静止Kyle装置：微基传播子模型

在这里，我们将为上面列出的方程中引入的所有参数提供半分析结果，这些参数与一般的非马尔可夫情形具有相同的定性特征。这一分析的有趣之处在于，随着NT交易流程的可预测性增加，其交易流程变得准确，从而使他能够降低由于组织交易计划的价格影响而产生的成本。但在讨论马尔科夫案例之前，让我们先强调一下与现有模型的异同。在经济学文献[10,15,16]中，Camou flage也被称为不引人注目的策略[10,15,16]02505075101251501752000.00.20.40.60.81.0/00 2505050010010010010010125152ERR2000.00.51.0V/V1001011010102101100/1100101102+10000.010.020.03err0 50.81.01.2图1：用（1+|τ|/τk）给出的ACF对平衡性质进行数值检查-γkwhere k={u，NT}。我们任意选择（τNT，τu，γNT，γu）=（30,50,3,5）。数值解算器已在Tcut=5·10和Tit=200的条件下实现。（左）在上面板中，我们显示了Ξτ/Ξ（项目符号）和ΞITτ/ΞIT（虚线）之间的良好折叠。这两个ACF之间的折叠在底部面板中量化，其中显示了两条曲线之间的相对累积绝对误差。顶部面板中的插图显示了变异函数上的折叠。（右）在主顶部面板中，我们展示了正滞后的良好崩溃Ohmτ/Ohm（要点）和OhmNTτ/OhmNT（虚线），而在插图中，我们展示了塌陷不涉及滞后项。

在底部面板中，这两个ACF之间的崩塌被量化，计算相对累积溶质误差，从滞后1.0 50 100 150 200 2500.00.20.40.60.81.0/00 50 100 150 200 2500.0000.002err0 2000.00.51.0V/V0 50 100 150 200 2500.40.20.00.20.40.60.81.0/10 50 100 150 200 2500.05ERRr0 50.80.91.01.1图2:exp给出的ACF平衡特性的数值检查-τ/τ1，ksin（x/τ2，k+π/2），其中k={u，NT}。我们任意选择（τ1，NT，τ1，u，τ2，NT，τ2，u）=（40,40,20,10）。数值解算器已实现Tcut=10和Tit=500。（左）在上面板中，我们显示了Ξτ/Ξ（项目符号）和ΞITτ/ΞIT（虚线）之间的良好折叠。这两个ACF之间的折叠在底部面板中量化，其中显示了两条曲线之间的相对累积绝对误差。顶部面板中的插图显示了变异函数上的折叠。（右）在主顶部面板中，我们显示了良好的塌陷，因为Ohmτ/Ohm（要点）和OhmNTτ/OhmNT（虚线），而在插图中，我们展示了collapse不涉及滞后0项。在底部面板中，这两个ACF之间的塌陷是量化的，计算从滞后1.0 20 40 80 1000.00.20.40.60.81.0/00 20 60 80 100012err1e 130 1000.00.51.0V/V0 20 40 60 1000.20.40.60.81.01.2/10 20 20 40 60 1000ERR1E 120 50.81.01.2图3:e-τ/τkwhere k={u，NT}。我们任意确定（τNT，τu）=（10,20）。数值解算器已在Tcut=5·10和Tit=200的条件下实现。（左）在上面板中，我们显示了Ξτ/Ξ（项目符号）和ΞITτ/ΞIT（虚线）之间的良好折叠。这两条ACF之间的夹角在底部面板中进行量化，其中显示了两条曲线之间的相对累积绝对误差。

顶部面板中的插图显示了变异函数上的折叠。（右）在主顶部面板中，我们展示了正滞后的良好崩溃Ohmτ/Ohm（要点）和OhmNTτ/OhmNT（虚线），而在插图中，我们展示了崩塌不涉及滞后0项。在底部面板中，对这两个ACF之间的塌陷进行了量化，计算了与现有模型5的滞后1.5关系开始的相对累积绝对误差。1 Kyle模型虽然深受单周期Kyle模型的启发，但我们的模型在几个方面有很大的不同。首先，在我们的环境中，不是外在地假设基本价格的存在，而是发挥基本价格作用的综合股息过程，将其与资产的回报机械地联系起来。第二，我们没有明确的基本价格启示，因此允许考虑模型中的固定设置。这种平稳的机制在实践中是相关的，因为为了分析市场在短时间尺度（分钟、小时）的行为，人们希望在较慢的时间尺度上，将原教旨主义信息（例如股息、盈利公告、预定新闻）的动态潜在诱发的非平稳效应抽离。第三，我们引入了（可积）序列相关性，包括股息（等价地，基本价格）和顺序。让我们也指出如何在我们的环境中恢复凯尔模型。假设（i）新台币不相关，（ii）未来股息之和遵循随机游走过程，（iii）利润在每个周期开始时知道pFtat的价值，以及（iv）MM设定价格后的公共信息，我们完全恢复单周期凯尔模型的迭代版本。5.2传播者模型方程（28）是处理传播者模型的基础方程。

鉴于订单流量相关性和价格波动性，文献中通常使用它从经验数据中提取传播因子。因此，我们的框架允许我们在经济学标准设置中恢复传播者模型，但有三个重要的注意事项：o超额需求ACFOhm在实际市场中观察到的τ函数通常是不可积的，这是由于指令流的强持久性[5,17]。o在真实市场中观察到的价格过程接近于高频扩散在实际市场中观察到的传播子被发现是一个缓慢衰减的时间函数。让我们讨论这些经验事实，展示如何在我们的程式化模型中解释它们。首先，通过将我们的框架扩展到NT行业ACF本身不可积的情况，可以恢复超额需求ACF的不可积性。这是因为，与超额需求和噪音交易相关的交易条件预计也将延伸至不可积NT交易的设置。第二，在我们的模型中，价格扩散率也可以恢复为限制机制，在这种限制机制中，股息比模型中的任何其他时间尺度都慢得多。为了证明这一点，请注意，价格的变异函数可以用价格ACF∑τ表示如下：Vτ=V∞(1-∑τ），其中∑=1，（29）其中第一等式在平稳条件下成立，如本文介绍的模型所述。因此，如果∑∑τ，我们确实在高频下恢复了价格扩散率-1.∝τ/τ*在模型的高频极限下，即τ τ*, τ在哪里*是典型的时间尺度。相反，在相反的低频极限τ τ*, 由于均值回复股息的假设，即具有均值回复基本价格，ACF的价格衰减为零，即∑τ~0，我们恢复了一个方差函数。

例如，在下面描述的马尔可夫情形中，其中ACF是具有时间尺度τu的指数衰减函数，其中一个具有τ*= τu. 总之，如果高频极限下线性价格ACF∑τ的假设成立，我们模型中的价格在两种截然不同的情况之间插值：当模型在其高频极限下探测时，它描述了一个具有扩散价格的市场，而在低频极限下，价格是均值回复的。这是非常令人满意的，因为它是用一个传播子得到的，这是等式（23）的解。在股息过程高度持续的高频率下，价格扩散率源于它在股息变化中的惊喜：这是我们模型中产生扩散行为的普遍机制。实际上，在这个极限下，它对基本价格的估计是一个鞅，因此它被描述为一个扩散过程。从等式（24）可以看出，价格过程本身是由扩散过程描述的。由于前两个属性可以检索，第三个属性遵循标准缩放参数。因此，在高频极限下，价格影响必须是时间的缓慢衰减函数，以确保价格扩散，同时通过等式（28）具有强相关的顺序流动过程。有趣的是，为了观察模型中的任何影响，我们不得不引入一个非平凡的红利过程：引入基本信息，使利润比MM具有信息优势，就足以在价格中引入非平凡的动态，并通常在高频下诱导价格的扩散行为。

因此，为了微观建立传播者模型而付出的代价是引入了一个辅助股息过程，它的详细形状在足够高的频率下是不必要的，但其函数设置了价格响应的规模。6马尔可夫过程在分流和分流都是马尔可夫过程的情况下，平衡条件（23）可以显著简化，其中它们的ACF由以下公式给出：ΞΞΞτ=ΞΞΞατu，（30a）OhmNTτ=OhmNTατNT。（30b）参见等式（13）下的简短讨论。其中一个简化来自于这样一个事实，即等式（13）给出的价格估计与当前股息实现成比例，即pITt=ut-1αu/(1 -αu). 因此，式（24）中给出的价格效率变为：ττ=ΞΞFτ，其中ΞF=1，（31），其中ΞF是基本价格pFt的回报ACF。由式（31）可知，价格过程的ACF∑τ是一个衰减指数，其时间刻度为τu：=-1/对数（αu）。因此，马尔科夫案例中的价格过程是一个离散的Ornstein-Uhlenbeck过程，具有时间尺度τu：=-1/对数（αu）。我们通过在两种特殊的马尔可夫情况下显式求解平衡条件，验证了上一节中所展示的迭代数值解的结果：非相关NTtrades的情况，通过将NT的交易ACF方程替换为OhmNTτ=OhmNTΔτ，且NT交易的ACF时标与股息时标相同的情况，即公式（30）给出的情况，αu=αNT。这些发现见附录B。此外，我们通过施加上一节中列出的一般平衡性质，以及方程式（14）给出的MM盈亏平衡条件，找到了平衡条件的显式解。

以下章节给出了有关该程序结果的详细信息。让我们指出，尽管选择马尔可夫红利和NT交易过程是为了获得分析结果，并在简单情况下建立对系统的直觉，但本节中发现的主要定性结论确实可以外推到具有可积ACF的一般平稳均值回复过程。6.1非相关NT交易这种情况特别简单，因为等式（26）中给出的准卡门费房地产变得精确。等式（28）由指数衰减传播子求解，其标度与股息ACF相同，即τu。传播子的振幅在App中导出。B.1。式（23）的解分两步得到。首先，我们基于准现金流量策略属性，即公式（26）和公式（24）中关于回报ACF givenby的属性，构建了一个ANSATZ模型。有关详细信息，请参见附录C.1。然后，我们通过施加MM’sbreak-even条件（见附录C.2）来修正ansatz。下面描述的这个过程的结果与等式（23）的迭代数值解算器的结果相匹配。我们找到的传播子是：Gτ=Gαu-αNTαu-ρατu+1.-αu-αNTαu-ρρτ, （32）其中新的时间标度τρ=-1/log（ρ）出现。在一般马尔可夫条件下，通过两个基本时间尺度τu和τNT的非线性组合给出了这个新的时间尺度：-1/log（αNT）（如附录C.2所示获得的ρ和Gis的Implicit表达式）。从左面板开始。显然，在τu，τNT 1，τρ接近时间步长的值，即τρ~ 1，因此比两个基本时间尺度小得多。

这一发现以及与非相关NT交易相关的一个发现表明，当股息高度持续（αu）时→ 1） 传播子具有准永久分量和非零瞬态分量。前者源于基本过程在高频率下的明显持续性，而后者源于NT交易过程的非平凡可预测性。正如我们将在下文中看到的，τρ的大时间尺度行为与滞后0时超需ACF失真的行为有关，即等式（26）中引入的|b。事实上，在公式（32）（见附录C.1）的推导过程中，我们发现：~b=ρ（1-αNT）αNT（1+ρ）-ρ（1+αNT）。（33）510152025NT2。5.00240.00.20.40.60.81.01.21.45 10 15 20 25510152025NT2。5.00240.00.20.40.60.81.0B图4：（左）作为τu和τNT函数的内生时间尺度τρ。τρ永远不大于~2时间步长。（右）滞后0对∑τ的贡献的振幅，即等式（26）中引入的λb，作为τu和τNT的函数。从插图中可以看出，~b在小时间尺度下达到其最大值，而随着τu和τn的增加，它会减少到零，从而恢复it策略的精确图像。在图4的右面板中，我们显示了作为τu和τNT函数的b。在小股息的限制下，这个幅度接近1，而NT的交易时间尺度随着这些时间尺度的增加而减小到零。因此，一旦新台币的跨期或股息高度相关，超额需求ACF的时间结构就越来越像新台币的时间结构。对这一结论的解释如下：IT希望通过塑造ACF，使其与NT的交易相似，从而在过度需求过程中隐藏自己的交易。然而，它只知道时间t-1 NT交易流程的实现（见等式（7））。

如果这一过程只是弱相关，那么IT的相关信息无法很好地预测t时NT的交易。因此，IT无法隐藏其当前的交易。相反，如果新台币的交易是强相关的，IT部门关于新台币过去交易的信息可以让他准确预测当前的新台币交易，并且IT部门能够隐藏他当前的交易。简而言之，我们发现：Ohmτ→Ohm~OhmNTτasαNT→1，（34）从而恢复了许多类似凯尔的模型[10,16,18,19]所展示的IT的精确伪装交易策略。极限αNT→1和αu→1可以解释为我们离散模型的连续极限。在这种情况下，使用Ohmτ= Ohm~OhmNTτ和公式（31）在连续时间中，可以求解公式（28）的连续时间类比，结果是：Gτ=Gδτ+τu-τNTτ|τNTe-τ/τu. （35）从这个方程中，我们可以看到，传播子中的项取决于内生生成的时间尺度（见等式（32））接近模型连续极限中的狄拉克δ函数，这是其精确的伪装策略的结果。6.2超额需求差异比率的结果Ohm/OhmNTA是图5左面板中显示的τu和τNTis的函数。对于小时间尺度，方差比在2和大时间尺度，方差比在0.5之间。方差比的增加，Ohm/Ohm对于小τ，可以理解如下。在这个制度下，NT的当前贸易几乎是不可预测的，因此IT的当前贸易独立于NT的当前贸易。因此，超额需求方差相对于NT方差增加。

因为订单流的NT部分是可预测的，所以它使用这些信息。51015205105NT2。5.00240.50.70.91.11.31.51.71.90/NT05 10 15 20 25510152025NT2。5.00240.00.20.40.60.81.00/IT0图5：（左）过剩需求方差和NT订单流量方差之间的比率，作为τu和τNT的函数。当时间尺度τu和τn较小（插图）时，超额需求高于仅NT交易的需求。相反，当时间尺度τu和τn较大时，超额需求方差小于仅NT的方差。（右）作为τu和τNT函数的价格方差和利润基本价格估计方差之间的比率。在这种情况下，当τu接近零时，方差比非常小，而它随着τu的增加而增加。特别是，IT当前的贸易与当前的NT贸易平均呈负相关。这使得IT部门能够减少价格波动，在NT的交易中建立流动性，并减少对MM的典型集合需求量。当新台币交易和分割过程的可预测性增加时，当前的IT交易与当前的新台币交易更为反相关，从而使他能够因价格影响而减少资金流失。相反，当前IT交易与当前股息正相关。图6显示了这些发现。6.3价格差异在我们的模型中，价格差异与价格效率直接相关，如下式（24）所示。正如希勒（Shiller）所指出的，在理性预期模型中，价格是预期的基本价格，利用初等统计学的原理，即两个不相关变量之和的方差是其方差之和，那么一个变量就有∑/它≤∑/ΔF≤1，式中，∑f是基础价格的方差。我们在图的右面板中显示比率∑/It的结果。