数学博弈论

+λmf（xm）。如果g=-f是凸的（向上）。一个可微函数f:S→ 开放集上的R Rn是凸的（向上）当且仅当（57）f（y）≥ f（x）+f（x）（y）- x） 为所有的x，y∈ S.3。例如，BROUWER的不动点定理假设f（x）（y）-十）≥ 这是真的吗∈ S、 那么onehasf（x）=miny∈Sf（y）。另一方面，如果f（x）（y）- x） <0对某些人来说是正确的∈ S、 你可以从x向y方向移动一点，然后用f（x′）<f（x）找到一个元素x′。因此，我们有一个关于S上f的极小值的标准：引理a.4。如果f是凸集S上的可微凸函数，那么对于任何x∈ S、 这些状态是等价的：（1）f（x）=miny∈Sf（y）。(2) f（x）（y）-十）≥ 0代表al l y∈ 如果严格不等式在（57）中适用于所有Y6=x，则f称为严格凸。在n=1的情况下（即S R） ，一个简单的准则适用于tw ice可微函数：f i s凸<==> f′（x）≥ 0代表所有x∈ 例如，对数函数f（x）=lnx在开区间S=（0）上严格凹，∞) 因为off′（x）=-所有x的1/x<0∈ S.3。BROUWER的固定点理论是地图f:X的固定点→ X是点X∈ X，使得f（X）=X。通常很难找到一个X点（甚至很难确定是否存在一个固定点）。著名的充分条件由BROUWER给出：定理A.2（BROUWER（1911））。让X Rnbe是凸的、紧的、非空集且f:X→ X是一个连续函数。那么f有一个固定点。证据例如，参见A.GRANAS和J.DUGUNDJI的环切教科书，不动点理论，Springer Verlag 2003。对于Game理论的应用，以下含义是有趣的。推论A.1。让X Rnbe是凸紧非空集，G:X×X→ R在第二个变量中是凹的连续映射，即（C）对于每个x∈ 十、 地图y 7→ G（x，y）是凹的。L.E.J。

BROUWER（1881-1966）然后存在一个点x*∈ 例如g（X*, 十、*) ≥ G（x）*, y） 尽管如此∈ X.证据。我们将从“科罗尔·拉里是假的”这一观点中得出一个矛盾。的确，如果没有x*用声称的财产，然后每个∈ X位于setsO（y）={X的东边∈ X | G（X，X）<G（X，y）}（y）∈ 十） 。因为G是连续的，所以集合O（y）是开集。因此，由于X是紧凑型的，已经有很多覆盖了X的所有部分 O（y）∪ O（y）∪ . . . ∪ O（yh）。为了所有的x∈ 十、 确定参数dl（x） =max{0，G（x，y）l) - G（x，x）}(l = 1.h） 。x至少位于一个集合O（y）中l). 因此，我们有d（x）=d（x）+d（x）+dh（x）>0。现在考虑函数X 7→ ν（x）=jXl=1λl（x） yi（带λ）l= Dl（x） /d（x））。由于G i是连续的，所以函数x 7→ Dl（x） 是连续的。因此，ψ：X→ X是连续的。根据BROUWER定理A.2，φ有一个固定的po intx*= ~n（x）*) =hXl=1λl（十）*)Yl.因为G（x，y）在y和x上是凹的*是它们的精确线性组合l, 我们有g（x）*, 十、*) = G（x）*, ~n（x）*)) ≥hXl=1λl（十）*)G（x）*, Yl).如果推论是错的，那么就有λlG（x）*, Yl) ≥ λl（十）*)G（x）*, 十、*)对于每一个和，以及在至少一种情况下，甚至一个严格不等式λl（十）*)G（x）*, Yl) > λlG（x）*, 十、*),这会产生矛盾的陈述g（x*, 十、*) >hXl=1λl（十）*)G（x）*, 十、*) = G（x）*, 十、*).5.MONGE算法137推论必须是正确的。4.线性不等式本节所述事实也是众所周知的。对于坐标向量x∈ Rn，如果xj=0对所有组件xjof x.x都成立，我们写x=0≥ 0表示x的所有分量都是非负的。现在假设矩阵A中的th∈ Rm×nand向量c∈ Rnand b∈ Rmarigven并定义设置x={x∈ Rn|b-斧头≥ 0}Y={Y∈ Rm | y≥ 0，ATy=c}。然后线性规划的主要定理是：定理A.3。

对于X和Y作为一个前题，下面的陈述是正确的：（1）对于所有的X∈ X和d y∈ 你有：cTx≤ 顺便说一句。（2） x6= 当有元素x时，6=yi正是真的*∈ X安迪*∈ 这样cTx*= bTy*.在数学最优化的术语s中，定理A.3说要么X理论是空的，要么存在元素X*∈ X和y*∈ Y和财产（58）cTx*= 马克斯∈XcTx=miny∈YbTy=bTy*.（58）中的优化问题是所谓的线性规划。5.MONGE算法关于系数向量c，v的MONGE算法∈ 它有两个版本。Primal MONGE算法构造了一个向量x（v），其分量x（v）=vand xk（v）=vk- vk-1（k=2，3，…，n）。对偶MONGE算法构造了一个向量y（c），其分量entsyn（c）=CNYl（c） =cl- Cl+1(l = 1.N- 1).注意：c≥ C≥ . . . ≥ cn==> Yl（c）≥ 0 (l = 1.N- 1） 五≤ 五、≤ . . . ≤ 越南==> xk（v）≥ 0（k=2，…，n）。更多细节可参见，例如，U.FAIGLE、W.KERN和g.STILL，《数学规划的算法原理》，Springer（2002）观察isLEMMA A.5的重要性质。MONGE向量x（v）和y（c）满足Ctx（v）=nXk=1ckxk（v）=nXl=1vlYl（c） =vTy（c）。证据写x=x（v）和y=y（c），注意所有1≤ Kl ≤ n、 x+x+…+十、l= 五、l和yk+yk+1+…+yn=ck和hencenXk=1ckxk=nXk=1nXl=基尼lxk=nXl=1.lXk=1xkyl=nXl=1vlYl.6.熵和玻尔兹曼分布。1.玻尔兹曼分布。给定向量v=（v，…）的配分函数Z。

，vn）表示实数vjt的值z（t）=nXj=1evjt（t∈ R） 。相关的玻尔兹曼概率分布b（t）的分量sbj（t）=evjt/Z（t）>0，并产生期望值函数u（t）=nXj=1vjbj（t）=Z′（t）Z（t）。方差定义为v与u（t）的预期二次偏差：σ（t）=nXj=1（u（t）- vj）bj（t）=nXj=1vjbj（t）-u（t）=Z′（t）Z（t）-Z′（t）Z（t）=u′（t）。一个人的σ（t）>0，除非所有的vjare都等于常数K（因此对于所有的t，u（t）=K）。因为u′（t）=σ（t），我们可以看到u（t）在t中严格递增，除非u（t）i是常数。排列部件，使v≤ 五、≤ . . . ≤ 越南。特林姆→∞bj（t）bn（t）=limt→∞e（vj）-vn）t=0，除非vj=vn，6。熵和玻尔兹曼分布，这意味着bj（t）→ 如果vj<vn，则为0。因此，极限分布(∞) 是v的最大化子上的均匀分布→-∞bj（t）b（t）=limt→-∞e（vj）-v） t=0，除非vj=vand得出结论，极限分布b(-∞) 是v定理A.4的极小值上的一致分布。对于每一个值v≤ ξ ≤ vn，有一个独特的参数∈ R∪ {-∞, +∞} 使得ξ=u（t）=nXj=1vjbj（t）。证据如果v=ξ=vn，则u（t）上的函数是常数，且该断言是微不足道的。在非恒定的情况下，u（t）是严格的单对一且连续的。五、≤ u（t）≤ 越南。因此，对于极值和vn之间的每个规定值ξ，必须精确存在一个u（t）=ξ的t。6.2. 熵。实函数h（x）=x lnx是为所有n个相关实数定义的，并且具有严格递增的导数h′（x）=x+lnx。因此h是严格凸的，满足不等式h（y）- h（x）>h′（x）（y）- x） 对于所有非负的y6=x.h，通过h（x）=h（x，…，xn）=nXj=1xjln-xj扩展到非负实向量x=（x，…，xn）=nXj=1h（xj）.h的严格凸性变成了不等式h（y）- h（x）>h（x）（y）- x） ，带有梯度h（x）=（h′（x）。

，h′（xn））=（x+lnx，…，xn+lnxn）。理解ln 0=-∞ 在x+…+的情况下，0·ln0=0xn=1，非负向量x是集合{1，…，n}上的概率分布，且entropyH（x）=nXj=1xjln（1/xj）=-nXj=1xjln xj=-h（x，…，xn）。我们想证明，玻尔兹曼概率分布是相对于给定期望值具有最大熵的精确分布。定理A.5。设v=（v，…，vn）是实数向量和{1，…，n}上的b theBOLTZMANN分布，分量sbj=Z（t）evjt（j=1，…，n）。对于某些t.设p=（p，…，pn）是具有相同期望值nXj=1vjpj=u=nXj=1vjbj的概率分布。那么一个有p=b或者H（p）<H（b）。证据对于d=p- b、 我们有pjdj=Pjpj-Pjbj=1- 1=0，因此h（b）d=nXj=1（1+ln bj）=nXj=1djln bj=nXj=1dj（vjt- Z（t））=tnXj=1vkdj=tnXj=1vjpj-nXj=1vjbj）= 0.在P6=b的情况下，h的st-ri-ct凸性因此为yieldsh（p）- h（b）>h（b）（p）- b） =0，因此H（p）<H（b）。引理A.6（散度）。让我们，安，p，可以是任意的非负数。ThennXi=1ai≤nXi=1pi==>nXi=1磅人工智能≤nXi=1磅/平方英寸。当ai=P对所有i=1，n、 根据定义！6.熵和玻尔兹曼分布。我们可以假设所有i的pi6=0，并利用众所周知的事实（很容易从对数函数的凹度得出）：Lnx≤ 十、- 1和lnx=x- 1.<=> x=1。然后我们观察到xi=1pilnaipi≤nXi=1pi（aipi- 1） =nXi=1ai-nXi=1pi≤ 因此，X=1磅人工智能-nXi=1piln pi=nXi=1pilnaipi≤ 0.只有当ln（ai/pi）=（ai/pi）时，等式才能成立-1，因此ai=Pi对所有i都适用。

感谢分享

thank you for sharing

感谢分享。

感谢分享