓦略、马西尼和梅德罗斯（2018年）的比较开始。在本文中，我们既不考虑稀疏性，也不考虑介入前和介入后的渐近性。为了证明我们的结果，我们只需要干预前的样本发散。此外，通过将因子结构与稀疏性结合起来，我们放宽了关于被处理单元与其对等体之间关系的弱稀疏性假设。此外，我们考虑到了不均匀的趋势，这些趋势可能不像前面提到的论文中的那样是有界的；类似卡瓦略、马西尼和梅德罗斯（2018）的设置，见李和贝尔（2017）。Masini和Medeiros(2019，2020)考虑了当数据非平稳时，可能有单位根时的合成控制扩展。然而，前一篇文章将弱稀疏性引入到被处理单元与节点之间的关系中，而后一篇文章只处理了低维情况。低维非平稳情形在其他许多文献中都有讨论。例如，参见Hsiao,Ching,and Wan(2012)、Ouyang and Peng(2015)、Du and Zhang(2015)、Li（2020）等。与DiD估计器相比，基于SC方法的许多估计器的优点是三倍。首先，我们不需要接受治疗的人数增加。事实上，当有一个单一的被处理单位时，就会出现严重的情况。

第二个，也是最重要的是，我们的方法是为这样的情况而开发的，即1个未经处理的单位可能会从被处理的单位中大大增加ER并且不能形成一个控制组，即使在一组可观察到的条件下也是如此。例如，在本文中的应用程序中，一个特定处理城市的销售动态无法与任何其他城市完全匹配。另一方面，可能存在一组城市，在没有处理的情况下，组合销售与被处理单位的销售足够接近。文献中的另一个典型例子是，如果用几个未经处理的地区的国内生产总值的线性组合来解释特定地区的国内生产总值(GDP)；参见Abadie和Gardeazabal(2003)。最后，SC方法及其扩展通常是一致的，即使没有平行趋势。最近，Gobillon和Magnac(2016)通过估计一个正确指定的线性面板模型，用严格的外生回归和交互式的e-ects表示为具有异质负载的许多公共因素，从而推广了DiD估计量。当T（样本量）和n（对等数）都趋于完全时，它们的理论结果依赖于双渐近性。作者允许常见的混杂因素具有非线性确定性趋势，这是考虑估计时假设的线性平行趋势假设的进一步化。我们的方法非常重要地借鉴了Gobillon和Magnac(2016)的方法，因为我们在考虑了公共因素后，考虑了特质单元之间的交叉依赖。最后，Chernozhukov,Wuthrich和Zhu(2020a，b)提出了一种通用的共形推理方法，可用于上述模型的建立。当样本量较小时，我们强烈建议使用Chernozhukov,Wuthrich和Zhu(2020)中描述的方法对干预进行推理。Chernozhukov，Wüuthrich和Zhu(2021)对Carvalho，Masini和Medeiros(2018)提出了一个很好的推广，并提出了一种新的推理方法来检验高维和潜在非平稳性下的干预假说。然而，他们的方法在三个方面与我们的方法不同。首先，更重要的是，他们的结果是基于干预前和干预后样本的差异。其次，他们的推论程序设计成只在平均水平上检验假设。我们的程序可以应用于一个广泛的假设检验类。最后，他们认为模型中的所有变量都有完全相同的（随机）趋势。这是一个比本文考虑的框架更受限制的框架。1.4论文的组织论文的其余部分组织如下。我们在第2节中给出了所提出的方法和应用的概述。我们在第3节中提出了设置和假设，并在第3.2节中陈述了关键理论结果。第3.3节介绍了推论过程。我们在第5节给出了模拟实验的结果。第4节致力于为决策者提供指导，在第6节中可以找到实证应用的讨论。第七节总结全文。2方法该数据集是tZit的一个实现，即:1\\i\\n，1\\t\\tu，其中Zitis感兴趣的变量和Wits描述潜在的协变量，包括季节性项和/或确定性（非线性和异构）趋势，例如。假设我们有兴趣估计在t`1处发生干预后，对参数单位的变量z1te的影响。我们根据同龄人Z1T估计了一个反事实：“pZ2t，。被认为受到干预的Beuna。..,ZNTQ。

我们允许Z1的尺寸随样品尺寸增长，即n：“nt。我们还假设Witare没有受到干预。我们的主要思想是利用潜在因素和特质成分中的信息，并将其命名为FarmTreate，从而将其过程概括为以下几个步骤：1.对于每个单位i“1，..n,进行回归：青春痘“γiwit`Rit,t”1,..、Té和computeprit：“zit pγiwit，其中Té”Tfor i“1和Té”T，否则。这将因机智而导致的异质性提前了。如前所述，Witmay包括一个截距，任何可观察的因素，处理季节性和异常值的假人，以及确定性（多项式）趋势，例如。在我们的特殊应用中，Zita表示一个城市i中每家商店每天销售的产品数量，Wite包括一个常量，一周中几天的六个虚拟变量和一个线性趋势。写RT：“pR1t，。..,Rntq,即非均质性调整后的截面数据zt：“pZ1t,--,zntq。拟合因子模型rt“λft`Ut，其中Ftis是未观测因子的r维向量，λ是未知的n r载荷矩阵，Utis是n维特性分量。第二步是利用面板数据tprtutt“1学习公因子ft和因子加载矩阵λ，用put”pt“pp”pu 1 t,计算估计的特征分量。...,punt。关于高维因子分析有大量文献；参见Fan等人的书的第10章。（2020年）详见。重要的一点是，我们不应该在处理单位后使用数据。在4.3节中讨论了处理这个问题的许多可能性。第三步是使用特质成分进一步增强对处理单元的预测。它包括对no剩余横断面依赖（可选）的null的figurrst测试。如果null被拒绝，则在干预前的周期中修改模型pu1t“θpu1t`Vt,t”1,。..,T,通过使用套索，这里pu1t“pu2t,。...,punt。即computePθ“arg min￣tót”1＇pu1t＇θpu1t＇ζ}θ}。（2.1）这一步使用特征成分的横截面回归来估计处理单元中的ects。由于TPFTUTT“1和TPUTUTT”1之间的正交性，这与使用PFTANDPU1TTO预测PR1T与PU1T的稀疏回归COE cients FOR PU1T大致相同。该模型包括Rtas上的稀疏线性模型（见下文(2.4))，由于因子的调整，所需的模型选择条件更容易满足。它还包括Pθ“0的主成分回归(PCR)，即不使用横截面预测。最后，对T_taspδt′z_1t′pγw_1t′pλpft′pθpu′_1t的干预效果进行了估算。(2.2)EPλ是单位1的估计负荷，即Pλ的第1行。在治疗后阶段，在不使用R1、T.5的情况下学习已实现的因子SPF。用估计量（2.2）检验无干预的零假设，如（3.1）所述。我们在估计反事实方面的创新是多方面的。为了简单起见，让我们假设我们没有Witcomponent，所以RT“ZT。首先，该方法探索了异质成分之间的共同因素和依赖关系，不仅利用了更多的信息，而且使新变换的预测因子成为无关联的。后者使变量选择更加容易，预测更加准确。注意，因子回归（主成分回归）估计反事实是θ“0时的一个特例。显然，该方法探索了θ的稀疏性以提高性能，还包括Masini和Medeiros(2021)中关于Z1TTO估计反事实的稀疏回归情况，其中反事实估计为Z1T“θZ1T\'t,t”1,-,t。

（2.3）然而，变量Z1皮重在高维度上高度相关，因为它们是由公共因素驱动的，这使得变量选择过程不一致，预测也有缺陷。相反，范、柯和王（2020）引入了解除的想法，称为因素调整。使用步骤2中的因子模型，我们可以编写线性回归模型(2.3)asz1t“θλ1ft`θu1t`t，(2.4)，其中λ1和u1皮重被定义为λ，并在第一行外。当我们取λ“θ1时，这减少了使用稀疏回归来估计反事实，而现在使用Fan,Ke,and Wang(2020)的更强大的FarmSelect来对稀疏回归进行优化。同样，FarmSelect将条件θλ1作为FT的回归coe-cients。我们的方法不需要这种约束。这种可选性使我们即使在稀疏线性模型不成立的情况下也可以应用我们的新方法。最后，我们还考虑了通过测试θ“0这一无效假设来检验特殊成分的贡献。请注意，这是一个高维假设检验，它相当于检验治疗单位的特质成分u1t与干预前期间未治疗单位的特质成分u1t之间的不相关性。3假设和理论结果3.1假设假设我们有n个单位（市政、渔业等），由i“1”索引。...N.对于每一个时间周期t“1,。我们观察到一个实值随机向量ZT的实现：“pZ1t，...,Zntq.我们假设在T`1发生了干预，那里1aTaT。为了简单起见，设DtP t0,1u为每个单元考虑一个标量变量，本文的结果可以很容易地推广到多变量的情况。二进制变量，用于标记对单元1进行干预的周期。因此，遵循Rubin的潜在结果框架，我们可以表示ZitaSzit“dtzp1qit`p1`DtqZp0qit，其中Zp1qit表示单元i暴露于干预时的潜在结果，Zp0qit表示单元i未暴露于干预时的潜在结果。我们最终关注的是在感兴趣的单元中的干预的潜在e-ects上检验假设，即在被治疗的单元上的治疗e-ect。在不丧失一般性的情况下，我们将单元1设置为感兴趣的单元。待检验的无效假设为:h:gpδt`1。.，δtq“0,（3.1）其中δT:”zp1q1t′Zp0q1t,@T′T,和gp′q是向量值连续函数。一般零假设（3.1）可以专门化到许多感兴趣的情况，例如:h:t\'tt://t“t`1δt”0或h:δt“0,@t^t.显然，对于每个单位i”1,..,n和在每个周期t“1,..T,我们观察到了Zp0qitor Zp1qit。特别是Zp0q1tis从t`t`1开始没有观察到。因此，我们以后称它为反事实--即，如果没有干预（潜在的结果），Z1Twold会是什么样子。反事实是通过考虑一个没有干预的模型来构建的:ZP0q1t“M\'ZP0q1t；θ`Vt,t“1,...,T,（3.2）其中zp 0 q 1 T：“pZp0q2t,。.，Zp0qntqbe是所有控制变量（所有变量在未处理的单元中）的集合。，M:Zθ,zrn1,是一个已知的可测映射，直到由θPθ索引的参数向量，θ是一个参数空间。MPZ0T型的线性特性（包括附属品）；θq是干预前阶段反事实模型中最常见的选择。FarmTreat使用了一个更复杂的模型。粗略地说，为了恢复干预的e counts，我们需要在感兴趣的单位中强制要求对等方被干预所限制。否则，我们的反事实模型将是无效的。具体来说，我们考虑以下关键假设1（干预独立性）。

Zp0qtis对于所有的1s,Tut，与dss无关。我们也可以将变量的滞后和/或外生回归子包括在Z1t中，但同样，为了保持论点的简单性，我们只考虑了同期变量；参见Carvalho、Masini和Medeiros(2018)更多的一般性说明。假设1对被治疗者进行了治疗。如果只有Zp0q1TIs与DSS无关，则只要Tis是确定性和已知的，我们就可以恢复干预对治疗单元的影响。后一种情况在关于SC的论文中是典型的，其主要思想是仅使用干预前的样本t“1,来估计（3.2）。..,T,从假设1开始，所有T的zp0qt“pzp0qtdt”0q“pztdt”0q。因此，对干预后时期的反事实估计，t“t`1，..。，T，成为pzp0q1t:“mpz1t；pθtq。在Zt的某种平稳假设下，在线性模型的背景下，Xiao、Ching和Wan(2012)和Carvalho、Masini和Medeiros(2018)表明，随着干预前样本量在低维和高维稀疏情况下的增长，δT:”Z1tPzp0q1是δT的无偏估计。我们对没有干预的单位建模如下。假设2(DGP)。由zp0qit“γiwit`λift`Uit(3.3)生成过程tzp0qit:1iàn，tí1u，其中γip rki是单位i的k维可观测随机向量的向量，Ftis是单位i的公因子的r维向量，λit是单位i各自的载荷向量；Uitis为零均值特异性休克。最后，我们假设Wit、ft、uit是相互不相关的。包括Witis以适应截取、异质确定性趋势、季节性假人或实践者认为有助于构建反事实的单元i的任何其他外生（可能随机）特征的原因。如前所述，我们包括一个截距，假人来说明一周中的几天和线性趋势。例如，其他可能性可能是全国范围的促销和/或假期。在随机异构趋势的情况下，我们让因素遵循有（或无）漂移的随机游动:ft“μ`ft”1`ηt，其中tηtu是一个二阶平稳向量过程。在这种情况下，该方法必须应用于决策，最终应该构建水平。我们的反事实模型是zp0q1ton在空间上的投影，由pW1t，Ft，u1，tq构成。在假设2下，反事实可以被认为是zp0q1t“γw1t`λft`θu1t`Vt，(3.4)，其中θ是U1tonto u1tt和vtt各自投影误差的线性回归的coe-cient。3.2理论保证为了以精确的方式陈述我们的结果，我们考虑下面的技术假设。首先，设WS，it表示排除所有确定性（非随机）分量（常数、假值、趋势等）后的子向量。我们对未观察到的因子是平稳的情况给出了假设。对于非平稳（单位根）因子，唯一的条件是所涉及的变量存在的条件是:Δws，it，Δft和Δut。在这种情况下，我们的结果可以根据Bai and Ng(2008)，Section 7得到。注意，如前所述，如果兴趣在于序列水平上的干预，那么在这一步之后，目标变量和反事实的水平都可以恢复，推理过程可以不变地应用。假设3（正则性条件）。存在常数0aCa8，使得:(a)WS的协方差矩阵，itis非奇异；(b)EWS，itpàC和euitpàC，对于某些pà6和i″1，^0。..,n,t“1,....

,T；(c)过程tpWS,T,Ft,Utq,T P Zu是弱平稳的，强混合Coe_cientα满足αpmq_expp_2cmq,对于某些c+0和对于所有m P Z；(d)}θ}c；(e)κ:“κrepututq,S,3Séc_1,其中κR-是补充材料中(d.1)中规定的相容条件，S:ti:θ1,i‰0u。条件(a)对于参数γi,i”1,是必需的。...,n,要很好地修饰。条件(b)和(c)加在一起，允许强混合过程的大数定律应用于适当比例的和。特别地，pbq一致地限定了p次加矩。然而，如果像Fan，Masini和Medeiros（2021）中的假设3所设想的那样，Uithas指数尾，我们可以根据样本大小的非零coe的允许数量来陈述一个更强的结果。假设3中的条件pdq和peq是高维线性模型上的正则性条件，在步骤3中用LASSO方法估计出，条件(c)中的混合率可以被削弱为与命题1中的条件相互作用的多项式代价。最后，假设3中的条件pdq和peq是高维线性模型上的正则性条件。条件(e)保证了目标函数的（受限）强凸性，这是一致估计θ时所必需的。在e&T中，它一致下界了UT协方差矩阵的最小受限特征值。为了简单起见，假设(d)和(e)中出现的界限是均匀成立的，但是，这两个条件都可以稍微放宽，允许}θ}随着n发散而缓慢增长和/或κα缓慢下降到0。再一次，以在命题1的条件中包含两个项为代价。命题1。在假设1-3下，进一步假设：(a)存在一个有界序列η:“ηn,tsuce that}pU′U}max”oppηq；和(b)S“o！η”pnt q1{p`η‰`n4{p？t)1é。如果（2.1）中的惩罚参数ζ设为n2{p？t`ηt1{pthen,作为t`8,}pθθ}“oppζsq,对于每一个t`t:pδt`δt”vt`op“S”ηpnt q1{p`n3{p？t“*，其中Vtis是由（3.4）注2所定义的未经处理的单位无法解释的随机分量。条件(a)和(b)是高层次的假设，转化为对所提出方法的步骤1和步骤2中的估计率的限制，这反过来又对θ（稀疏性）中的非零Coe-cients的数量提出了上限，以便估计误差可以忽略不计。通过对因子模型的投影矩阵施加条件，可以显式地用n和T表示速率η。对于前者，我们需要考虑前一步投影误差的因子和载荷估计量的一致一致性。在一个更一般的设置中，Fan，Masini和Medeiros(2021)陈述了条件，在此条件下η“n6{pT1{2}6{p`t1{p？n.命题1是我们在3.3节中讨论的推理过程的关键。例如，它可以用来论证pδt′δt“vt′opp1q假定s”ηpnt q1{p′n3{p？té“op1q。在零均值的构造下，当t_8时，pδ是干预后每个阶段δt的无偏估计量。此外，如下所述，我们可以利用干预前的残差来估计Vtu的分位数，从而对δt进行有效的推断。3.3干预e的检验我们基于tpδtut的估计量和Masiniand Medeiros(2019，2020)和Chernozhukov，Wüuthrich和Zhu(2020)的结果来检验无干预e的null。设T：“T ts是干预后的观测次数，并构造一个泛型连续映射φ:rt＇rb，其参数为T维向量ppδT＇1＇δT＇1。..,pδt′δtq在给定的处理条件下，我们对pφ:“φppδt′1′δt′1,”的分布感兴趣。在零值（3.1）下，pδt′δtq，其中φ是给定的统计量。典型的情况是，干预前的周期比干预后的周期长得多，通常情况下，T1。