高斯变换建模与分布估计 回归函数

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摘要翻译：
条件分布函数是分析计量经济学和统计学中一类广泛问题的重要统计对象。我们提出了条件分布函数的柔性高斯表示，并给出了其全局估计的凹似然公式。我们得到了满足条件分布函数单调性的解，包括在一般的非规范条件下和有限样本条件下。给出了相应的最大似然估计的一个Lasso型惩罚版本，将估计分析的范围扩展到稀疏模型。给出了条件分布、分位点和密度函数的推论和估计结果，并用一个经验例子和模拟加以说明。
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英文标题：
《Gaussian Transforms Modeling and the Estimation of Distributional
  Regression Functions》
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作者：
Richard Spady, Sami Stouli
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最新提交年份：
2020
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分类信息：

一级分类：Economics        经济学
二级分类：Econometrics        计量经济学
分类描述：Econometric Theory, Micro-Econometrics, Macro-Econometrics, Empirical Content of Economic Relations discovered via New Methods, Methodological Aspects of the Application of Statistical Inference to Economic Data.
计量经济学理论，微观计量经济学，宏观计量经济学，通过新方法发现的经济关系的实证内容，统计推论应用于经济数据的方法论方面。
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一级分类：Statistics        统计学
二级分类：Methodology        方法论
分类描述：Design, Surveys, Model Selection, Multiple Testing, Multivariate Methods, Signal and Image Processing, Time Series, Smoothing, Spatial Statistics, Survival Analysis, Nonparametric and Semiparametric Methods
设计，调查，模型选择，多重检验，多元方法，信号和图像处理，时间序列，平滑，空间统计，生存分析，非参数和半参数方法
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英文摘要：
  Conditional distribution functions are important statistical objects for the analysis of a wide class of problems in econometrics and statistics. We propose flexible Gaussian representations for conditional distribution functions and give a concave likelihood formulation for their global estimation. We obtain solutions that satisfy the monotonicity property of conditional distribution functions, including under general misspecification and in finite samples. A Lasso-type penalized version of the corresponding maximum likelihood estimator is given that expands the scope of our estimation analysis to models with sparsity. Inference and estimation results for conditional distribution, quantile and density functions implied by our representations are provided and illustrated with an empirical example and simulations.
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PDF下载：
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关键词：distribution econometrics Presentation Multivariate Econometric

分布回归函数的高斯变换建模和估计。条件分布函数是分析计量经济学和统计学中一系列问题的重要统计对象。本文给出了条件分布函数的合理的高斯表示，并给出了其全局估计的合理似然公式。我们得到了满足条件分布函数单调性的解，包括在一般错误情况下和在特定样本中。给出了相应的最大似然估计的一个Lasso型惩罚版本，将估计分析的范围扩展到稀疏模型。给出了条件分布、分位点和密度函数的推论和估计结果，并用一个经验例子和模拟加以说明。条件分布函数的建模和估计对于分析各种计量经济学和统计学问题是很重要的。条件分布函数是内生性非分离模型的识别和估计（例如，Imbens和Newey，2009；Chernozhukov，FernandezVal，Newey，Stouli和Vella，2020)，反事实分布分析（例如，DiNardo，Fortin和Lemieux，1996；Chernozhukov，Fernandez-Val和Melly，2013)或平稳时间序列预测区间的构造（例如，Hall，Woll，Yao，1999；Chernozhukov，Wutrich和Zhu，2019)中的核心构件。条件分布函数也是为其他感兴趣的对象（Spady and Stouli，2018a)制定可替代估计方法的一个富有成效的起点，如conditionalquantile functions(CQF)。日期：2020年11月13日。{牛津大学努菲尔德学院和约翰·霍普金斯大学经济系，rspady@jhu.edu.§Bristol大学经济系，s.Stouli@Bristol.ac.uk。我们感谢Whitney Newey的鼓励和有益意见，并感谢布里斯托尔、加州大学圣地亚哥分校、牛津大学、利哈伊、伦敦经济学院、约翰·霍普金斯大学和2020年计量经济学会世界大会的与会者。对于一个连续的结果变量Y和一个协变量向量X，在建立一个合适的模型和选择一个损失函数来估计Y Givenx的条件分布和分位数函数时，出现了三个主要的困难。一个主要的缺陷是一个模型的特性，它允许Y分布的形状在X的值之间变化，同时用一个损失函数来表征，该函数在估计中潜在的大量解释变量X的每个值处保持Y的单调性。因为有效的最大似然(ML)特性需要保持这种单调性，第二个相关的结论是损失函数的公式，它描述了一个近似模型，在错误的情况下有明确的信息论解释。第三个结论是，非凹似然自然地出现在不可分离的模型中，一种方法是抛弃估计中的单调性要求，并使用逐点描述分位数或分布函数的损失函数，同时指定一种允许Y分布形状改变x的最大值的函数形式。分位数回归（Koenker and Basset，1978)将每个CQF指定为x的分量的线性组合。然后通过一系列线性规划问题在每个分位数处估计CQF。

分布回归（Foresi andPerrachi，1995；Chernozhukov，Fernandez-Val和Melly，2013)将以X为条件的Y的累积分布函数(CDF)的每一个水平规定为X的分量的线性组合的已知CDF变换。然后，条件CDF通过一系列二元结果ML估计在每个Y值上估计。另一种方法是坚持单调性要求，并使用损失函数，这些损失函数在全局上描述分位数和分布函数，但没有ML解释。对偶回归（Spady and Stouli，2018a)将给定X的Y的单调表示定义为X的已知函数和未知元素的线性组合。然后根据随机元素估计样本值的经验分布全局估计条件CDF。本文对条件CDF采用高斯表示，而不是直接建模条件CDF或CQFs。这些表示都被定义为已知函数X和Y的线性组合，隐含的分布回归模型允许Y的分布形状在X的值之间变化。我们给出了一个凹似然刻画。Owen(2007)和Spady和Stouli(2018b)讨论了在线性回归模型中同时估计位置和尺度参数的情况。排除了非单调解。在一般错误的情况下，这个公式也通过构造刻画了满足条件CDFs单调性的准高斯表示。根据Kullback-Leibler信息准则(KLIC)（White,1982）,相应的分布模型是真实数据概率分布的最优逼近。在估计方面，我们导出了相应的ML估计量的性质，并将其扩展到两步惩罚ML估计策略，其中，在保持目标函数凹性的情况下，将无惩罚的Destimator作为自适应Lasso(Zou,2006）ML估计量的第一步。我们得到了条件分布、分位数和密度函数的相应估计量的渐近性质。惩罚估计量是选择一致的渐近正态andoracle，其中选择是基于参数估计量的伪真值。在正确的规定下，估计器也是e-cient。我们还给出了用于实现的估计量的对偶公式。本文对现有文献做出了有益的贡献。首先，我们引入了一类新的线性高斯表示，用于分布回归模型的易用估计。其次，我们证明了我们的模型和相应的损失函数在一般错误情况下，无论是在概率接近1的样本中还是在总体中，都是全局单调条件CDFs和CQFs的刻画。分位点和分布回归可以得到不满足条件分位点和分布函数单调性的误码情况下的样本估计和总体逼近。第三，我们证明了所得到的逼近是KLIC最优的非广义误码。与对偶回归相比，我们发现单调性和KLIC最优性可以联合得到，并在一般错误情况下建立了解的存在唯一性。第四，我们利用对偶理论来说明我们的公式具有相当大的计算优势。与对偶回归相比，我们特别发现对偶ML问题具有一个具有线性约束的凸规划问题（Boyd andVandenberghe，2004)的重要优点。

第五，我们的估计分析允许稀疏性，从而给出条件CDFs和CQFS.cf的稀疏、全单调和KLIC最优表示的渐近有效刻画。Chernozhukov，Fernandez-Val和Galichon(2010)在量子力学的背景下进行了讨论。在第2节中，我们介绍了高斯变换建模。在第3节中，我们给出了错误定义下的结果。第4节包含估计和推断结果，对偶理论在第5节导出。第6节说明我们的方法，第7节总结。附录中给出了所有结果的证明。在线附录Spady and Stouli(2020)包含补充材料，包括与经验说明校准的数值模拟结果。高斯变换模型让Y是一个连续的结果变量，X是一个解释变量的向量。通过应用高斯分位数函数Φ-1,(2.1)e=Φ1(fyx(yx))g(Y，X),得到的高斯变换(GT)e是一个零均值和单位变量的高斯随机变量，并通过构造与X无关。当y7→fy X(yX)严格增加时，对应的映射y7→g(y,X）也严格增加，且逆为e7→h(X,e）,重要的统计对象如给定X的条件分布、分位数和密度函数可以表示为g(y,X）的已知泛函。给定X的条件CDF可以表示为asFY X(Y X)=Φ(g(Y,X)),给定X的CQF为asQY X(u X)=h(X,Φ-1(u)),u∈(0,1）,给定X的条件概率密度函数(PDF)为yg(Y,X)=φ(g(Y,X)){yg(Y,X)},yg(Y,X)g(Y,X)Y,其中E7→φ(e)为高斯型PDF,偏导数为yg(Y,X)g(Y,X)/Y。GT g(Y，X)因此在FY X(Y，X)、QY X(uX)和FY X(Y，X)的分布回归模型中构成了一个自然的建模目标。Werefer将这些对象称为“分布回归函数”。本文考虑了具有线性形式的高斯表示e=g(Y，X)的条件CDFs类，其中g(Y，X)被定义为Y和X的已知变换的线性组合。分布回归函数的隐含模型是方便的、简洁的，并且能够捕捉Y和X之间整个统计关系的复杂特征。特别是，这些模型允许这种关系的非线性和不可分离性。线性形式的高斯表示。设W(X)是X的已知函数的K×1向量，S(Y)是Y的已知函数的J×1向量。假设W(X)包括一个截获，即，具有组件1，S(Y)有两个分量（1,Y）和导数dS(Y)/dy=s(Y)，R上连续的函数向量我们用Y和X表示Y和X的边缘支持度，分别是和它们的联合支持。给定一个随机向量(Y，X）支持度为YX=Y×X，其中Y=R，对于RJKa,GT回归模型的形式为(2.2)e=bT(X，Y),e XéN(0，1),T(X，Y)W(X)S(Y),带有导数函数，(2.3)Y{bT(X，Y)}=bT(X，Y)>0,T(X，Y)W(X)S(Y),其中我们用Kronecker积将W(X)、S(Y)及其相互作用形成的字典定义为T(X，Y),相应的导数向量定义为T(X，Y)。在（2.1）中GT g(Y，X)被定义为已知函数T(X，Y)的线性组合，因此也是分量W(X)、S(Y)及其相互作用的线性组合。e的线性形式由导数函数bt(X，Y)保持，它同时被指定为已知函数t(X，Y)的线性组合。当指定的字典t(X，Y)不存在(2.2)-(2.3)成立的B∈RJKsuce时，这种线性指定可以看作是一般高斯变换（2.1）的近似。

我们在第3节中分析了这种情况。将模型(2.2)-(2.3)解释为变Coe模型，这是由于将e及其导数函数分别指定为已知函数S(Y)和S(Y)的线性组合，(2.4)e=β(X)S(Y),Y{β(X)S(Y)}=β(X)S(Y)>0,变Coe模型的向量β(X)=(β(X),。..,βj(X))定义为(2.5)βj(X)=b0jW(X),j∈{1,...,j},其中b0j=(b0j1,...,b0jK),j∈{1,...,J}。一起(2.4)-(2.5)给出线性形式JxJ=1βJ(X)Sj(Y)=JxJ=1{b0jW(X)}Sj(Y)=B[W(X)S(Y)]=bT(X，Y)，导数bT(X，Y)>0，其形式为(2.2)-(2.3)。由于导数函数要求β(X)s(Y)>0，所以有必要对β(X)和s(Y)进行公式化，这样至少是可能的。一个最基本的条件是两个向量都是非负的，概率为1。例如，如果W(X)和s(Y)的非常数分量被指定为非负样条函数，这个要求将用b>0来满足（Curry and Schoenberg，1966；Ramsay，1988)。在J=2的情况下，高斯位置尺度表示的重要特例可以用表示(2.4)ase=β(X)+β(X)Y,e X'AN(0,1）,βJ(X)b0jW(X),J∈{1,2},导数函数β(X)>0,其形式为(2.2)-(2.3),其中S(Y)=(1，Y)。当β(X)=bW(X)和β(X)b∈R时，此特性特别适用于高斯位置表示e=bW(X)+bY，其中b>0。由(2.2)-(2.3)导出的给定X的条件CDF和PDF模型分别为(2.6)FY X(Y X)=Φ(bT(X,Y））,FY X(Y X)=φ(bT(X,Y））{bT(X,Y）},Y∈R,给定X的Y的CQF为(2.7)QY X(u X)=h(X,Φ-1(u)),u∈(0,1）,其中E7→h(X,e）是Y7→Φ(bT(X,Y））的完备逆。当J=2时，由于雅可比项bt(X，Y)=W(X)bin(2.6)不依赖于Y，所以对于X的所有值，Y的条件分布被限制为高斯分布。定理1。对于模型(2.2)-(2.3)，分布回归函数形式为(2.6)-(2.7)，定理1证明了模型(2.2)-(2.3)对应于Y给定X的一个良好的概率分布，具有线性形式的高斯表示。因此，模型(2.2)-(2.3)给出了分布回归函数(2.6)-(2.7)的有效表示。当设定W(X)=1时，定理1暗示模型(2.2)-(2.3)允许Y的边缘分布、分位点和密度泛函的分布模型作为特例。我们注意到定理1还暗示了给定X的Y的条件密度函数为：log fY X(Y X)=-[log(2π)+{bT(X,Y）}]+log(bT(X,Y））。我们用这个公式给出了b的一个ML刻划，从而给出了bT(X,Y）和相应的分布回归函数。注1。我们的建模框架也适用于Y有界的情况，因为Y总是可以单调地转换成一个支持实线的随机变量，例如，对于GT回归模型e=Ebt(X，g(Y))eg(g(Y)，X),eX,N(0,1）,导数Y{eg(g(Y)，X)}>0,给定X的Y的相应条件CDF为pr[Y≤yX]=pr[eg(g(Y)，X)≤eg(g(Y)，X)=Φ(eg(g(Y)，X))，Y∈R.注2。具有多重结果(Y，...,YM)Y,M≥2,写YM(Y，...,Ym）的一个紧致推广是递归公式em=Tm(X,Ym)b0,m,em X,ym-1èN(0,1）,m∈{2,...,M},e=T(X，Y)b0,1,e XéN(0,1）,其中Tm(X，Ym)tm-1(X，ym-1)sm(Ym)和T(X，Y)W(X)s(Y),具有导数函数，Ym{Tm(X，Ym)b0,M}=Tm(X，Ym)b0,M>0,M∈{1,.M}，其中tm(X，Ym)tm-1(X，ym-1)sm(Ym),M∈{2，...,M}，和t(X，Y)w(X)s(Y)。通过构造，得到了高斯表示e,...

在方差-协方差条件下，单位矩阵为(e，.，eM)→qmm=1Φ(eM)。这是Rosenblatt(1952)\'多元概率变换的高斯版本。通过对定理1的递推应用，给出了给定X的Y的隐含条件CDF为fy X(Y,..,yM X)=y-∞。..ym-∞fy X（t,...,tM X）dt。..DTM，其中Y给定X的PDF取格式X(Y,...,yM X)=mym=1φ(Tm(X,yM)b0,m）{Tm(X,yM)b0,m},yM(Y,...,yM）,对所有Y，...,ym∈R。对于每个m∈{2,...,m}，ym给定(X，ym-1)的隐含分布回归函数类似于(2.6)-(2.7)。2.2.特征和识别。对于满足导数条件(2.3)θ=b∈Rjk:Pr[bT(X，Y)>0]=1的参数值集合，我们构造出总体目标函数(2.8)Q(b)=e-log(2π)+{bT(X，Y)}+log(bT(X，Y)),b∈θ。该准则引入了一个自然对数屏障函数（如Boyd和Vandenberghe，2004),其形式为雅可比项Y{bT(X，Y)}的对数。这一点很重要，因为导数函数bt(X，Y)进入对数项，因此条件CDF和CQF的单调性要求是由目标直接强加于Q(b)的e-射域，即Q(b)>-∞的区域。利用（2.8）中高斯密度函数和对数势垒函数的存在性和性质，等价的解释是Q(b)的e-空间域包含了对严格正条件PDF的GT回归模型可容许的参数值集。我们在以下主要假设下刻画了Q(b)的形状和性质。假设1。E[T(X，Y)]<∞,E[T(X，Y)]<∞,E[T(X，Y)]<∞,且E[T(X，Y)T(X，Y)]的最小特征值离零有界。这些条件限制了我们所允许的字典集，以及以X为条件的Y的概率分布。特别地，由于T(X，Y)包括Y，假设1要求Y具有第二阶矩。假设1中的矩条件也证明了Q(b)，(2.9)(b)E[γ(Y,X,b)],γ(Y,X,b)-T(X,Y)T(X,Y)-T(X,Y)T(X,Y)T(X,Y)T(X,Y){bt(X,Y)},b∈θ的二阶导数矩阵存在。E[T(X，Y)T(X，Y)]的非奇性保证了γ(b)是负的，从而保证了Q(b)是严格凹的并且允许唯一的极大值。因此，E[T(X，Y)T(X，Y)]的非奇性是b的证明，GTg(Y，X)被证明为已知函数T(X，Y)的已知线性组合，从而也证明了分布回归函数。定理2。对于模型(2.2)-(2.3)，如果假设1成立，则Q(b)在b处存在一个唯一的maximum。通过定理2,得到了b、GT g(Y，X)和分布回归函数的唯一解(2.10)E[ψ(Y，X，b)]=0,ψ(Y，X，b)t(X，Y)(bT(X，Y))+t(X，Y)bT(X，Y)，b∈θ。对于Y具有零均值和单位方差高斯分布且与X无关的基线情况，我们得到了bT(X，Y)=Y和bT(X，Y)=1满足模型(2.2)-(2.3)的条件。然后定理2暗示条件（2.10）是由b=(0,1,0 jk-2)唯一满足的。这一事实可以直接证明:E[ρ(Y,X,b)]=E[-t(X,Y)Y+t(X,Y)]=E[W(X){-s(Y)Y+s(Y)}]=E[W(X)]E[-s(Y)Y+s(Y)]=0，因为E[-s(Y)Y+s(Y)]=0具有标准高斯随机变量的Stein方程的形式（例如Chen,Goldstein,和Shao,2010中的引理2.1）,因此对于连续可扩展函数s(Y)的任意向量在[sj(Y)]<∞,j∈1,..,j}成立。

相反，在b6=(0，1，0jk-2)下成立的条件（2.10）将表明Y偏离高斯性和与X无关，从而表征了自bsatis fires(2.2)-(2.3)以来X的几乎所有值向Y高斯性的转换。因此，我们对定理2有以下直接的证明意义。推论1。如果存在模型(2.2)-(2.3)成立，对于函数sfw(X)和连续可穷泛函(e)的任何向量，如tet(X，e)fw(X)es(e)andet(X，e)eet(X，e)满足T=et,T=et和Y=e的假设1,得到如下结论:(i)(0,1,0 jk-2)是唯一解tomaxb∈eθe[-(log(2π)+{beT(X，e)})/2+log(beT(X，e))]，其中eeθ{b∈rjk:pr[beT(X，e)>0]=1},以及(ii)“Stein score”条件[-et(X，e)e+et(X，e)]）]=0hold.2.3。讨论。FY X（Y X）的一般建模可以通过给定X,(2.11)Y=H(X,e）,e XéFe,其中函数H（X,e）在其第二个参数e中是严格递增的，它是一个独立于X的分布Fe的标量随机变量。函数H和分布Fethen的性质决定了FY X（Y X）的形式:(2.12)FY X（Y X）=Fe(H-1(Y,X)),Y∈R,其中Y7→H-1(Y,X)表示E7→H(X,e）的反函数。在这种方法中，虽然在我们的上下文中分析的统计目标是FY X（Y X）,但由于一个特定的分布，建模的对象是函数H(X,e）。在计量经济学中，关系（2.11）通常被描述为“非线性和不可分离的”，以提请注意在常数ee下潜在的复杂的x-y结构和e中缺乏加性结构（例如，Chesher，2003；Matzkin，2003)。对于严格增函数y7→g(Y，X),可以将FY X(Y，X)=Fe(g(Y，X))直接建模为(2.13)FY X(Y，X)=Fe(g(Y，X)),这是H的基本特征，允许Y的条件分布的形状在X的取值之间变化。在保持非线性和不可分离性的(2.11)-(2.12)的另一种方法是，对于某些严格增函数y7→g(Y，X),将FY X(Y，X)=Fe(g(Y，X))直接建模为(2.13)FY X(Y，X)=Fe(g(Y，X))。在本文提出的方法中，f-1为Fe的反函数，对于一个特定的分布Fe，建模的对象是分位数变换g(X，Y)=f-1 e（FY X（Y X））,其构造具有分布Fe且与X无关。通过表示（2.12）或表示（2.13）对X与Y之间的统计关系进行建模并不是无害的。特别地，通过对e的PDF的fedening,根据（2.12）,（2.14）fY X(Y X)=fe(h-1(Y,X））{yh-1(Y,X）},Y∈R确定给定X的Y的条件PDF,涉及到建模对象H的反函数。除了一些简单的情形，如位置模型H(X,e)Xβ+σe且σ>0和位置尺度模型H(X,e)Xβ+(Xβ)e且Xβ>0外，一般没有闭式表达式。此外，表达式（2.14）甚至对于H和Fe的最简单的具体说明，包括具有高斯e的位置和位置尺度模型（Owen,2007；Spady和Stouli，2018b)，都产生了非凹性。相比之下，表示式（2.13）的一个主要优点是fY X（Y X）的对应表达式绕过了sincefY X（Y X）=Fe（g（Y,X））{yg（Y,X）}的反演步骤。该公式允许直接说明g(Y,X）的可选模型，这些模型的特征是凹似然。因此，当e=g(Y，X)可以用封闭形式计算时，在估计中积累了相当大的计算优势，正如第6节中的对偶分析所进一步证明的那样。此外，我们在下一节中表明，该公式允许对FY X（Y X）在误标情况下的良好表示的刻画。

在这一节中，我们研究在一般的错误定义下，即当不存在同时满足高斯性或独立性或两者的形式(2.2)-(2.3)的表示时，由目标Q(b)的最大化而生成的FY X（Y X）的准高斯表示的性质。我们证明了这类拟高斯表示的存在唯一性，并且我们发现分布回归函数的隐含表示是真分布回归函数的良好的可定义和KLIC最优逼近。存在性和唯一性。假设1是刻画Q(b)在θ上的拟态性质和形状的条件。该目标函数在参数空间上是连续的且严格凹的，因而在mostone极大值处是允许的。另一方面，极大值的存在需要一个加正则性条件。Y和X的联合密度函数fY X(Y,X）以概率1在零附近有界。假设1和2允许刻画Q(b)在θ边界上的行为。在这些假设下，Q(b)的水平集是紧的。水平集的紧性是极大值存在的一个最基本条件，是目标函数在θ边界上的爆炸行为的一个序列。当二次项{bT(X，Y)}为负时，当b接近θ的边界时，对数雅可比项发散到-∞,因此，在正概率集上的对数{bT(X，Y)}/2+log{bT(X，Y)}也发散到-∞,从而使对数雅可比项发散到正概率集上的对数雅可比项发散到正概率集上的对数雅可比项发散到正概率集上的对数雅可比项发散到正概率集上的对数雅可比项发散到正概率集。在假设2下，可以得出目标函数Q(b)发散到-∞的结论，因此在θ中至少存在一个对Q(b)的最大值，表示为b*。在错误的规定下，对最大值b*对应于拟高斯表示E*=T(X，Y)b*g*(Y，X)，其中g*(Y，X)是一个具有b∈θ的空间表示集的元素：{m:pr[m(Y，X)=bT(X，Y)]=1}。通过对θ的了解，y7→bT(X，y)对于每个b∈θ都是严格递增的，且概率为1，因此每个m∈E都有一个完全反演的反函数。说明E[T(X)非奇性，Y)T(X，(Y)]意味着g*(Y),X）在E中是唯一的，E中没有m=g*,X)=bT(Y，X）和b6=b*的范围为y7→Φ(m(y),x））为Ux(m){u∈(0,1）：Φ(m(y),x))=U对于某些y∈R}，对于m∈E和x∈x.的拟高斯表示*(Y,X）给定X的条件CDF和CQF的相应的方便近似，加载ASF*(Y，X)Φ(g*(Y),X）），Q*(u,X)h*(X,Φ-1(u))，u∈UX(G~*)，其中E7→H~*(X,e）表示Y7→G*(y,X）,对于给定X的条件PDFof Y,定义为(3.1)F~*(Y,X)φ(G~(Y,X)){yg~*(Y,X))}。这些表示分别在以下空间F≈F:pr[F(Y,X)=Φ(m(Y,X))]=1}QQ:pr[Q(u,X)=Q(X,Φ-1(u))对于所有u∈UX(m)]=1d{F:pr[F(Y,X)=φ(m(Y,X)){ym(Y,X)}]=1}中是唯一的，其中e7→Q(X,E）表示y7→m(Y,X)的逆。因此，分布回归函数的逼近是完备的，条件CDF和CQF逼近满足全局单调性。定理3。如果假设1-2成立，那么在θ中存在唯一的最大值b*到Q(b)。因此，关于分布回归函数的拟高斯表示G*(Y,X）及其相应的逼近是惟一的。KLIC最优性。当D的元素是适当的条件概率分布并积分为1时，使用proposedloss函数Q(b)的另一个动机是隐含分布回归函数在不确定条件下的信息论最优性（White,1982）。由于每个f∈D通过构造满足f>0，如果元素f∈D满足rf(y,X)dy=1，则它是一个proposedloss函数的proposedloss函数的proposedloss函数的proposedloss函数的proposedloss函数的proposedloss函数的proposedloss函数的proposedloss函数的proposedloss函数是proposedloss函数。

这一点成立的一个必要条件是边界条件(3.2)limy→-∞Bt(X，y)=-∞,limy→∞Bt(X，y)=∞,对于所有的b∈θ,以概率1成立。给出（3.2）成立的一个特定字典，定理3表明（3.1）中的逼近f*(Y，X)是由D中的总体准则选择的唯一矩阵，即f*=arg maxf∈de[log f(Y，X)]，因此f*(Y，X)是fY X(Y，X)的KLIC最接近概率分布，相应的f*和Q*分别是fY X(Y，X)和QY X(uX)的KLIC最优条件CDF和CQF逼近。定理4。若E[log fY X(Y X)]<∞且边界条件（3.2）对于所有b∈θ都以概率1成立，则fé是D中fY X(Y X)的KLIC最接近概率分布，即f⑵=arg minf∈de log fY X(Y X)f(Y,X）,其中每个f∈D是一个适当的条件PDF。此外，F*与F中的KLIC最优条件CDF F*byf*(y,X)=y-∞F*(t,X)dt,y∈R有关，与Q中的KLIC最优CQF u7→Q*(X,X)的优逆y7→F*(y,X)有关，Q中的KLIC最优CQF u7→Q*(X,u)具有导数Q*(X,u)u=F*(Q*(X,u),X)>0,u∈(0,1）,概率为1。在边界条件（3.2）下，集合F是具有线性高斯表示的条件CDF空间，集合Q是相应的优CQF空间。给出了（3.2）的一个必要条件，例如，如果极限limy→±∞sj(y)是founnite，j∈{3,...,j}。在此保持条件下，(2.4)中的变Coe表达式e=β(X)S(Y)=β(X)+β(X)Y+jxj=3βj(X)Sj(Y)表明，β(X)>0对于边界条件（3.2）是必需的，因为否则limy→∞β(X)S(Y)将是furnite或-∞,limy→-∞β(X)S(Y)将是furnite或∞。当Y是整条实线时，β(X)>0的支持对（3.2）也是一致的。当变换sj(Y),j∈{3,...,j}在R的某个紧区域外为零时，β(X)>0由导数条件β(X)s(Y)=β(X)+pjj=3βj(X)sj(Y)>0隐含，因为导数在该紧区域外约化为β(X)。在给定X的Y分布的尾部，边界条件（3.2）在位置-尺度限制下有选择性地成立。我们还注意到（3.2）对于J=2总是成立的，因为在这种特殊情况下，导数系数是β(X)>0。注3。对拟高斯表示E*=G*(Y，X)的另一种解释是：写*=[W(X)S(Y)]b*=kxk=1wk(X){S(Y)b*k}=kxk=1wk(X)β*k(Y)=W(X)β*k(Y)=W(X)β*k(Y)=W(X)β*k(Y),其中β*k(Y)=(β*(Y),...,β*k(Y))是一个变Coe向量，具体为β*k(Y)S(Y)b*k，其中b*k=(b*k1,...,b*kj),k∈{1,..,k}。在定理4的条件下，F*(Y,X)=Φ(W(X)β*(Y))是FY X（Y X）=Φ(W(X)β(Y))形式的分布回归模型（Foresi and Perrachi,1995；Chernozhukov,Fernandez-Val,and Melly,2013）在F中的KLIC最优条件CDF,其中β(Y)是未知函数的向量。备注4。如果W(x)的某个分量x7→Wk(x)在整条实线上有值域，则相应的变Coe cientβ_k(Y)在b_ut∈θ中必然为零，且不存在b_ut∈θ,使得如果x7→Wk(x)有值域r,则b_k6=0。这和所维持的limy→±∞sj(Y)<∞的假设是成立的，例如，对于eachj∈{3,。..,J},对于R的紧子集上的非负样条函数Sj(Y)6=0,当Sj(Y)=0,且Sj(Y)在整条实线上为aCDF（Curry and Schoenberg,1966；4.估计、推理和模型特异性GT回归模型和KLIC最优逼近的特征作为自然样本对应物。我们使用总体目标函数（2.8）的样本模拟提出了GT回归模型的ML估计量，该估计量对于误码情况下的准高斯表示也是渐近有效的。

我们建立了估计量的渐近性质，并通过使用ML估计量作为自适应Lasso(Zou,2006）ML估计的一个步骤，扩展了ML-列式，以允许潜在稀疏的高斯表示。该列式作为模型选择过程，我们导出了所选分布回归模型的相应估计量的渐近分布。极大似然估计。我们假设我们观察到随机向量（Y,X）的非独立同分布实现{（yi,xi）}ni=1的样本。Q(b)的样本模拟得到了GT回归经验损失函数:Qn(b)n-1nxi=1-[log(2π)+{bT(xi，yi)}]+log(bT(xi，yi))，b∈θ。GT回归估计量为(4.1)bbarg maxb∈θqn(b)。在以下假设下，我们得到了b的渐近性质。假设3。(i){（yi,xi）}ni=1是同独立分布的，(ii)e[T(X，Y)]<∞。假设3(i)可以用{（yi,xi）}ni=1是平稳遍历的条件代替（Newey and McFadden,1994）。BB的渐近方差-协方差矩阵的一致性估计需要假设3(ii)。回顾（2.9）中γ(Y,X,b）和ζ(b)的定义，以及（2.10）中ψ(Y,X,b）的定义，得到b的方差-协方差矩阵为'A-11/n,其中γ(b*)和e['A(Y,X,b*)'A(Y,X,b*)]。我们分别给出了γ和ζ的相应估计量ASBγ=n-1pni=1γ(yi,xi,b)和B=n-1pni=1ψ（yi,xi,b)ψ（yi,xi,b)。该定理证明了GT回归估计的渐近性质。定理5。如果假设1-3成立，则(i)在θ中存在B且概率接近1；(ii)B→Pb*；和(iii)n1/2(b-b*)→dn(0,à-1-1)。此外，Bà-bbbà-→P^a-1-1。定理5(i)证明了对于足够大的样本，Bt(Y,X)>0的全局单调表示Bt(Y,X)的存在性。这个结果的一个重要特征是它没有假定正确的具体规定，即它对b*也成立，这样，*=T(X，Y)b*要么不是高斯的，要么不与X独立，或者两者都不独立。在正确的规定下，信息矩阵等式（例如，Newey和McFadden，1994)意味着γ=-Ω，并且估计量是e-cient，且渐近方差-协方差矩阵为-Ω-1。信息矩阵相等性提供了模型(2.2)-(2.3)有效性的可检验蕴涵，并构成了在数据样本中进行特殊检验的基础(White，1982；Chesher and Spady，1991)。受惩罚的估计。一般说来，一个特定字典（X,Y）的成分是不知道的，它是高斯的且独立于X*。T(X，Y)中不提高GT近似质量的分量，如用KLIC测量的，有零COE cients。对于具有非零COE cients的组件的选择，我们使用基于自适应套索(Lu，Goldberg and Fine，2012；Horowitz and Nesheim，2020)的惩罚ML过程，该过程保留了ML KLIC最优性和目标函数的严格凹性。Horowitzand Nesheim(2020)还发现ML自适应套索导致非零Coe的渐近均方误差改善。在错误的情况下，自适应LassoGT回归选择了g(Y，X)的KLIC最优稀疏近似。我们注意到，我们不假定真或伪真参数向量是稀疏的。自适应Lasso GT回归估计为(4.2)bal://arg maxb∈nqn(b)-λnjkxl=1bwlbl，如果BL=0，则BLIF BL6=00，其中λn>0是惩罚参数，权重BWLAR是从一步估计（4.1）中获得的。或者，可以制定基于Bootstrap的指定测试，如Andrews(1997)的条件Kolmogorov指定测试，其中临界值是使用参数Bootstrap过程获得的。我们写出B*=(B*a,B*ac)，其中B*a是非零参数的p维向量，而B*acis是零参数的(jk-p)维向量，p≤JK。