样本选择模型的双机器学习

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（A.1）设tn为所有η=（pd，π，u）的集合，由P-平方可积函数pd，π，u组成，使得kη- ηkq≤ C、 （A.2）kη- ηk≤ δn，kpd（X）- 1/2k∞≤ 1/2 - ,kπ（D，X）- 1/2）k∞≤ 1/2 - ,ku（D，S，X）- u（D，S，X）k×kpd（X）- pd0（X）k≤ δnn-1/2，ku（D，S，X）- u（D，S，X）k×kπ（D，X）- π（D，X）k≤ δnn-1/2.我们进一步替换序列（δn）n≥1by（δn）n≥1，式中δn=C最大值（δn，n）-1/2），其中C是一个非常大的常数，只依赖于C和.假设3.1：线性分数和奈曼正交假设3.1（a）力矩条件：力矩条件Ehψd（W，η，ψd0）i=0成立：Ehψd（W，η，ψd0）i=E“=E[[Y-u（d，1，X）|d=d，S=1，X]=0z}{E“I{d=d}·S·[Y- u（d，1，X）]pd0（X）·π（d，X）X#+u（d，1，X）- ψd0#=E[u（d，1，X）]- ψd0=0，其中第一个等式遵循迭代期望定律。假设3.1（b）线性：分数ψd（W，η，ψd0）在ψd0中是线性的：ψd（W，η，ψd0）=ψad（W，η）·ψd+ψbd（W，η）与ψad（W，η）=-1和ψbd（W，η）=I{D=D}·S·[Y- u（d，1，X）]pd0（X）·π（d，X）+u（d，1，X）。假设3.1（c）连续性：映射η7的二阶Gateaux导数的表达式→ （A.11）中给出的E[ψd（W，η，ψd0）]是连续的。假设3.1（d）内曼正交性：对于任何η∈ Tn，η方向上的Gateaux导数- η=（π（D，X）-π（D，X），pd（X）- pd（X），u（D，S，X）- u（D，S，X）由下式给出：Eψd（W，η，ψd）η - η=- E“I{D=D}·S·[u（D，1，X）- u（d，1，X）]pd0（X）·π（d，X）#(*)+ E[u（d，1，X）- u（d，1，X）](**)- E“E[·| X]=E[Y-u（d，1，X）|d=d，S=1，X]=0z}{I{d=d}·S·[Y]- u（d，1，X）]pd0（X）·π（d，X）·pd（X）- pd0（X）pd0（X）#- E“E[·| X]=0z}{I{D=D}·S·[Y- u（d，1，X）]pd0（X）·π（d，X）·π（d，X）- π（d，X）π（d，X）#=0。Gateaux导数为零，因为表达式(*) 及(**) 取消。

要看到这一点，请注意，根据不可知预期定律(*) 对应于-E“E”I{D=D}pd0（X）·E“S·[u（D，1，X）- u（d，1，X）]π（d，X）D=D，X#X##=-E“E”I{D=D}pd0（X）·=π（D，X）z}{E[S | D=D，X]·[u（D，1，X）- u（d，1，X）]π（d，X）X##=-E“=pd0（X）z}{E[I{D=D}|X]pd0（X）·[u（D，1，X）- u（d，1，X）#=-E[u（d，1，X）- u（d，1，X）]，因此，Eψd（W，η，ψd）η - η= 0证明分数函数是正交的。假设3.2：干扰参数估计的得分规律性和质量假设3.2（a）该假设直接源自集合TN的构造和规律性条件（假设10）。假设3.2（b）mN的界限：考虑以下不等式ku（D，S，X）kq=（E[|u（D，S，X）|q]）=除息的∈{0,1，…，Q}，s∈{0,1}E[|u（d，s，X）|qPr（d=d，s=s | X）]Q≥ 2/q除息的∈{0,1，…，Q}，s∈{0,1}E[|u（d，s，X）|q]Q≥ 2/q麦克斯∈{0,1，…，Q}，s∈{0,1}E[|u（d，s，X）|q]q=2/q麦克斯∈{0,1，…，Q}，s∈{0,1}ku（d，s，X）kq,其中第一个等式来自定义，第二个等式来自全概率定律，第一个不等式来自Pr（D=D，S=1 | X）=pd0（X）·π（D，X）≥ Pr（D=D，S=0 | X）=pd0（X）·（1）-π（d，X））≥ .

此外，通过Jensen不等式ku（D，s，X）kq≤ kY kq，因此ku（d，1，X）kq≤ C/2/qby条件（A.8）。对于任何η，使用类似的步骤∈ TN:ku（d，1，X）- u（d，1，X）kq≤ C/2/qku（D，S，X）- u（D，S，X）kq≤C.ConsiderEhψd（W，η，ψd0）i=E“i{d=d}·Spd（X）·π（d，X）·Y{z}=i+1.-I{D=D}·Spd（X）·π（D，X）u（d，1，X）|{z}=I-ψd0#和thuskψd（W，η，ψd0）kq≤ kIkq+kIkq+kψd0kq≤kY kq+1- ku（d，1，X）kq+|ψd0|≤ C+2/q·1- +,因为三角不等式和以下不等式组成立：ku（d，1，X）kq≤ ku（d，1，X）- u（d，1，X）kq+ku（d，1，X）kq≤ 2C/2/q（A.3）|ψd |=|E[u（d，1，X）]|≤ Eh |u（d，1，X）| i=ku（d，1，X）kP，1≤ ku（d，1，X）k≤ kY k/2/2q>2z}|{≤ kY kq/ ≤ C/.这给出了切尔诺朱科夫、切特韦里科夫、德米雷尔、杜弗罗、汉森、纽维和罗宾斯（2018）的mnin假设3.2（b）的上限。开往mn：注意E[|ψad（W，η）|q]1/q=1，这给出了假设3.2（b）中的上限。假设3.2（c）对rn有界：对于任何η=（pd，π，ν），我们有Eψad（W，η）- ψad0（W，η）= |1.- 1| = 0 ≤ δN，因此我们得到了假设3.2（c）中Rn的界。在下文中，为了简洁起见，我们省略了参数，并使用pd=pd（X）、π=π（d，X）、u=u（d，1，X）以及类似的pd0、π、u。rn的界：kψd（W，η，ψd0）- ψd（W，η，ψd0）k≤I{D=D}·S·Y·pdπ-pd0π（A.4）+I{D=D}·S·updπ-upd0π+ ku- uk≤Y·pdπ-pd0π+updπ-upd0π+ ku- uk≤Cδn1 ++ δn+ C+C+δn≤ δnas与C一样长在δ的定义中，它非常大。这给出了假设3.2（c）中Rn的界。

这里我们利用了ku- uk=ku（d，1，X）- u（d，1，X）k≤ δn/, 和kπ- πk=kπ（d，X）- π（d，X）k≤δn/ 使用假设3.1（b）中的类似步骤。（A.10）中的最后一个不平等性之所以成立，是因为我们在第一个学期中Y·pdπ-pd0π≤ Cpdπ-pd0π≤Ckpd0π- pdπk=Ckpd0π- pdπ+pd0π- pd0πk≤Ckpd0（π）- π） k+kπ（pd0- pd）k≤Ckπ- πk+kpd0- pdk≤Cδn1 +,其中，假设4（a）中的第一个不等式来自第二个不等式。（A.10）中的第二项以updπ-upd0π≤kpd0πu- pdπuk=kpd0πu- pdπu+pd0πu- pd0πuk≤kpd0π（u）- u）k+ku（pd0π）- pdπ）k≤ku- uk+C kpd0π- pdπk≤δn+ C kpd0π- pdπk≤ δn1+C+C,其中第三个不等式由E[Y | D=D，S=1，X]得出≥ （E[Y | D=D，S=1，X]）=u（D，1，X）由条件詹森不等式确定，因此ku（D，1，X）k∞≤ C.λn的界：现在考虑f（r）：=E[ψd（W；ψd0，η+r（η）- η） [参考译文]对于任何人来说∈ (0, 1) :f（r）r=E“2·I{D=D}·S·（Y- u- r（u）- u））（pd- pd0+r（pd- pd0（π+r（π）- π） ）#（A.5）+E“2·I{D=D}S·（Y- u- r（u）- u))(π - π） （pd0+r（pd- pd0（π+r（π）- π） ）#+E“2·I{D=D}·S·（Y）- u- r（u）- u））（pd- pd0）（π- π） （pd0+r（pd- pd0（π+r（π）- π） ）#+E“2·I{D=D}·S·（u- u）（pd）- pd0）（π+r（π）- π） ）（pd0+r（pd- pd0（π+r（π）- π） ）#+E“2·I{D=D}·S·（u- u）（pd0+r（pd- pd0））（π- π） （pd0+r（pd- pd0（π+r（π）- π） 注意，因为- u（d，1，X）| d=d，S=1，X]=0，|pd- pd0|≤ 2, |π - π| ≤ 2kukq≤ kY kq/1/q≤ C/2/qku- uk×kpd- pd0k≤ δnn-1/2/,ku- uk×kπ- πk≤ δnn-1/2/,对于常数C，我们可以得到这只取决于C和f（r）R≤ Cδnn-1/2≤ δnn-1/2这给出了切尔诺朱科夫、切特韦里科夫、德米雷尔、杜弗罗、汉森、纽伊和罗宾斯（2018）假设3.2（c）的上界，只要c≥ C.

我们使用了以下不等式ku- uk=ku（d，1，X）- u（d，1，X）k≤ ku（D，S，X）- u（D，S，X）k/kπ- πk=kπ（d，X）- π（d，X）k≤ kπ（D，X）- π（D，X）k/,这些可以用假设3.1（b）中类似的步骤来表示。为了证实这一点f（r）R≤ Cδnn-1/2成立，请注意，通过三角不等式，可以分别限制（A.11）中十项的绝对值。我们在第一个和最后一个术语中对此进行了说明。第一学期：E“2·I{D=D}·S·（Y- u- r（u）- u））（pd- pd0+r（pd- pd0（π+r（π）- π))#≤E“I{D=D}·S·（Y- u- r（u）- u））（pd- pd0）#≤E“I{D=D}·S·（Y- u)#+E“r（u）- u）（pd）- pd0）#≤2 · 2E“1·（u- u）（pd）- pd0）#≤δnN-1/2.对于第二个不等式，我们使用了≥ pd0+r（pd- pd0）=（1- r） pd0+rpd≥ (1 - r） + R = 对于π和第三个Holder不等式也是如此。第二项和第三项的界限如下。第四学期，我们有E“2·I{D=D}·S·（u- u）（pd）- pd0）（π+r（π）- π） ）（pd0+r（pd- pd0（π+r（π）- π))#≤E“I{D=D}·S·（u- u）（pd）- pd0）#≤δnN-1/2此外，我们还利用了条件（A.8）。

最后一项的边界类似。假设3.2（d）Eh（ψd（W，η，ψd0））i=E“i{d=d}·S·[Y- u]pd0·π|{z}=I+u- ψd0 |{z}=I！#=E[I+I]≥ E[I]=E“I{D=D}·S·[Y- u]pd0·π#≥ E“[Y- u]pd0·π#≥c（1）- )> 因为Pr（D=D，S=1 | X）=pd0（X）·π（D，X）≥ , pd0（X）≤ 1.-  π（d，X）≤ 1.- .第二个等式来自ehi·Ii=E“E[·X]=0z}{I{D=D}·S·[Y- u（d，1，X）]pd0（X）·π（d，X）·μ（d，1，X）- ψd0]#。A.2定理2的证明将干扰参数定义为函数向量η=（π（D，X，Z），pd（X，π），u（D，S，X，π）），其中∏=π（D，X，Z）=Pr（S=1 | D，X，Z），pd（X，π）=Pr（D=D | X，π（D，X，Z）），和u（D，S，X，X，Z）]=E[Y | D，S，X，Z]）。日益缩小的社区*nof滋扰参数向量η=（π，pd，u）的定义与定理1证明中的Tnfrom（A.8）类似。反事实ψS=1d0=E[Y（d）|S=1]的得分函数由φd，S=1（W，η，ψS=1d0）=I{d=d}·[Y]给出- u（d，1，X，π）]pd（X）+u（d，1，X，π）- ψS=1d0。

（A.6）假设3.1：线性分数和内曼正交假设3.1（A）力矩条件：力矩条件Ehφd，S=1（W，η，ψS=1d0）| S=1i=0保持：Ehφd，S=1（W，η，ψS=1d0）S=1i=E“=E[Y-u（d，1，X，π）|d=d，S=1，X，π]=0z}|{E“I{d=d}·[Y]- u（d，1，X，π）]pd0（X，π）S=1，X，π#+u（d，1，X，π）- ψS=1d0S=1#=E[u（d，1，X，π）|S=1]- ψS=1d0=0，其中第一个等式遵循迭代期望定律。假设3.1（b）线性：分数φd，S=1（W，η，ψS=1d0）在ψS=1d0：φd，S=1（W，η，ψS=1d0）=φad，S=1（W，η）·ψS=1d0+φbd，S=1（W，η）中是线性的，φad，S=1（W，η）=-1和φbd，S=1（W，η）=I{D=D}·[Y- u（d，1，X，π）]pd0（X，π）+u（d，1，X，π）。假设3.1（c）连续性：映射η7的二阶Gateaux导数的表达式→ （A.6）中给出的E[φd，S=1（W，η，ψS=1d0）]是连续的。假设3.1（d）内曼正交性：对于任何η∈ Tn，η方向上的Gateaux导数- η=（π（D，X，Z）-π（D，X，Z），pd（X，π）- pd0（X，π），u（D，S，X，π）- u（D，S，X，π））由下式给出：Eφd，S=1（W，η，ψS=1d）|S=1η - η=- E“I{D=D}·[u（D，1，X，π（D，X，Z））- u（d，1，X，π（d，X，Z））]pd0（X，π（d，X，Z））S=1#(*)+ E[u（d，1，X，π（d，X，Z））- u（d，1，X，π（d，X，Z））|S=1](**)- E“E[·| S=1，X，π]=E[Y-u（d，1，X，π）|d=d，S=1，X，π]=0z}|{I{d=d}·[Y]- u（d，1，X，π（d，X，Z））]pd0（X，π（d，X，Z））·pd（X，π（d，X，Z））- pd0（X，π（d，X，Z））pd0（X，π（d，X，Z））S=1#- E“I{D=D}E[u（d，1，X，π（d，X，Z））]·[π（d，X，Z）- π（d，X，Z）]pd0（X，π（d，X，Z））S=1#(* * *)- E“E[·| S=1，X，π]=E[Y-u（d，1，X，π）|d=d，S=1，X，π]=0z}|{I{d=d}·[Y]- u（d，1，X，π（d，X，Z））]pd0（X，π（d，X，Z））·E[pd0（X，π（d，X，Z））]·[π（d，X，Z）- π（d，X，Z）]pd0（X，π（d，X，Z））S=1#+E[u（d，1，X，π（d，X，Z））]·[π（d，X，Z）- π（d，X，Z）| S=1](* * **)= 0.Gateaux导数为零，因为表达式(*) 及(**) 以及(* * *) 及(* * **), 分别取消。