通过社交网络分配营销资源：一个长期的策略

如果xn（tk）≤ min Xn，a？2，n=0，我们可以用（11）来解xn（t+k）=xn（tk）+qρnxn（tk）λ-11+qρnxn（tk）λ-1= 1 -qλ（1）-xn（tk））ρn≤ 1.-问题（1）-η） λρn（19）然而，λρn≥ 1.- η，因此xn（t+k）≤ η. 通过类似的计算，我们可以证明xn（t+k）≤ η当xn（tk）时≥麦克斯·西恩。这意味着| xn（t+k）- η|<|xn（tk）- η| whenxn（tk）/∈ X+n.加上（16），我们已经证明| xm（t+k）- η|<|xm（tk）-η|除非xm（tm）=η。因此，除非所有n的xn（tk）=η，否则我们有| | exp(-LTk）[x（t+k）- η1N]||∞≤ ||x（t+k）- η1N|||∞< ||x（tk）- η1N||∞（20） 另一方面，如果xm（tm）=η，那么x（tk）=η1nor我们至少有一个n，这样xn（tk）6=η。在第一种情况下，网络已经处于平衡状态，而在另一种情况下，我们有| | exp(-LTk）[x（t+k）- η1N]||∞< ||x（t+k）- η1N|||∞（21）作为经验(-LTk）将降低所有向量的范数，除非其形式为γ1N。这就是收敛性的证明。情况2：当ρmaxλ+λ≤ 1，这意味着X+n= 对于所有n，通过定义ρmax来表示一些k。此外，我们还有“Xmax”“-xn∈ N因此如果xn（tk）∈\'Xmax，我们有一个？2，n（k）=a？1，n（k）=0，n、 这意味着任何γ1N，γ∈ X轴是动力学的平衡点（1）。这个定理意味着，如果ρmax>λ+λ，重复应用策略σ？将导致动力学（1）具有唯一的渐近稳定平衡。nextsection提供了一种合作竞争策略，利用这种行为同时提高两个营销者的长期效用。四、 建议的合作竞争策略在这里，我们使用合作竞争的概念来表示，尽管营销人员为消费者市场竞争，但他们可能在一定程度上有合作的兴趣。其结果是，它们都可能具有更好的长期效用。我们将合作竞争战略的潜在特征称为可持续性。

可持续性是指当市场营销员i、i∈ {1，2}，使用策略σ？i、 因此，如果一个战略（CS）文件对与单局纳什均衡行动相关的战略文件具有帕累托优势，则称其为可持续的。本节的主要目的是提出一个可能的合作计划，并证明它在合理的充分条件下是可持续的（在第五节的典型数值设置中满足）。定义1（可持续性）。合作竞争战略文件（σCS，σCS）被认为是可持续的，如果我∈ {1,2}，Ui（σCS，σCS）≥ Ui（σ？、σ？）。（22）从数学上讲，可持续性的概念对应于应用于两个利益点的帕累托优势的概念。在这里，我们使用更精确的术语“可持续”来表示，如果参与者获得比使用纯竞争战略更好的效用，他们将接受实施给定的竞争计划。拟议的合作竞争计划包括两个阶段，第一阶段包括所有阶段∈ {1，2，…，K}第二阶段持续到剩余的时间，即K∈ {K+1，…，K}。在第一阶段，两位营销人员都反复使用“一次成功”的策略。然后，玩家切换到非攻击性的操作点，这样就不会进行营销。这将在第二阶段的持续时间内进行。拟议计划背后的基本原理是，既然我们已经证明市场份额根据η的比率稳定下来，广告投资的回报就变得不可靠了。拟议的合作计划意味着alli∈ {1,2}，ai（k）=a？我（k）为所有k∈ {1,2，…，K}andai（K）=0表示所有K∈ {K+1，…，K}。

这里有一个？i（k）是引理1给出的单枪游戏东北方向的动作。如果双方都在重复玩一次性游戏中的NEof方面提高效用，那么提议的合作竞争计划是可持续的。这里x（tk）根据（1）演化，ai（k）=a？对于所有的k，i（k）和x（tk）随着ai（k）=a而演化？我（k）为所有k≤对于所有k>k，kandai（k）=0。如果我们让xn（tk）通过Kstages收敛到某个点，那么对于所有k>k，x（t+k）=x（tk），这意味着两个层的实用程序通过执行动作0来单方面提高。然而，这种情况非常保守，因为它要求所有代理人在限定时间内达成某种意见。下面的命题给出了一个更宽松的条件来检查提议的CS的可攻击性。当ρmax≤ λ+λ，如果xn（tk），营销人员的行为∈所有n的xmax都将为0，可能会达到多重平衡。这意味着，即使是战略？导致非攻击性行为。以下命题提供了一个条件，在该条件下，提议的CS在另一种情况下是可持续的。提议1。当ρmax>λ+λ时，如果δ ∈ [0,1]这样：oxn（tK+1）∈ [η - δ、 η+δ]对于所有n∈ 五、 oδ<min{η，1- η}ρmaxλ+λ- 1.,oδ ≤ λiρmaxλi2ρ（k）TN（λ+λ）1+λi2ρ（k）TN-1，（23）对于所有k∈ {K+1，…，K}。证据我们可以用以下方式重写条件（22）。如果K∈ {0, 1, . . .

K- 1} 比如pkk=1ui（~x（tk），a？（k） a？（k） ）+PKk=k+1ui（~x（tk），0，0）≥PKk=1ui（x（tk），a？（k） a？（k） ）尽管如此∈ {1,2}，那么CS是可持续的。由于这两种政策在第一个K阶段都起到了作用，因此效用差异仅产生于剩余的阶段，可以按kk=K+1u（x（tk），0，0）计算- ui（x（tk），a？（k） a？（k） ）=PKk=k+1ρ（k）（x（tk）- x（tk））+λa？（k） TN.（25）注意，直到tK+1两个使用相同的动作，所以我们有x（tK+1）=x（tK+1）。接下来，我们得到了x（tk）=exp(-L（tk- tK+1）。由于L的结构，我们有| | x（tk+1）- 十、*N||∞< ||~x（tk）- 十、*N||∞尽管如此，k∈ {K+1，…，K-1}. 自x（tk）∈ [x]*-δ、 x*+δ] ，x（tk）的每个分量的下界为x*- δ.对于x（tk）的动力学，我们有maxn的条件∈V{xn（tk+1）- 十、*|} ≤ 马克斯∈V{xn（tk）- 十、*|} 好吧∈ {K+1，…，K- 1}. 这意味着x（tk）的每个分量都是x的上界*+ δ. 因此，我们可以降低术语pkk=K+1ρ（~x（tk））的下限-x（tk）in（25）与2δPKk=K+1ρ（K）tn，我们得到PKk=K+1u（)x（tk），0，0）- ui（x（tk），a？（k） a？（k） )≥ -2δPKk=K+1ρ（K）TN+λa？（k） TN.（26）如果该值大于0，则根据定义，合作计划是可行的。max+λ的作用总是与ρ+λ相关的。对于至少一种具有ρm（k）的药剂，在任何阶段k>Kis的作用都是非零的≥ ρmaxand由a给出？i、 m（k）≥ρmλ-iρmax（λ+λ）-xm（tk）。根据定理1，我们知道kxn（t）- ηk∞正急剧下降。因此如果xn（TK）-η ≤ 所有n的δ，n n（TK）- η ≤ δ对于所有n，k>k。类似的参数可用于U。因此，如果δ≤ λiρmaxλi（λ+λ）- δ2ρ（k）TN，（27）因为我们至少有一种试剂m带有a？i、 由ρmaxλi（λ+λ）限定的最小功率- δ.

然后是xm（tk）∈ X+和ρm（k）≥ ρmax.接下来，我们提供了一个数值示例，说明了拟议CS的可持续性，并允许我们评估长期合作竞争的好处。V.数值性能分析为了进行良好的比较分析，我们选择了与[1]非常相似的典型关键参数值。对于广告成本，我们假设：λ=1和λ=0.5。我们考虑级联的图形结构，其中5代理的子图结构被重复。定义子图的边集由E={（1,5）、（2,1）、（2,3）、（3,1）、（3,5）、（4,1）、（5,1）、（5,2）}给出，当边存在时，连接权重固定为1。此外，我们以以下方式连接5个代理的重复块：代理n连接到n+5（当n<n时）- 5） 有Ln，n+5=-1和Ln+5，n=-4，也就是说，前面的区块更具流动性。初始值取xn（0）=0.4+n2，我们计算ρ=1>Nexp(-五十） 其中L是结果图的拉普拉斯算子。我们还考虑了Tk＝1，k＝5，tk＝k.g，1表示代理数n＝50时的观点的演变，两个营销者在所有的竞选阶段都实现了一个目标。我们绘制了n=1、n=15和n=50的观点图，以显示可观察到的行为类型。n=1的代理具有很高的影响力，因此由两个营销人员控制，而n=50的代理则不受控制，通过跟随邻居慢慢收敛到η。只有当代理人n=15的意见远离η时，才能对其进行控制。该图清楚地显示了[1]中进行的分析中缺少的一个重要结果。尽管在舞台游戏中存在零和成分，在网络中产生张力，但网络的状态稳定到一个给定值，这可以从理论分析中预测。这里，该值对应于η并等于。

我们观察到kx（tk）- ηk∞< 0.01字节≥ 5.0 1 2 4 5时间t0。20.30.40.50.60.70.8意见x（t）代理n=1代理n=15代理n=50图。1.虽然营销游戏有一个零和的组成部分，在网络中创造了紧张感，但网络在充分的阶段后达成了共识。图2表示两个营销者的长期效用（参数与之前相同），作为K的函数（即拟议合作计划第一阶段的阶段数）。可以看出，对于任何1≤ 当K<5时，两个市场营销者都会在Kcampaigns之后停止营销，从而获得更好的长期效用。这一观察的优点之一（说明了定理1）是展示了设计长期营销策略的潜力，从而使用动态游戏公式，而不是像[1]中那样利用静态游戏模型。在表1中，我们通过将建议的策略与收敛到η0.5 1.5 2.5 3 3.5 4 4.5 1阶段持续时间（K1）50100150200250350Ui市场营销人员1市场营销人员2 FIG后的策略进行比较，来比较阶段效用。2.拟议的合作竞争战略计划被认为是可持续的≥ 1也就是说，它在[1]的战略文件中占据主导地位。六、 结论在本文中，我们研究了一个博弈模型，该模型描述了企业之间的重复竞争，这些企业试图获取一个50 100 200提议的营销策略（i=1）17 33 67提议的营销策略（i=2）34 66 132[1]的策略（i=1）13 28 58[1]的策略（i=2）30 61 124阶段，与[1]中的策略相比，融合到η5 6 6 6表位公用事业公司所需的提议营销策略实际趋同。通过社交媒体上的广告获得市场份额。

因此，通过社交网络进行互动的消费者不仅受到网络中其他消费者的影响，而且也受到外部营销人员的影响，这些营销人员通过营销活动影响他们。这导致了消费者意见的混合动态。利用文献[1]中的主要结果，我们提出了一种将一次纳什均衡行为与无广告相结合的竞争营销策略。在合理充分的条件下，证明了所提出的合作策略在[1]的解中占主导地位。数值例子说明了理论结果。参考文献[1]V.S.Varma，I.-C.Morarescu，S.Lasaulce和S.Martin，“社交网络上双寡头市场的资源分配”，《IEEE控制系统通讯》，第2卷，第4期，第593-598页，2018年。[2] T.L.Tuten和M.R.Solomon，社交媒体营销。Sage，2012年。[3] M.Caponigro、B.Piccoli、F.Rossi和E.Tr’elat，“多智能体动力学的稀疏反馈稳定化”2016年第55届IEEE决策与控制会议记录，第4278-4283页。[4] F.Dietrich、S.Martin和M.Jungers，“通过领导观点和动态，并与状态和时间相关的互动进行控制”，IEEE Trans。《自动控制》，第10.1109卷/TAC。2017.2742139, 2017.[5] R.Hegselman、S.K–onig、S.Kurz、C.Niemann和J.Rambau，“最佳舆论控制：竞选问题”，《艺术社会与社会模拟杂志》，第18卷，第3期，2015年。[6] L.Friedman，“广告支出分配中的博弈论模型”，运筹学，第6卷，第5期，第699-7091958页。[7] G.R.巴特斯，“销售和广告价格的均衡分布”，《经济研究评论》，第465-4911977页。[8] M.Esmaeili，M.-B.Aryanezhad和P.Zeephongsekul，“卖方-买方供应链中的博弈论方法”，欧洲运筹学杂志，第195卷，第2期，pp。

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