谁应该接种疫苗？疫苗的个体化分配

我们利用这两个特性来证明贪婪最大化算法的使用，如下一小节所示。4.2贪婪最大化算法子模函数的贪婪最大化算法已经被研究并经常使用了40多年。Nemhauser等人（1978年）首先介绍了我们研究的算法的性能保证。该算法本质上使用了子模函数的递减返回特性。其思想是迭代选择最有价值的元素，直到达到容量限制。在每一轮中，算法计算O（N）函数，以确定每个元素的边际增益。轮数取决于容量约束d。因此，greedyalgorithm的计算复杂度为O（N·d），远低于brute forcesearch的计算复杂度。算法1给出了贪婪最大化算法，该算法应用于经验福利的最大化（20）。算法1：容量约束贪婪算法：输入：数据集{Si，Ii，Ri，ai，bi}Ni=1，{Aij}Ni，j=1，估计参数{β，β，β，β，β，γ，γ}，权重{gi}Ni=1和容量约束d；：初始化：从空集开始V= ;如果| V |<d那么：对于每一个我∈ N\\V do：计算边际增益Fn（V+{i}）- Fn（V）；：选择使边际收益最大化的i，并将其添加到集合V中；Elsere把电视机调成V；一般来说，贪婪算法没有性能保证。然而，Nemhauser等人。

（1978）对于具有基数约束（即我们的例子中的容量约束）的非递减子模函数，贪婪最大化算法保证产生分配规则^V∈ VD满足Fn（^V）≥ (1 - αd）Fn（^V*),^V在哪里*∈ VD是容量约束下的约束最优解，α是仅依赖于d的正常数≥ 1和αd≥ 1/e适用于所有d≥ 1.这个开创性的结果意味着贪婪最大化算法为非递减子模函数Fn（^V）提供了一个通用的优化保证≥ (1 - 1/e）Fn（^V）*) ≈ 0.63Fn（^V）*). 由于我们在定理4.1中证明了我们的目标函数是非递减的和子模的，我们得到了以下定理，作为定理4.1和Nemhauser et al.（1978）的直接推论。定理4.2（Nemhauser等人，1978年）。让Fn:N→ R是（20）和^V中定义的简化经验福利函数*∈ arg maxV∈VdFn（V），d≥ 1.贪婪算法显示算法1输出^V∈ vd这样的fn（^V）≥ (1 - αd）Fn（^V*) ≥ (1 - 1/e）Fn（^V）*), （23）其中1- αd≡ 1.-1.-D在d中非单调递减并收敛到1- E-1asd→ ∞.4.3目标约束直到现在，我们在疫苗分配规则中只考虑了一个简单的容量约束。事实上，除了目标函数中的权重规定之外，决策者可能希望通过限制每组接种的疫苗数量，将某些群体置于其他群体之上。例如，政策制定者可能会限制那些可以在家工作的人获得疫苗。

因此，必须存在一个属于E\\D的elementx，这样| D∪ {x}∩ N|≤ 丹德∪ {x}∩ N|≤ d、 该问题的最优处理分配服从一个划分拟阵约束，使得Fn（V）在V上最大∈ I.以下算法2保证产生解^V∈ I.受分区拟阵约束的贪心最大化算法对非递减子模函数的性能至少达到最优福利的50%。算法2：目标约束贪婪算法：输入：数据集{Si，Ii，Ri，ai，bi}Ni=1，{Aij}Ni，j=1，估计参数{β，β，β，β，β，γ，γ}，权重{gi}Ni=1，容量约束d，目标约束d，d；：初始化：从空集开始V= ;如果| V |<d那么：对于每一个我∈ N\\V do：计算边际增益Fn（V+{i}）- Fn（V）；：按边际收益递减的顺序进行排序。ifPj∈Vaj+ai（1）≤ D∩Pj∈Vbj+bi（1）≤ 然后：把i的第一个元素加到V中；否则：用剩余的i重复步骤6；返回集合V；endProposition 4.1（费希尔等人，1978年）。让Fn:N→ R是（20）和^V中定义的简化经验福利函数**∈ arg maxV∈干扰素（V）。算法2所示的贪婪最大化算法输出^V∈ 我这样认为fn（^V）≥Fn（^V）**). （26）带目标约束的贪心算法的性能保证比算法1的性能保证差。这意味着在附加约束和计算精度之间进行权衡。在下一节中，我们将讨论由上述贪婪算法估计的分配规则的福利界。4.4完美治疗假设和子模块化呼叫假设2.2（完美治疗）：接种疫苗的单位进入恢复状态，无论其先前的状态如何（即Pr（H1i=R | vi=1）=1）。

有三种可能的方法可以放松这一假设：o恢复的单位仍然可以传播疾病。o在一段时间（几个时间）后，回收的装置将变得易受影响一些接种疫苗的单位仍然易感或感染。在第一种情况下，如果患者在H时康复，她将在第一个时期传播疾病。在这种情况下，感染率qi将考虑i单元的恢复邻居。然而，这不会改变加权矩阵的符号，hencesubmodularity（根据定理4.1）仍然成立。在第二种情况下，如果单位i在第一个周期（即H0i=R）恢复，她可能在第二个周期（即H1i=S）变得易感。然后，她可能在下一个时期感染（即H2i=i）。然而，我们在这项工作中只考虑一个时间段的设置，这排除了这种风险。在第三种情况下，改变这个百分比只会影响目标函数中线性项的系数（即^ciinequation 17），这与子模块无关。5.遗憾的边界根据Manski（2004）和随后关于统计处理规则的文献，我们使用EGRET来评估我们的疫苗分配算法的性能。让F:N→ Rbe（20）中Fn（·）的人口模拟物，其中估计的参数被真理取代。预期后悔衡量的是使用约束最优分配规则V和*∈ arg maxV∈VdF（V）并使用从算法1获得的约束估计贪婪算法^V:F（V*) - EPnF（^V）= EPnF（V）*) - F（^V）≥ 0，（27）式中，EPI是外部研究中参数估计的抽样不确定度的期望值。在这项工作中，我们假设有效接触率和回收率的一致估计值可以从其他研究中获得。

一般来说，除了假设5.1需要保持不变外，对估值器没有要求。假设5.1。设^βsk表示s组和k组之间有效接触率的估计值，^γsde表示s组中回收率的估计值。以下属性需要保持：^βsk- βsk≥ o≤ 2e-2ns、 k=1,2。（28）Pn|710;γs- γs|≥ o≤ 2e-2ns=1，2，（29），其中Pis是另一个样本量为n的研究中的抽样分布。上述假设是通过应用Hoeffding’slarge偏差不等式（Hoeffding，1963）获得的指数尾界。由于β是s组和k组之间疾病的有效接触率，γ是s组的恢复率，因此这两个值自然地结合在[0,1]中。因此，常见的估计器（例如，样本模拟）满足上述条件。然而，其他尾界可能适用于其他一些估计量，它们不一定具有与上述尾界相同的形式。我们的方法可以适应各种尾界，例如与最大似然估计相关的尾界（Miao，2010）。接触率和恢复率的估计值可能来自不同样本量的不同研究。在这种情况下，我们可以将假设5.1中的n视为研究中最小的样本量。为了推导福利遗憾的一致收敛速度，我们将福利遗憾分解为以下三个部分。F（V）*) - F（V）=F（V*) - Fn（^V）*)| {z}+Fn（^V）*) - Fn（^V）|{z}+Fn（^V）- F（V）{z}，（30）其中V*是甲骨文的最佳版本吗*= arg maxV∈VdF（V），^V*是估计福利^V的约束最优解*= arg maxV∈VdFn（V），而^V是在容量约束下的greedymaximization算法的输出。因此，1描述了如果可以精确计算约束最优值，我们将获得的遗憾。2.衡量贪婪算法带来的福利损失。

3表示使用估计目标函数而非真实目标函数造成的损失。我们分别计算每个分量的上界，然后合并它们。首先，我们从1的上界的推导开始。这一部分类似于北川和泰特诺夫（2018）的方法。在看V之前*, 考虑一下下面的不平等，这对anyeV来说是成立的∈ Vd:F（eV）- Fn（^V）*) ≤ F（eV）- Fn（eV）∵ Fn（^V）*) ≥ Fn（eV）≤ supV∈Vd | Fn（V）- F（V）|。（31）由于上述不等式适用于alleV的F（eV），因此也适用于V*:F（V）*) - Fn（^V）*) ≤ supV∈性病Fn（五）- F（V）. （32）对于第二个分量，我们可以通过应用定理4.2:Fn（^V）获得上界*) - Fn（^V）≤eFn（^V）*)≤e（Fn（^V*) - F（^V）*)) +eF（V）*)≤EFn（^V）*) - F（^V）*)+eF（V）*)≤esupV∈性病Fn（五）- F（V）+eF（V）*).（33）与第一个分量类似，第三个分量的界限为：Fn（^V）- F（^V）≤ |Fn（^V）- F（^V）|≤ supV∈Vd | Fn（V）- F（V）|。（34）综合前面的所有结果，我们得到了遗憾的上界：F（V）*) - F（^V）≤2+esupV∈性病Fn（五）- F（V）+eF（V）*).（35）与计算^V时的后悔上限相比*, （35）中所示的上限还有一个额外的术语esupv∈性病Fn（五）- F（V）+eF（V）*). 这个附加项来自等式（33）并捕获了使用贪婪算法导致的福利损失。正如我们在下面描述的，第一项收敛为零，即n→∞ 在假设5.1下，第二项与参数估计的准确性无关。第6节中的模拟研究评估了贪婪算法的优化误差的大小，并在数值上表明贪婪算法至少在小网络情况下（N=35）产生了精确的最优值。

基于此，我们认为贪心算法的优化误差项远小于普遍理论界（V*).在划分拟阵（目标约束）的情况下，通过应用命题4.1并重复参数推导（35），我们得到了f（V）**) - F（^V）≤supV∈我Fn（五）- F（V）+F（V）**),（36）其中V**是目标约束下的甲骨文最优值，V**∈ arg maxV∈如果（V）。为了约束supV∈性病Fn（五）- F（V）, 我们使用三角形不等式来确定Fn（五）- F（V）:Fn（五）- F（V）=v |（W）- W）v+（^C）|- C |）v- 1 | N×1（^W）- W）v- v |（W）- W）1N×1≤v |（W）- W）v+（^C）|- C |）v+|N×1（^W）- W）v+v |（W）- W）1N×1≤ 五|^W- W五+（^C）|- C |）v+1 | N×1^W- Wv+v|^W- WN×1，（37），其中矩阵或向量的绝对值代表元素绝对值。因此，我们可以分解最大偏差supV∈五、Fn（五）- F（V）分成四部分：supV∈性病Fn（五）- F（V）≤ supV∈Vdv|^W- Wv+supV∈性病^C|- C|v+supV∈Vd | N×1^W- Wv+supV∈Vdv|^W- WN×1。（38）在假设5.1下，我们可以得到^W中每个元素的平均值的上界- W和^C- C、 如下一个引理所示。引理5.1。在假设2.1、2.2和5.1下，我们得到了EPN^wij- wij≤r1+ln（2）2nAijgiN，EPn | ci- |≤r1+ln（2）2nigin。（39）将这个引理与方程（35）和（38）相结合，我们得到以下定理：定理5.1。设NM=maxi∈N | Ni |，NIbe表示感染单位的总数，g=maxi∈Ngi。在假设2.1、2.2和5.1下，我们得到了EPNHF（V*) - F（^V）i≤\'C·gd min{NM，d}+2dNM+min{NI，d}Nrn+eF（V）*), （40）式中，C是一个通用常数，d是可用疫苗剂量的数量。上述定理的证明见附录。在定理5.1中，我们给出了预期后悔的无分布上界。

我们证明了上界的收敛速度取决于网络数据样本大小N以及估计SIR参数的样本大小。同时，由于网络的复杂性和风险性，后悔上限也在增加。直觉是，当网络中的最大边数和感染个体数增加时，我们的算法更难识别最有价值的单元。最大个人权重也会提高后悔的上限。此外，我们的算法发现，当可能的组合数量增加时，识别最佳分配规则变得更加困难，而这种情况发生在容量约束放松时。这也意味着隔离的好处。由于隔离控制网络中的最大连接数，ZF的此类政策提高了疫苗分配的有效性。因此，我们的模拟练习证明，用隔离来补充疫苗分配政策是有利的。6模拟练习在本节中，我们使用Erd–os Renyi模型生成随机社交网络。在下表中，我们使用100个不同的网络，并取所有网络中结果变量的平均值。我们进一步展示了样本福利的标准差，以了解网络结构的变化。我们选择将一个单元分配给第1组的概率为40%，将一个单元分配给第2组的概率为60%（即P（Xi=G）=0.4和P（Xi=G）=0.6）。在流行病学文献中，研究人员通常会发现SIR参数的稳定状态。为了识别SIR参数变化的影响，我们选择两组不同的参数值来进行模拟。

在我们的整个模拟研究中，我们在参数估计中不考虑采样误差，而是专注于在真实参数值中优化福利。表1总结了我们使用的SIR参数的所有值。参数集1参数集2参数集1参数集2β0.7 0.8β0.5 0.5β0.5 0.7β0.6 0.7γ0.1 0.1γ0.05 0.025表1：SIR参数值汇总此外，为了确定网络复杂度的影响，我们选择了三种不同的密度0.1、0.5和1。这里，密度=1意味着网络是完全连接的（即完整的图形）。我们选择完全理解我们的启发式算法的行为，不仅在稀疏网络的情况下，而且在最密集的情况下。我们还比较了三种容量约束，d=7%N、10%N、20%N，以评估贪婪算法的边际性能增益。在下面的比较中，我们选择相同的权重。然而，我们在表5中显示了体重变化对接种疫苗的年轻单位数量的影响。在接下来的部分中，我们将贪婪算法与三种常见的分配规则进行比较。我们首先将我们的算法与蛮力法进行比较，以找出潜在次优贪婪解和蛮力最优解之间的差异。然而，随着节点数量和容量限制的增加，可能的组合数量急剧增加。我们不能使用大量的代理来计算模拟中的蛮力优化。有鉴于此，在第6.2节中，我们使用arandom分配规则作为基线来评估我们的算法在大型网络环境中的性能。我们比较贪婪算法的第三个分配规则是一个分配规则，它在不考虑网络信息的情况下分配疫苗。

我们将贪婪算法与第6.3.6.1节中的第三条规则进行比较，与蛮力分配规则进行比较贪婪算法蛮力能力约束TD=7%ND=10%ND=20%ND=7%ND=10%ND=20%ND=20%N参数集1N=500，密度=0.10.60 0.65 0.77 0.60 0.65 0.77（0.21）（0.22）（0.26）（0.21）（0.22）（0.26）N=500，（0.39）（0.39）（0.76 0 0.76 0 0.76 0 0.0 0 0 0 0 0 0 0 0.76 0 0 0.76 0 0 0.76 0 0.76 0 0 0.76 0 0 0 0.76 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.0 0 0）N=800 N=800，密度0 0 0.1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.58 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.58 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.38）（0.38）（0.38）N=800，（0.00）（0.00）（0.00）（0.00）（0.00）（0.00）（0.00）（0.00）（0.00）（0.00）（0.00）（0.00）（0.00）（0.00）（0.00）（0.00）（0.00）（0.00）（0.00）（0.00）（0.00）（0.0.00）参数）参数组参数参数组2 N N N N N N N N=500，密度=N=500，密度=0.1 0 0 0 0 0.1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0（0.00）（0.00）（0.00）N=800，密度=0.1 0.57 0.65 0.76 0.57 0.65 0.76（0.28）（0.30）（0.31）（0.28）（0.30）（0.31）N=800，密度=0.50.40 0.47 0.58 0.40 0.47 0.58（0.47）（0.47）（0.47）（0.47）N=800，密度=1 0.22 0.29 0.40 0.22 0.29 0.40（0.00）（0.00）（0.00）（0.00）（0.00）（0.00）（0.00）表2：100个随机网络的平均福利值（第二阶段健康的概率之和）（括号中的标准误差）。我们使用贪婪算法或蛮力算法来确定每个网络中的谁应该接种疫苗。由于定理4.2显示最优解和启发式结果之间的差距最大为37%，我们希望通过数值研究来探索这种理论差异。