块矩阵的规范表示及其应用

由^∑zx=q^DzxQ的第一个q列给出的∑zxis的估计值。定理2适用于回归型估计，例如两阶段最小二乘（TSLS）估计，βTSLS=[^∑xz∑∑-1zz^∑zx]-1[^∑xz∑-1zz∑zy]，其中相同或不同的块结构可以施加在矩阵上，∑zx、∑zz和∑zy。实施块结构需要偏差-方差权衡，因为如果∑xzdoes没有块结构，块结构将产生偏差。同时，参数数量的大幅减少将减少估计量的方差。在这种情况下，无限制的估计值TPTt=1ZtXt也是一致的，但有更大的估计误差和许多其他问题，例如许多工具变量引起的问题。开发块结构的正式测试，以避免块结构与数据不一致，这将是一件有趣的事情。偏差-方差权衡可以激发基于区块结构的收缩方法。例如，块体结构的使用可以与正则化方法相结合，如Ledoit和Wolf（2004）中的方法，正如我们在结束语中阐述的那样。3块相关矩阵块相关矩阵的特征是形成块结构的相关系数，其中两个变量之间的相关性仅由两个变量所属的块决定。块相关矩阵提供了一种以节省的方式参数化大型协方差矩阵的方法。这种结构用于一些多元GARCH模型，见Engle and Kelly（2012）和Archakov等人（2020）。具有K个块的n×n块相关矩阵C是具有C[K，K]的对称块矩阵=1ρkk··ρkkρkk。。。。。。。。。。。。ρkk对于k6=l，C[k，l]=ρkl··ρkl。。。。。。ρklρkl, （5） 式中ρkk，k=1。

，K是块内相关性，ρkl=ρlk，k6=l是块间相关性，对于K，l=1，为了使C成为相关矩阵，我们显然需要ρkl∈ [-1，1]对于所有k，l=1，K、 但这不足以保证有效的相关矩阵。一些相关系数的组合可能会产生负值，即使它们的绝对值都严格小于1。块等相关矩阵对应于所有对角块的对角元素B[k，k]等于dk=1，对于k=1，K.因此，定理1充分描述了产生正（半）有限相关矩阵的一组相关系数。我们将这个结果作为一个单独的推论进行公式化。注意，对于（5）中的C，标准形式（4）产生了元素akl=ρkl的不对称A√nknl，对于k6=l，akk=1+ρkk（nk- 1） 和λk=1- ρkk。推论2（块相关矩阵）。设C为块相关矩阵。然后C=A·KYk=1（1- ρkk）nk-1，使得C是非奇异块相关矩阵，当且仅当a是正定义且|ρkk |<1。在这种情况下，两者都是C-1和log C与C具有相同的块结构，块被赋予Nbyc-1[k，l]=a#klP[k，l]+1{k=l}1-ρkkP⊥[k，k]和log（C）[k，l]=aklP[k，l]+1{k=l}log（1- ρkk）P⊥[k，k]，其中a#kl是a的第kl个元素-1和aklis是对数A的第kl个元素。对于（5）中的C是一个相关矩阵（可能是单数），我们需要A是正的中间元素，|ρkk |≤ 1和推论2描述了正定义的块相关矩阵集。附加要求是A为正定义且|ρkk |<1，k=1，K.在这种情况下，对于块相关矩阵，A的表达式之前在Huang和Yang（2010年，命题5）以及Cadima等人（2010年，定理3.1）中获得。

黄和杨（2010）专注于计算问题，这可能解释了他们的论文在很多文献中被忽视。他们的研究结果为byEngle和Kelly（2012）的街区装饰模型增添了宝贵的见解。例如，他们的结果提供了一种简单的方法来评估区块关联矩阵是否为正定义（或半定义）。推论2中相关矩阵行列式的表达式是Huang and Yang（2010）和Cadima et al.（2010）中导出的特征值的简单含义，而逆相关矩阵和对数变换相关矩阵的表达式是新的，我们关于某些矩阵函数的块结构保持的结果也是新的。直到最近，我们还不知道Huang and Yang（2010）和Cadima等人（2010）的研究结果。一位无名小卒（在一篇与当前论文不同的论文中）指导我们研究罗森特和德维尔（2017年），随后我们在黄和杨（2010年）以及卡迪玛等人（2010年）中发现了更详细的结果。他们的一些结果，例如黄和杨（2010年，等式6），在罗森特和德维尔（2017年）中被重新发现，他们没有引用黄和杨（2010年）或卡迪玛等人（2010年）。事实上，Cadima等人（2010年）、Huangand Yang（2010年）、Engle and Kelly（2012年）和Roustant and Deville（2017年）的论文均未引用此处列出的任何其他论文。Roustant和Deville（2017）中的结果似乎已被Roustant等人（2020）吸收和扩展。4规范表示在高斯对数概率中的应用在本节中，我们重点讨论正态分布随机变量的协方差和相关矩阵。我们推导了相应对数似然函数的简化表达式，当n相对于K较大时，这大大减少了计算负担。

我们推导了最大似然估计量，并提供了对数似然函数对未知参数（分数）的一阶导数的简单表达式。我们将遵循协方差和方差的常规表示法，我们将bkl，k，l=1，K、 dk的位置，K=1，K.类似地，对于相关矩阵，我们将ρklin代入bkl，并使dk=1。均值为零且方差矩阵为n×n的多元高斯分布的密度函数∑为f（x）=（2π）-n（det∑）-经验(-x∑-1x）。假设∑具有由（n，…，nK）给出的块结构，并设∑=qdq为其规范表示。对应的对数似然函数（乘以-2） 可以表示为-2`=n对数2π+对数det D+XQD-1QX，其中D=diag（A，λIn-1.λ扭结-1） ，其中λk=σk- σk，k，andakl=σk+（nk）- 1） σk，k=l，σk，l√对于k6=l，如果我们定义Y=（Y，Y，…，yK）=QX，其中Y是k维的，yK是nk- 1维，k=1，K、 接下来就是- 2`=n对数2π+log det A+yA-1y+KXk=1（nk）- 1） 对数λk+ykykλk. （6） 该表达式表明，区块结构为对数似然评估提供了相当大的简化。与其求逆n×n矩阵∑并计算det∑，不如求逆较小的K×K矩阵A，并计算det A。此外，基于随机样本X，XN，很容易用转换变量表示，Y=QX，YN=QXN，如以下定理所述。定理3。假设~ iidN（0，∑），t=1，其中，∑是块划分的块协方差矩阵，n，nK。定义转换变量Yt=QXt=（y0，t，y1，t，…，yK，t），其中y0，t∈ RK和yk，t∈ Rnk-1，k=1，K.∑=Q^DQis是∑的最大似然估计量，其中∑D=diag（^A，^λIn-1.

. . ,^λ扭结-1） 用^A=TTXt=1y0，ty0，tand^λk=TTXt=1yk，tyk，tnk表示-1，k=1，K.单个参数的最大似然估计可直接从^A和^λK，K=1，K.从A的定义可以得出^σK，l=^akl/√对于k6=l，对于k=l，我们有^σk，k=（^akk）-^λk）/nk和^σk=^λk+^σk，k=nk^akk+nk-1nk^λk.在块大小为1的特殊情况下，我们定义了∑[k，k]=σ和∑k，kis。在这种情况下，相应的yk，t也是不确定的，因此^λk也是不确定的。然而，最大似然估计量的表达式仍然有效，包括OREM 3中的^∑表达式。如果nk=1，则^σk=^akk，而^σk，kis的表达式是多余的，可以忽略。与具有块结构的协方差矩阵相比，当相关矩阵被假定为具有块结构时，估计更复杂。块相关矩阵完全由A矩阵给出，因为特征值λ，λKare由下面的A给出。我们使用符号Ik≡ {ik-1+ 1, . . . , ik}，其中ik=Pkj=1nj，包含与第k个块相关的NK标记。推论3。假设~ iidNn（0，∑），t=1，T，其中∑=∧σC∧σ和∧σ=diag（σ，…，σn），C是块划分的块相关矩阵，n，nK。σ，…，的最大似然估计，σnsatisfynkXi∈Iksiσi=1，k=1，K、 （7）这是根据定义得出的，σK=λK+σkk和akk=σK+（nk- 1） σkk，使得akk=λk+σkk+（nk- 1） σkk=λk+nkσkk，以及最大似然估计的不变性。其中si=T-1PTt=1Xi，t，对于i=1，n、 设)Xi，t=Xi，t/)σi并定义)Yt=Q)Xt=（)y0，t，)y1，t，)yK，t），其中)y0，t∈ RKandyk，t∈ Rnk-1，k=1，K.C的最大似然估计量为C=QDQ，其中D=diag（~A，~λIn）-1.λ扭结-1） 当)A=TTXt=1)y0，t)y0，tand)λk=nk时- ■akknk- 1，k=1。

，K，式中akkis是A的第K个对角线元素。因此，D的估计值可以仅从K×K矩阵A中获得。对于单独的相关性，我们有ρK，l=~akl/√nknl，对于k6=l，和∧ρk，k=（∧akk）- 1） /（nk）- 1） 对于k=l，推论3没有完全说明（σ，…，σn）的最大似然估计，但这些估计在证明中以隐式形式给出，并且在证明后立即说明了一些额外的细节。一个简单且一致的估计量，如T→ ∞, 就是设置σi=si，i=1，n、 满足（7），并用A和λk的表达式计算相应的^C，k=1，K、 使对数似然函数最大化，以σi=si，i=1，n、 我们把这个估计器称为两阶段估计器。对数似然函数的分数通常是独立的。例如，在拉格朗日乘数测试、结构断裂测试（见Nyblom（1989））和具有时变参数的动态模型（所谓的分数驱动模型）中，分数用于计算稳健的标准误差，见Creal等人（2013）。因此，我们用块协方差矩阵给出了这种情况下的分数表达式。假设∑是块协方差矩阵，设∑=qdq为其正则表示。由于Q完全由块划分（n，…，nK）给出，且不依赖于∑中的未知参数，因此偏导数的表达式相对简单。提议1。设∑=QDQ是∑的正则表示。然后(-2`)/A=M=A-1.- A.-1yyA-1对于k=1，K、 我们有(-2`)σk=Mk，k+nk-1λk-ykλk(-2`)σkk=（nk）- 1） Mk，k-nk-1λk-ykλk,对于i6=j，我们有(-2`)σij=2√nknlMi，j.黑森方程也可以类似地推导出来。在某些应用中，最好使用和（λ，…，λK）参数化块协方差矩阵。

在这种情况下，可以使用(-2`)/A=M，和(-2`)/λk=nk-1λk-ykλk，对于k=1，K.5块相关矩阵的经验估计我们继续说明具有块结构的高维协方差矩阵在实践中是如何向前估计的。我们估计了从1995年到2020年每一年的大量每日资产收益的块相关矩阵。我们包括证券价格研究中心（CRSP）数据库中的所有股票，这些股票可以与一个唯一的永久数字（来自Compustat数据的PERMNO）匹配。在一个日历年中缺少观测的股票被排除在该日历年的估计之外。多年来，我们拥有3340只到6637只股票，平均每年4446只。每个日历年有250个每日收益，我们用它来估计当年的n×n相关矩阵。这一经验应用的目的是证明，一旦采用块结构，高维协方差矩阵可以用相对较少的观测值进行估计，而正则表示使获得一致估计和评估高斯对数似然函数变得简单。由于方差和协方差随时间而变化，我们的估计反映了每个日历年的平均协方差矩阵所隐含的相关性，而不是数据生成过程的准确描述。在我们的分析中，我们检查了相关矩阵的五个嵌套块结构，其中等相关结构（K=1）是最简单、限制性最强的模型。其他四种相关模型使用GIC部门、集团、行业和子行业定义的区块结构。从行业到子行业，区块的数量都在增加，但在特定类别内，区块的数量可能会逐年变化。

这些对应于行业的K=11，跨年份的K范围为24至26（集团）、69至76（行业）和152至182（子行业）。我们使用两阶段估计法估计每个日历年的典型相关矩阵。因此，用样本方差^σi=T来估计单个方差-1PTt=1ri，t，其中每日收益ri，t根据股息和股票分割进行调整。然后利用推论3，从标准化收益率^zi，t=ri，t/^σi估计块相关矩阵，我们得到^ρk，l=^akl/√对于k6=l，和^ρk，k=（^akk）-1） /nk，其中^A=TPTt=1^y0，t^y0，t^y0的第k个元素，由√nkPi∈Ik^zi，t.所以，具有块相关结构的整个n×n协方差矩阵由n（单变量）方差和K×K矩阵^A估计。无限制估计显然是奇异的，因为在所有日历年中，维数n都是大于t的一个数量级。区块假设施加了足够的结构，使得^C是可逆的，这需要K×K矩阵的逆，^A.估计区块相关性的汇总统计#区块平均标准最小Q10%Q50%Q90%最大值-2`NTBIC KK（K+1）结构。（3）股票，股票，股票和252天）股票，股票，股票，股票，股票，股票，股票，股票，股票，股票，股票，股票，股票，股票，股票，股票，股票，股票，股票，股票，股票，股票，股票，股票，股票，股票，股票，股票，股票，股票，股票，股票，股票，股票，股票，股票，股票，股票，股票，股票，股票，股票，股票，股票，股票，股票，股票，股票，相关0 0.138 0.138 0 0.138 0 0.138 0.138 2.137 2.137 7 7 7 2.282.1.1.697 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7，2.1.1.1.7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7.1.1.1.1.7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7九,2.57997 2.76832 152 11628U。s

2.298 0 0 0.0 0 0.0 0 0.0 0 0.0 0 0.0 0 0.0 0 0.153 0.0 0 0.153 0.0 0.0 0 0.395 0.0 0 0 0.639 9 9 2.48686 6 6 6 6 6 6 6.6 6 6 6 6.6 6 6 6 6 6.6 6 6 6 6 6.2.2.48686 6 6 6 6 7 7 7 7 7 7 7 7 7 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0.324 0.472 0.913 2.326802.51444 152 11628表1：估计的块相关矩阵的汇总统计数据。为了节省空间，我们只提供了过去两个日历年（2019年和2020年）最详细的估计结果，并将给出六个日历年的偏相关。所有26个日历年（1995-2018）的详细结果见网络附录Archakov和Hansen（2021b）。2019冠状病毒疾病的标准杆数为2019和2020比较有趣，因为在2020可以观察到COVID-19流行的一些特征。这两个年份的资产数量相同，n=3340个资产，所有五个区块结构的区块数量相同。在表1中，我们报告了五种类型的区块结构以及2019年和2020年这两个日历年的估计相关性范围。2020年的估计相关性范围大于2019年，并且随着区块数量的增加而增加。后者是预期的，因为C中不同相关系数的数量增加。每个估计相关性代表一个平均相关性，受相应部门/集团/行业/子行业内的时间平均值（一个日历年）和横截面平均值的影响。

我们还报告了对数似然函数（按-2/（nT））在参数估计值处进行评估，以及Bayesian信息准则（BIC）的相应值。2019年和2020年，通过基于分组的区块结构获得最小BIC。最后一列报告了具有K个块的块结构中唯一相关性的K（K+1）/2个数，虽然这个数随着K的增加而迅速增加，但对数可能性的增加相对较小。因此，当区块由子行业定义时，BIC实质性增加。图2显示了基于行业、集团、行业和子行业的估计区块相关矩阵。沿着对角线是同一区块（区块内相关性）中资产的估计相关系数。其他估计是针对不同区块的成对资产（区块间相关性）。由于估计的相关系数数量较多，我们使用颜色编码给出了大多数估计值。较深的红色表示阿森格相关性。从图2可以看出，2020年的相关性通常高于2019年。这可以归因于COVID-19流行病。当COVID2019冠状病毒疾病开始蔓延全球时，除了个别病例外，市场经历了大幅度下降，大多数国家都实行了持续的停产。从2020年2月19日到2020年3月23日，标准普尔500指数跌幅超过33%。紧随其后的是强劲的反弹，从2020年3月23日到年底，市场增长超过63%。这种区块结构在2020年更为明显，这可能是由于该地区对经济的不同部门产生了不同的影响。