基于混合模拟方法的投资组合风险度量

如图所示，危机期间没有一只股票遵循正态分布。在计算VaR时，每日VaR考虑了1%和5%两个置信水平。此外，我们还计算了这些股票的等权投资组合的1%和5%VaR。我们使用Nc=3、4、5和6来计算Gmm的组件数量。对于参数σlong和σshort，我们分别选择252天和70天。附录12、13、14和15中还显示了不同σ值的结果。我们的VaR模型中的模拟数量是3000。然而，考虑到1000次模拟，我们也得到了相同的结果。为了计算准确的VaR结果，模型应该能够捕捉数据的未来分布。对每种股票的Gmm分布和其他两种分布，即正态分布和学生t分布进行了比较。使用混合模拟方法进行投资组合风险测量表1：收益率序列和P500 MMM AXP AMD AIG AFL ABT MSFTFskewness的描述性统计-0.247-0.115 0.093 0.024-2.150-1.507-0.174 0.350峰度8.417 5.1936.605 3.702 41.435 28.815 6.095 9.001JarqueBerastatistic3671。（R）43391.9（R）1924.3（R）4210.0（R）4210.0（R）最高0.110 0.0（R）0.0（R）最高0.110 0.0（R）0.0（R）最高0.10（R）最高0.10（R）最高0.10（R）0（R）0）0.10（R）0（R）0（R）0（R）4210.0（R）最高0）0（R）0（R）最高0）0）0（R）0（R）0）0（R）0）0（R）0（R）最高0）0（R）0（R）0（R）0（R）0）0（R）0（R）0（R）0）0（R）0（R）0（R）0）0（R）0（R）0）0（R）0（R）0（R）0）0（R）0）0）0）0）3 9.838 15.655 13.216 13.529 8.474 JarQueberastatistic1775。1（R）8061.8（R）9582.4（R）5025.4（R）12755.1（R）9026.7（R）9465.2（R）3743.2（R）最大0.130 0.239 0.302 0.224 0.115 0.159 0.189 0.115min-0.197-0.246-0.342-0.232-0.080-0.150-0.133-0.1296.2调查Fit的优度我们使用两种优度方法来验证模型在多大程度上能够被数据拟合。

首先，我们采用均方根误差（RMSE）RMSE=VuTutnxi=1P DFmodeli- P DFreali, （25）在数据的真实PDF和各种模型之间，其中n是PDF的点数。表2显示了2006年7月24日至2011年7月11日期间不同股票的RMSE。由于不同数量的组分Nc=3、4、5和6具有相同的结果，我们只显示了Nc=3组分的Gmm。结果表明，Gmm的RMSE明显低于正态分布和学生t分布，这意味着Nc=3、4、5和6的Gmm比传统分布更适合建模。其次，每个样本的对数似然函数也显示在表3中，表3说明了具有不同NCR的GMM的数量大于正态分布和Student t分布。结果显示了2006年7月24日至2011年7月11日样本的平均对数可能性。可以看出，所有Gmm对数概率都高于正常和t学生。另一方面，表3表明，将组分的数量从3增加到更高的数量可能会导致更高的对数可能性或相同的概率。第三，我们在真实数据和各种模型之间使用Kolmogorov-Smirnov（KS）检验。表4显示了KS检验中检验零假设的p值，其中Hhypothesis检验数据是否符合假设分布。该测试的统计数据为Dn=sup | CDFmodeli-CDFreali |其中CDF是累积分布函数。在本试验中，从确定的分布中随机抽取一个瞬时样本，其CDF被假定为CDF模型。

如表4所示，如果显著水平为1%，p值高于1%，我们无法拒绝H。使用混合模拟方法测量投资组合风险表2：不同分布与P500 MMM AXP和AIG AFL ABT MSFTF AAPL AMZN BAC JPM JNJ XOM MAGMM（NC=3）0.27 0.21 0.23 0.22 0.31 0.24 0.17 0.23 0.19 0.19 0.30 0.25 0.23 0.20 0.16正常0.56 0.39 0.41 0.29 0.60 0.53 0.40 0.40 0.27 0.50.52 0.45 0.51-0.37 0.30 0.0.40 0.0.40 0.0 0.40（d）0.40 0.0.0.400.53 0.31 0.41 0.28 0.30 0.53 0.45 0.52 0.37 0.33表3：不同分布的每个样本的对数似然GMMNC=3 GMMNC=4GMMNC=5GMMNNC=6正常TSD。o、 2.82 2.29 2.29 2.29 2.29 2.29 2.29 2.29 2.29 2.29 2.29 2.29 2.29 1.29 2.29 1.29 1.90 2.90 2.9 2.2.2.9 2.9 2.2.2.2.2.2.2.2.9 2.2.9 2.2.2.2.9 2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.20 21.2.21 2.21 2.06 2.13BAC 2.02 2.03 2.04 2.05 1.65 1.75JPM 2.17 2.18 2.18 2.18 2.181.93 2.01JNJ 3.24 3.24 3.25 3.06 3.14XOM 2.71 2.71 2.71 2.54 2.62MA 2.64 2.64 2.64 2.65 2.48 2.55图1包括我们的一些股票，给出了Gmm成分数Nc=3时正态分布和Student分布之间比较的图示。Gmm在数据的尾部设置了一个单独的正态分布，以捕获它们的厚尾特性。这些分布的权重相对较低，这是因为它们发生的可能性较小，且可用于描述其行为的数据也较少。图8和图9的附录中显示了所有股票的图表。

表4显示，不同成分Nc数量的Gmm分布效率之间没有显著差异，从而得出结论：市场可以用3种不同的正态分布很好地解释。图2显示了Nc=3的Gmm如何根据市场指数模拟股票的联合分布。横轴是标准普尔500指数，而后一个轴说明了个别股票的回报。每个簇都有一个独特的关联结构。由于在更高的维度上，股票收益的关系结构变得更复杂，因此可以在变化的市场条件下训练Gmm来模拟未来的收益。所有股票的图表如图10和图11的附录所示。图3还显示了Nc=3组件的时间序列返回聚类。图12和13.6.3的附录中显示了所有股票，Christo Offerson检验和二次损失函数。为了检查VAR的有效性和准确性，我们使用Christo Offersen[1998]提出的方法。VaR结果应同时满足无条件覆盖和可接受的超额收益的独立性。