谁应该接种疫苗？疫苗的个体化分配

装置i和j之间溢出的大小（即疾病传播的概率）不仅取决于Aijb，还取决于它们之间的接触时间和允许不对称的传播率。因此，我们有一个针对溢出的有向加权网络结构，如下文所示。现在，让我们介绍一下我们在下面几节中使用的符号。首先，vi是个体疫苗分配规则（即，如果第一单元接种了疫苗，vi=1）。让v表示（v，…，vN）∈ {0，1}N和X表示（X，…，XN）∈RN×dx。设Sibe为第一阶段的易感状态指标（即Si={H0i=S}），设III为第一阶段的感染状态指标（即Ii={H0i=i}），并设Ribe为第一阶段的恢复状态指标（即Ri={H0i=R}）。此外，让| Ni |表示单元i的邻域数（即| Ni |=PjAij）。2.1异构交互SIR模型为了测量个性化的转移概率，我们使用HI-SIR模型。我们的模型是在两个时间段的简化设置中离散时间定义的。在第一阶段，我们观察每个单位H的健康状态，属于S（易感）、I（感染）、orR（恢复）、Si+Ii+Ri=1。（1） 在第二个阶段中，状态变量是H。与H相比，Hin还包括一个状态D（死亡）。{H1i=S}+{H1i=I}+{H1i=R}+{H1i=D}=1。（2） 如果没有疫苗，该州可能会从易受感染状态转变为恢复或死亡状态。现在，我们在引入疫苗后考虑环境。一般来说，接种疫苗有两个目的：第一个是限制疾病传播，第二个是治疗。接种疫苗可以增强免疫系统，从而促进康复。然而，疫苗接种的有效性（即恢复的接种单位百分比）尚不清楚。为了简单起见，我们假设假设2.2成立。假设2.2。

（PT）完美治疗：接种疫苗的单位进入恢复状态，而不管其之前的状态（即Pr（H1i=R | vi=1）=1）。为了进一步简化设置，我们根据其特征将所有单元拆分为若干不相交的组。各组之间的感染率各不相同。这种设置可以扩展到个人层面，但在这种情况下，需要知道微观层面的感染率。在这里，我们考虑两组人，并使用年龄作为二元指标：G（年轻）和G（老年）。我们现在定义了AIA并对集团指标进行了偏差（即ai={Xi∈G} 和bi={Xi∈G} ）。我们指定SIR模型中的一个关键组成部分，单位i的感染率为：qi=hβPj∈NiIj（1）- vj）aj | Ni |+βPj∈NiIj（1）- vj）bj | Ni | i·ai+hβPj∈NiIj（1）- vj）aj | Ni |+βPj∈NiIj（1）- vj）bj | Ni | i·bi，（3）其中βsk=-κsln（1- csk），Cski是s组和k组接触后疾病成功传播的概率（即c测量年轻组内从一个单位到另一个单位的传播概率，cis是从老年组的一个单位到年轻组的一个单位的相应传播概率，cand和c的定义类似），κsis是s组每个时间段的平均接触人数。βsk描述了s组和k组之间疾病的有效接触率。方程式3的推导可在附录中找到。在上述表达式中，Ij（1- vj）指易感个体只能被感染但未接种疫苗的邻居感染。这些邻居可能来自不同的群体。我们计算各组中邻居的比例，并将其乘以相关的风险参数。

风险参数βsk衡量的是k组中的可疑个体在一段时间内被s组中的感染个体感染的概率。我们现在将{γ，γ}分别定义为第1组和第2组的治愈率和{δ，δ}感染死亡率。考虑到这一点，我们可以将受感染单位i停留在感染状态的概率表示为：pi=1- ai（γ+δ）- bi（γ+δ）。（4） 由于康复和死亡的概率完全取决于个人的身体素质，因此方程4中没有相互作用的部分。到感染状态的转移概率为：PIi（v）≡ Pr（H1i=I | X，v，A，H）=Siqi·（1）- vi）+Iipi·（1）- vi）。（5） 在上面的表达式中，未接种疫苗的单位被感染的概率由两部分组成。第一个是健康单位被感染的概率。第二个因素是第一阶段感染者保持感染状态的可能性。在假设2.2下，接种疫苗的单位感染的概率为零。类似地，到敏感状态的转移概率为：PSi（v）≡ Pr（H1i=S | X，v，A，H）=1.- 六、- 齐（1）- 六）· 硅。（6） 未接种疫苗的单位只能通过感染退出易感状态。因此，保持易感状态的概率随着风险参数βsk而降低，这取决于受感染邻居的数量和与他们接触的数量。剩下的两个州不依赖于网络结构。首先，到覆盖状态的转移概率：PRi（v）≡ Pr（H1i=R | X，v，A，H）=vi+Ri+Ii（aiγ+biγ）· (1 - vi）。（7） 在上面的表达式中，恢复有两个不同的来源。一种是疫苗，另一种是自我免疫。自我免疫的效果是异质的，并且随着个人特征的不同而不同。每组中建立免疫力的概率是γ，γ。

最后一种状态是，这也可以被认为是一种潜在的假设，这在流行病学文献（例如Pesaran和Yang（2020））中普遍使用。这可以被认为是一个简单的假设，表明死亡率并不取决于医院备用容量的可用性。该等式中的一个假设是，覆盖单元再次受到影响的概率为零。我们在第7节中放宽了这一假设。死亡，发生概率为D（v）≡ Pr（H1i=D | X，v，A，H）=Ii（aiδ+biδ）·（1）- vi）。（8） 2.2最佳疫苗分配问题在伊曼纽尔等人（2020年）中，一组医学伦理专家建议，需要一种成功的疫苗来减少感染引起的死亡和发病率，也需要一种成功的疫苗来恢复经济和社会活动。根据这一建议，我们选择基线结果变量作为第二阶段健康概率的加权平均值。使用加权概率的想法是允许规划者制定灵活的政策目标。例如，如果规划者想把经济复苏的重要性纳入政策目标，她可能想更多地权衡那些能够对经济产出做出更大贡献的人健康的可能性。例如，计划者可以根据个人特征（包括工作时间和其他社会经济特征，即gi=g（Xi））指定个人的权重。我们假设每个单位的重量都是非负的。考虑到这些因素，等式（9）将疫苗分配政策的目标指定为一个约束优化问题：maxv∈{0,1}NNNXi=1giXh∈{S，R}Phi（v），（9）S.t.NXi=1vi≤ d、 其中φ（v）=Pr（H1i=h | X，v，A，h），（11）和d≥ 1是外生基数约束的正整数。

上述目标函数的主要思想是，通过在第一阶段结束时适当分配d剂疫苗，使第二阶段处于易感或恢复状态的加权概率最大化。在方程（9）中，Phi是描述h的概率的非均相态转移函数∈ 第二个周期中的{S，R}。这种转移概率取决于个体的协变量和之前的状态，包括是否接种疫苗，以及相关的网络结构。我们采用HI-SIR模型来描述上述传递函数，这已在上一小节中提供。一个相关的问题是：疫苗分配会改变网络结构吗？是的，这个表达式中的假设是，对于每个单元，可接受状态和恢复状态的权重都是相同的。这是一个简化的假设，如果我们想要区分易感状态和恢复状态，可以放松这个假设。将改变接种疫苗单位的行为。例如，与未接种疫苗的单位相比，接种疫苗的单位更喜欢呆头呆脑。鉴于此，在分配疫苗后，每个时间段的接触人数κ和网络结构A都会发生变化。我们的框架允许网络结构发生变化，但在只有接种单位改变其行为的特殊情况下，不会影响疫苗的最佳分配。这是因为在我们完美的治疗假设下，接种疫苗的单位不再传播疾病或被感染，他们的行为变化不会影响邻居和他们自己的健康状况。另一方面，我们的框架不能适应未接种疫苗的单位也会改变其行为的一般情况，因为如果是这样，目标函数中的异质SIR参数会随着疫苗分配而改变。

为了实现这种情况，我们可以在第二个周期中加入关于κ和A值的不确定性，例如，通过优化目标函数，该目标函数将SIR参数的期望值作为邻接矩阵的条件v。然而，我们在本文中不考虑这种扩展，并将此主题留给未来的研究。3估计为了使用HI-SIR模型测量个体风险水平，我们需要知道相关的SIR参数：传播率（即β，β，β，β）和恢复率（即γ，γ）。由于我们无法观察到这些参数的真实值，因此基于目标网络的（H，X）和A的样本内信息来评估目标函数（9）是不可行的。因此，我们假设可以访问单独的样本量数据集，也没有外部研究对其进行分析，从中我们可以对这些外生参数进行估计。我们构建了一个人口福利的经验模型（9），并最大化了可行的分配政策。为了在估计分配规则的福利绩效中反映SIR参数估计的精度，我们在推导福利后悔上限时明确考虑了参数估计的抽样不确定性。3.1 SIR参数的估计感染率和死亡率的估计总是面临严重的数据缺失问题，如Manski和Molinari（2020）所述。Keeling和Rohani（2011）指出，通常情况下，研究人员首先估计生殖比R，即一名患者感染的平均个体数。R=β×γ。（12） 然后，感染率可以从估计的恢复率γ和R中得出。

在我们的案例中，生殖比率在群体水平上是异质的。R0sk=βsk×γss、 k=1，2，（13），其中R0ski是由k组中的一名患者导致的s组中的感染人数。我们需要估计第1组和第2组中一名患者的年轻感染者和老年感染者的平均人数，以及每组的恢复率。给定这些值，我们可以从方程（13）中估计β，β，β。备注3.1。我们不讨论本研究中估算模型参数的理想程序，因为估算器的选择取决于数据类型（例如血清流行率数据、报告病例数据等）。详见Keeling和Rohani（2011）。对于COVID-19传输，在包括Fern N ANDEZ VILLAVEDE和琼斯（2020）、弗格森等人（2020）和科罗廖夫（2021）的若干论文中已经进行了均匀RAND其他SIR参数的估计。他们指出，由于缺乏可靠数据，在大流行早期校准关键参数存在困难，这推动了曼斯基和莫利纳里（2020年）和斯托耶（2021年）的部分识别分析。然而，我们的方法假设可靠的点估计可用，并且不允许对SIR参数进行设置估计。参见Ellison（2020年）和Akbarpour等人（2020年），了解非均质SIR参数的最新估计。3.2二次整数规划将参数估计插入我们的HI-SIR模型中，我们现在有了人口最大化问题（9）的样本模拟，即AxV∈{0,1}NWn（v），s.t.NXi=1vi≤ d、 式中，Wn（v）=NNXi=1giXh∈{S，R}Phi（v）。（14） 我们可以将这种优化描述为二次整数规划（QIP）问题，在网络上的分配问题中，它与库普曼和贝克曼（1957）的二次分配问题（QAP）同义。

我们可以将wn（v）表示为wn（v）=NNXi=1givi+hRi+（ai^γ+bi^γ）Iii（1- vi）+MiSi（1）- 六）| {z}健康概率（15），其中mi=1-PNj=1（βaiaj+βaibj+βbiaj+βbibj）AijIj（1- vj）| Ni |。（16） 对于等式（15）中的健康概率，v中有两个线性项和一个二次项。第一项衡量疫苗接种的直接影响。接种疫苗的人100%不受感染。最后两个术语描述了未接种疫苗的单位不受感染的可能性。受感染的单位自然恢复的概率为{γ，γ}，这取决于它们自身的特征。对于那些在第一阶段已经康复的单位，他们在第二阶段没有感染。最后一部分考虑了疫苗接种的间接影响。对于易感单元，其被感染邻居感染的概率用交互项总结。去除方程（15）中的所有常数部分后，我们得到一个简化的目标函数（即Wn（v）=Fn（v）+常数）：Fn（v）=NXi=1^civi+NNXi=1 | Ni | NXj=1Tij（vi+vj）- vivj），（17）式中^ci=gi1.- 里- （ai^γ+bi^γ）Ii- 硅/N、 （18）Tij=giβaiaj+βaibj+βbiaj+βbibj艾吉西。（19） 由于FN与Wn的区别仅在于一个加性常数（取决于网络结构和第一阶段的个体特征），因此最大化FN相当于最大化原始经验福利函数Wn。因此，从现在开始，我们将把Fn（v）作为我们的新目标函数。在Fn（v）中，有一个二次项加上v中的线性成分。目前的软件可用于解决一般的QIP问题，如CPLEXand Gurobi。然而，这两种应用都需要一个对称的加权矩阵，这在我们的例子中并不成立。

这种不对称性来自于感染过程，因为疾病只能从感染单位传播到易感单位，但事实并非如此。我们将在下一节讨论如何通过显示和利用目标函数的子模属性来解决这个QIP问题。4.优化。1子模块我们在上一节中展示了，我们可以将我们的目标函数表述为QAP。这类问题被称为NP难和NP难近似问题（Cela，2013）。一般来说，我们无法在多项式时间内解决QAP问题，这在实践中是一个问题。然而，我们将证明疫苗分配问题中的二次整数规划可以与子模块优化问题联系起来。子模块化的好处在于，现有的现成算法可以在精确的多项式时间内解决子模块最小化问题，并在多项式时间内近似解决容量受限的子模块最大化问题。Nemhauser等人（1978年）的开创性结果为近似的质量提供了一个普遍的界限，详见下文第4.2节。定义4.1（子模块功能）。设N={1，2，…，N}。实值集函数f:N→ R是子模当且仅当，对于所有子集A，B N、 我们有：F（A）+F（B）≥F（A）∩ B） +F（A）∪ B） 。简单来说，子模块化描述了收益递减特性。平均健康概率的轻微增加减少了接种疫苗的人数。这个特性对于最大化算法至关重要。

为了便于解释，我们将简化的经验福利Fn表示为带参数V的集合函数∈ 2N，其中疫苗分配的二元载体v∈ {0，1}和V对应于V={i∈ N:vi=1}:Fn（V）=V|W V+C|V- 1 | N×1^W v- v|^W 1N×1，（20）式中^C=^c。。。^cN, 1N×1=...,^W=^w^w··^w1N^w^w··^w2N。。。。。。。。。。。。^wN 1^wN 2··^wN N, （21）^wij=-Aijgi | Ni |N（βaiSiajIj+βaiSibjIj+βbiSiajIj+βbiSibjIj）。（22）然后我们表示受基数约束|V|的可行分配集V的类≤ d由Vd提供≡ {V∈ 2N:|V |≤ d} 。由于接种额外的个体不能减少自身费用，Fn是一个非递减集函数，即对于任何V 五、 Fn（五）≤ Fn（V）。如（20）所示，Fn的二次函数形式可以与一个称为割函数的经典子模函数相联系。割函数在组合优化和图论中得到了很好的研究。我们应用了该文献中的一些结果（如Bach（2011））。引理4.1。让我们∈ RN×Nand^C∈ 注册护士。然后设置函数Fn:v7→ v|^W v+C|v-|N×1^W v- v | W 1N×1是子模当且仅当^wij≤ 0I6=j。关于Fn的非递减性质的形式证明，参见定理4.1的证明。证据见附录。注意，这个引理中所示的子模块化的必要和充分条件不同于矩阵^W的负半唯一性。由于^wijar中的所有参数都是非负的，所以我们必须有^wij≤ 0, i、 j=1。。。，N.这立即导致以下定理：定理4.1。目标函数Fn（V）是一个非递减的子模函数，用于任何邻接矩阵、协变量值和参数估计。定理4.1是本文的关键结果。它描述了目标函数的两个重要性质；单调性和子模块性。