块矩阵的规范表示及其应用

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英文标题：
《A Canonical Representation of Block Matrices with Applications to
  Covariance and Correlation Matrices》
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作者：
Ilya Archakov and Peter Reinhard Hansen
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最新提交年份：
2021
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英文摘要：
  We obtain a canonical representation for block matrices. The representation facilitates simple computation of the determinant, the matrix inverse, and other powers of a block matrix, as well as the matrix logarithm and the matrix exponential. These results are particularly useful for block covariance and block correlation matrices, where evaluation of the Gaussian log-likelihood and estimation are greatly simplified. We illustrate this with an empirical application using a large panel of daily asset returns. Moreover, the representation paves new ways to regularizing large covariance/correlation matrices, test block structures in matrices, and estimate regressions with many variables.
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中文摘要：
我们得到了块矩阵的规范表示。这种表示法便于简单计算块矩阵的行列式、矩阵逆和其他幂，以及矩阵对数和矩阵指数。这些结果对于块协方差和块相关矩阵特别有用，在这些矩阵中，高斯对数似然和估计的计算大大简化。我们通过一个使用大量每日资产收益率的实证应用程序来说明这一点。此外，该表示为正则化大型协方差/相关矩阵、矩阵中的测试块结构以及估计多变量回归铺平了新的道路。
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分类信息：

一级分类：Economics        经济学
二级分类：Econometrics        计量经济学
分类描述：Econometric Theory, Micro-Econometrics, Macro-Econometrics, Empirical Content of Economic Relations discovered via New Methods, Methodological Aspects of the Application of Statistical Inference to Economic Data.
计量经济学理论，微观计量经济学，宏观计量经济学，通过新方法发现的经济关系的实证内容，统计推论应用于经济数据的方法论方面。
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Computational Finance        计算金融学
分类描述：Computational methods, including Monte Carlo, PDE, lattice and other numerical methods with applications to financial modeling
计算方法，包括蒙特卡罗，偏微分方程，格子和其他数值方法，并应用于金融建模
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一级分类：Statistics        统计学
二级分类：Methodology        方法论
分类描述：Design, Surveys, Model Selection, Multiple Testing, Multivariate Methods, Signal and Image Processing, Time Series, Smoothing, Spatial Statistics, Survival Analysis, Nonparametric and Semiparametric Methods
设计，调查，模型选择，多重检验，多元方法，信号和图像处理，时间序列，平滑，空间统计，生存分析，非参数和半参数方法
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PDF下载：
--> A_Canonical_Representation_of_Block_Matrices_with_Applications_to_Covariance_and.pdf (3.2 MB)

2022-4-26 10:24:46 上传

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关键词：Presentation econometrics Applications Quantitative Multivariate

块矩阵的规范表示及其在协方差和相关矩阵中的应用*Ilya Archakova和Peter Reinhard Hansenb+维也纳大学北卡罗来纳大学和哥本哈根商学院2021年11月16日摘要我们获得了块矩阵的规范表示。这种表示法简化了块矩阵的行列式、矩阵逆和其他幂的计算，以及矩阵对数和矩阵指数的计算。这些结果对于块协方差和块相关矩阵特别有用，在这些矩阵中，高斯对数似然和估计的评估非常简单。我们使用一个大的每日资产收益率面板的实证应用来说明这一点。此外，本演示还为正则化大型协方差/相关矩阵、矩阵中的测试块结构以及估计多变量回归提供了新方法。关键词：块矩阵、块协方差矩阵、块相关矩阵、等相关、协方差正则化、协方差建模、高维协方差矩阵、矩阵对数JEL分类：C10；C22；C58*标准杆数第二作者在2020年初和2021年末访问维也纳大学的统计和运筹学系，感谢他们的热情款待。地址：北卡罗来纳大学经济系，107 Gardner Hall Chapel Hill，NC 275991简介我们推导了一大类块矩阵的规范表示，其中包括块协方差和块相关矩阵作为特例。该表示是块矩阵的半谱分解，除单个对角块外，它是对角化的，其维数由块的数量给出。

标准表示简化了几个矩阵函数的计算，如矩阵逆、矩阵指数和矩阵对数。有趣的是，我们证明了这些变换保持了原始矩阵的块结构。因此，当协方差矩阵或相关矩阵具有块结构时，分解大大简化了高斯对数似然函数的评估。当块结构合适时，规范表示也可用于具有许多回归器、工具变量和因变量的回归。我们通过提供任何（可逆）块相关矩阵的逆的简单表达式，以及其行列式的简单表达式，对块相关模型的文献做出了贡献。结果适用于具有任意块数的块相关矩阵。对于具有两个块的块相关矩阵，Engleand Kelly（2012，引理2.3）给出了其逆表达式，Viana和Olkin（1997）给出了相关结果。我们应用块结构来估计一个大型资产组合的年度协方差矩阵，这些资产组合的日收益率为26个日历年。块结构使得估计和操作大型协方差矩阵成为可能。后者可用于计算偏相关。我们的实证结果预览如图1所示，其中我们使用颜色代码展示了2019年（左）和2020年（右）3340只美国股票的估计相关矩阵。采用区块结构进行估算，假设两项资产之间的相关性由其所属的子行业确定。

根据截至2020年的全球行业分类标准（GICS）代码对子行业进行分类。实线显示了11个GIC行业的边界：能源（10）、材料（15）、工业（20）、非必需消费品（25）、主要消费品（30）、医疗（35）、金融（40）、信息技术（45）、通信服务（50）、公用事业（55）和房地产（60）。这些3340×3340相关矩阵中的每一个都是用2019年和253天的252个每日收益向量估计的ailyhttps://en.wikipedia.org/wiki/Global_Industry_Classification_StandardFigure1：根据2019年（左）和2020年（右）的每日收益，估计3340×3340个区块相关矩阵，其中区块结构由子行业确定（K=152个区块）。2020年回归。2020年的相关性通常大于2019年。鉴于2019冠状病毒疾病流行对2020的金融市场损坏的影响，这并不令人惊讶。估算的相关性揭示了与其他子行业基本不相关的部门和子行业（与黄金和其他贵金属、生物技术和制药相关）之间有趣的差异。更多细节见第5节。作为我们理论结果的预览，考虑n×n等相关矩阵，C=1 ρ ··· ρρ 1...............ρρ ··· ρ 1,其特征值为1+ρ（n-1） 和1- ρ、 其中后者具有多重性n- 1.这直接来自光谱分解，QCQ=D=1+ρ（n）- 1) 00 (1 - ρ） 在-1., （1） 其中Q是正交矩阵，即QQ=In，参见Olkin和Pratt（1958）。这里是n×n单位矩阵。矩阵Q由Q=（vn，vn）给出⊥), 其中vn是n维向量，vn=(√N

,√n） ，和vn⊥是n×（n）- 1） 与vn正交的矩阵，即vn⊥vn=0，并且是正交的，即vn⊥越南⊥= 在里面-1.现在可以验证QQ=InandC=QQCQQ=QDQ。在本例中，D是C的标准形式，通过C的旋转获得，其中旋转矩阵Q不依赖于ρ。在本文中，我们对一大类分块矩阵进行了类似的分解，其中包括作为特例的分块协方差矩阵和分块相关矩阵。在具有多个块的通用情况下，K≥ 2.规范化表示并没有完全理清所有的价值。标准表示将任何块矩阵分解为K×K矩阵和n- K实值特征值，其中K是块数。我们可以用2×2块相关矩阵C来说明一般结果=Cρn×noCρ其中，Cρ和Cρ分别是具有相关性ρ和ρ的等相关矩阵，维数分别为n×和n×n，1n×n是元素均等于1的n×n矩阵。现在就去=vn0 vn⊥0 vn0 vn⊥.对于这个2×2块的相关矩阵，我们有以下表示，QCQ=1+ρ（n）- 1) ρ√nn0ρ√nn1+ρ（n）- 1) 0 00 0 (1 - ρ） 在-10 0 0 (1 - ρ） 在-1.. （2） 我们用A表示左上角的2×2矩阵。一般来说，A将是K×K矩阵，这些值也是C的特征值。当n=1，v1⊥是一个1×0的“矩阵”，我们使用约定：v1⊥v1⊥=  （尺寸0×0）和V1⊥v1⊥= 0（尺寸为1×1）。这确保了我们的表达式也适用于特殊情况，其中一个或多个块的大小为1。如定理1所示，其结构类似于（2）。重要的是，矩阵Qdoes不依赖于块矩阵中的元素，而是完全由块划分（n。

，nK），其中n=n+···+nK。对于一般的分块矩阵，可以得到标准表示，它不需要对称，也不需要正半限定。事实上，我们的结果适用于非平方矩阵。块协方差矩阵和块相关矩阵是重要的特例。对于块相关矩阵，如第3节所述，（2）中出现的A矩阵之前在Huang and Yang（2010）和Cadima et al.（2010）中建立。我们推导了块相关矩阵的附加结果，简化了各种矩阵变换和高斯对数似然函数的计算。本文的其余部分组织如下。我们在第2节给出了主要结果，其中为一大类分块矩阵建立了规范表示，以及一些矩阵函数的相关结果。我们还介绍了多变量回归中块体结构的各个方面。在第3节中，我们考虑了块协方差矩阵和块相关矩阵的特殊情况。如我们在第4节中所示，这些结果中的许多对于高斯对数似然函数的最大似然估计是有用的。在第5节中，我们展示了我们对一大组每日股票收益的块协方差矩阵的实证分析。我们在第6节中得出结论，所有证据见附录。一个单独的附录，包含额外的实证结果、从块相关矩阵计算部分相关性的表达式，以及我们实证分析中使用的Matlab代码。2分块矩阵的标准表示设B为平方n×n矩阵。矩形矩阵的扩展很简单，将在本节末尾讨论。矩阵B被称为带分块的分块矩阵。

，nK，如果可以表示为：=B[1,1]B[1,2]···B[1，K]B[2,1]B[2,2]。。。。。。B[K，1]B[K，K],其中B[k，l]是具有以下结构的nk×NL矩阵B[k，k]=dkbkk·····································。。。。。。。。。。。。bkkdk和B[k，l]=bkl···bkl。。。。。。bklbkl如果k6=l，（3）对于某些常数，dkl和bkl，k，l=1，K.所以对角块的对角元素B[K，K]可以取不同于对角元素的值，而对角块中的所有元素B[K，l]，k6=l是相同的。我们介绍以下与正交投影有关的符号。设P[k，l]=vnkvnl为其元素均等于的nk×nl矩阵√nknl。很容易验证P[k，m]P[m，l]=P[k，l]，当k=l=m时，P[k，k]P[k，k]=P[k，k]，因此P[k，k]是投影矩阵。然后是P⊥[k，k]=墨水- P[k，k]是一个投影矩阵，它可以使P⊥[k，k]=vnk⊥娱乐城⊥, 矩阵在哪里⊥, 在导言中描述了这一点。最后，我们定义了n×n矩阵xq=vn0··vn⊥0···00 vn0 vn⊥............0··vnK0··vnK⊥,并观察到Q是一个正交矩阵，其特征是恒等式QQ=I。Q的Firstk列可用于在每个K块内形成平均值，而Q的剩余列捕获每个块内的“差异”。这两组列跨越正交子空间，对应于块分解的不同组件。请注意，QI仅由块分区n…定义，因此，它对块矩阵中元素的实际值是不变的。定理1。假设B是块划分为n的块矩阵，nK。然后b[k，l]=aklP[k，l]+1{k=l}λkP⊥[k，k]，对于k，l=1，K、 其中akl=bkl√对于k6=l，akk=dk+（nk- 1） bkk，λk=dk- bkk。

此外，B=QDQ，D=0··00λ英寸-1.0··0λ扭结-1., （4） 其中A={akl}Kk，l=1∈ RK×K。矩阵Q将B旋转为其标准形式D。Q的前K列跨越B的空间，该空间与A和B的共同特征值相关。最后的- Q的K列是B的剩余特征向量。对于任意矩阵B，我们不希望QBQ在特定条目中有零。块体结构施加了一种稀疏性。它不是将稀疏性强加于B，而是将其应用于QBQ。定理1可以用来描述B的性质，并简化一些矩阵变换的计算。其中包括矩阵指数exp（B）=P-∞j=0j！Bj和矩阵对数表示logb，它是exp（B）的逆。矩阵指数和矩阵对数用于空间模型，见LeSage和Pace（2007），在多元波动性模型中，如Kawakatsu（2006），Maheu和McCurdy（2011），Asai和So（2015），andArchakov等人（2020），并在马尔可夫过程中发挥中心作用。矩阵对数并非总是定义得很好，但对于正定义的对称矩阵，B=V∧V，其中∧是具有B的特征值的对角矩阵，ξ，ξn，我们只需要log B=V diag（logξ，…，logξn）V推论1。假设B是上文定义的块矩阵。（i） B的特征值是A的奇异值，λk=dk-bkk（后者带有多重性nk）-1） k=1，K、 使得det B=det（A）λn1-1··λnK-1K。（ii）B是可逆的，当且仅当A是可逆的且dk6=bkk时，对于所有k=1，K.（iii）当aq和λqk，K=1。

在这种情况下，bq与B具有相同的块体结构，块体由bq[K，l]=a（q）klP[K，l]+1{K=l}λqkP给出⊥[k，k]，D的重复对角线元素（对于k≥ 3） 意味着额外的结构。其中AQKL是Aq的第kl个元素，对于k，l=1，K.（iv）B的矩阵指数与B具有相同的块结构，块由exp（B）[K，l]=aexpklP[K，l]+1{K=l}eλkP给出⊥[k，k]，其中aexpkl是exp A的第k个元素，对于k，l=1，K.（v）如果对数A和对数λK，K=1，K、 存在时，则log B与B具有相同的块结构，块由log（B）[K，l]=alogklP[K，l]+1{K=l}logλkP给出⊥[k，k]，其中alogklis是log A的第k个元素。因此，对于q的所有正整数，以及矩阵逆，B，bq都有很好的定义-1存在于A可逆且λk6=0时，对于所有k=1，K、 在这种情况下，对于q的其他负整数，Bq也有很好的定义。对数、对数A和对数（dk- 如果A是可逆的，dk-bkk6=0。这可能会导致矩阵运算的复数解。如果需要实值解，则条件是a为正定义，dk为正定义- 对于所有k=1，…，bkk>0，K.2.1具有Kronecker表示的块矩阵在特殊情况下，可以进一步简化许多表达式，其中所有块大小相同，即n=n=…=在这种情况下，我们有b=A P+λ P⊥, 其中P是n×n矩阵，所有条目中都有1/n，P⊥= 在里面- P，∧=diag（λ，…，λK）。在这种情况下，h（B）=h（A）P+h（λ）P⊥, 其中，h（·）表示矩阵逆、矩阵指数或矩阵对数，前提是这些参数定义明确。2.2矩形块矩阵B有块的情况下，B[k，l]∈ Rnk×nl，如（3）所述，其中k=1，Kand l=1，K、 K6=K，这样B是一个非方矩阵。

设K=max（K，K）并假设K>K。我们将零矩阵与B连成一个＠B=（B，0）是一个带分块的平方矩阵，n，nK。我们的结果适用于B，因此B=qdq具有标准形式和B=QDQ，其中Q由Q的第一个n+···+K列组成。如果K>K，我们可以定义B=（B，0），结果类似。我们将在下一小节中使用矩形块矩阵。2.3对多变量回归的应用块矩阵可用于对具有多个回归器、多个结构变量和多个因变量的回归模型施加结构。考虑带有平稳变量的标准回归模型，Yt=βXt+εt，t=1，n和Xt∈ Rq。如果q相对于n较大，则可能需要使用合适的块结构来估计∑xx=E[XtXt]。如果Yt∈ Rpisalso高维，人们可能还想在E[XtYt]上施加块结构。类似的问题出现在许多仪器的回归中，Zt，我们可以在E[XtZt]上施加块结构。定理2。假设（Xt，Zt）是静止的，且具有有限的二阶矩∈ Rqand Zt∈ RMM≥ q、 设∑zx=E[ZtXt]，并假设∑zx=[∑zx，0m×（m-q） ]具有锁紧结构，其中Xt=（Xt，01×m-q） 。那么∑zx=QDzxQ，其中Dzx=diag（A，λIn-1.λ扭结-1） 可以一致地估计，如T→ ∞, 其中^A=TTXt=1V0，tW0，tand^λk=TTXt=1Vk，tWk，tnk-1，k=1，K、 在哪里≡ QXT和Wt=QZt。