无限效用流上的公平偏好关系

给定一组实用性：={a，b，c，d，e} 由a<b<c<d<e排序，考虑两个有限流x和y，使得x:=hb，c，e，b，c，e，c，·i，y:=ha，d，e，a，d，a，d，·i。根据分配公平原则的预期解释，我们应该能够始终对y进行排序 x、 在这种情况下，PD（和so SE）以及及物性足以确保这样的排名，但在本质上，及物性不能扩展到有限链。因此，即使具有及物性，PD和SE也不足以保证所需的数据安全 x、 因此，有必要进行扩展。本文提出了SE和PD公理的以下推广，并研究了它们的性质。定义。（广义权益——GE）给定x，y∈ 如果有α∈ 因此，对于每一个我∈ dom（α）one既有yi<xi<xα（i）<yα（i），也有yα（i）<xα（i）<xi<yi/∈ dom（α），一个是xk=yk，然后是y x、 定义。（广义Pigo u-Dalton转移原理-GPD）给定x，y∈ 如果re是α∈ 都是这样∈ dom（α）存在εi>0，使得yi+εi=xi<xα（i）=yα（i）-εior yα（i）+εi=xα（i）<xi=yi-εi，对于所有k/∈ dom（α），一个是xk=yk，然后是y x、 此外，由于我们正在考虑一个有限的时间范围，因此要求获得由 不仅对很少的变化敏感，而且对尽可能多的变化敏感。例如，在一个有限的环境中，可以要求通过配对函数连接的个体/世代数（在这里我们可以看到不平等的减少）应该是一个有限的集合。这符合文献中广泛研究的帕累托原理的较弱形式，如有限帕累托、渐近帕累托和弱帕累托。以下定义为我们的研究提供了这一概念。定义。

（固定权益——IE）。给定x，y∈ 如果有α∈ π使得| dom（α）|=∞每一次我∈ dom（α）one要么yi<xi<xα（i）<yα（i），要么yα（i）<xα（i）<xi<yi，对于所有k/∈ dom（α）一有xk=yk，那么y x、 定义。（股票疲软——我们）。给定x，y∈ 如果有α∈ π使得d om（α）=N且对于每个i∈ dom（α）one有yi<xi<xα（i）<yα（i）或yα（i）<xα（i）<xi<yi，那么y x、 请注意，有限和弱Pigou-Dalton转移原则的类似概念可以用类似的方式定义。此外，我们对这些权益原则的排名（类似于帕雷托原则的排名）有如下意义：=> IE=> 我们和GPD=> 知识产权=> WPD。此外，由于存在某种类型的公平原则（例如GE，即WE），相关的Pigou-Dalton版本较弱，这意味着GE=> GPD和so o n.参见戴蒙德（1965年）、巴苏和米特拉（2003年）、弗勒贝和米歇尔（2003年）、扎姆（2007年）、克雷斯波等人（2009年）、劳韦斯（2010年）、杜比和米特拉（2011年）、佩特里（2019年）、杜比等人（2020年）和杜比等人（2021年），了解代际公平文献中使用的帕累托原则版本。3.1社会福利关系——根据广义公平原则，Bossert等人（2007年）已经证明（当Y=R时），满足哈蒙德公平、匿名性和帕累托性的有限效用流存在SWO。在帕累托协议下，哈蒙德股权和SE是等价的。因此，weinfer认为，在满足SE、AN和M的有限效用流上存在SWOs。Lauwers（2010）也指出了类似的结果，他使用过滤器的概念来获得扩展的词典顺序，以确定满足Pareto、AN、PD（和Hammond，SE）公理的有限效用流。此外，通过使用超过滤器，可以扩展这种SWR，以获得满足相同公理的SWO。

考虑到这些结果，很自然地会问，是否有可能使用类似的参数来获得关于满足GE和GPD的SWR存在的类似结果。然而，在GE和GPD的情况下，情况更加微妙，SWR一般不存在。因此，需要对实用领域施加一些限制。下面的例子解释了这种情况。例1。锌上没有满足锗要求的SWR。对于矛盾，假设存在 在zn上，考虑以下流：x:=h1，4，-1.-4, 5, 8, -5.-8、·、4k+1、4k+4、，-4k- 1.-4k- 4，·iy:=h2，3，-2.-3, 6, 7, -6.-7、·、4k+2、4k+3、，-4k- 2.-4k- 然后让α，β∈ π定义如下：α（n）=n+1如果n是oddn- 1如果n是偶数β（n）=3如果n=11如果n=3n+3如果n为偶数n- 3如果n为奇数且n>5A，则直接计算表明α屈服于x y、 而β产生y x、 给我们提供了一个矛盾。注意，这个结构实际上表明，即使我们在ZN上是不一致的。例2。设Y=N-. 那么GE和M在YN上是不一致的。对于矛盾，假设存在 Onrnge和M；控制以下流：x:=h-2.-5.-6.-9, ··· , -4k- 2.-4k- 5、·iy:=h-3.-4.-7.-8, ··· , -4k- 3.-4k- 4，··iy′：=h-1.-4.-7.-8, ··· , -4k- 3.-4k- 4、··i.序列由负整数集合中的元素组成。由于y′>x>yand y′t=yt，对于所有t>1，由M，y y′。然后让α，β∈ π定义如下：α（n）=n+1如果n是oddn- 如果n是偶数β（n）=n+3如果n等于n- 如果n为奇数，则为3；如果n=1，则为33，则为n>31。一个简单的计算表明α产生sx y、 而β产生y′ x、 因为我们注意到 y′，wethus得到一个矛盾。

注意，构造实际上表明，即使WE和M在YN上也是不一致的。这两个例子都涉及实用领域，并且都有一个固定的下降通道。事实上，如果我们考虑效用域而不考虑有限的g链，就可以建立可能的结果，如引理2所示。请注意，当我们用GPD（和WPD）代替GE（和我们）时，同样的不可能发生。4满足广义公平的社会福利关系的表示注意到为了使SWR满足GE、AN和M的组合而施加的一些限制和充分条件后，我们现在可以通过SWF调查关于表示的结果。首先，我们给出了满足GE的实值表示的两个可能性结果。帕累托公理定义如下：对于x，y∈ 十、 如果X>y，那么X y、 提议1。让我来≡ {a，b，c，d，e} R应使a<b<c<d<e，并设X≡ 伊恩。对于任意序列x∈ 十、 定义：N（X）={N:N∈ N和dxn=a}，M（x）={M:M∈ N和xm=b}。定义社会福利功能W:X→ R byW（x）=-Pn∈N（x）N-下午∈如果N（x）或M（x）为非空∞Pn=1xn另一方面。（1） 然后是W（x）满意度和M命题2。设Y={a，b，c，d，e，f，g} R其中a<b<c<d<e<f<g.每x∈ 十、 定义N（X）={N:N∈ N、 xn=a或xn=g}和M（x）={N:N∈ N、 xn=b或xn=f}。定义社会福利功能W:X→ 作者：W（x）=-Pn∈N（x）N-Pn∈如果N（x）或M（x）为非空，则为0。（2） 然后是满足感。命题1中的表述表明，Dubey和Mitra（2014a，命题1）中报告的单调SWF很容易满足GE的要求，而命题2中的表述基于SWF满足性，包括未出版版本Dubey和Mitra（2014a）中的七个不同的e或Y。这两个结果产生了以下两个自然问题：问题1。

一个团队的角色是什么？提案1和提案2中定义的主权财富基金不满足A，因为它们是贴现金额。因此，我们很自然地会问，是否存在一个更一般的SWF也满足AN，或者GE/GPD与AN结合是否存在一些更深层次的结构限制。问题2。在这两个证明中，效用域Y的car-dinality似乎是至关重要的，事实上，当我们向效用域Y中添加更多元素时，证明s不起作用。这两种结构中的任何一种都可以改进吗？或者有任何结构限制吗？在接下来的部分中，我们将讨论这些问题并给出答案。我们将讨论GE、IE和We，但在大多数情况下，类似的结果也可以用相同的论点证明，它们对应的广义Pigou-Dalton原理（GPD、IPD、WPD）。这是由于不变性的结果，这是下面引理1的内容。换句话说，引理a表示，任何可表示性结果对于效用域Y引理1的mo notone变换都是不变的。设Y是R，X的非空子集≡ 伊恩。设4为社会福利关系，W:X→ R是一个满足广义公平性和匿名性的社会福利函数。假设f是从I到Y的单调（递增或递减）函数，其中I是R的非空SUB集，则存在一个社会福利关系4jan和一个社会福利函数V:J→ R满足广义公平性和匿名性，其中J=IN。值得注意的是，当我们将广义公平性与单调性结合起来时，不变性结果仅适用于单调递增变换。4.1有限权益和匿名在本节中，我们研究问题1。事实证明，即使通用电气被削弱为IE，满足我们的公平原则的主权财富基金的不存在也会对所有非传统领域产生负面影响。

这表明了真实价值代表之间的内在联系，即。定理1。设X=YN。如果| Y |>4，则不存在满足有限公平和非对称X的任何社会福利函数。证据我们用矛盾来证明这一主张。设SWF W:X→ R和A。设q，q，··是（0,1）中所有有理数的枚举。在整个证明过程中，我们会保持这个顺序不变。莱特∈ (0, 1). 我们根据有理数的计数构造一个二进制序列x（r），如下所示。定义（r）如下。设l=min{n∈ N:qn∈ （0，r）}。定义了l，l，·，lk，我们得到lk+1=min{n∈ N\\{l，l，··，lk}:qn∈ （0，r）}。ThusL（r）：={l（r），l（r），··，lk（r），··}，其中l（r）<l（r）<··。此外，U（r）表示集合N\\L（r）和U（r）：={U（r），U（r），··，uk（r），··}，其中U（r）<U（r）<·······。公用事业流hx（r）i和hy（r）i定义如下。xt（r）=b表示t=2n- 1，n∈ t=2n，n时的L（r）c∈ t=2n时的L（r）a- 1，n∈ t=2n，n的U（r）d∈ U（r）。（3） 接下来，我们选择一个严格降阶的有理数hqnk（r）i序列∈ （r，1）从（固定的）枚举中，它与r收敛，并考虑子序列{nk:k∈ N} 。我们在坐标（2nk）处改变序列hx（r）i的元素- 1，2nk），分别从a和d到b和c，从而获得效用流hy（r）i:yt（r）=b表示t=2nk- 1，k∈ 对于t=2nk，k，Nc∈ Nxt（右）其他w型。（4） 我们要求赔偿x（r） y（r）。注意，对于每个k∈ N、 x2nk-1（r）=a<b=y2nk-1（r）<c=y2nk（r）<d=x2nk（r）。因此，通过IE我们得到了x（r） 因此，W（x（r））<W（y（r））。（5） 接下来，我们选择∈ （r，1）并使用与（3）相同的构造定义公用设施流hx（s）i。我们将展示th aty（r） x（s）。请注意，除了很多nk之外，我们都有qnk<s。选择n<n<···<nk，（K finite），这样QN>s，··，qnk>s。

我们有所有的K6K，x2nk-1（s）=a<b=y2nk-1（r）<c=y2nk（r）<d=x2nk（s）。然而，这些坐标对的数量是有限的。有很多电影∈ N\\{N，N，··，nK}，其中lm（s）>nK，因此对于所有k>k，lm（s）6=nK和qlm（s）∈ [r，qnK）。对于每个lm，y2lm-1（r）=a<b=x2lm（s）-1（s）<c=x2lm（s）（s）<d=y2lm（s）（r）。我们交换两对坐标（2n- 1，2n），··，（2nK）- hy（r）i（在奇偶位置具有值b和c）的1，2nK）与来自坐标（2lm（s）的相同多个元素（在奇偶位置具有a和d）- 1，2lm（s））以获得效用流hy′i。应用AN，y（r）~ 因此，W（y（r））=W（y′。（6） 比较hy′i和hx（s）i，观察所有n∈ U（s），y′2n-1=x2n-1（s）=a，y′2n=x2n（s）=d；为了所有人∈ L（r），y′2n-1=x2n-1（s）=b，y′2n=x2n（s）=c；对于所有nk，k>ky′2n-1=x2n-1（s）=b，y′2n=x2n（s）=c。此外，y′2vk′-1=a<b=x2vk′-1（s）<c=x2vk′（s）<d=y′2vk′对于每个vk′而言∈ （U（r）∩L（s））\\{nK，nK+1，···}。因为有很多vk′，由IE y′提出 x（s），然后W（y′）<W（x（s））。（7） 从（6）和（7）中，我们得到（y（r））<W（x（s））。（8） 因此，请注意，给定r<s，（W（x（r）），W（y（r））和（W（x（s）），W（y（s））是非空且不相交的开放区间。因此，通过R中Q的密度，我们得出结论，我们已经找到了从（0，1）到Q的一对一映射，这是不可能的，因为后者是可计算的。4.2在更大的公用事业领域，我们将回答问题2。下面的结果表明，不能为了要求由六个或更多效用值组成的属性1得到改进。定理2。

以下是等价的：（i）存在一个社会福利函数W:YN→ 满足GE和M.（ii）存在一个社会福利函数W:YN→ R和M（iii）Y最多包含5种元素。下一个结果表明，我们无法改进命题2，以要求包含eig ht效用值或更多。定理3。以下是等价的：（i）存在一个社会福利函数W:YN→ R.让人满意的，令人满意的。（ii）存在社会福利功能W:YN→ R.（iii）Y最多包含7种元素。备注2。有趣的是，注意到定理1证明中涉及的配对函数与定理2和定理3证明中涉及的配对函数的不同特征（见附录）。定理1中使用的配对函数具有非常简单的组合性质，因为它们将连续两代富人和穷人联系起来。相反，定理2和3中使用的配对函数α（β）不一定是以下意义上的边界：对于everyN∈ 存在∈ N这样的t |α（N）- n |>n（|β（n）- n |>n）。4.3社会福利关系是一种弱公平。在观察到领域Y对于SWF满足即的存在的限制性之后，我们有必要进一步利用公平概念来检查在更大的领域上是否存在SWF。我们考虑最薄弱的概念，即我们在这里。下面的引理表明，当Y（<）是一个有序的实数集时，存在满足GE、AN和M的SWR。引理2。让我来 [0,1]井然有序。然后在YN上存在满足广义公平性、不一致性和单调性的社会福利关系。此外，利用选择公理，我们可以在YN上获得满足广义公平性、匿名性和单调性的社会福利序。接下来，orem为WE、AN和M提供了表示的精确特征。定理4。

以下是等价的：（i）存在一个社会福利函数W:YN→ 我们，我和安。（ii）存在社会福利功能W:YN→ R满足WE，M。如果Y不是一个好序集，例2表明满足WE和M的SWR不存在。（iii）Y是好序的。备注3。注意，（ii）揭示了本文中的一个加法并没有改变wf满足g WE和M的存在条件。事实上，定理4（特别是等价性（i）<=> （ii）指出WE，M和AN的真值表示的存在性等价于WE和M（不含AN）的真值r表示的存在性。这与IE的情况形成了鲜明对比；事实上，定理2表明，如果Y有五个元素，IE和M的实值表示是可能的，而orem 1表明IE和ANtogether从不承认实值表示（对于非平凡的效用域）。因此，当使用IE进行dea时，addingAN会强烈地影响效用域Y的结构，这是可能的。现在考虑当我们dro p M时的情况。在例1中，我们已经证明，当Y包含与整数s集同构的子集时，不存在满足we的SWR。下一个定理提供了we和a的精确表示。定理5。以下是等价的：（i）存在一个社会福利函数W:YN→ 我们和一个。（ii）存在社会福利功能W:YN→ 我们很满意。（iii）Y [0,1]不包含与整数集Z同构的子集顺序。请注意，注释3中强调的关于a的作用的相同推理也适用于定理5.5的结论。在本文中，我们提出了强公平和Pigou-Dalton转移原理的直观推广。

我们研究了满足新的公平条件（b yitself或结合单调性和/或单调性公理）和ir实值表示的社会福利关系存在的条件。结果表明，单周期效用域Y的序性质决定了满足a和/或M的社会福利关系存在的条件。换句话说，Y的基数或测度（大小）不是公平社会福利关系存在的相关性质。然而，当我们研究真实的价值呈现时，Y的基数在某些情况下确实起到了关键作用。下面的表1和表2总结了我们的主要结果。我们在下表中通过CE评估结果主义公平，通过PE评估程序公平，通过E评估效率。CE PE E | Y |表示结果GE-M 6 5是命题1GE--6 7是命题2IE AN->4无定理1IE-M>6无定理2IE->8无定理3表1：GE和IECE E Y（<）SWR结果的可能性与不可能性结果M有序的缺陷SWF定理4WE-M不存在示例2WE无序类型的子集σ承认SWF定理4WE--子集表1：可能性与不可能性结果表1和表2中总结的结果是否描述了代表平等社会福利关系的效用域Y的确切限制。我们已经表达了社会函数的明确公式，无论它们是否存在。因此，这些社会福利功能在政策制定中可能有用。在未来的研究中，我们考虑在两个不同的方向上扩展这项研究。