基于混合模拟方法的投资组合风险度量

[2018]).为了生成新数据，Gmm只需通过Φ（x |ui，∑i）从每个组分中分别采样。每个分布Φ（x |ui，∑i）中的样本数占所有样本数的比例等于ωi。换句话说，每个类别的Gmm样本相对于其重量，最终将所有样本进行积分。这样，生成的数据具有P（x）=PNci=1ωiΦ（x |ui，∑i）的联合分布，这保证了新数据与历史数据相似。对于任何给定的概率密度函数p（x），假设Nt表示生成的样本总数，N≤ n通过增加数值NTlimNT来表示小于任意值x的样本数→∞NNT=Zx-∞p（x）dx。（7） 对于Gmm，N*小于x的Gmm样品数量将等于所有Ni的总和，i=1,2。。。，Nc，样本数小于xin，均为正态分布。那我们就没有了→∞N*n=limNT→∞PNci=1NiNT=NcXi=1limNT→∞NiNT=NcXi=1ωiZx-∞Φ（x |ui，σi）dx=NcXi=1Zx-∞ωiΦ（x |ui，σi）dx=Zx-∞NcXi=1ωiΦ（x |ui，σi）dx。（8） 上述方程式从数学上表明，新样本符合高斯混合分布。因此，混合高斯分布的模拟算法可以分三步规划。首先，对于i=1。。。，Nc，每个组分Φ（x |ui，σi）的样本数选择为ωiNT。其次，我们为第i个组分生成ωiNT样本，最后我们整合所有组分生成的所有样本[Wang等人，2018]。3股价模拟3。1几何布朗运动的局限性金融中最常用的过程之一是几何布朗运动[Black and Scholes，1973]。

然而，GBM不支持股票价格服从对数正态分布的假设，而在许多情况下，股票回报率具有厚尾和倾斜，这是一个典型的事实。象征性地，GBM为股价提供了以下模型：rt=ln（StSt-1) ~ Φ（u，σ），其中RTA和STREFER分别表示退货和定价过程。Φ也是正态分布，参数u和σ根据历史数据校准。这一假设导致StSt-1.= δt+σ√δt，（9）使用混合模拟方法测量投资组合风险，其中δt是时间段和 ~ Φ(0, 1). 价格动态的第一个术语介绍了撤资，第二个术语介绍了差异效应。重新排列上面的方程式-1=exp（δt+σ）√δt），St=St-1exp（δt+σ）√δt）。（10） 因此，等式（10）使我们能够通过采样，根据需要多次模拟股票路径 来自标准正态分布。然而，正如Morone[2008]所提到的，金融市场中存在一些程式化的事实，GBM无法产生这些事实，例如股票回报的厚尾分布。挥发性聚集也是GBM无法提供任何解释的另一种现象。Takahashiet al.[2019]提到了其他程式化事实，以及金融时间序列的损益不对称，GBM无法解释这一点，但一些生成模型可以捕捉金融市场的模式。考虑到程式化事实直接影响模拟数据的性能，因此。3.2 Gmm作为GBMIn的替代方案本节，我们提出了一种模拟股票收益过程非正态性特征的方法。高斯混合模型的优点是能够捕捉股票和投资组合回报的厚尾效应。

Gmm的概率密度函数（PDF）followsp（x）=NcXi=1ωiφ（x |ui，∑i），（11）其中φ（x |ui，∑i）表示具有参数ui、∑ias均值和协方差矩阵的正态PDF。因此，很明显，对于i=1，…，每个点都属于Φ（x |ui，∑i）之一。。。，北卡罗来纳州。这些是股票市场在很长一段时间内经历的类别数量。每节课都被认为是正常的。用任意数量的数据（比如T）生成一个新样本是通过对Φ（x |ui，∑i）分量进行采样来实现的，相应数量的样本与ωi成比例。它确保了如果在一个长时间窗口中，某个分量中存在特定数量的返回，那么这些类的采样部分将在T天内出现。通过使用这种方法对一条新路径进行采样，模拟收益与历史数据相似，因此不太可能发生的事件的发生概率完全相同。然而，在GBM中，罕见事件用单项σ表示，因此使用GBM模拟股价不再产生罕见的历史事件。请注意，也不需要像在GBM框架中那样手动计算统计特征。用数学术语来说，为了生成一条带有T个新样本的路径，Gmm将ωiT样本分配给类i*, R*, ..., R*T} 被认为是股票的一组可能回报。股票价格*, s*, ..., s*T} 使用S生成的回报创建*t=S*T-1exp r*t对于t=1，2。。。，T重复该算法m次，该模型基于历史数据结构的相同特征生成m条股票价格路径。从一天到下一天，校准Gmm是我们算法中计算最耗时的部分。

我们每天使用混合模拟逼近期望最大化（EM）算法运行Portfolio风险度量，然而，在每个校准步骤中，前一步的参数集θ用于初始化EM校准例程。我们将证明，这种技术显著降低了Gmm模型校准的计算成本。我们还提到，在执行EM算法的第一天，我们使用k-均值初始化来启动校准例程。4计算风险价值（VaR）和预期缺口（ES）VaR是关于测量特定时间范围内的下行风险和重要水平。象征性地，pr（S≥ V aRα，t）=1- α. 计算VaR的方法有很多，其中历史模拟法（HS）、参数法和蒙特卡罗模拟法（MCS）是学者和实践者使用的三种最流行的方法[Jorion，2000]。历史模拟通过历史收益的α-百分位数来近似风险，并使用该分位数作为VaR（α，t）的代理。该方法假定历史收益率在未来会以与过去相同的模式再次出现。MCS在计算VaR时采用了相同的技术，不同的是，它不是历史回报，而是根据特定的动态（如GBM）重新生成许多回报。在期权定价和估计衍生品对其基础资产的敏感性之后，估计市场风险是MCS最常用的用法[Dowd，2007]。在应用蒙特卡罗风险评估时，无需假定股票价格的封闭形式表示。蒙特卡罗模拟通常基于大数定律（LLN），这表明如果X，X。。。，XNare i.i.d.具有均值u和方差σ的随机变量PNi=1XiN- u≥ !≤σN. （12） 作为LLN的一个应用，σN→ N时为0→ ∞.

因此，如果xi是最后生成的第i个路径的价格，那么它应该具有与原始数据相同的统计特性。由于VaR是衡量特定时间范围内损失的概率，MCS只关注模拟的最后收益。将所有最后的回报视为P*它，i=1。。。，m、 VaR变为VaRα，T=百分位（PiT，1- α%），或所有生成收益的α-百分位数P*信息技术使用Gmm，m路径和T评估天数的回报矩阵为R*1··r*1T。。。。。。。。。R*MR*mT. （13） 根据该矩阵，股票价格路径根据*jt=S*jt-1exp r*（t）s*1··S*1T。。。。。。。。。s*Ms*mT. （14） 使用混合模拟方法测量投资组合风险然后通过RiGmm=ln（S）计算每个路径的总体回报*TS）。最后，IgMMIS V aR1的α百分位-α、 相应的预期差额根据1计算-α=nmXi=1rigm×I{RiGmm≤V aR1-α}.我是一个指标函数=1，A，0，否则，（15）n是I{RiGmm中1的个数≤V aR1-α}. Gmm保证新的收益矩阵与历史收益具有相同的分布，直到混合分布的假设。我们使用高斯混合分布估计风险价值的方法的一个主要优点是，在危机期间，我们的模拟算法能够快速了解相关损失的集群。因此，由于大多数模型假设线性常数相关，与传统的VaR技术相比，我们的技术具有更高的性能。这一点尤为重要，因为当进入和退出动荡的金融市场时，预计稳健的风险度量工具能够适应新的市场环境。值得注意的是，在危机期间，相关性和波动性都显著增加。

在我们的算法中，我们的模型学习将适当的权重分配给代表这些周期的各种收益聚类。这样，当危机期开始时，将更高的权重分配给极端市场情景，从而导致风险度量结果的系统性增加。随着市场准备走出危机期，此类情景的相应权重开始下降，从而降低了结果。4.1根据VaR和ES的波动性和年龄调整VaR和ES是捕捉整个收益分布（包括其尾部）的强大工具。但VaR不仅取决于回报水平，还取决于波动率。最著名的捕捉波动性的模型是GARCH[Engle and Sheppard，2001]。一个有效的估计波动率和方差的模型应该能够捕捉波动率聚集现象。传统的蒙特卡罗风险度量方法假设输入数据不有序，但很明显，与较旧的回报相比，最近的回报对投资组合的期货风险比例有更大的影响。在这里，我们提出了一种简单而快速的方法，根据VAR和ES的波动和趋势来调整它们。设σlong为给定时期内收益率序列的标准差。考虑到年龄和波动性，我们将σshorth定义为在短期和近期（比如两周到一个月）计算的标准偏差。然后，我们将计算出的VaR和ES更新为以下VarAdj1-α=VaR1-α×σ短σ长，ESadj1-α=ES1-α×σ短σ长。（16） 通过使用波动性术语σshortvsσlong，较旧的回报模式会根据市场的当前状态进行更新。短时间段的长度可以通过使用混合模拟方法对获得的投资组合风险度量进行回溯测试来优化。结果使用不同的时间段。

一般来说，根据我们的经验，短期可以是长期的一半或不到一半。同样，上述技术可以直接应用于模拟收益矩阵R*1（adj）·r*1（adj）T。。。。。。。。。R*m（adj）。R*m（adj）T=σ短σ长×R*1··r*1T。。。。。。。。。R*MR*mT. （17） 根据调整后的矩阵计算VaR和ES。5投资组合价值模拟在本节中，我们将解释我们使用高斯混合分布估计投资组合风险水平的算法。为了突出Gmm在获取收益分布特性方面的优势，我们首先提供了基于几何布朗运动的经典方法，然后讨论了基于Gmm方法的改进。5.1基于几何布朗运动的回报模拟几何布朗运动的蒙特卡罗模拟需要相关的随机变量来生成投资组合中的未来股价。假设投资组合中有股票。然后我们可以把方程（10）写成圣。。。SNSt=圣-1（1+δt）。。。SNSt-1（1+uNSδt）+圣-1σ√δt。。。SNSt-1σNSNS系列√δt. （18） 这里ξ={i} NSI是正态标准分布的随机变量矩阵，包含NSC列和T行。由于每一行都应该基于股票收益的相关结构进行相关，因此可以使用Cholesky分解来创建ξ。这样，我们可以把ρ，相关矩阵写成ρ=AA，把ξ=A, i.i.d.随机变量. 然而，当我们使用一个相关矩阵ρ时，我们隐含地假设在两个组之间存在一个线性依赖结构。重复这个过程m次，会为每只股票生成m个不同的路径，从而为投资组合的价值生成m个不同的值。

在ITH模拟路径中权重为[w，…，wNs]的投资组合的价值变为[w，…，wNs]×圣。。。SNSt. （19） 因此，第i次模拟的回报为ri*p=ln（Si）*p、 TSP，0）。这些生成的回报的α百分位是风险度量V aRT，1-α根据GBM假设计算。考虑到不同资产的组合，这些资产之间的相关性是使用混合模拟方法从投资角度衡量组合风险的一个重要因素。由于股票收益率相互关联，单独模拟所有股票是不合理的。主要的一点是，股票之间的相关性并非一直保持不变。因此，在大多数市场环境中，将单个数字假设为两个股票之间的相关性，或将n个股票之间的相关性/协方差矩阵等效为一个数字，并不能给出实际的决策结果。已经观察到，在危机期间，股票高度相关，而在其他情况下，股票则不相关[Ait-Sahalia and Xiu，2016，Frank等人，2009]）。在不同的市场环境下，这种金融资产行为的联合建模总是给行业从业人员带来巨大挑战。为股票和市场投资组合之间的相关性提供结构框架的一个非常著名的模型是CapitalAsset定价模型（CAPM），该模型将一个风险因素视为市场风险，并根据一个名为β的系数测量所有股票的风险溢价[Merton et al.，1973]。5.2基于高斯混合模型模拟收益使用模拟股票价格的高斯混合模型不需要驱动股票收益动态的相关矩阵。相反，Gmm通过一定数量的高斯分量直接模拟股票收益的点分布。

根据每个聚类中的CO变异∑，为具有不同参数的数据分配适当的聚类会导致不同的相关结构。因此，不需要计算相关矩阵，因为Gmm中有多个协方差矩阵及其相关权重。通过使用第3.2节中讨论的抽样方法，每个样本R*将包含表示每个股票回报的N元素。抽样股票收益m次将产生m×NSM矩阵r1*s··r1*sNS。。。。。。。。。rm*s·rm*社交网络. （20） 当Gmm通过一个镜头查看所有历史数据时，我们建议根据其当前波动性调整所有模拟回报。我们使用系数σshortσlong，并将其乘以该系数来调整收益。这就产生了一个带有elementsri的新矩阵*sj:=ri*sj×（σ短σ长）sj。（21）让T成为我们计划模拟股价的时间范围。我们重复我们的模拟算法T次，得到T矩阵为20。股票j（j=1，··，Ns）在T isSi的第i个模拟价格（i=1，··，m）*sj，T=Ssj，0×exp（TXt=1ri*sj，t）。（22）股票的T持有期回报sjbecomesPTt=1ri*sj，t.考虑固定权重[w，…，wNs]的投资组合回报率如下所示：r1*Prm*P=PTt=1r1*s、 t··PTt=1r1*sNs，t。。。。。。。。。PTt=1毫米*s、 t··PTt=1毫米*sNs，t×[w，…，wNs]，（23）使用混合模拟方法和at T isSi中投资组合的第i个模拟值进行投资组合风险测量*p、 T=Sp，0×exp-ri*p、 对于所有i=1，2，m、 （24）有了生成的价格序列，投资组合收益的α百分位是VaRT，1-α. 同样，其他风险因素也可以据此计算。

例如，预计短缺量EST为1-α、 可以计算为npmi=1rigm×I{RiGmm≤V aR1-α} ，其中I是指示函数。6实证分析在本节中，我们提供了基于Python实现的数值结果，用于计算单个股票和包括这些股票的投资组合的VaR。我们使用Christo Offersen回溯测试来调查计算出的VaR的有效性。我们还使用二次损失函数来比较我们的模型和其他模型，如历史模拟、参数（方差）、蒙特卡罗模拟和GARCH方法。此外，我们选择的投资组合采用了高斯Copula-MonteCarlo方法，并与基于Gmm的VaR模型进行了比较。我们还将我们的模型与Engle和Manganelli[2004]引入的名为鱼子酱的不同类型的VaR进行了比较。6.1数据本研究的数据来自多家标准普尔500指数股票，即3M公司（MMM）、美国运通公司（AXP）、先进微设备公司（AMD）、美国国际集团（AIG）、美国农业产业联合会（AFLAC）、雅培实验室（ABT）、微软公司（MSFT）、苹果公司（AAPL）、亚马逊。com公司（AMZN）、美国银行（BAC）、摩根大通（JPM）、强生（JNJ）、埃克森美孚（XOM）、万事达卡（MA）以及雅虎的标准普尔500指数本身！资金这些日期包括2007-2008年的次贷危机。股票收益时间序列的开始日期是2006年7月24日。我们的VaR模型的时间范围T是1，这意味着我们已经计算了每日VaR。我们计算了1000天的每日VaR。对数返回从2006年7月24日到2007年7月23日使用。在下一步中，将窗口移动一天，直到VaR计算到2011年11月7日（1000天）。收益率序列的描述性统计如表1所示。当相关的p值低于0时，jarque bera统计量已被拒绝，并显示为（R）。1