防策略流行机制

假设u是一个wpopular匹配，并假设它不是与体重比例一致的SD的结果。这意味着，对于某些试剂i和对象a，f为πui，对于wj<wi或|ua |<qa的试剂j，μj=a。对于后一种情况，我们让代理i接收对象a，同时保持其他人的分配不变。对于前者（案例），我们让代理i和j交换他们的任务，同时保持其他人的任务不变。在这两种情况下，我们都得到了一个比u更受欢迎的ma TChing，这与我们最初的假设相矛盾，完成了第（iii）项的证明。接下来，我们继续第（i）项。假设w是一个不满足其他属性的权重函数。然后我们有两个案例要考虑。案例1。赢-2.获胜-1+winand win-1=赢。让我们考虑一个问题，{a，b，c} O和qa=qb=qc=1。让我们的偏好是这样的-2=引脚-1=引脚：a、b、c、，; 以及所有其他代理人（如果有）认为每一项异议都是不可接受的。设ψ为w-po-pular机制，ψ（P，q）=u。由于只有三个代理具有可接受的对象，具有相同的偏好，并且没有一个代理的权重严格大于其他两个代理的权重之和，因此在问题P中不存在w-流行匹配。虽然w-流行机制可以在这种情况下产生任何匹配，但在任何情况下，对于某些代理j来说都是如此∈ {in-2，在-1，在}中，B是她在该匹配中的赋值的最佳选择，也就是说，B pj j.让我们考虑p’j：, 并写出P′=（P′j，P-j） 。在问题P′中，有两种w-流行匹配：u′和u′，在这两种匹配下，防策略的流行机制14J被分配给对象b。因此，ψ（P′，q）=u′或ψ（P′，q）=u′，表明代理j从误报中受益。案例2。我们有wik=wik+1，其中k+1<n。

然后，让我们考虑APOR PROYLE LE，其中PIK= PIK+ 1＝PIK+ 2：A，B，C，; 而其他代理人（如有）则认为每件物品都是不可接受的。请注意，由于wik<wik+1+wik+2，并且它们是唯一具有可接受对象的代理，因此再次没有进行普及。此外，使用与案例1相同的推理，我们得到ψ不能是策略证明。理论证明2。回想一下N={i，…，in}where wik≥ wik′代表每一个k≥ k′。让我们假设w是不同的或本质上不同的。根据定理1，我们知道与权重文件一致的SDs都是w-Popular和策略证明。它们也不浪费资源。人们还可以很容易地验证它们是否保留了争议解决方案。让ψ成为一种不浪费、受欢迎且不影响策略的机制，它也有助于争端的解决。设（P，q）是一个w-流行匹配存在的问题。设ψ（P，q）=u。根据定理1，有两类权重可考虑。案例1。Suppo se w是独特的。每个代理都必须按照u下的重量顺序逐个接收剩余的topchoice。否则，让我成为SD分配s不同于u下分配s的代理中最早出现的代理（注意，由于w不同，只有一个SD与重量比例一致）。让uik=b，而她的SD分配是o对象。通过我们的构造，k′<k的每个代理ik′都会在u和SD结果下接收相同的对象。根据SD的定义，它意味着一个Pikb。由于u的非浪费性，存在一个k′>k的代理ik′，因此wik′<wik，使得uik′=a。然而，这种匹配u不能是w-流行的，因为可以通过交换u下a gents ik和ik′的分配来获得更流行的w-匹配。因此，u只不过是与权重一致的SD结果。案例2。

假设w不是不同的，而是本质上不同的。我们有wi>wi…>赢-1=赢。每k≤ N- 2.ikhas探员在按u下的重量订购后，必须一个接一个地收到她剩余的首选。上述相同的公式很容易说明，否则我们可以获得更受欢迎的匹配。凭借u的非浪费性，其余的，即-1此外，以任何顺序逐个接收他们剩余的最佳选择。然而，这意味着u只不过是与重量一致的两种SDs的结果。在u′，在{in-2，在-1，in}\\{j}接收对象a，另一个接收对象c。相反发生在u′。（P，q）是一个不存在w-流行匹配的问题。设ψ（P，q）=u′。如果u′是两种SDs中与重量比例一致的结果（可能有一种或两种），则无需验证。否则，让u作为这些SDs的结果。我们有u′6=u。让ik6成为订单中的第一个代理，以便uik6=u′ik。设uik=a。根据SD的定义，对象a是代理Ika的首要对象，但不包括在SD订单中比她更早到达的代理hencea Piku′ik的分配。这以及u′的非浪费性意味着，对于某些代理而言，u′ik′=a。此外，对于在SD订购中比ik更重要的每个代理而言，hu和u′下的Herassignment是相同的，我们有≥ 威克。我们现在声称这种关系是严格的。假设一个矛盾，wik=wik′。这意味着重量比例没有区别，因此根据我们的假设，它本质上是有区别的。此外，具有这两个权重的代理是与权重文件一致的任何代理订购的最后两个代理。

从上面看，对于wj>wik的每个分量j，我们有uj=u′j（注意，在最后两个之前，权重是严格排序的）。但是，u′的非浪费性意味着最后两个代理ikand ik′将以任意顺序逐个接收剩余的首选。这反过来意味着u′只不过是与体重比例一致的SDs的结果，产生了矛盾。因此，wik>wik′。现在让我们回到问题（P，q），其中一个Piku′ik和u′ik′=a。从上面我们也知道wik>wik′。通过ψ的策略证明，对于任何P′ik∈ Pa，ψi（P′ik，P-ik，q）=. 因此，由于ψ保留争议解决方案，对于q′a=1的每个（P′，q′），P′\'ik，P′\'ik′∈ pak和P′k∈ P对于其他代理k，我们有ψik（P′，q′）= ψik′（P′，q′）=a。然而，这种匹配并不普遍，因为（P′，q′）处唯一的w-流行匹配u′at（P′，q′）是这样的，即tu′ik=a和u′j= 这与ψ的w-普及性相矛盾，完成了证明。除了w-流行之外，满足所有公理的eoremA机制中公理的独立性：很容易看出，Thagale和Shapley（1962）的延迟接受机制满足除w-流行之外的所有属性。一个满足所有公理的机制，除了保留争议解决席：现在我们考虑一个问题，其中n={i，..，i，i} and o={a，…，a，a}。设q为每个对象的qa=1。让重量为20,10,5,4,3,2。设Pi=Pi:a，a，; 和Pk:a，a，a，a，a， 如果我们写N′={i，i}，那么在（P′N′，P-N′，q）对于任何P′N′∈ P|N′|。设ψ为任意N′的机制 N、 PN′代表N′中代理人的偏好文件。防策略问题（P′N′，P-N、 q）其中P\'N\'∈ P|N′|，它给出了顺序为i，i，i，i，i，i的SD结果。

否则，它会给出排序与权重一致的SD结果。该机制ψ满足除保留争议解决方案外的所有属性（因为代理i接收对象a，并且i仅报告对象a可接受，而其他代理则报告没有可接受的对象）。一席讽刺所有的公理，除了非浪费：让我们考虑一个问题n={i，…，i}和o={a，…，a}。设q为每个对象的qa=1。让重量为7,5,3,1。让Pi=Pi=Pi:a，a，a，; Pi:a，. 设ψ（P，q）=u，其中每k的uik=Ak≤ 3和ui=. 请注意，如果一个问题中不存在流行的mat-ching，那么它将继续不存在，因为代理I的任何偏好保持其他偏好的相同。设ψ为这样一种情况：每当一个问题上不存在w-流行匹配时，除I之外的每个代理都会接收她的SD（与权重一致）分配，而代理iis则保持未分配。否则，ψ产生与权重一致的SD结果。人们可以很容易地验证ψ满足除非浪费性以外的所有性质。一个除了席对策之外，所有的公理都满足的机制：让我们考虑n={i，j，k}和o={a，b，c}。设q为每个对象的qa=1。让重量为4，3，2。设Pi=Pj=Pk:a，a，a，. 请注意，问题（P，q）中没有w-流行匹配。设ψ（P，q）=u，其中ui=a，ui=a，ui=a。对于所有其他问题，SD与权重一致。它满足除策略证明之外的所有属性。理论证明3。“如果”部分直接来自定理1和备注1。对于另一部分，让我们考虑一个不满足所列出的任何性质的权重Proεw。让{ik，ik+1，ik+2} N和{a，a，a} O.让每个对象a的qa=1∈ {a，a，a}。

由于w不满足任何属性，我们有以下两种情况。案例1:wik=wik+1≥ wik+2，其中k+2<n或情况2:wik+1=wik+2，wik<wik+1+wik+2，k+2=n（注意，n是最后一个代理）。下面的论证对这两种情况都适用。为了便于编写，让i=ik、i=ik+1和i=ik+2。让ψ∈ Ohm 成为一种在平衡状态下广受欢迎的机制。让我们考虑一个问题（p，q），其中π＝π＝π：a，a，; 而其他代理人（如果有）发现每件物品都是不可接受的。如上面定理1的证明所示，在问题（P，q）中，不存在w-匹配。设P′是（P，q）中的平衡，ψ（P′，q）=u。请注意，无论在这种情况下ψ在没有常用匹配的情况下产生的匹配u是什么，都必须是这样的情况：对于某些代理，i∈ {i，i，i}，aPiui.设aPjuj，其中j∈ {i，i，i}。接下来我们考虑一个问题（p’，q），其中p’j j：a，a，; 每个代理的偏好与P下的相同。在上述两种情况1和2下，只有两种w-流行匹配u和u′，其中uj=u′j=a，{i，i}\\{j}中的防策略流行机制17代理在这些匹配时交替接收a和aat。在这两种比赛中，剩下的球员都没有被分配，因为否则，让他们没有被分配的比赛将比u或u′更受欢迎。我们接下来声称P′是ψ下（P′，q）的平衡。我们首先声称没有k探员∈ N\\{i，i，i}有偏离m P′的动机。假设一个矛盾对某些人来说∈ N\\{i，i，i}，我们有φPksuchthatψk（φPk，P′）-k、 q）P′kψk（P′，q）。当P′k=Pk时，意味着ψk（^Pk，P′）-k、 q）Pkψk（P′，q），其中P′是（P，q）处的氮平衡。我们已经确定j是aPjψj（P′，q）=uj。这意味着uj∈ {a，}. 如果uj=a，那么P′是（P，q）处的平衡这一事实意味着不存在`P∈ 使得ψj（\'P，P′）-j、 q）∈ {a，a}。

同样，如果uj=, 没有^P∈ 使得ψj（^P，P′）-j、 q）∈ {a，a，a}。注意，sinceP′与P′仅在gent j的偏好ψ（\'P，P′）中不同-j、 q）=ψ（\'P，P′）-j、 q）和ψ（^P，P′）-j、 q）=ψ（^P，P′）-j、 q）。所有这些都表明，代理人j没有偏离P′at（P′，q）的激励。让k∈ {i，i，i}\\{j}。由于P′k=pk且P′在（P，q）处是一个平衡点，因此他没有动机偏离P′kat（P′，q）。所有这些都表明了这一主张。因此，在ψ下，P′是（P′，q）处的平衡。然而，ψ（P′，q）=u不是w-populart（P′，q）。这是因为uj6=a在（P′，q）处的任何w-流行匹配中，agent j接收a。这与ψ在平衡状态下的w-流行相矛盾。注意，如果j=i（i）且情况2成立，那么这些发行代理i、i和i之间的唯一w-流行匹配分别接收a、a（a）和a（a）。否则，u和u′是唯一流行的w匹配。