职业网络结构与向量匹配性 社会流动模式

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摘要翻译：
在本研究中，我们根据我们的用例，即观察一个社会中的社会流动模式，得出了一个封闭的网络向量分类度量表达式。基于经济学文献中关于社会流动的研究和社会学文献中关于社会再生产的研究，我们提出构建一个职业网络结构来观察流动模式。在现有文献的基础上，我们将流动性定义为根据性别、地理或社会群体等类别的表示来归因于职业的多样性。我们根据NSSO关于就业和失业的第68轮，比较了在印度背景下我们的向量分类度量和平均标量分类的结果。我们的发现表明，我们的向量分类度量所指示的趋势与平均标量分类指数所指示的趋势非常相似。我们讨论了这项工作的一些意义，并提出了未来的方向。
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英文标题：
《Occupational Network Structure and Vector Assortativity for illustrating
  patterns of social mobility》
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作者：
Vinay Reddy Venumuddala
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最新提交年份：
2020
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分类信息：

一级分类：Economics        经济学
二级分类：General Economics        一般经济学
分类描述：General methodological, applied, and empirical contributions to economics.
对经济学的一般方法、应用和经验贡献。
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Economics        经济学
分类描述：q-fin.EC is an alias for econ.GN. Economics, including micro and macro economics, international economics, theory of the firm, labor economics, and other economic topics outside finance
q-fin.ec是econ.gn的别名。经济学，包括微观和宏观经济学、国际经济学、企业理论、劳动经济学和其他金融以外的经济专题
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一级分类：Statistics        统计学
二级分类：Applications        应用程序
分类描述：Biology, Education, Epidemiology, Engineering, Environmental Sciences, Medical, Physical Sciences, Quality Control, Social Sciences
生物学，教育学，流行病学，工程学，环境科学，医学，物理科学，质量控制，社会科学
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英文摘要：
  In this study we arrive at a closed form expression for measuring vector assortativity in networks motivated by our use-case which is to observe patterns of social mobility in a society. Based on existing works on social mobility within economics literature, and social reproduction within sociology literature, we motivate the construction of an occupational network structure to observe mobility patterns. Basing on existing literature, over this structure, we define mobility as assortativity of occupations attributed by the representation of categories such as gender, geography or social groups. We compare the results from our vector assortativity measure and averaged scalar assortativity in the Indian context, relying on NSSO 68th round on employment and unemployment. Our findings indicate that the trends indicated by our vector assortativity measure is very similar to what is indicated by the averaged scalar assortativity index. We discuss some implications of this work and suggest future directions.
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关键词：网络结构 Occupational Construction Contribution Implications

职业网络结构和向量分类用于社会流动模式的演示Vinay Reddy Venumuddaladorian管理学院公共政策学生本研究通过我们观察社会流动模式的用例，得出了一个测量网络中向量分类的封闭表达式。基于经济学文献中关于社会流动的研究，以及社会学文献中关于社会再生产的研究，我们提出构建一个职业网络结构来观察流动模式。在现有文献的基础上，根据这一结构，我们将流动性定义为以性别、地理或社会群体等类别表示的职业的多样性。我们比较了在印度背景下我们的向量分类度量和平均标量分类的结果，依赖于NSSO关于就业和失业的第68轮。我们的发现表明，你的向量分类度量所指示的趋势与平均标量分类指数所指示的趋势非常相似。在本研究中，我们设计了一个框架来描述以职业为分析单位的社会流动模式，在这个框架中，我们将社会流动视为Tilly(1998)提出的持久不平等的对立面。在他的研究中，Tilly认为，只要组织内职业边界的结构沿着分类线变化，分类不平等就仍然是持久的。例如，一个类别可以根据性别、宗教或社会群体来划分，类别群体对应于给定类别内的群体。在这项工作中，我们构建了一个职业网络结构，职业之间的关系被其他结构化力量如工业和教育需求所限定，我们将职业之间的联系强度定义为沿着这些非范畴因素的职业相似性。我们还将每个职业的分类属性作为一个向量，捕捉该职业中不同的分类群体的表示，相对于他们在整体劳动力中的表示。然后，我们设计了一个向量分类测度来描述职业网络在分类线上的分层，并用它来代替Tilly(1998)之后的分类不等式。通过观察连续出生队列的这种一致性度量，可以让我们说明给定一个特定类别的社会流动模式。我们的发现表明，在最近的队列中，部门的分类或多或少停滞不前，在性别上，分类在下降，但在社会群体中，分类一直在增加，在最近的队列中观察到轻微的停滞不前。此外，我们认为，通过一段时间内的工业-教育组合（一组非范畴结构力）来观察对总体一致性的变化贡献，可以让我们评论那些与社会流动性友好的结构力和那些可能不友好的结构力。2社会流动性和再生产关于社会流动性的研究通常将其度量描述为任何社会中个人社会经济地位的相对或绝对改善，无论是在代际还是在代际（Narayan et al.，2018)。在这里，个人的社会经济地位要么由收入（Beckerand Tomes，1979；Black and Devereux，2010；Chetty et al.，2014；Solon，1999)，要么由教育（Asher et al.，2018；Azam and Bhatt，2015)，要么由就业关系确定并被定义为聚合职业群组的阶级职位（Erikson and Goldthorpe，2002)来表示。这些研究中的一个共同点是，社会流动性的测量是在宏观或社会层面上进行的。

这些研究中的每一项都将他们的分析建立在合理的预先假设和公正的基础上，即为什么他们必须选择任何特定的指标作为个人的社会经济地位，以及它如何有助于衡量社会流动性。此外，这些本体论预设也有助于研究者为导致社会流动性跨社会变化的过程/机制提供合理的解释。例如，经济学文献中基于理性选择的社会流动性模型依赖于个体属性，包括归因属性和非归因属性，来理论化流动背后的过程/机制，并解释跨社会流动性的变化。例如，Becker和Tomes(1979)提出的关于代际流动的基于理性选择的理论模型，通过父母收入和子女收入之间的依赖关系来描述这些过程。在他们看来，这种依赖是由诸如父母对子女的人力和非人力资本投资、由种族、家庭关系等归属特征决定的个人“天赋”等因素所中介的。经济学中关于社会流动的许多文献都依赖于对这些过程/机制在不同社会中的相对关联性的经验评估（Blackand Devereux，2010；Solon，1999)。社会学中的文献通常对社会结构做出预先假设，特别是对构成社会结构的阶级地位做出假设。Erikson和Goldthorpe(2002)提出的阶级图式以“就业状况和职业作为就业关系的指标”为基础，在这一系列文献中激发了几部关于社会流动性的实证著作（Azam,2015；Iversenet al.，2016；Motiram和Singh,2012）。就社会流动的机制而言，许多宏观社会学理论反而揭示了社会不平等再生产的机制(Tilly，1998)。例如，Bourdieu(2013)通过惯习产生行动的概念来说明社会再生产的机制。布迪厄认为，与社会阶层及其再生产相关的过程可以在个人或群体与特定阶级/社会地位密切相关的一个或一个社会空间中描述。每一个这样的位置都与被称为习性的性格系统联系在一起，习性系统与一套特定的文化品味或资本联系在一起。这种习性反过来又支配着占据各自阶级地位的个人的实践（或行动）。这些个人行为，加上对历史上偶然性社会关系的错误认识，往往会延续aclass位置的确定性（以及在等级中的位置），随着时间的推移再现社会不平等和观察到的社会阶层模式(Burawoy，2018；Riley，2017)。对Tilly(1998)来说，社会或范畴不平等的再生产背后的机制主要位于任何社会的组织内部。Tilly(1998)提出了一些机制，这些机制有助于在内部建立广泛承认的类别（如性别、宗教、种姓、种族等），维持这些类别，并渗透到社会中的许多组织形式中。Tilly(1998)通过明确地关注组织内部和组织之间的工作世界中结构的持久性，为可掩盖的范畴不平等的机制提供了解释。检验许多宏观社会学理论的经验性著作通过对阶层基础做出合理的假设来说明社会内部阶层结构或阶级结构的稳定性。例如，Bourdieu(2013)将个人的文化资本视为构成阶层的基础。

Bourdieu(2013)从经验上强调了个人的文化品味与他们所处职业之间的联系，将职业描绘到社会空间上，并根据其文化资本中的独立存在来描述职业的等级或阶层结构。CAMSIS（Cambridge Social Interactions and Stratioffication）传统（Bottero,2004；Gri-ths and Lambert,2012；Lambert and Gri-ths,2018）中最近的工作将他们的阶层结构建立在跨职业的个人之间的社会关系上，以确定职业在社交空间中是接近还是远离。他们根据经验将职业映射到一个二维空间或作为一个网络，以便根据紧密间隔的职业来识别涌现的阶级或阶层。Toubol和Larsen(2017)最近的工作假设职业流动性是基于马克斯·韦伯作品的阶级形成的基础。他们将职业映射到一个网络上，边缘权重由任意两个职业之间的代内流动性程度决定，以探索基于构建的职业网络内聚类模式的阶级形成。在所有这些研究中，职业都被视为分析的单位，同时观察阶层结构或阶级结构。3分类对的持久不平等和制度化“同样，一个小型制造业部门的创始人遵循该部门已经建立的模型，将该部门的工作划分为在特征和质量上被视为不同的工作群，然后在标记明确的类别中为这些工作招聘工人。随着人员流动的发生，工作范围扩大，已有的员工会在朋友和亲戚之间传递可用工作的消息，一旦他们加入工作队伍，就会与他们合作并给予支持。因此，这些新员工比街上雇佣的其他人更可靠、更有效，所有人都开始将工作与类别联系起来，以至于所有者和工人开始相信该类别的成员对特定工作领域的优越性。“（蒂利，1998)查尔斯·蒂利在他的开创性著作《持久的不平等》(Tilly，1998)中提出了在组织内部和组织之间运作的机制，这些机制是性别、种族、种姓、族裔等类别中持续不平等的根源。对他来说，社会不平等的原因及其在社会中的复制可以用维持分类群体中不平等的机制来理解。他的论文的中心论点是：“人类之间在优势方面的巨大的、有意义的不平等主要对应于分类的不平等，如黑人/白人、男性/女性、公民/外国人或穆斯林/犹太人，而不是个体在属性、倾向或表现上的不平等。”(Tilly，1998)。根据他的说法，“持久的不平等在很大程度上取决于类别配对的制度化”，当整个组织为了e-cience和维护的目的，将来自外部不平等类别的个人与内部工作角色匹配时，这种情况就会发生。四个机制是不平等范畴结构内部匹配的关键。首先，当人们掌握组织的资源，尽管从他人的工作中获得回报，但他们却将他人排除在他们的资源所增加的全部价值之外时，就会出现类别对的设置。第二，当个人或团体属于一个“绝对有界的网络”时，这些成员所获得的任何资源都得到“网络运作方式”的支持，并经常得到加强。这就是囤积机会的机制。第三，当已建立的组织模型被社会上的许多组织复制或复制时，就会产生模仿机制。

第四，组织内部跨越工作边界的日常工作流程的制定，往往是基于不平等的范畴结构，这就是适应机制。虽然剥削和机会囤积促进了组织中的分类界限，但模仿和适应则使它们在整个社会中普遍存在(Tilly，1998)。“向上流动的概念包含了这样一种想法，即它代表了个人成就对结构限制的胜利”(Bottero，2004)。只要分类界限继续与组织内部和组织之间的工作界限相匹配，个人也可能受到工作世界中这种不平等的分类结构的限制。因此，通过蒂利的镜头，只有当实质性的工作边界独立于范畴边界时，社会流动性才是可能的。根据Tilly(1998)的观点，引入organizationalforms和具有排除分类匹配可能性的工作结构，是克服“持久不平等”的唯一出路。他认为，“种族主义、性别歧视或仇外态度的减少或加剧对持久不平等的影响相对较小，而引入某些新的组织形式----例如，设置直接奖励类别或改变奖励与奖励之间的关系----将产生巨大影响”（第19页）。从本质上说，社会不平等和流动性的结构是由性别、种姓、宗教等类别的持续不平等构成的，这些不平等在组织内部制度化。在社会内部持续存在这种不平等的机制也是通过将工作角色与类别界限相匹配来维持组织内部和外部工作角色之间界限的机制。将工作角色与职业大致等同，只要职业界限继续与任何社会的范畴界限相匹配，它表明上述不平等复制机制的持续存在。4作用于组织机构的结构化的其他力量是有弹性的社会结构，包括“监管，规范性、和文化认知因素，连同相关的活动和资源，为社会生活提供稳定性和意义“(Scott，2013)。在描述范畴不平等持续存在的机制时，Tilly(1998)扩展性地依赖于组织形式的稳定性和它们内部范畴对的制度化。这种制度化通过脚本、实践、既定的等级制度和其他形式的工作角色之间的网络关系发生，这些关系结构了组织内新来的行为者的行为，从而加强了沿着范畴线的内部工作边界。然而，很难否认结构化的其他几种力量确实存在，它们作用于组织，并随着时间的推移改变它们的形式。这些力量并不一定依赖于制度化的实践、scirpts和围绕分类对建立的关系。相反，它们依赖于组织所在的特定组织结构以及管理这些结构的相应规则、规范和实践。根据DiMaggio和Powell(1983)的说法，生产类似服务或产品的组织，或者说，属于一个特定的行业，虽然总体上构成了一个组织，但它们同时受到类似的制度压力，使它们彼此同构。DiMaggio和Powell(1983)在他们关于“制度同构”的开创性工作中强调了三个重要的机制，这些机制捕捉到了组织的机制或结构化的力量，这些力量使组织在一个组织中变得与另一个组织相似。

这些机制主要由国家（强制）、市场的不确定性（模仿）以及职业（规范）来实施。就国家的作用而言，强制同构的机制解释了例如，组织变革如何以及为什么是对“政府授权”或其他“国家的法律和技术要求”的反应。拟态同构机制解释了组织如何以及为什么在对市场不确定性的反应中，倾向于与其他被认为在其范围内合法或成功的组织相似地改变自己。最后，职业化通过规范同构机制使组织内部具有相似性。继Sarfatti Larson(1977)之后，DiMaggio和Powell(1983)将职业化的概念定义为“职业成员的集体斗争，以改变他们的工作方式和方法，控制‘生产者的生产\'(Sarfatti Larson(1977):49-52)，并为他们的职业自主权建立认知基础和合法性”。根据他们的观点，正规教育和跨组织的专业网络是职业化的两个重要方面，它们促成了特定领域内组织结构的同质性和随之而来的跨领域变化。从上面的讨论中，我们注意到国家政治和经济结构的变化、市场环境的变化以及围绕职业化的变化，共同可以改变特定领域内的组织形式，这在很大程度上独立于类别对的制度化。因此，这些组织形式的变化也可能包含着社会流动的种子(Tilly，1998)，上面讨论的其他结构化力量可以压倒范畴配对的制度化。在随后的一节中，我们提出职业网络结构作为一个框架，使我们可以分别看待这两种力量。确定社会流动的模式和2。5职业网络结构根据Tilly(1998)，外部类别（如宗教、性别、语言、种姓等）与组织内部工作角色之间的匹配对于类别不平等的再生产至关重要。只要工作角色或职业是结构化的，因此是按照类别划分或分层的，就表明持久不平等的机制在起作用。也就是说，在这种情况下，沿着范畴对运行的结构化的力量，也在工作的实质世界中的职业之间的接近或距离上投下了它们的力量。在前面的一节中，我们已经看到组织是由相应组织结构的机构组成的。此外，我们还看到，职业本身是由组织结构之外的力量构成的，如职业人员的正规教育和低于职业结构的职业网络（Sarfatti Larson，1977)。Infact Grusky和Weeden(2001)强调，结构化的实质力量发生在局部分散的职业层面，而不是聚集的阶级层面。根据他们的观点，Sucha结构化可以通过规定的教育要求、建立的许可证制度、有组织的工会、职业协会等形式表现为“对供应过剩的有形和象征性控制”（Grusky and Weeden,2001）。

一个是根据Tilly(1998)，即制度化的分类配对决定了职业边界。第二，它说，组织内的职业是由在相应的组织结构上运作的机构力量构成的，也是由规定性演绎要求、许可证制度、工会、协会等构成的（DiMaggio and Powell，1983；Grusky and Weeden，2001)。因此，为了评估社会流动，我们试图分别考察这些结构化力量对职业的作用，以检查社会流动模式。我们设想了一个职业网络结构，它是基于本质上非范畴性的层次结构的力量而构建的，并寻找这样一个网络在多大程度上也是沿着每一个职业中由范畴表征所定义的属性进行层次结构的。我们在下面描述这种网络结构，并在随后的章节中讨论与社会流动性和机制测量相关的数学方面。5.1 ONS结构对我们来说，给定一个类别（如性别），每个职业用1来定义。个人在这一类别内各群体中的代表性（如按性别划分为男性/女性），相对于他们在整个劳动力中的代表性，2。该职业的劳动力在不同行业的分布；3.该职业的劳动力在不同教育水平的分布。我们代表（2）一个职业的结构化力量，它来自于它与多个组织结构的联系，和（3）一个职业规定的教育要求。请注意，由于数据的可用性，我们仅限于（2）和（3）来代理特定于职业的结构化力量，然而在现实中，可以包括其他因素，如许可要求、关联等等。我们认为（1）是职业的标签属性，在使用图的分类性度量沿着范畴线测量等级时很重要，我们将在随后的章节中看到。在进入细节之前，我们可以在这一点上问，为什么我们不将每个职业视为一个独立的实体，并将工作世界的结构描述为由独立职业构成的束？或者，人们也可能会问，你能不能不给职业强加某种等级制度？我们承认，这两种看待职业结构的方式都是合理的，在前者中没有职业之间距离的概念，而在后者中，有一种强加给职业结构的明确的限制。然而，鉴于我们对工作世界结构的概念化，我们认为职业网络处于这两个极端之间。此外，它还作为观察社会流动模式的框架，同时寻找职业网络中的变化，这些变化可能对促进社会流动的机制或结构力量有答案。认识1职业网络：设E={E,E,..,Em}是教育水平的集合，I={I,I,..,In}是工业部门的集合。考虑一个支撑点上的分布:=E×I。我们用与之相关的个体在支撑点S上的分布来表示作用于某一职业的非范畴结构力。现在，职业和职业之间的距离由在上端S上的职业和职业之间的分布距离D来给出。这意味着，如果两个职业更近，则表明作用于它们的非范畴结构力是相似的。我们用总变差距离作为分布距离的度量，因为它总是有界于[0,1]范围内，0表示完全相同的分布，而1表示完全不相交的分布。

我们将分布距离转化为边权，其中边权由wi给出，j=1-D(Oi，Oj)。在用这些边权值构造邻接矩阵后，为了避免自循环，我们去掉了连接相同职业的边权值，然后用所有剩余边权值的总和对邻接矩阵的值进行归一化。因此，我们得到的网络是一个无向加权网络，其权值由归一化邻接矩阵中的相应值给出。在下一节中，我们将介绍无向加权图上的标量分类度量，其中节点标记由标量实值属性给出。然而，在我们的例子中，以节点为例，根据Erikson和Goldthorpe(2002)提出的既定的阶级模式，沿着分层的阶级位置捆绑职业，或者根据个人的平均教育或平均收入对职业进行排名。职业，我们有它的向量属性，用相对于整体劳动力的任何类别的跨群体的个人表示来表示（1）。因此，我们将标量分类测度推广到图中向量属性的范围，从而刻画agiven职业网络中沿范畴线的分类程度。6描述移动模式的网络分类测度本文讨论具有标量属性结点的图上的分类测度。Newman(2003)将标量属性图上的这一测度定义为Pearson的边间相关系数，我们将这一相关系数调整到加权图上，并将边上节点的属性作为随机变量，边权作为相应的概率，这是Peel et al.(2018)的结果。应用类似的直觉，我们通过用距离相关性代替皮尔森的相关性，将标量分类性度量扩展到向量属性(Lyons，2013；Sz\'ekely et al.，2007)。Wetrade-O将线性独立性的解释与基于Pearson相关关系的分类性测度结合起来，与独立性的解释结合起来。由于我们的属性空间是由选定维度的向量组成的，我们认为这个假设是一个合理的假设，给出了我们的问题。6.1标量分类性度量分类性定义了网络或图的性质，其中具有相似属性的节点比具有不同属性的节点具有强连接性(Newman，2003)。在标量节点属性（如年龄）的情况下，Newman(2003)指出，社会网络上的分类混合可以暗示社会沿着这些属性的分层。在网络中相邻节点的属性之间测量了Pearson的相关系数，并对其进行了分类度量。在下面的命题中，我们将这个测度调整到Peel等人之后的加权图的情况。（2018）。我们还解释了支持这种度量方法的假设，正如我们随后将展示的，这将有助于我们将这种度量推广到具有向量属性的结点的图。命题1考虑具有n个结点和m条边的无向加权图G=(V，E)。图中的Everyedge由结点对（i,j）定义，结点的强度由权值wij给出，结点的属性由xi和xj，使得xi,xj∈r在这个网络上的分类性测度为r。这是Newman(2003)和Peel等人的成果。（2018）是由r=pijaij(xi-x)(xj-x)Piki(xi-x)给出的，其中A表示归一化邻接矩阵，使得aij=wij pi≤jwij，如果i=jwij pi≤jwij，如果i6=j，ki=pjaij，和X=pixiki。证明：认为X和Y是随机变量，表示与图中任意随机选择的边相对应的开始和结束节点的属性（注意，两个di节点之间的每个无向边都被视为两个有向边）。

X和Y遵循相同的分布，在无向图上对标量属性值的总体支持进行了修改。联合发行X、Y,按权重定义如下，P(X=X，Y=Y)=XI,J∈VXI=X,XJ=Yaijassartitivity指数根据Newman(2003)由Pearson的相关系数coe cient给出，r=E[(x-μX)(y-μY)]e[(x-μX)]e[(x-μX)]e[(y-μY)]1/2=E[(x-μ)(y-μ)]e[(x-μY)]（因为X和Y具有相同的边际分布，其平均值为μ)=px，Y(x-μ)(y-μ)P(X=X，Y=Y)Px(x-μ)P(x=x)=pijaij(xi-μ)(xj-μ)Piki(xi-μ)为P(x=x,Y=Y)=xi,j∈Vxi=x,xj=yaij，P(x=x)=xyp(x=x,Y=Y)，与Peel等人的方程(B2)相同。（2018）6.2向量一致性度量在上述一致性指数公式中，概率P(X=X，Y=Y)表示连接属性X的节点和属性Y的节点的边的分数。Aijon表示两个节点i和j之间的连接强度。我们在说明上述公式背后的思想是提出一个分布假设，即边的强度与选择构成该边的相邻节点（作为起始和结束节点）的概率成正比。因此，更高的匹配性表明，强连通节点的结果边也更有可能被选择，就其相应的节点属性而言，强连通节点也是接近的。在我们的情况下，网络是由职业及其相互联系构成的，前面提到的索引沿着每个职业的标量实值属性来确定职业的分层。高分类性表明职业在很大程度上是沿着这一属性分层的。然而，就我们的研究而言，我们感兴趣的是职业的范畴属性，它可以是多维的。由于我们对职业按类别属性的分层感兴趣，所以我们将一个由给定类别中每个职业的独立组的表示相对于它们在总劳动力中的相应表示组成的向量联系起来。例如，如果我们对基于部门的阶层感兴趣，部门是一个由农村和城市两个群体组成的类别，那么由特定职业中农村和城市劳动力相对于总人口中农村和城市劳动力的表示所构成的向量，就会得出相应职业的Sattribute。虽然在只有两个组的类别中，任何一个类别的表示都可以作为标量实值属性来计算分类指数，但对于那些由两个以上的组（如语言、宗教、种姓、种族等）组成的类别，我们也必须容纳dateVector属性。我们还可以将父母的职业视为类别组，这在基于列联表的流动性度量方法中是常见的。这促使我们在类别属性的基础上定义一个向量分类指数来度量职业的阶层性，它抓住了Tilly术语中类别不平等的本质。随着时间的推移，宗教、性别、种姓等不同类别上的不平等现象正在发生变化，这将告诉我们实质性的工作界限是否变得独立于特定的类别界限。分类性越高，分类不平等的程度就越高，随着时间的推移，较高分类性的持续与社会流动性的缺乏有关。

换句话说，向量分类有助于我们推断职业网络结构随时间的变化是社会流动还是范畴不平等的再现。为了构造向量分类指数，我们建立了实数标量随机变量（表示节点属性）的线性依赖（或相关）概念，并将其推广到多维实数随机向量（也表示节点属性）。由于随机向量的线性相依性很小（如Pearson相关系数的使用所表明的），我们转而考虑随机向量的独立性。因此，我们用两个随机向量之间的距离相关性（Sz ekelyet al.,2007；Lyons,2013）取代了Pearson的相关性Coe_cient，将上述命题推广到节点的向量属性。命题2考虑具有n个节点和m条边的无向加权图G=(V，E)。图中的Everyedge由结点对（i,j）定义，结点的连接强度由权值wij给出，结点的属性由xi和xj，使得xi,xj∈rd。该网络的向量匹配性测度r是由距离相关测度给出的，它是继Sz\'ekely等人之后的。(2007)和Lyons(2013)，其为平方根Ofr=ff，其中fis由以下表达式给出，xi，jXi，jaijd(xi，xi)d(xj，xj)-2xi，jaixiai.d(xi，xi)！xja.jd(xj，xj)+xi，iai.ai.d(xi，xi)和fis由以下表达式给出，xi，jai.ai.d(xi，xi)！+xi，iai.ai.d(xi，xi)！这里A表示规范化的邻接矩阵，使得aij=wij pi≤jwij如果i=Jwij pi≤Jwij,如果I6=j,ai.=pjaij,和d(xi，xj)=xi-xj,其中。表示欧几里得法。证明：认为X和Y是随机向量，表示从网络中随机选择的一条边对应的起始节点和结束节点的向量属性（注意，每个节点之间的无向边都被视为两条有向边）。X和Y在无向图上的所有可能的向量属性上都遵循相同的分布，并得到支持。X，Y的联合分布根据边权值定义如下，P(X=X,Y=Y)=xi,j∈Vxi=X,xj=yaij，因为我们有向量属性，所以这里我们考虑的是Sz\'ekely等人定义的人口距离相关，而不是Pearson相关。（2007年）。我们遵循Lyons(2013)给出的距离协方差的等价定义，在我们的人口分布完全由归一化邻接矩阵a决定的情况下，得到一个简单的定义形式。考虑(X，Y)是(X，Y)的独立同分布副本。然后，在Lyons(2013)之后，距离协方差和方差由dCov(X，Y):=E[dμ(X，X)d'A(Y，Y)]，dCov(X，X):=E[dμ(X，X)d'A(X，X)-Aμ(X)-Aμ(X)+d(μ)和d'A(Y，Y)=d(Y，Y)-A'A(Y)+d('A)和d(X，X)=x-x，Aμ(X):=ex[x-x]和d(v)=e[x-x]μ、.分别表示X和Y后面的分布。然而，在我们的例子中，我们将向量匹配性指数定义为距离相关性，这是Sz\'ekely等人的做法。(2007)，andLyons(2013)由平方根给出，r=dCov(X，Y)(dCov(X，X)×dCov(Y，Y))我们将上述表达式的分子简化为dCov(X，Y)=e[dμ(X，X)d(Y，Y)]=xx,yx，Y)d(Y，Y)P(X=X，Y)，P(X=X，Y=Y)！P(X=X，Y=Y)展开表达式d(Ⅴ))，我们有以下术语集。d(x，x)d(y，y)2。-A'A(y)d(x，x),-Aμ(x)d(y，y),Aμ(x)a'A(y),-Aμ(x)d(y，y),-A'A(x)d(y，y),-A'A(y)d(x，x),A'A(x)a(y)3。D(μ)(D(y，y)–A'A(y)),D(Ⅴ)(D(x，x)–A'A(x))4。