静止Kyle装置：微基传播子模型

（9） 重要的一点是，由此产生的超额需求QT通过IT（等式（7））用于构建其交易计划（等式（8））的信息集，向MM传递有关资产基本价值的信息。还请注意，MM的信息集不包含在IT的信息集中，因为超额需求QT仅在t+1时对IT可用。由于MM知道它的交易时间表是由公式（8）给出的，所以从总订单流量中，他可以推断出过去股息的信息，尽管该信息因NT产生的噪音而失真。从公式（8）中可以看出，在截至时间t和过去股息的NT交易中，当时的超额需求动态是线性的，它由以下公式得出：qt=（I）-RL）-1.I+RNTLqNTt+Rut-1.. （10） 由于两种类型的高斯性质都能抵抗市场参与者的风险中性性质，因此考虑等式（1）所暗示的线性（而不是一般）平衡的选择似乎是自然的。另一方面，我们没有线性平稳平衡唯一性的证明。鉴于这种独特性在一个类似于我们（参考文献[12]给出）的框架中存在，因此，即使在我们的情况下，也有理由认为这种独特性应该存在。因此，市场可以通过MMas线性高斯状态空间模型（LG-SSM）来建模[13]。事实上，虽然MM无法观察到市场状态，即已实现股息和NT的交易qt，但他可以推断这些数量，尤其是已实现股息，并将其从信息集中过滤掉。LG-SSM文献中的这一过程称为卡尔曼滤波技术。关于模型的这些重要方面的更多细节将在下一节中给出。3.2竞争性定价规则如上所述，我们假设MM具有竞争力且风险中性。

因此，通过Bertrandauction类型的论证[9]，我们为MM假设了一个盈亏平衡条件，每个T-周期的持有策略如下：通过在T时以P的价格匹配需求来购买QT个股，并在T+T时以E[P+T | IMMt]的价格将其卖出，同时获得股息。请注意，尽管MM无法选择在t+t确定执行，但我们可以将t视为MM决定按市价调整其头寸的时间段，即使他实际上可能无法将其变现。考虑到MM的竞争力，这条轨迹的平均回报应该为零，这导致我们假设一个形式的定价规则：pt=t+t-1Xt=tE[ut|IMMt]+E[pt+t|IMMt]。（11） 因此，t时刻的价格由未来股息的长期总和加上一个边界项给出，该边界项通常为非零。如果公式（11）中的边界项在T=∞ 等于零，即横截性条件成立，则得到标准的EMH基本理性预期定价规则：pt=epFt | IMMt, 其中pFt=1>/tuu/t.（12）在均值为零的均值回复红利过程中，横向性条件是正确的。出于简单的原因，我们将使用该假设研究模型。根据这一规定，MM的工作是根据其当前信息集，提供从单位到当前时间t的贴现未来现金流的最佳预测。请注意，恢复非零均值的基本价格只会相当于价格过程的刚性（尽管是有限的）转变，因为基本价格的均值是公共信息，因此它会立即被纳入价格中。比较MM估算的结果会很有趣，公式为：。

（12） ，由IT构建，不会因NT:pITt=E引起的噪声而失真pFtIITt. （13） 让我们在这里注意到，股息必须是可预测的，市场才能不平凡。事实上，如果股息过程不相关，即Ξμτ=Ξμδτ，则pITt=0，即，与MM相比，它没有任何信息优势。因此，在这种情况下，MM只需将价格设置为零。根据等式（12）给出的定价规则，如果MM等待足够的时间，等待股息收入恢复到零，则MM在统计上会为每次买入或卖出交易实现盈亏平衡。因此，该局部约束由以下公式给出：E[CMMt]=0。（14） 因此，E[CITt]+E[CNTt]=0，即它的增益与NT的损耗平衡。这通常发生在NT未知且非理性的模型中[2]。在下文中，我们给出了定价规则（12）的显式表达式，即公式（8）中引入的IT需求核。从观察到的超额需求回归股息公式（12）给出的定价规则规定，MM应通过观察已实现的超额需求来估计未来分配的总和。这个问题可以分两步解决。首先，MM对已实现的超额需求进行了过滤，估计了已实现的股息。在LG-SSM文献中，已实现股息的最佳估计量被称为卡尔曼滤波器，在测量中是线性的，即我们模型中的已实现超额需求。然后，MM计算未来股息的预期总和，与未来股息的预测相加。下面我们将详细介绍这两个步骤。MM对已实现股息的估计值^uut：=E[uut | IMMt]由^ut=Kqt给出，其中我们隐式定义了（稳态）Kalman增益K。

考虑到MM测量的动态性，该矩阵可以标准方式[13,14]构建，即等式（10）。卡尔曼增益K与信号噪声成正比，即μu，与测量噪声成反比，测量噪声是超额需求的ACFOhmτ：=E[qtqt+τ]，其显式表达式为：K=Ξu（Ju）>Ohm-1，（15）式中ju=（I）-RL）-1RuLOhm = Ju（Ju）>+DNT。（16） Ju是将公式（10）的r.h.s.中的股息乘以NT的修饰ACF的矩阵，公式为：DNT=（I-RL）-1.I+RNTLOhm新界I+RNTL>（一）-RL）-1.>. （17） 噪声ACF被修饰，因为噪声（即NT的交易过程）不仅通过构造（qt=qITt+qNTt）影响超额需求动力学，而且还因为其最佳交易策略取决于噪声的过去和未来实现（见等式（8））。根据估计的已实现股息，MM必须估计inEq定义的基本价格pFt。(12). 为此，他将未来股息的预测建立为E[uu/t |^ut]=Fu^ut，其中我们引入了股息预测矩阵Fu。由于股息过程是均值为零的高斯过程，Fu仅取决于股息的ACFΞu。最后，通过对估计的未来股息求和，我们得到了时间t时的价格方程：pt=1>/tFuK qt。（18） 注意，等式（18）明确给出了传播子G的规则。事实上，在紧凑表示法中，传播子模型由pt=1>/tG qt给出。在下一节中，我们将根据MM的定价规则，基于其预期未来财富的最大化，构建IT的最优交易策略。这意味着，正如预期的那样，IT的需求核（R，RNT，Ru）是等式（1）中引入的传播子G的函数，SOI是等式（16）中引入的卡尔曼增益矩阵K。正因为如此，Eq。

（18） 结果将证明是传播者G.3.3最优内部交易的自洽方程效用函数Utt，其期望值在每个时间步t通过IT实现最大化，由WITt+t给出的他在终端时间t+t（其中t与第3.2节中引入的值无关）的财富账户的值确定，在该时间点，他在风险资产中的地位受到影响。因此，UITt=WITt+t受t的约束QITt=0≥ t+t。在每个时间步t，IT优化其在整个未来轨迹上的预期效用函数qit/t，获得等式（7）给出的当前时间iIt的信息集，并对优化策略的第一步进行交易。因此，时间t的IT交易计算如下：qITt=e>targetmaxqit/tE尤特IITt, （19） 利用等式（15）上的伍德伯里恒等式，可以得到增益矩阵K:K的替代表达式=(Ξu)-1+（Ju）>DNT-1Ju-1（Ju）>DNT-1.这个替代表达式给出了增益矩阵K的补充解释：实际上，方括号内的矩阵是后验信息矩阵。该矩阵由股息先验信息矩阵（Ξu）给出-1汇总到测量添加的信息，即（Ju）>DNT-1Ju。与式（1）进行比较，式中引入了传播子模型。其中e>Texplicit表示只执行未来轨迹的第一步。请注意，有限清算时间的存在并没有打破模型时间平移不变性的假设，因为随着时间的推移，终端条件也在减少。

事实上，它通常会保持一个非零的位置，直到t→ ∞ 尽管存在清算限制。然后，该约束应被视为IT部门使用的一种手段，以便通过考虑对其未来清算价值pt+t的预测，对其在时间t的当前股票头寸的价值进行适当的标记，而不是作为防止其在大时间进行交易的措施。下面我们分析T=∞ 平均回报红利。如果T=∞ 在等式（19）中，它可以忽略往返约束，因为清算成本被推到遥远的未来，并且由于零均值和均值回复股息的假设，最终的预期价格为零。正因为如此，我们将在下面考虑的IT的实际交易价格由等式（19）给出，其中UITt=CIT∞. 在此过程中，最大化程序由qitt=e>targetmaxqit/tE给出CIT∞IITt, CIT在哪里∞= CITt-1.-qIT/t>电汇-pF/t. （20）为了使讨论简单，我们考虑了可积ACF的股息过程，如它的基本价格PFITS NITE的估计。事实上，人们可以放松这一假设，对价格和股息过程进行合理的重整化。请注意，基本价格引入非零均值既不影响利润策略，也不影响价格影响函数。事实上，由于基本价格的预期被假定为公开信息，MM可以立即将其纳入价格中，如前所述。然后，由于等式（20）中IT的收益与价格和IT对基本价格的估计之间的差异成正比，因此IT的交易策略不依赖于基本价格的平均值。

综上所述，由于等式（18）给出的传播因子仅取决于它的需求核（R，RNT，Ru）和红利和NT交易的ACF（Ξu），OhmNT）通过卡尔曼滤波器（公式（15））和股息预测矩阵Fu，可以得出基本价格的平均值在形成价格影响函数方面无关紧要。平衡时的需求核（R，RNT，Ru）表达式可确定为等式（20）定义的二次优化程序的解。企业所得税的预期收益∞dependson估计的未来股息（通过pF/t）和估计的未来NT交易（通过p/t）。因此，为了明确地记录下来，我们需要上一节介绍的股息预测矩阵Fu，以及NT交易的预测矩阵FNT，其定义类似于E[qNT/t | qNTt]=FNTqNTt。自E[CIT]∞|IITt]根据过去的实现和预测，我们在矩阵符号上插入时间下标，以避免歧义。我们得到：E[CIT∞|IITt]=-qIT/t>Gsym/t，/tqIT/t-qIT/t>G/t，t-1qt-1+G/t，/tFNT/t，t-1qNTt-1.-U/t，/tFu/t，t-1微克-1.,（21）我们把CITt放在哪里-1，由于它不依赖于它的未来交易qIT/t，我们引入了对称传播子Gsym=（G+G>），以便以紧凑的形式写出qIT/t中的二次项。qIT/tof等式（21）中的二次项是it因其自身未来市场影响而面临的成本项，而qIT/t中的线性项是其信号项。信号的第一项来自已知订单流量实现带来的价格影响，第二项来自未来NT交易的预期价格影响，而第三项来自他关于pF/t的私人信息。IT需求内核的表达式，在等式（8）中定义，可以通过在公式中插入公式（21）得到传播子G和预测矩阵FN和Fu。

（20） ：Rt=-e> tGsym/t，/t-1G/t，t-1，（22a）RNTt=-e> tGsym/t，/t-1G/t，/tFNT/t，t-1，（22b）Rut=e>tGsym/t，/t-1U/t，/tFu/t，t-1.（22c）最后，我们有所有的要素来明确地写下均衡定价规则的函数方程，这将在下一节给出。4线性平衡。1均衡条件和数值解模型的线性均衡可以通过自洽地考虑MM的竞争定价规则和它的策略来找到，分别在等式中给出。（18） 和（22）。在标量表示法中，传播子的自洽方程为：Gt-s=∞Xt=ttXt=-∞Fut，tKt，s[G]（23），我们已经明确指出，滤波器K是传播子G本身的函数：事实上，K是由等式（15）根据它的需求核（R，RNT，Ru）给出的，这取决于传播子G。(22).线性平衡方程（23）是传播子Gt的非线性函数方程。因此，在任意高斯、零均值和平稳红利以及NT交易过程的一般情况下，不适合进行分析处理。然而，如附录A所示，我们能够迭代求解公式（23）。在两种特殊情况下，我们能够通过公式（23）的解析解验证迭代数值解算器的结果（见附录B）。通过对基于公式（23）的迭代数值解算器的模型进行广泛分析，我们发现均衡时的市场表现出一些稳健的性质，在NT的交易和股息的可积且稳定的ACF情况下，这些性质保持不变，无论ACF的确切结构如何。

这些属性列在下面。4.2一般均衡性质回归协方差均衡的特征是回报ACFΞτ：=E[ptpt+τ]的时间结构与公式（13）给出的IT价格估算pITt的时间结构相同，这将被称为ΞITτ。式中：Ξτ=ΞΞITτ，其中ΞIT=1。（24）因此，由NT注入系统的噪声引起的价格失真被完全编码为一个标量，即收益方差Ξ。无花果的左面板。1、2和3显示的数值结果不符合等式（24）。特别是，在顶部面板中，圆点对应于通过等式（23）的数值解算器获得的Ξτ/Ξ，并在虚线上显示良好的折叠，这对应于半解析计算的ΞITτ/ΞIT。在面板的底部，我们显示了两条曲线之间的相对累积绝对误差，定义为：er rΞτ=Pτi=0 | i/Ξ-ΞITi/ΞIT | Pτi=0 |Ξi/Ξ|。（25）在图1和图2中，检查了非马尔可夫ACF，这些误差比图3中的误差大，图3中的ACF呈指数衰减。这是因为在前一种情况下，未来股息的预测受到有限规模效应的影响。这些影响的估算在附录A中进行了详细说明。左侧顶部面板的插图显示了价格的变异函数，由Vτ：=E定义（pt）-pt+τ）,正如预期的那样，在高频时是线性的，在低频时是均值回复的。超额需求协方差均衡以超额需求ACF为特征Ohmτ：=E[qtqt+τ]，与NT交易相关的时间结构相同，加上滞后0时的额外贡献。在公式中：Ohmτ=a（）OhmNTτ+bΔτ），带OhmNT=1，（26），其中符号Δτ表示离散的δ函数，而a和b是标量。超额需求变化由下式给出：Ohm= a（1+b）。因为时间t的信息不包括NT qNTt的当前交易（见等式。

（7） ），为了隐藏交易，IT部门能做的最好的事情就是制定一种交易策略，使超额需求ACF除了滞后0项之外，与NT类似。由于滞后0处的失真，我们将此属性称为准伪装策略。事实上，为了延长其相对于MM的信息优势，IT通过创建一种类似于NT的策略来隐藏其在超额需求过程中的交易。右面板无花果。1、2和3显示的数值结果证实了准伪装属性。在顶部面板中，项目符号对应于Ohmτ/Ohm通过方程（23）的数值解获得，该方程显示虚线上正滞后的良好折叠，对应于OhmNTτ/Ohm新界。很明显，从左边的插图中可以看出，在滞后0时没有达到崩塌。正如将在下一节中显示的那样，滞后0的额外贡献在很大程度上取决于股息和NT交易的现金流量。底部显示了两条曲线之间的相对累积绝对误差。在本例中，它从滞后1开始，所以：errOhmτ=Pτi=1|Ohm我/Ohm-OhmNTi/OhmNT | Pτi=1|Ohm我/Ohm|. （27）同样，在检查非马尔可夫ACF的情况下，这些误差更大。根据等式给出的性质。（24）和（26）以及MM的盈亏平衡条件，原则上可以找到传播者。事实上，从传播子（1）的定义中引入价格ACF∑τ：=E[ptpt+τ]，如下所示：∑τ=t+τXt=-∞tXt=-∞Gt+τ-tGt-TOhm|T-t |，其中τ>0，（28），其中价格ACF∑τ可根据公式（24）计算，超额需求ACF由公式（26）给出。该程序可以在马尔可夫系统的情况下完成，并在第。6.