我们是否利用所有信息进行反事实分析？的好处 因子模型与特质校正

小组(b)给出了用主成分回归(PCR)估计反事实时的结果，即处理单位对从同行池中计算的因素的普通最小二乘(OLS)回归。这相当于Gobillon和Magnac(2016)的方法。因子数由Ahnand Horenstein(2013)的特征值比检验确定。最后，面板(c)显示了FarmTreat方法的结果。在括号之间，我们报告了相同的统计数据，但与Chernozhukov、Wüuthrich和Zhu(2020)所倡导的使用全样本估计的模型一样。面板(a)：LASSO（ArCo）-Carvalho等人。（2018）平均中位数MSEn“T n”2 T n“3 T n”T n“2 T n”3 T n“T n”2 T n“3 TN”T n“2 T n”3 TT“501.998 2.048 2.001 1.938 2.077 1.973 0.982 0.972 0.812[0.945][0.830][0.826][0.680][0.694][1.597][1.711]2.002 2.025 1.946 1.913 0.871 0.821 0.828 72]2.003 1.998 2.087 2.025 2.024 2.060 0.737 0.691 0.681[1.316][1.250][1.177][1.236][1.169][1.093][0.899][1.011][1.098]2.014 2.015 1.967 2.051 2.025 1.985 0.561 0.617 0.587[1.486][1.435][1.323][1.458][1.376][1.262][0.670][0.722][0.853]2.037 1.989 2.033 2.033 2.061 2.022 0.497 0.550 0.491[1.581][1.532][1.526][1.509][1.476][0.535][0.631]2.047 2.022 1.960 2.043 2.036 1.9490001.974 2.014 1.969 1.957 2.036 1.987 0.380 0.334 0.378[1.810][1.785][1.715][1.815][1.792][1.725][0.297][0.341][0.350]小组(b)：聚合酶链反应-Gobillon和Magnac（2016）平均中位数MSEn“T n”2 T n“3 T n”T n“2 T n”3 T n“T n”2 T n“3 T n”2 T n“3 TT”501.941 2.071 2.025 1.981 2.100 1.932 1.150 0.944 0.897[1.524][1.718][1.757][1.727][1.732][1.161][0.717][0.652]1.998 2.004 1.990 1.998 2.020 1.988 1.237 0.955 0.946 793][0.741]2.019 1.962 2.061 1.977 1.937 2.024 1.050 0.920 0.810[1.662][1.929][1.857][1.708][1.926][1.820][1.028][0.689][0.750]1.995 1.988 1.954 1.997 1.978 1.937 0.9410.838 0.790[1.776][1.867][1.806][1.871][1.859][1.802][1.000][0.772][0.838]2.032 1.970 2.016 2.009 1.983 1.979 0.802 0.723[1.893][1.893][1.890][1.890][1.821][0.837][0.814]2.013 2.074 1.964 2.025 2.047 1.976 0.777 0.758 0.731 731]S1，0002.026 2.029 1.936 2.055 2.046 1.965 0.786 0.765 0.800[2.010][2.033][1.939][2.062][2.037][1.933][0.714][0.770][0.751]小组(c):FarmTreatMean MSEn“T n”2 T n“3 T n”T n“2 T n”3 T n“T n”2 T n“3 T T n”2 T n“3 TT”501.933 2.052 2.044 1.938 2.062 2.031 0.800 0.712 0.633[0.986][0.865][0.796][0.603][0.509][1.595][1.713][1.874]1.9952.010 1.985 1.990 2.007 1.9960.913 0.503 0.510[1.423][1.508][1.439][1.515][1.533][1.459][0.828][0.689][0.745]2.007 1.982 2.080 2.000 1.965 2.094 0.565 0.418 0.395[1.597][1.765][1.752][1.639][1.772][1.769][0.660][0.366][0.363]1.997 2.003 1.986 2.050 2.029 1.962 0.509 0.320 0.311[1.701][1.843][1.789][1.770][1.833][1.785][0.567][0.303][0.322]2.019 2.000 2.033 2.017 2.000 2.014 0.363 0.322 0.294[1.875][1.908][1.887][1.819][0.332][0.288][0.279]2.037 2.005 1.981 0.262 0.247 0.262[1.967][1.933][1.980][1.938][1.978][0.299][0.251][0.256]1,0001.993 2.008 1.985 2.005 2.003 1.968 0.278 0.264 0.271[2.007][2.013][1.945][2.008][2.042][1.957][0.245][0.283][0.259]表3：零值下的拒绝率（经验大小）表报告了零值下重新抽样试验的拒绝率。小组(a)考虑了通过对所有peers的处理单位进行套索回归来估计反事实的情况，这是Carvalho等人提出的艺术反事实(ArCo)方法。（2018年）。

面板(b)给出了当反事实通过主成分回归(PCR)来估计时的结果，即对从对等点池中计算的因素进行处理单元的普通最小二乘(OLS)回归。这相当于Gobillon和Magnac(2016)的方法。因子数由Ahn和Horenstein(2013)的特征值比检验确定。最后，面板(c)显示了FarmTreat方法的结果。在方括号之间，我们报告拒绝率，但采用Chernozhukov、Wüuthrich和Zhu(2020)所倡导的全样本估计。面板(a)：LASSO（ArCo）-Carvalho等人。（2018）α“0.01α”0.05α“0.10 n”T n“2 T n”3 T n“T T n”2 T n“3 T n”T n“2 T n”3 T T n“T n”2 T n“3 T T T”3 T T T“500.294 0.398 0.326 0.498 0.430 0.562 0.492[0.028][0.028][0.026][0.070][0.072][0.096][0.102][0.110]0.156 0.244 0.254 0.372 0.356 0.452[0.022][0.026][0.018][0.054][0.064][0.134][0.114][0.114][0.114][0.111]0.096 2 0.316 0.288 0.366 0.394[0.016][0.024][0.010][0.050][0.078][0.056][0.092][0.124][0.086]0.090 0.114 0.118 0.1660.228 0.220 0.252 0.304 0.290[0.010][0.012][0.014][0.046][0.044][0.104][0.086][0.118]0.064 0.050 0.060 0.146 0.198 0.218 0.230[0.010][0.014][0.014][0.052][0.092][0.116][0.116]0.032 0.024 0.40 0.110 0.172 0.1500000.012 0.024 0.026 0.068 0.096 0.082 0.122 0.166 0.160[0.010][0.022][0.014][0.048][0.048][0.054][0.088][0.110][0.106]小组(b):聚合酶链反应-Gobillon和Magnac（2016）α“0.01α”0.05α“0.10 n”T n“2 T n”3 T n“T n”2 T n“3 T n”T n“2 T n”3 T T“T n”2 T n“3 TT”500.152 0.042 0.040 0.216 0.104 0.080 0.242 0.162 0.126[0.018][0.020][0.022][0.064][0.084][0.084][0.108][0.102]0.100 0.032 0.022 0.134 0.194 0.184 0.150 0.066 0.194 0.100 0.132[0.006][0.008][0.008][0.056][0.058][0.044][0.110][0.110][0.082]0.0840.020 0.024 0.128 0.078 0.088 0.176 0.118 0.144[0.012][0.010][0.016][0.046][0.040][0.116][0.102][0.038][0.052][0.102][0.104][0.104]0.018 0.010 0.010 0.046 0.048 0.110 0.084 0.122[0.014][0.016][0.006][0.036][0.060][0.090][0.100][0.118]1,0000.008 0.002 0.010 0.050 0.056 0.052 0.096 0.102 0.104[0.012][0.018][0.012][0.058][0.064][0.054][0.084][0.114][0.110]面板(c):FarmTreateα“0.01α”0.05α“0.10 n”T n“2 T n”3 T n“T n”2 T n“3 T n”T n“2 T n”3 T T“T n”2 T n“3 TT”500.3320.400 0.362 0.388 0.468 0.468 0.460 0.434 0.532 0.496[0.018][0.020][0.052][0.052][0.058][0.084][0.092]0.120 0.084 0.110 0.186 0.190 0.248 0.292 0.272[0.020][0.010][0.066][0.064][0.048][0.146][0.112][0.088 208 0.168 0.160[0.004][0.024][0.016][0.046][0.058][0.052][0.120][0.118][0.078]0.078 0.022 0.026 0.156 0.0800.084 0.206 0.134 0.140[0.014][0.012][0.008][0.054][0.052][0.094][0.118]0.028 0.006 0.022 0.096 0.066 0.070 0.136 0.132[0.008][0.052][0.060][0.050][0.110][0.114][0.098]表4：替代方案下的拒绝率（经验功率）表报告了替代方案下重新抽样试验的拒绝率。(a)小组考虑了这样一种情况，即反事实是通过对所有同行的处理单位进行套索回归来估计的。

这是Carvalho等人提出的反事实艺术（ArCo）方法。（2018年）。面板(b)给出了当反事实通过主成分回归(PCR)来估计时的结果，即对从对等点池中计算的因素进行处理单元的普通最小二乘(OLS)回归。这相当于Gobillon和Magnac(2016)的方法。因子数由Ahn和Horenstein(2013)的特征值比检验确定。最后，面板(c)显示了FarmTreat方法的结果。在方括号之间，我们报告拒绝率，但采用Chernozhukov、Wüuthrich和Zhu(2020)所倡导的全样本估计。面板(a)：LASSO（ArCo）-Carvalho等人。

（2018）α“0.01α”0.05α“0.10 n”T n“2 T n”3 T n“T n”2 T n“3 T n”T n“2 T n”3 T n“T n”2 T n“3 TT”500.764 0.826 0.856 0.850 0.894 0.926[0.394][0.448][0.448][0.514][0.516][0.616][0.626][0.626][0.678][0.728 0.812 0.886 0.882 0.878 0.912 0.918 754][0.750]0.744 0.800 0.816 0.858 0.886 0.888 0.906 0.914 0.916[0.464][0.514][0.540][0.646][0.722][0.728][0.736][0.804][0.820]0.778 0.766 0.766 0.8920.870 0.858 0.908 0.910 0.900[0.596][0.586][0.756][0.736][0.728][0.824][0.830][0.812]0.812 0.780 0.880 0.846 0.920 0.922[0.674][0.634][0.724][0.784][0.874][0.872][0.864][0.856]0.856 0.854 0.836 0.944 0.938 0.932 0.960 0.958 0.964[0.74][0.700][0.756][0.880][0.856][0.856][0.856][0.880][0.820][0.82][0.86][0.932][0.948]1,0000.860 0.878 0.838 0.948 0.944 0.942 0.962 0.974 0.972[0.808][0.774][0.772][0.922][0.916][0.896][0.966][0.954][0.954]小组(b)：聚合酶链反应-Gobillon和Magnac（2016）α“0.01α”0.05α“0.10 n”T n“2 T n”3 T n“T n”2 T n“3 T n”T n“2 T n”3 T T n“2 T n”3 TT“500.488 0.510 0.448 0.654 0.660 0.728 0.744 0.740[0.266][0.308][0.344][0.450][0.542][0.560][0.660][0.668][0.668]0.448 0.414 0.622 0.754 0.750 0.722[0.282][0.322][0.328][0.428][0.428][0.520][0.660][0.668]0.448[0.624][0.706][0.700]0.400 0.338 0.390 0.624 0.610 0.646 0.752 0.710 0.744[0.264][0.320][0.290][0.504][0.604][0.570][0.626][0.720][0.706]0.4640.418 0.398 0.672 0.632 0.632 0.630 0.764 0.740 0.738[0.372][0.362][0.346][0.574][0.574][0.674][0.684][0.680]0.412 0.414 0.642 0.650 0.744 0.754[0.354][0.368][0.374][0.604][0.704][0.710][0.708]0.392 0.434 0.376 0.666 0.788 0.750[0.374][0.360][0.386][0.680][0.710][0.708]0.628 0.766 0.788 0.750[0.664][0.760][0.752][0.760]1,0000.412 0.434 0.362 0.668 0.640 0.604 0.760 0.754 0.702[0.418][0.436][0.344][0.640][0.630][0.628][0.734][0.746][0.744]小组(c):FarmTreateα“0.01α”0.05α“0.10 n”T n“2 T n”3 T n“T n”2 T n“3 T n”T n“2 T n”3 T T n“2 T n”3 TT“500.826 0.854 0.884 0.892 0.920 0.912 0.940 0.946[0.458][0.586][0.626][0.612][0.780][0.780][0.738][0.774 0.812 0.940 0.954 0.950[0.618][0.680][0.676][0.752][0.834][0.858][0.852][0.858][0.852][0.852][0.852][0.852][0.920]0.758 0.800 0.818 0.886 0.916 0.958 0.934 0.950 0.980[0.662][0.752][0.762][0.816][0.910][0.894][0.868][0.956][0.940]0.852 0.862 0.878 0.950 0.9600.964 0.978 0.972 0.976[0.764][0.832][0.834][0.860][0.946][0.928][0.902][0.972][0.952][0.940][0.940][0.948][0.980][0.980][0.976][0.980][0.976][0.912][0.908][0.964][0.968][0.964][0.968][0.968][0.968][0.968][0.98][0.98][0.98][0.98][0.98][0.968][0.98][0.968][0.98][0.98][0.98][0.986][0.984]1,0000.898 0.916 0.924 0.974 0.978 0.970 0.988 0.988 0.990[0.918][0.890][0.888][0.974][0.968][0.990][0.984][0.988]表5：实验。表格显示，对于论文中考虑的每种产品，样本，进行实验的时期，实验的类型（价格增加或减少），价格的巨大，以及控制和治疗组城市数量。产品样品实验期间实验类型震级控制组治疗组pi 2月13-2016年10月11-2016年10月18-2016年10月18-2016年10月18-2016年1月23-2017年1月17-2017年1月23-2017年1月23-2017年1月23-2016年10月18-2016年10月21-2016年10月21-2016年10月21-2016年10月21-2016年10月21-2016年10月21-2016年10月21-2016年10月21-2016年10月21-2016年10月21-2017年1月23-2017年1月23-2017年1月23-2017年1月23-2017年1月23-2017年1月23-2017年1月23-2017年1月23-2017年1月23-2017年1月23-2017年1月23-2017年1月23-2017年1月23-2017年1月23--2017年05月02日-2017年04月19号-2017年05月02日-2017年05月02日降价10.05%328 110表6：结果：估计及推论。

在每个面板中，我们报告每种产品的最小值、5%-、25%-、50%-、75%和95%分位数、最大值、平均值和标准差。我们考虑在处理过的城市的分布。在面板(a)中给出了干预前模型的r-平方的结果。面板(b)显示了实验期间平均干预的结果。图(c)和图(d)描述了零假设h的重抽样检验P值的结果:δt“0,@t P tt`1,。分别用试验统计量φppδT`1,。..,pδtq“@tt”t`1 pδtorφppδt`1,。.pδtq“@tt”t`1pδt。最后，面板(e)报告了特质贡献测试的P值结果。面板(a)：R平方积min5%-分位数25%-分位数中位数75%-分位数95%分位数最大平均STD。DevI 0.1134 0.1949 0.3605 0.4913 0.6215 0.7542 0.9077 0.4865 0.1749 ii 0.4669 0.7237 0.8744 0.9298 0.9298 0.9258 0.9278 0.9540 0.6750 0.1981ii0.1190 0.3094 0.5236 0.7101 0.8341 0.9278 0.9988 0.8972 0.1073v 0.0366 0.6744 0.8822 0.9327 0.9633 0.9633 0.9633 0.9988 0.8972 0.1073v 0.0366 0.0527 0.1040 0.1670 0.2795 0.4258 0.6517 0.6517 0.1995 0.1260 Panel(b)：平均处理e-cp ect（随时间推移）：product Min 5%-分位数分位数中位数75%-95%分位数最大平均STD。Devi-18.9451-16.3384-7.7380-3.2545-1.1891 1.4580 3.8921-4.8996 5.3115 III-44.4114-26.8298-14.6979-7.2601-3.6173 3.7216 42.2832-9.0446 11.1052 III-48.6364-17.2678-6.3314-2.5950-0.6001 0.7309 9.0886-4.8875 7.9211 IV-2.9729-1.7697-0.4535 0.2842 1.3057 3.7759 6.5858 0.5660 1.7131 V-1.5141-0.9080-0.4308-0.1544 0.1455 0.6984 1.6005-0.1440 0.4949面板(c)：平方值测试的P值-积最小5%-分位数25%-分位数中位数75%-分位数95%分位数最大平均STD。DevI 0 0 0.0755 0.2468 0.5660 0.8623 0.9617 0.3338 0.2961 ii 0 0.0091 0.0826 0.3409 0.6116 0.9331 1.0000 0.3774 0.2992 iii 0 0 0.0809 0.2872 0.5702 0.9191 0.9702 0.3482 0.2913 iii 0 0 0.1178 0.3781 0.3711 1.0000 0.4151 0.3292 v 0 0.0596 0.3292 v0 0.0596 0.3021 0.6234 0.9234 1.0000 1.0000 0.5998 0.3285 panel(d)：p-绝对值测试值产品Min 5%-分位数25%-分位数中位数75%-分位数95%分位数最大平均标准。DevI 0 0 0.0457 0.1660 0.6053 0.8894 0.9957 0.3093 0.3128 II 0 0 0.0620 0.2831 0.6074 0.9190 0.9917 0.3500 0.3059 iii 0 0 0.0511 0.2383 0.5957 0.9177 0.9177 0.3333 0.3119 iiv 0 0 0.09992 0.3988 0.6860 0.9463 1.0000 0.4113 0.3311 v 0 0 0.0553 0.2511 0.6553 0.9234 1.0000 0.6006 0.333 panel ee:p-特质贡献测试值product Min 5%-分位数25%-分位数中位数75%-分位数95%分位数最大平均标准。DevI 0 0 0.0120 0.0700 0.2415 0.6651 0.7380 0.1570 0.1975 ii 0.0120 0.0232 0.0560 0.1400 0.2540 0.5012 0.7000.1819 0.1531 iii 0 0 0.0140 0.0720 0.1480 0.3296 0.51000.1041 0.1155 iii 0.0140 0.0430 0.0970 0.1770 0.3050 0.4400 0.6900 0.2082 0.1365 v 0.0040 0.0120 0.1860 0.3340 0.5120 0.7680 0.8540 0.2208表7：结果：弹性和最佳价格。该表报告弹性估计以及当前价格与最佳价格最大价格之间的百分比。在每一个面板中，我们报告每种产品的最小值，5%-，25%-，50%-，75%-，95%--分位数，最大值，平均值和标准差。我们考虑在选定的处理城市的分布。我们只报告与估计的θ有正确标志的城市有关的结果，而e_ects是10%水平的统计标志。最后一列指出满足上述标准的城市比例。在面板(a)中，我们报告了估计弹性的结果；在面板(b)中，我们显示了当前价格与最优价格之间的差值的结果。面板(a)：弹性乘积最小5%-分位数25%-分位数中位数75%-分位数95%分位数最大平均STD。

Dev Fractioni-6.5063-4.9033-3.8701-3.2394-2.8788-1.6952-0.9111-3.3737 1.0605 0.2887 III-17.6172-15.9339-12.4079-9.2212-5.3922-2.1923-1.7181-9.1675 4.2633 0.2549 III-3.3421-3.2692-2.8714-2.3356-1.7182-1.2854-1.1852-2.3187-0.6597-0.2642 IV-23.7060-20.9949-9.8284-7.2089-1.8260-1.7398-8.4089 6.2820 0.2100 705-24.8448-19.7129-9.8875-3.6541-3.6541-20.338013.23660.0636面板(b)：价格差异（最小5%分位数25%分位数中位数75%分位数95%分位数最大平均标准。Dev Fractioni-15.9781-13.3710-10.7336-8.2254-6.2937 7.073231.2139-6.8061 8.4973 0.2887 II-21.4575-21.1495-20.2659-18.8623-15.0229-1.1660 4.8060-16.4801-6.3444 0.2549 III-10.3946-10.0601-7.9305-3.9473 3.7551 13.570816.8302-1.7678 7.6748 0.2642 IV-17.6040-17.2995-14.5927-12.7773-2.5345 7.7192 9.0263-9.1644 8.3262 0.2100 V-18.5970-18.8670 5970-17.7256-17.2029-13.4599-6.0562-6.0562-15.2362 4.5547 0.0636这是对《我们是否利用所有信息进行反事实分析？因子模型和特质校正的好处》一文的补充。该文件的组织方式如下。在B节中，我们描述了用于将城市分为治疗组和控制组的算法。C节包含了额外的实证结果。更具体的是，在C.2节中，我们比较了当使用Carvalho、Masini和Medeiros(2018)的ArCo方法和Gobillon和Magnac(2016)的主成分回归(PCR)来估计反事实时的实证结果。在C.3节中，我们评估了在数据中建立趋势行为模型的现有方法，而在C.4节中，我们在国家一级的集合中提出了结果。本文主要结果的证明在D.B.随机化算法中给出。这一部分我们描述了根据一组特征将城市划分为两个独立组的算法。设Z是一个城市变量的n J矩阵，其中每列J是一个独立特征（协变量），每行i是一个城市，n是城市的个数，J是协变量的个数。我们考虑以下变量：人类发展指数、就业、人均GDP、人口、女性人口、识字人口、平均家庭收入（总额）、家庭收入（城市地区）、商店数量和便利店数量。一旦每一组城市被创建，每一组又被进一步划分为另外两个组，从而产生四个独立的城市集。实验是在基团的双组分组合上进行的。本文只报道了一组实验，优化问题为aspα“arg minαjjj”1éhiichiééhiichiééni“1p1′αiqni”1p1′αiqzi,jéhiichixijiqixi,条件为:nüi“1αik和αip t0,1u@i,其中α″pα，i。..,αnq\',αi“1,如果市i属于第1组，否则αi”0；k为第1组中的市数。上述优化问题可以转化为一个混合整数规划。c额外的经验结果在本节中，我们报告了一些额外的经验结果，目的是显示所提出的方法的稳健性和优点。c.1额外的图表图4-7显示了产品II-V的相关数据。资料中的(a)小组报告了每一组城市（全部、治疗和控制）的每日销售额除以每一组的商店数量。更具体的是，该图显示了qpjqall,t-“s@ni”1qpjqit,qpjqcontrol,t-“s@ni”1qpjqit和qpjqtreature,t-“s@ni”n`1qpjqit的每日演变。该图显示了价格变化前和价格变化后的数据，干预日期由水平线表示。

图(b)和图(c)分别显示了干预前后、治疗组和对照组的ofrqpjqit时间平均数在各个城市的分布情况。(d)和(e)小组介绍了FRQPJQIT的演变图。图8-11显示了一些估计结果。对于每种产品，图中的面板(a)显示了对零假设h:δt“0 foreach给定t处理后，使用测试统计量φppδtq”pδt，这与使用测试统计量pδt相同的重新抽样测试的p值的扇形图。黑色曲线表示跨越时间t的横截面中值。小组(b)展示了一个城市的例子。小组显示了处理后时期的实际和反事实销售商店。图12显示了每种产品的库存在不同地方的每日演变的分布。c.2e提供了额外的信息:ArCo、PCR和FarmTreatWe报告了Carvalho等人的ArCo方法时的估计结果。使用了Gobillon和Magnac(2016)精神中的主成分回归(PCR)。对于ArCo方法，我们通过估计一个套索回归OFRQPJQiton值ofrqpjqkt来构造反事实，其中k P t1，....,nu{i.请注意，我们不包括任何其他回归子。对于PCR，我们考虑FarmTreat方法的两个阶段，ArCo的结果在表8和表9中报告，而PCR方法的结果在表10和表11中显示。一些有趣的事实从表格中浮现出来。首先，ArCo和FarmTreat显示了类似的结果，后者的干预前效果略好。然而，一个关键的因素是，当考虑ArCo方法时，具有干预意义的城市数量明显减少。比较聚合酶链反应方法和FarmTreat，我们可以清楚地看到，正如预期的那样，干预前的预测有所改善。与ArCo方法一样，聚合酶链反应方法产生了一小部分对价格变化有明显影响的城市。最后，要强调的一点是，所有三种方法都表明，平均来说，当前价格必须下降。C.3趋势稳定12和13的e-ects报告了FarmTreat方法的结果，而没有在farmRrett步骤中对数据进行破坏。与maintext中表6和表7中显示的基线结果相比，我们强调了以下事实。首先，反事实模型平差是相似的，只有关于干预前r-平方的边缘di-international值。第二，在不去中心化的情况下，平均治疗E-可持续的ECTs较小，但排斥率较高。第三，当我们在方法的第1步不包括线性趋势时，估计的θ具有正确符号并在10%水平上具有统计意义的城市数量要少得多，特别是在产品V的情况下。我们注意到，对于最后一个产品，建议是适当增加而不是减少。对于其他四个产品，结论与基线相似。C.4州级聚合表14和15报告了应用于州级聚合数据的FarmTreat方法的结果。州一级的控制组和治疗组分别由每个州的未经治疗和治疗的市政当局组成。从表中我们可以看到，对于产品IV和V，我们在州级上没有明显的e-ects。这主要是由于每个州内的城市之间的异质性。另一方面，对于产品I、II、III，我们会注意到销售中的价格变化。平均而言，产品III和产品V的最优价格高于实际价格，而对于产品IV的FarmTreat方法表明，平均而言，价格应该降低。

然而，即使对于这种产品，也只在一小部分状态中有意义。这些结果，证实了巨大的城市异质性。C.5前后估计表16报告用前后估计法估计平均处理。在每个面板中，我们报告了各种直接统计量的最小值、5%--、25%--、50%--、75%--、95%分位数、最大值、平均值和标准差。在证明我们的主要结果之前，为了方便起见，我们在配伍常数下面进行了修改。对于一个pn nq矩阵M,一个集合S rns和一个标量ζ0,相容常数由κpm,S,ζq：“inf}xTMx}aS}xS}：x P rn：}xSc}ζ}xS}+给出。(d.1)此外，我们说pM,S,ζq满足条件，如果κpM,S,ζq^0。相容常数与M的特征值在Rn中限制在一个锥上有关。d.1命题1pθθ}“oppζsq从Fan，Masini和Medeiros（2021）中的定理3得到的事实证明。我们剩下来展示第二部分。通过三角不等式，对于t~t:pαt′αt′Vt\"ppγ′γqw1t′pλpft′λft′pθpu1t′θU1t′pθpu1t′1t′pθ}}pθθ}}pu1t′1t}}pθθ}}pu1t}}pθθ}q}pu1t}}pθθ}q}pu1t}}pθθ}q}pu1t′U1t}}pθθ}q}pu1t′U1t}}pθθ}q}pu1t′U1t}}pθθ}q}pu1t}U1t}“OPrp}θ}`@sψ}1pt qqθ`@sψ}1pt qψ}1pnqs。结合后两个表达式，我们剩下pαt′αt′Vt\\ppγ′γqw1t′p1′}θ}pθθ}q}put′Ut}}pθθ}}Ut}。根据假设3(a),该项是OPp1{？t q。第二个是oppsηq，因为通过假设3(d)，我们在命题的假设下有}θ}S}θ}CS和}pθ}θ}“OPp1q。最后，通过假设3(b)和极大等式，得到第三项为oppζsn1{pq。因此，我们得出结论:pαt\'αt\'vt\'op\'t\'1{2\'sη\'ζsn1{p\'op\'spη\'ζn1{pq‰。表8：结果：估计和推断(ArCo)。该表报告了使用Carvalho等人的ArCo方法的估计结果。（2018年）。在eachpanel中，我们报告了每种产品的最小值、5%--、25%--、50%--、75%--、95%---分位数、最大值、平均值和标准差，以及各种不同的统计量。我们考虑在处理过的城市的分布。在面板(a)中，我们报告了干预前模型的r-平方的结果。面板(b)显示了实验期间平均干预的结果。图(c)和图(d)描述了零假设H的再抽样检验P值的结果:δt“0,@t P tt`1,。分别用检验统计量φppδT`1,。..,pδtq“@tt”t`1 pδtorφppδt`1,。.,pδtq“@tt”t`1 pδt。最后，面板(e)报告了特质贡献测试的P值结果，面板(a)：R平方积min5%-分位数25%-分位数中位数75%-分位数95%分位数最大平均STD。DevI 0 0.1421 0.3367 0.4389 0.6276 0.7821 0.8958 0.4641 0.1981 II 0.4448 0.6555 0.8691 0.9218 0.9575 0.9851 0.8899 0.1073 III 0.0639 0.3119 0.4957 0.6937 0.9115 0.9679 0.6554 0.6181 0.81150.9262 0.9635 0.9888 0.8984 0.1056 v 0 0 0 0.0966 0.2210 0.4319 0.6985 0.8984 0.1056 v0 0 0 0.0966 0.2210 0.4319 0.1452 0.1545 Panel(b)：平均处理E-ect（随时间推移）:product Min 5%-分位数25%-分位数中位数75%-分位数95%分位数最大平均性病。Devi-20.1194-12.0679-6.0420-2.9966-0.6335 1.7254 7.2911-3.6588 4.3075 II-40.6070-25.4886-9.9769-3.1266 0.2057 9.9614 59.7638-4.2132 11.6643 III-37.8542-8.5142-3.3295-1.0079 0.2364 3.7909 9.6714-2.0799 5.8070 IV-2.5440-1.6212-0.5723 0.1673 1.4634 3.8332 6.4165 0.4945 1.6339 V-1.2218-0.8548-0.4922-0.2797 0.0044 0.4945 1.1978-3.7639 0.24760.4234面板(c)：平方值测试的P值积min5%-分位数25%-分位数中位数75%-分位数95%分位数最大平均STD。

DevI 0 0.0085 0.1830 0.3702 0.6351 0.9147 0.9787 0.4077 0.2838 II 0 0.0388 0.2273 0.4876 0.7521 0.9521 1.0000 0.4905 0.2967 III 0 0.0306 0.2638 0.4894 0.8928 0.9915 0.9929 0.4735 0.2658 iv 0 0 0.00888 0.3802 0.7002 0.9029 0.9793 0.4092 0.3162 v 0 0.0894 0.3574 0.6936 0.9149 1.0000 1.0000 0.6452 0.3162 panel(d)：p-绝对值测试值产品分钟5%-分位数25%-分位数中位数75%-分位数95%分位数最大平均标准。DevI 0 0 0.0787 0.3149 0.5691 0.8960 0.9872 0.3593 0.2995 ii 0 0.0223 0.1818 0.5021 0.7273 0.9504 1.0000 0.4753 0.3095 iii 0 0 0.2681 0.4532 0.6766 0.8655 1.0000 0.4624 0.2671 iii 0 0 0.1033 0.3946 0.3946 0.7066 0.9318 0.9876 0.4124 0.3220 v 0 0.1234 0.3787 0.6745 0.8809 0.9957 1.0000 0.6284 0.2886表9：结果：弹性和最优价格（ArCo）。该表报告了弹性估计以及当ARO时当前价格和最优价格之间的百分比卡瓦略等人的CO方法学。（2018年）使用。在每个小组中，我们报告，对于每个产品，最小值，5%-，25%-，50%-，75%-，95%--分位数，最大值，平均值和标准差，给定的统计数据。我们考虑的分布超过选定的处理城市。我们只报告有关城市的结果，这些城市的估计是正确的符号，而e值是10%水平上的统计符号。最后一栏表明满足上述标准的城市比例。在面板(a)中，我们报告了估计弹性的结果。在图(b)中，我们给出了当前价格和最优价格之间的最优值的结果。图(a)：弹性系数乘积最小5%分位数25%分位数中位数75%分位数95%分位数最大平均STD。Dev Fractioni-6.1256-6.0847-3.4902-2.7145-2.1592-1.3585-1.2700-3.1159 1.4785 0.1443 III-16.8229-16.8229-12.6336-11.4970-4.0746-4.0746-10.5119 3.9061 0.0882 III-3.0759-3.0759-2.8387-2.0602-1.888-1.6480-1.6480-2.2876 0.5477-0.0755 IV-44.2416-34.5020-11.9050-6.5419-4.5606-2.4450-1.9634-10.6109 5289-135.5289-19.1707-10.1509-5.4511-4.3575-4.3575-30.8017 51.5716 0.0545面板(b)：价格差异（%difference）产品最小5%分位数25%分位数中位数75%分位数95%分位数最大平均标准。Dev分数-15.5005-15.4441-9.3372-5.2233-0.5061 13.6720 15.7075-4.2981 8.5470 0.1443 II-21.3235-21.3235-20.3202-19.9466-17.6746-12.0246-12.0246-18.6809 2.8620 0.0882 III-9.0999-9.0999-7.7113-1.0822 1.1540 4.9837 4.9837-2.4244 5.1882 0.0755 IV-18.5830-18.2201-15.5075-12.0222-8.7234 1.1269 5.7524-11.2130 5.9686 0.2400 V-19.3704-19.3704-17.1312-14.8087-10.5669-8.2649-8.2649-14.1585 4.1117 0.0545表10：结果：估计和推断(PCR)。表中报告了使用主成分回归的估计结果。在每一个面板中，我们报告每种产品的最小值、5%--、25%--、50%--、75%--、95%---分位数、最大值、平均值和标准差，以及各种直接统计数据的最小值、5%--、25%--、50%--、75%--、95%分位数。我们考虑在这些城市的分布。在面板(a)中，我们报告了预干预模型的r-平方的结果。面板(b)显示了实验期间平均干预的结果。图(c)和图(d)描述了空假设的再抽样检验P值的结果:δt“0,@t P tt`1,。分别用检验统计量φppδT`1,。..,pδtq“@tt”t`1 pδtorφppδt`1,。.，pδtq“@tt”t`1pδt。面板(a)：r-平方积最小5%-分位数25%-分位数中位数75%-分位数95%分位数最大平均STD。

DevI 0.1115 0.1727 0.3307 0.4491 0.6011 0.7294 0.7892 0.4517 0.1707 ii 0.2549 0.4633 0.7428 0.8345 0.8815 0.9450.0.9290.2489 0.3466 0.5095 0.6296 0.3744 0.1545 iii 0.1026 0.5805 0.7173 0.8236 0.8941 0.9627 0.6723 0.1996 v 0.0255 0.0366 0.0739 0.1236 0.2068 0.5079 0.1545 0.1033 Panel(b)：平均处理e-ect（随时间推移）:product Min 5%-分位数25%-分位数中位数75%-分位数95%分位数最大平均性病。Devi-21.9722-17.1898-7.6521-3.4870-1.0735 1.6398 3.6122-5.0798 5.6688 II-47.0186-32.5355-15.2901-7.5150-2.8772 9.9514 40.2040-9.2082 12.9511 III-55.4751-17.1204-7.2165-3.4482-0.6900 1.8316 8.8381-5.6288 9.8650 IV-4.3269-1.9948-0.7039 0.2394 1.5064 4.1167 7.3901 0.5691 1.9752 V-2.0826-0.9796-0.5058-0.1766 0.1292 0.6744 1.6705-0.1831 0.5190面板(c)：平方值检验的P值积min5%-分位数25%-分位数中位数75%-分位数95%-最大平均STD。DevI 0 0 0.0723 0.2553 0.6170 0.8985 0.9915 0.3445 0.3063 ii 0.0289 0.0421 0.2355 0.4566 0.6901 0.8983 0.9752 0.4697 0.2844 iii 0 0.0664 0.2809 0.4511 0.6340 0.9336 1.0000 0.4624 0.2478 iii 0 0.0723 0.2459 0.4153 0.7169 0.9917 1.0000 0.4794 0.2878 v 0 0.0596 0.3277 0.6159 0.9319 1.0000 0.4794 0.6157 0.6511 0.9319 1.0000 0.6050 0.3302 Panel(d)：p-绝对值测试值产品分钟5%-分位数25%-分位数中位数75%-分位数95%分位数最大.DevI 0 0 0.0511 0.2128 0.6053 0.9019 0.9957 0.3199 0.3197 0.1570 0.4256 0.6942 0.9298 0.9628 0.4481 0.3038 iii 0 0.0102 0.2128 0.4128 0.5957 0.9319 1.0000 0.4248 0.2689 iii 0 0.0517 0.2149 0.4070 0.7521 0.9690 1.0000 0.4710 0.3001 v 0 0.0511 0.2681 0.6638 0.9234 1.0000 0.6084 0.336.表11：结果：弹性和最佳价格(PCR)。该表报告了弹性估计以及当前价格和最佳价格之间的百分比，当反制时，最佳价格最大化采用主成分回归法对实际情况进行估计。在每个面板中，我们报告每个产品的最小值、5%-、25%-、50%-、75%-、95%--分位数、最大值、平均值和标准差，以及给定统计数据的最小值、5%-、25%-、50%-、75%-、95%--分位数。我们考虑在选定的处理城市的分布。我们只报告与cities有关的结果，其中估计的s具有正确的符号，并且e----cits是在10%水平上的统计符号。最后一列表示满足上述标准的城市比例。在面板(a)中，我们报告了估计弹性的结果。在图(b)中，我们给出了当前价格和最优价格之间的最优值的结果。图(a)：弹性系数积最小5%分位数25%分位数中位数75%分位数95%分位数最大平均STD。Dev Fractioni-6.5287-5.5838-4.3723-3.5023-2.9266-1.7697-0.9696-3.56891.14430.2784-II-17.7671-17.5199-14.5000-13.1484-8.6987-2.8126-1.9998-11.80984.25650.1275 III-3.3805-3.3805-3.2669-2.9047-2.7249-2.3503-2.9405-0.35650.0755IV-15.8735-15.8735-12.4477-11.0990-9.2416-1.0297-1.0297-10.3376 4.6432 0.0700V-36.2752-36.2752-25.0377-15.3515-5.8105-3.3284-3.3284-16.8591 12.4347-0.0545面板(b)：价格差异（%di internative erence）产品最小5%-分位数25%-分位数中位数75%-分位数95%分位数最大平均标准。Dev Fractioni-16.0044-14.6686-12.1884-9.3865-6.5784 6.3136 27.9067-7.6159 8.1823 0.2784-II-21.4814-21.4382-20.8472-20.4928-18.5425-2.0321 0.7073-18.4545 5.8816 0.1275 III-10.5643-10.5643-10.0456-8.1187-6.9926-4.0815-8.12002.1928 0.0755 IV-16.5633-16.5633-15.6963-15.2083-14.2557 28.8451-28.8451-9.0521 16.7294 610-18.3610-17.7424-16.3414-11.1343-4.7169-4.7169-14.1062 5.2776 0.0545表12：结果：估计和推断（无趋势）。表中报告了反事实模型中没有趋势成分的估计结果。