对优先事项进行分类，以确保延期验收明显有效

因此，对于每个位置y, 我们有a yc, 优先顺序是循环的。另一方面，如果优先级是非循环的，请注意最多可以有两个应用程序在任何位置具有最高优先级。如果只有一个这样的申请人a, 允许S= {a}.如果有两个这样的申请人a, b, 注意每个职位的前两个优先事项必须是a 和b （如果某个职位的两大优先事项x 是a xc, 那我们就a xc xb和b ya 其他职位y). 所以让我们S= {a, b}. 注意{a, b} 从每个优先级列表中，都会产生另一组非循环优先级，所以重复这个过程，直到所有应用程序都在某个位置Si构造所需的分区。克莱顿·托马斯10（a）C（1）C（2）（b）{(a, 3), (b, 1),(c, 2） }C（1）a 那么，使徒行传c.C（3）（C）{1，2}是可能的{(a, 3), (b, 2), (c, 1） }C（1）（b）{1，3}是可能的{(a, 3), (b, 1),(c, 2） }C（1）a actsC（3）3。2.2.图4。优先事项1中DA的OSP实施：a  b  c, 2 : b  a  c, 和3：a  c b 如OREM 2.9第2项所述（原载于[AG18，第3节]）。带C的动作(i) 指出“固定”位置的动作i 对于在该节点上行动的申请人（即，当申请人采取行动C时）(i),它们将不可逆转地与位置相匹配i). 方形节点表示子树，其中不匹配位置的优先级（仅限于不匹配的申请者）是非循环的（因此OSP是可实现的）。圆形节点是确定匹配的叶节点。上面用申请人在所有后代中可能匹配的剩余“可能”位置集标记了一些节点。这些设置可以使用提出延迟接受算法的经典申请人的属性进行计算。（例如，在(c) 在图中，我们知道a’她最喜欢的位置是3，所以a 将向3提出延期接受。

但是a 3的优先级高于c, 所以c 永远不会和3比。类似的逻辑意味着，在第二种情况下(b) 节点，b 无法获得2，因为c 已提议（2）。为了验证该机制是否为OSP，itsu负责检查在任何代理操作的第二个节点上，他们是否可以在他们操作的第一个节点上锁定他们能够锁定的任何位置。2.2.3关于DA的OSP实施的先前结果。我们将[AG18]的结果简要总结如下：定理2.9（[AG18]）。考虑一组优先级q 申请人数过多。（1） 如果q 是非循环的，那么DAq这是OSP。（2） 存在一个q 这是循环的，但是q这是OSP。具体而言，其中一组优先级（由图4所述机制实施的isOSP）为：1：a  b  c2 : a  c  b三：b  a  c（3） 爸爸q不是一般意义上的OSP。具体而言，以下两种偏好集都不是OSP可实现的：1：a  b  c 1 : a  b  c2 : b  c  a 2 : a  b  c三：c  a  b 三：c  a  b本文的主要结果是弥合[AG18]的构造和不可能结果之间的差距。3证明有限的循环优先级是OSP的循环，但OSP的例子在2.9中，第2项可以通过以下方式扩展，以包括很多申请者：如[MR20]所示，这种单调性有些微妙，并且不适用于顶级交易周期机制中使用的优先级。然而，在我们的环境中，对于定义错误的接受来说，这种单调性仍然存在。有关如何构建OSP机制的基本思想，请参见图5。这是定理3.2的一个特例。克莱顿·托马斯11定义3.1。无论如何l, k ≥ 3.一套优先权l 职位超过申请者{a, a, . . . , ak}如果在重新标记之前，每个优先级列表的形式为x = a aa a . . .

除了两个，其中一个是u （在哪里u 从a, a另一个是v （在哪里v 每一对相邻的申请人从a, a向前）。也就是说，直到我们重新贴上标签x : a a a a a a a. . .u : a a a a a a a. . .v : a a a a a a . . .哪里x 这是我的错吗l - 2次，以及u 和v 每一个都只出现一次。一系列优先事项{x}x如果存在有序分区，则为有限循环S, S, . . . , SL申请者的数量，任何a ∈ Si和b ∈ Si+1.SL, 我们有a xb 所有职位x, 而且，对于任何i 与|Si| ≥ 3.限制{x}x到Si是两个相邻的交替。对于两个相邻交替优先级的两个示例，请考虑1,2,3,4a b c d e f5.a (c b) (e d) f(b a) (d c) (f e)1,2,3,4,5a b c d e f g6.a (c b) (e d) (g f )(b a) (d c) (f e) g（在这里，我们将每个优先级列表作为一个有序列表写入，并在Highlight中添加括号，其中申请人从其“正常顺序”中删除）。观察命题2.8，非循环优先级是有限循环优先级的特例，其中每个|Si| ≤ 2.此外，定理2.9第2项的偏好列表是有限循环的。结果表明，有限的循环优先级是唯一可以循环和OSP实现的优先级。在这一部分中，我们证明了有限循环优先级是OSP可实现的。在下一节中，我们将证明OSP只能实现有限的循环优先级。定理3.2。对于任何一组优先级q 这是有限的，爸爸qOSP是可实现的。证据认为q 是有限的循环，让S, S, . . . , SL根据第3.1条的规定，将申请人划分为若干部分。我们使用归纳法L 构建一个OSP机制G并实现SDAq.在下列情况下，证据将按[AG18]进行：|S| ∈ {1, 2}.

而且|S| = k ≥ 3.图4的机制可以“按顺序”使用k -2次分配申请者S. 关键观察结果是定义3.1，删除a从两个相邻的交替优先级集合中，在两个相邻的交替优先级集合中，以较少的一个申请人获得结果。为了完整起见，我们现在提供完整的细节。假设|S| = 1.说S= {a}. 在这种情况下，G可以简单地a 选择与任何位置匹配，移除a 并从他们的匹配考虑，运行一个机制OSP实现DAq限于S, . . . , SL. 这显然是OSP的目的a, 并且实现了DAq.假设|S| = 2.说S= {a, b}. 允许U 是一组排名靠前的职位a 首先，让我们V是那些排名靠前的人b 首先。在DA中观察到这一点q, 如果a’她最喜欢的位置是什么u ∈ U , 然后他们会匹配，如果b’她最喜欢的位置是什么v ∈ V , 然后他们会匹配。如果以上两种情况都没有发生，那么a’她最喜欢的是V 和b’她最喜欢的是U , 所以两位申请人a 和b与他们最喜欢的位置相匹配。考虑机械力学2TRU ,Va,b图5。通过上述逻辑，该机制可以正确地计算a 和b. 此外，这种机制对两者都适用a （因为如果a 在ro o t节点传递，然后a 要么是所有的U 或者全部V ) 和b （因为b 在机制的任何执行中仅执行一次）。跑完2Tr后U ,Va,b, 去除a, b 从匹配开始，运行OSP机制进行匹配S, . . . , SL通过归纳法。这是OSPDAq.克莱顿·托马斯12（a）（b）任何一个v ∈ U ∪ V \\ {u }克林查尼u ∈ U（b） （a）抓住任何u ∈ U ∪ V \\ {v }克林查尼v ∈ U ∪ VV . . .图5。2Tr的机制U ;Va,b, 所有职位都优先于其中一个a 或b, 以及在U 等级a 首先，在V 等级b 第一2Tr这个名字指的是a 和b 你能在第一时间取消他们的优先权吗U 和V 如果他们愿意。

当一个位置是一组他们仍然可以匹配的位置中他们最喜欢的位置时，代理应该选择“锁定”一个位置（即永久匹配该位置）。[AG18]使用这种机制来证明所有非循环优先级都是OSP可实现的。(a)3LuX \\{x},v,ua,...,ak克林查尼x ∈ X无环危机u(a)a在v;其他一些则是无环的x ∈ X（一）a行为；其他无环危机v(a)X ∪ {u }有可能a在v;a在u;其他一些则是无环的x ∈ X(a)X ∪ {v }有可能a在v;a在u;其他一些则是无环的x ∈ X（二）a行为；然后a行为；其他无环危机vv . . . u . . . u . . .图6。3Lu的机制X,u,va,...,ak对于两个相邻的交替优先级a, a, . . . , ak（实验室被定义为第3.1条，带有X 用优先级列表表示一组位置x). 3Lu这个名字指的是申请人的想法a成为职位的“潜伏者”v （遵循[BG16]的术语），而机制必须a和a想知道a符合v. 如果a抓住一些x ∈ X , 然后剩下的优先权a, . . . , ak也是两个相邻的交替，我们可以递归地构造一个OSP机制。在她的树枝上u 或v 是匹配的，剩下的优先级是非循环的。所有节点都是OSP，其逻辑类似于图4。具体来说，在第二个节点上，任何代理都可以在第一个节点上完成所有任务。特别是a在正方形节点（i）中，它们可以锁定任何位置X ∪ {u} . 什么时候a在正方形节点（ii）中，有两种可能：a可能已经成功了u （在这种情况下a我能抓住任何x ∈ X ), 或者不（在这种情况下）a将与u, 他们最喜欢的可获得的职位）。假设|S| = k ≥ 3.说S= {a, a, a, . . . , ak}, 我们在哪里贴标签(ai)i ∈[k ], x, u, 和v 定义两个相邻的交替优先级（定义3.1）。

允许X 表示带有首选项的位置集x. 根据图4的相同逻辑（它描述了[AG18]中的一种机制），我们可以看到t 3LuX,u,va,...,ak在图6中，正确计算了a, a, 和a. 此外，如果a这是一个职位x ∈ X , 然后a可以匹配x 剩下的优先权是Layton Thomas 13a, . . . , ak仍然是两个相邻的交替。因此，在这种情况下，可以递归地构造一种机制。由此产生的机制是OSP，原因与[AG18]中的相同。为了完整起见，我们在这里检查OSP约束。如果a第一轮“传球”（即如果他们选择不锁定任何位置），唯一的方法a再次行动是如果a紧握v 在某个时刻。但是下一步a总是允许a握紧X ∪ {u}, 这就是一切a可能会在第一个节点处发生碰撞。如果a在图6中显示的第一个节点中“通过”，然后在第二个节点中，他们仍然可以X ∪ {v}, 这就是一切a可能会在第一个节点处发生碰撞。如果a通过，然后他们只有在a紧握v 然后a紧握u. 但在这种情况下，a可以在任何位置锁定X , 这就是一切a可能会在第一个节点处发生碰撞。因此，机制是OSP。运行3Lu后X,u,va,...,ak, 去除S并运行OSP机制以匹配S, . . . , SL通过归纳法。这是OSP和DAq.因此，所有有限的循环优先级都是OSP可实现的。4主要理论的证明我们描述的关键是证明不受限制的优先级不是OSP。形式上，这可以分解为两个结果，如下所示：定理4.1。图1中显示的优先级集都不是OSP可实现的。证据对于图1中（a）到（e）的每一个子图，这分别显示在[AG18，第4节]、第B.2.1节、第B.2.2节、第B.2.3节和第B.4节中。定理4.2。考虑任何优先级设置q.

如果没有限制q 等于图1中的任何优先级设置q 是有限的循环。我们在附录B中完整地证明了这两个定理。该证明如第1.1节所述进行组织，以自然地揭示这种表征（尤其是图1的优先级集列表）最初是如何获得的。有了这些结果，证明我们的主要特征很容易：定理（main定理）。对于任何一组优先级q, 以下是等效的：（1）具有优先权的延期验收q OSP是可实现的。(2) q 是有限的循环。（3） 具有优先级的延迟接收OSP机制q 可由2Tr和3Lu组成。（4） 不限制q 在重新标记之前，等于图1中显示的任何优先级集。证据定理3.2表明（2）意味着（1）和（3）。（3） 通过定义暗示（1）。根据定理4.1和引理2.6，（1）意味着（4）。定理4.2（4）暗示了（2）。这证明了定理。参考文献[AG18]Itai Ashlagi和Yannai A Gonczarowski。稳定的匹配机制显然不是策略证明。《经济理论杂志》，177:405–425，2018年。最早出现在2015年。苏菲·贝德。与单峰偏好匹配。经济理论杂志，180:81-992019。[BG16]索菲·巴德和扬奈·冈萨罗夫斯基。吉伯德·萨特斯韦特的成功故事和明显的战略证明。在欧共体，2016年。[CEPY16]彼得·陈、迈克尔·埃格斯达尔、马雷克·皮西亚和M·布明·耶恩梅兹。可控机构的可操作性。《美国经济杂志：微观经济学》，8（2）：202-142016。[DF81]E.L.杜宾斯和A.D.弗里德曼。马基雅维利和盖尔-沙普利算法。《美国数学月刊》，88:485–4942081。[Erg02]哈鲁克I.埃尔金。根据优先级有效分配资源。《计量经济学》，70（6）：2489-24972002。克莱顿·托马斯14[GL21]路易斯·戈洛维奇和李胜武。

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为了让G正确计算f , 一定有什么l ∈ 描述(h) 具有g(l) = f (i, -i), 还有一些l′∈ 描述(h) 具有g(l′) = f (′i, ′-i). 但当我们g(l′) ig(l), 所以G不是OSP。假设有一个t|t′i| = 3.（T′）的任何非平凡划分i(h))h∈成功(h)一定要放些字i初始化自己的分区集。因此，T′i(h) = {i} 对一些人来说h∈ 成功(h). 为了这个i, 允许′i∈ T′i和-i, ′-i∈ T′-i像初二一样。允许h∈ 成功(h) 有′i∈ T′i(h). 为了让G正确计算f , 一定有叶子l ∈ 描述(h) 具有g(l) = f (i, -i), 还有一些l′∈ 描述(h)具有g(l′) = f (′i, ′-i). B但是我们有g(l′) ig(l), 所以G不是OSP。因此，在这两种情况下，G都不是OSP，也没有实现机制f |E′可以是OSP。但是byLemma 2.3，这意味着没有m机制可以执行f 也可以是OSP。B理论证明4。1和4.2在本附录中，我们通过证明所有不受循环限制的优先级都是非OSP来完成主要定理的证明。通过一系列案例分析，证明了DAq非OSP（使用单一MMA A.1）是否适用于q 通过案例分析确定。注释：为简洁起见，我们通常会编写一组职位列表的优先级，例如b cb c a3 c a b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b c a b b b b b ba  b  c2 : b  c  a三：c  a  b.这相当于[Li17]中的“修剪原则”。这个引理很容易扩展到每个代理的4种或更多类型，但由此产生的案例分析变得更加复杂。在最坏的情况下，我们需要考虑T′的所有可能分区i, 并找到两种类型i, ′i在分区的不同元素中f (′i, ′-i) if ( i, -i) 对一些人来说-i, ′-i.