无限效用流上的公平偏好关系

Alcantud和Garcia Sanz（2013，定理1）证明了X=YN满足Hamm ond equity和Pareto的任何社会福利函数都不存在，随着| Y |>4，当Y=N时，满足哈蒙德公平和弱帕累托（定理2）的社会福利函数的存在性。Dubey和Mitra（2014a）和Dubey（2016）也分别证明了满足强公平和Pigou-Dalton转移原则的社会福利函数的存在性的几个积极和消极结果。这一简要概述表明，在大多数分析中都存在以下再分配权益条件的特征（酒井的弱庇古-道尔顿转移原则（2010年）和酒井的成对哈蒙德权益（2016年）除外）。再分配等式公理的定义最多可以解释许多提高公平性的转换。这与帕累托公理的效率条件形成对比，后者允许任意多个方面的改进。我们认为，需要研究再分配公平公理的限制性特征，以丰富我们对道德社会关系的认识。下一小节将描述本文中提出的概括。1.2概括分配公平原则前面提到的公平条件的仔细分析表明，一般而言，减少不平等的转移仅限于公用事业领域m x中的许多基因，以获得首选公用事业领域y。Sakai（2010）和Sakai（2016）的两个例外。

在Sakai（2010）的弱Pigou-D a-lton转移原则和Sakai（2016）的成对Hammondequity的情况下，考虑了涉及多代人的再分配，但只考虑了一种特定类型的再分配，即进行涉及所有代人的再分配，并将福利再分配分为代理机构和下一代机构之间的再分配。然而，文献中没有考虑到更一般的转移机制（例如，在任意的有限代中）。值得注意的是，严格排序的传递性不需要进行弱帕累托公理要求，如果每一代人都比另一代人更富裕，那么一系列的效用就必须排在另一代之上。Dubey和Mitra（2015）扩展了他们的分析并证明了以下几点：只有当集合Y是有序的，才存在满足HE和弱Pareto-ifand的社会福利函数。另见Alcantud和Giarlotta（2020年，提案1和提案2）。从最后一刻到最后一刻。下面的例子描述了这种情况。考虑到效用流x=H1,0,1,1,1,0,1,1,0,1,1,0，·iz=H0.75,0.25,1,0.6,0.1,1,1,1,0,1,1,0，·i，其中（a）x中的第2代、第5代、第8代和第1代的效用水平为0，以及（b）z是通过对富和贫代理的前两个基因比例进行转移而从x中获得的，第四代（富人）和第五代（穷人），而不改变其他世代。强大的公平性使我们能够优先考虑r z到x。然而，如果我们考虑z′=h0。75, 0.25, 1, 0.6, 0.1, 1, 0.

6,0.1,1,0.6,0.1,1,0.6,0.1，·i，无论是强公平还是弱庇古-道尔顿转移原理都无助于比较z′（通过从（1,0）到（0.6,0.1）的大量不平等递减转移得到）和z，尽管从直觉上看，与z相比，更喜欢z\'是有意义的。本文的主要贡献是引入了强公平性和（弱或标准）Pigou-Dalton转移原理的一些广义变体，以便能够对上述z\'和z等公用事业流进行一致的排序。新的股权集中被称为广义股权（GE）和广义皮古-达尔顿转移原则（GPD）。在这项综合性研究中，我们报告了广义公平的新的有趣特征。我们的结果表明，广义公平原则与标准的强公平原则和Pigou-Dalto-n转移原则表现出相当不同的行为。与强公平的情况不同，当Y包含区间[0,1]时，不可能找到满足广义公平的二元关系。社会福利关系的存在是由集合Y的序类型决定的。在例1和例2中，我们展示了对效用域Y的结构的限制，为了获得满足广义公平性（和不确定性）的社会福利关系的存在，应该施加这种限制：引理2提供了一个充分条件，并表明当Y是序的时候，我们就可以进行排序社会福利关系具有普遍公平性和单调性。由于字符化特征是集合Y的序性质，这个结果对Y元素的数值不敏感。此外，引理1确保引理2中的存在结果对域集合Y中元素的单调（递增/递减）变换是不变的。

因此，我们可以简单地将注意力限制在实用领域Y上 [0, 1].除了广义公平（GE）之外，我们还引入了其他两个变量，与有限效用流的帕累托原理相关的文献相一致，这两个变量被称为有限公平（IE），要求福利再分配在有限代的任意集合上运行，弱公平（we）要求再分配涉及所有代，富人和穷人以任意方式配对（联系起来）（参见第3节中的精确定义）。在为社会福利关系的存在建立了充分的条件之后，我们接下来将通过社会福利函数来研究它们的重新估值代表性。在第4节中，命题1包含一个社会福利函数的例子，当Y包含不超过五个元素时，该函数满足广义公平性和单调性。命题2则表明，如果不考虑效率条件，Y可以扩大到不超过七个元素。本文的主要结果是定理1、2、3、4和5，其中包括通过社会福利函数表示的实际价值的五个特征，即GE，即WE，结合单调性（M）和匿名性（AN）。定理1表明，只要Y包含四个元素（使用广义公平所需的元素数最少），就不可能将有限公平与匿名性结合起来进行价值表示。这指出了所有非平凡领域的代表性、有限性和匿名性之间的固有矛盾。

定理1还否定地回答了一个与命题1和命题2有关的自然问题，即满足一般公平性和匿名性的社会福利函数的存在性。定理2表明，存在满足有限公平性和单调性的社会福利函数，当且仅当Y最多由五个元素组成。理论3表明，当且仅当Y最多由七个元素组成时，存在满足有限公平的社会福利函数。特别是，定理2和3表明，在命题1和命题2中出现的Y中的效用水平的数量是最优的，因为在这两种情况下，实值表示的可能性并不扩展到更大的效用域。由于有限权益和代表性之间的持续冲突，我们认为弱权益的概念仍然较弱。如前所述，在示例1中，符合weakFor示例Y:=n+2，nn+1:n∈ N和Y′：{-1, 1,-2，2，···········································。另一方面，Y：-n+1，+n+1:n∈ N就是说Y（<）和Y（<）不是同构的。集合Y配备了明确定义的最小值0和最大值1，而Y没有。Fleurbaey和Michel（2003）研究了明确描述满足匿名性和效率公理的社会福利秩序的困难。鉴于定理1证明的社会福利函数不存在，他们的分析是相关的。如果Y是实数的任意子集，则不可能实现公平。

在定理4中，我们证明了满足弱公平性、单调性（和匿名性）的社会福利关系当且仅当Y是良序的时才允许表示。在定理5中，我们证明了满足弱公平性（和匿名性）的社会福利关系仅当Y不包含与整数集（自然数和负整数）同构的子集阶时，才允许表示if。同样值得一提的是（备注3），Theo rems 4和5中的表征结果表明，弱公平性（与单调性和单独性结合时）的呈现不受匿名性的影响。这强调了与有限权益（和非专利性）结合匿名性获得的代表性结果相比的一个次要差异，如上述定理1、2和3所证明的，其中匿名性被证明为对任何非平凡效用域进行不可能的实值r表示。论文的结构如下。我们将在第2节介绍符号和基本定义。第3节和第4节构成了本文的共同部分。在第三节中，我们引入了推广强公平的广义公平原则和Pigou-Dalton原则，然后研究了满足这些广义公平原则的社会公平关系存在的条件。第4节讨论了各种版本的广义公平的实值表示。我们在第5节中总结。所有证明（定理1的证明除外）都在app endix中。2.准备工作2。1符号R，N，N-, Z分别是实数、自然数、负整数和整数的集合。为了艾莉，z∈ RN，如果yn>zn，我们写y>z，对于所有n∈ N如果y>z和y6=z，我们写y>z；我们写的是y>> z如果n>zn表示所有n∈ N.对于集合S，我们用|S |表示其基数。

回想一下，如果N的子集是有限集的补集，则称为有限集。2.2定义2。2.1配对函数部分函数f:X→ Y是从X的子集S到Y的函数。如果S等于X，则称部分函数为betotal。函数f的域和范围分别用dom（f）和ran（f）表示。我们说α：N→ 当且仅当α是满足下列条件的部分f函数：odom（α）=ran（α）oN∈ dom（α），α（α（n））=n。我们用∏表示所有配对函数的集合。2.2.2自然数集合上的超滤波器由n的子集构成的集合F称为n上的滤波器，当且仅当它满足以下性质时：on∈ F和 /∈ F、 oA、 B∈ F、 A∩ B∈ F、 oA.∈ FB N（B） A.=> B∈ F） 。此外，如果F是最大值（即对于每个过滤器F′） 如果我们有F′=F），那么F被称为超过滤器。2.2.3实数子集的序性质我们可以说集合S是严格按二元关系排序的R 如果R 是连通的（如果s，s′）∈ S和s6=S′，那么Rs\'或s\'Rs保持），可传递（如果s，s′，s′）∈ S和SRs\'和s\'R等一下，然后Rs′保持）和不可逆（sR无鞋鞋∈ S） 。在这种情况下，严格有序的集合将由(R). 例如，集合N严格按二元关系<（其中<表示复数上通常的“小于”关系）排序。我们会说一个严格有序的集合(R′) 序同构于严格序集S吗(R) 如果有一个一对一的函数将S映射到S′，那么对于所有S∈ S、 SR简化f（s）R′f（s）。接下来我们考虑R的严格有序子集。

使用非空的S R、 用标准表示法，严格有序集S（<）被称为：（i）如果S（<）是从hic到N（<）的等序集，则为ω型；（ii）ω阶型*如果S（<）的阶同构于N-(<);（iii）如果S（<）与Z（<）同构，则为σ型。为了刻画这些类型的严格有序集，我们需要定义严格有序集的cu t、第一个元素和最后一个元素的概念。给定一个严格有序的集合S（<），我们将S（<）的一个切割[S，S]定义为S分成两个集合S（即，沙是非空的，S∪S=S和S∩S=) 这样每个人∈ 桑德斯∈ S、 我们有S<S。一个元素S∈ S（S）∈ S） 如果S<S（S<S）不适用于S，则称为S（<）的第一（最后）元素∈ 严格有序集S（<）如果每个非空集都是 S有第一个元素（名称lyminA）。根据上述定义，如果严格有序集S（<）和T（<）是顺序同构的，则S（<）是良序的当且仅当T（<）是良序的。关于好集或有序集的一个基本特征化结果如下（见Sierpinski（1965年，定理1，第262页））。结果1。设S为R的非空SUB集，S（<）为严格有序集。S（<）是良序集的充分必要条件是，它不应包含序类型ω的子集*; i、 例如，它不应包含绝对递减序列。关于σ型严格有序集S（<）的以下结果可以在Sierpinski（1965年，第210页）中找到。结果2。

严格有序集S（<）是有序类型σ，当且仅当以下两个条件成立：（i）S既没有第一个元素也没有最后一个元素，或者换句话说，既没有最小值S也没有最大值S。（ii）对于S的每个切割，集合是最后一个元素，集合是第一个元素。2.2.4社会福利关系T Y是R的一个非空子集，是任何一代人可以实现的所有可能的效用的集合。然后X≡ Y是所有可能的效用流的集合。如果hxni∈ 十、 那么hxni=hx，X，·i，其中，对于所有n∈ N、 xn∈ Y代表周期n产生的效用量。为了x∈ 十、 我们使用符号X[n]：=hx，X，··，xni作为初始n项。我们考虑X上的二进制关系，用%表示，对称部分和非对称部分用%表示~ 和 分别以通常的方式定义。社会福利关系（SWR）是一种反映和传递的二元关系。社会福利秩序（SWO）是一个完整的SWR。社会福利函数（SWF）是一个W:X映射→ R.给定X上的SWO%，如果有一个映射W:X，我们说这个%可以用一个重值函数来表示→ R所有的x，y∈ 十、 2.2.5公平与效率公理在本文中，我们研究了以下结果主义公平标准的推广。定义。（Pigou-Dalton变换原理-PD）：如果x，y∈ 十、 还有我，j∈ N和ε>0，这样xj- ε=yj>yi=xi+ε，而所有k的yk=xk∈ N\\{i，j}，然后y x、 定义。（强股权-SE）：如果x，y∈ 十、 还有我，j∈ N、 比如xj>yj>yi>xi，而yk=xkforall k∈ N\\{i，j}，然后y x、 我们将使用的程序公平标准是匿名性（也称为确定恶意）。定义。

（匿名-AN）：如果x，y∈ 十、 如果存在i，j∈ N这样xi=yjand xj=yi，对于everyk∈ N\\{i，j}，xk=yk，然后x~ y、 以下效率原则贯穿整个pap。定义。（单调性-M）：给定x，y∈ 十、 如果X>y，则X%y。备注1。本文的主要目的是将PD和SE等结果主义公平原则概括化。我们的调查显示，在一致评估满足PD和SE的建议类别的so c ia l参考文献方面存在重大挑战。因此，当结合附加公平或效率条件是可行的时，我们选择要求最低的过程公平和效率公理变体。单音调是一种非常弱的有效状态。它只要求社会在yt>XT的情况下，不要选择有限的效用流x而不是y∈ N.匿名性（FINITE）允许在通过对另一个进行有限排列获得一个时，对有限的公用事业流x和y进行排序。re与满足AN和/或M的SWR的真实值表示没有冲突。事实证明，当我们需要用AN和/或M对社会优先权进行真实值表示时，已经出现了重大冲突。因此，在大多数情况下，将我们广义的因果公平原则与更严格的效率（帕累托、弱帕累托）和/或匿名性相结合，将更能产生冲突。3广义公平和广义Pigou-Dalton转移原理本文的主要贡献是引入了一个新概念，即广义公平（以及相关的广义Pigou-Dalton转移原理）。为了更好地理解研究结果主义公平原则的扩展版本的关键原因，我们从以下观察开始。