从化石燃料汽车到电动汽车的最佳转换

请注意，在（2.2）中，我们不考虑任何车辆维护费用，因为这些费用必须为电动和化石燃料车辆支付，并且它们可以提供类似的价值。然后，化石燃料汽车车主的目标是确定何时转向电动汽车，从而将其总成本降至最低；也就是说，她的目标是解决（2.3）infτ≥0EZτe-ρtlXtdt+Zτe-ρtλcdt+e-ρτ（I）- （k）.从（2.3）中我们可以看出，化石燃料汽车车主的决定只应取决于过程的演变≥0; 也就是说，使用化石燃料汽车而不是电动汽车行驶一个单位距离的机会成本（在本文中，我们还将称为“单位距离机会成本”）。过程{Xt}t≥假设0根据随机微分方程（SDE）（2.4）dXt=u（Xt）dt+σ（Xt）dWt，初始条件X=X进行演化∈ 一、 I:=（x，x），带-∞ ≤ x<x≤ +∞. 这里，μ，σ：我→ R是Borel可测量的，因此（2.5）σ（x）>0，x∈ 一、 而且，十、∈ 一、 存在ε>0（取决于x），因此（2.6）Zx+εx-ε1+|u（z）|σ（z）dz<∞.备注2.1。（2.5）表示非退化条件，（2.6）表示局部可积条件。根据[25]第5章的结果，SDE（2.4）给出了一个弱解(Ohm, F、 F，Px，W，X）。此外，随机基在概率Law意义下是唯一的（参见第五章定理5.15中的[25]），从现在起，我们将考虑随机基(Ohm, F、 F，Px，W，X）给定一个固定值。此外，为了强调X在其初始水平X上的依赖性，我们将与（2.4）相关联的解表示为{Xxt}t≥0

最后，在本文的其余部分中，我们使用符号E[f（Xxt）]=Ex[f（Xt）]，其中Ex表示以X=X为条件的期望值。在前面关于u和σ的假设下，过程{Xxt}t≥0是一种规律性的差异；也就是说，从x开始，它可以到达任何其他y∈ 我在有限的时间内有积极的可能性。根据我们随后的应用，我们还假设域I的边界6 FALBO、FERRARI、RIZZINI、SCHMECKpoints x和x对于Xx是自然的；也就是说，他们不能在有限的时间内以正概率到达（更多细节见[7]的C章I）。备注2.2。到目前为止，对过程X的假设在相关情况下是令人满意的，比如带有漂移的布朗运动（即u（X）=u）∈ R和σ（x）=σ>0），在奥恩斯坦-乌伦贝克过程中（即u（x）=θ（u- x） ，对于某些常数θ>0，u∈ R和σ（x）=σ>0）。这些过程取I=R的值，所以x=-∞ x=+∞.由于停止函数（2.2）的值仅取决于单位距离机会成本过程X的规律，考虑到潜在的马尔可夫结构，我们可以将问题的值定义为（2.7）V（X）：=infτ≥0ExZτe-ρt(lXt+λc）dt+e-ρτ（I）- （k）, 十、∈ 一、 式中，x代表过程x的初始条件，并对F停止时间集进行优化。（2.7）中的期望值可以清楚地改写为asV（x）=ExZ∞E-ρt(lXt+λc）dt+ infτ≥0Ex-Z∞τe-ρt(lXt+λc）dt+e-ρτ（I）- （k）,其中，上述第一个期望值是永不切换到电动汽车选项的价值。

然后，设置u（x）：=infτ≥0Ex-Z∞τe-ρt(lXt+λc）dt+e-ρτ（I）- （k）andbV（x）：=ExZ∞E-ρt(lXt+λc）dt,我们有（2.8）V（x）=bV（x）+U（x），其中，借助于强马尔可夫性质，（2.9）U（x）=infτ≥0Exhe-ρτ（一）- （k）-bV（Xτ）i、 在本文的其余部分，我们假设（2.10）xZ∞E-ρt | Xt | dt< ∞（因此| V |<∞), 对于任何Borel可测函数g，我们采用约定（2.11）e-ρτg（Xxτ）：=limt↑∞E-{τ=∞}.尤其是后者，可以确保停止成本降低-ρτ（I）- K-bV（Xxτ））在事件{τ=∞}.备注2.3。请注意，（2.10）必须根据具体情况进行验证。例如，如果X是布朗运动或Ornstein-Uhlenbeck过程，它总是成立的。如果X是几何布朗运动，则当ρ>u时满足。从现在开始，我们关注最优停止问题（2.9），因为它与V（参见（2.7））具有相同的最优策略，并且我们可以从（2.8）中得到V。电动汽车的最佳采用72.2。问题解决方案。我们可以合理预期，一旦机会成本足够大，代理商将采用电动汽车。因此，我们可以推测存在某个临界水平x*∈ R使得τ*= inf{t≥ 0:Xxt≥ 十、*} （2.9）为等时（因此V为等时）。下面的定理提供了在上一节描述的一般设置下问题解决方案的完整描述。它的证明可以在附录B中找到，我们遵循[3]的方法。定理2.4。设lx为过程X的最小生成元，由二阶线性微分算子lx=σ（X）ddx+u（X）ddx给出，作用于两次连续可微分函数。设ψρ（x）为（LXu）的严格递增基本解- ρu）=0，m′为速度测量密度X（详见附录）。

接下来是三个案例。（a） 如果（2.12）limx→x(lx+λc）<ρ（I）- k） <limx→x(lx+λc）和（2.13）limx→xψρ（x）我- K-bV′（十）- ψ′ρ（x）我- K-bV（x） S′（x）=0，那么一个有（2.14）U（x）=(我- K-bV（x）*)ψρ（x）ψρ（x）*), 对于x<x*,我- K-bV（x）代表x≥ 十、*,x在哪里*是（^x）中的唯一解决方案，∞), ^x：=l（ρ（I）- （k）- λc），到积分方程（2.15）Zx*xψρ（y）m′（y）ly+λc- ρ（I）- （k）dy=0。此外τ*:= inf{t≥ 0:Xxt≥ 十、*} 对于U（因此对于V）是最佳的。（b） 如果limx→x(lx+λc）<ρ（I）- k） ，那么切换永远都不是最佳选择；i、 e.bU（x）=0，x∈ 一、 和τ*= +∞ Px-a.s.（因此V（x）=bV（x））。（c） 如果limx→x(lx+λc）>ρ（I）- k） ，则最好立即切换；i、 e.bU（x）=i- K-bV（x），x∈ 一、 和τ*= 0 Px-a.s.（因此V（x）=I- k） .3。M模型的分析是在一个具有均值回复动态的案例研究中。在本节中，我们假设在（2.4）中，一个有u（x）=a- 对于某些常数bx>0，a∈ R和σ（x）=σ>0。这意味着单位距离机会成本由一个均值回复过程描述，动力学（3.1）dXxt=（a- bXxt）dt+σdWt，Xx=x∈ R表示平均回复水平，b表示平均回复速度。与（3.1）相关的特征方程（A.3）是（3.2）σv′（x）+（A）- bx）v′（x）- ρv（x）=0,8法尔博、法拉利、里兹尼、施梅克霍斯三次递增的基本解是（参见[22]第280页）是（3.3）ψρ（x）=e（bx）-a） 2σbD-ρb-（bx）- a） σb√2b,式中，Dθ（·）是ord erθ的柱面函数（见[7]第八章），定义为（3.4）Dθ（y）：=e-xΓ(-θ） Z∞T-θ-1e-T-ytdt，θ<0，Γ（·）是欧拉伽马函数。在动力学（3.1）下，bV（x）=ablρ+十、-ablρ+b+λcρ。此外，触发级别x*可以通过代数方程（3.5）AOU（x*) = 0，其中ou（x）：=（x- β） ψ′ρ（x）- ψρ（x），x∈ 一、 和（3.6）β：=我- K-ablρ-λcρρ+bl+ab.此外，在这种情况下x=-∞ x=+∞ , 所以（2.12）成立。

最后，还可以检查（2.13）是否满足要求。决策模型的应用：一个案例研究4。1.参数估计。现在，我们对先前均值回复模型的意大利数据进行校准。我们得到每公里单位距离机会成本X的时间序列为（4.1）Xt=pft·hf-pet·he，其中pftre表示时间t的燃油价格，hf表示化石燃料汽车的燃油经济性，peter表示时间t的电价，hei表示电动汽车的燃油经济性。PFT和PFTAR的时间序列绘制在图4中。1.考虑到2010年7月至2018年12月的月度数据，pftand petrefer至意大利市场的数据发布在[20]和[38]中。月平均汽油价格pft由[20]提供，日平均电价由[38]提供。月平均电价pet是按日平均电价计算的。我们将化石燃料汽车hf的油耗设定为0.076升/公里，将电动汽车he的能耗设定为0.20千瓦时/公里。这两个参数都是[34]针对不同尺寸的化石燃料和电动汽车提出的技术值的平均值。XT的单位是每公里欧元，因此距离以公里为单位。从图4.2可以看出，燃料和电价时间序列之间存在正相关关系。的确，图4。2显示订单10的时间趋势-5.我们将后者测试为可忽略不计。该假设的p值为0.2970。

通过对一阶au-to回归模型应用常规最小二乘法进行年度参数估计。事实上，（3.5）相当于积分方程（2.15）——见附录B中的（B.3）和（B.7）——可以通过施加经典的“平滑粘贴”和“平滑”条件获得。最佳采用电动汽车910 20 30 40 50 60 70 90 100次1。11.21.31.41.51.61.71.8（a）燃油价格时间序列，pft。10 20 30 40 50 60 70 90 100次。030.040.050.060.070.080.090.1（b）电力价格时间序列，pet。图4.1。燃料和电力价格时间序列。数据按每月频率考虑。10 20 30 40 50 60 70 90 100次。0750.080.0850.090.0950.10.1050.110.1150.12图4.2。单位距离机会成本时间序列。数据以每月一次的频率考虑。10 FALBO、FERRARI、RIZZINI、SCHMECK-0.20.20.40.60.8样本自相关函数0 5 10 15 Xt自相关函数的滞后（a）表示-0.4-0.20.20.40.60.8样本偏自相关函数0.5 10 15滞后（b）Xt偏自相关函数的表示。图4.3。Xt的自相关和部分自相关函数的表示。数据按月度频率考虑。X，ab的估计平均回归水平为0.1045，X，b的估计平均回归速度为0.5941，X的估计波动率参数σ为0.090。XT的时间序列如图4所示。2.XT的自相关和部分自相关函数图如图4所示。3.从之前的数据中，我们推断经验数据证实了假设素的均值回复行为（3.1）。根据文献[21]，以化石燃料为燃料的车主每年平均行驶12000公里。

如第2节所述。1.决策者可以决定实施有效禁令，暂时减少空气中过量的污染物。例如，在意大利北部，如果颗粒物10 PM的浓度连续4天超过50ugm的安全阈值，就会发生交通禁令[28]。在这项工作中，我们研究了激励对电动汽车采用的影响，因此我们假设政策制定者在一些随机时间实施了交通禁令，这是泊松过程描述的。强度λ代表预期的交通量，已从意大利北部地区估算。实施交通禁令的决定在各个地区（以及各省）都有所不同，这取决于实际和预测天气状况等诸多因素。我们考虑意大利北部的四个地区：伦巴第、威尼托、皮埃蒙特和埃姆伊利亚-罗马尼亚。对于每个地区，参数λ的估计值是2017年冬季学期可能发生的PMT的理论数量的平均值- 2018年和2018年- 2019.PMC浓度数据由[35]提供。每天，区域机构[35]都会发布公告，指出所谓的“日间警报”，如果PMS浓度超过安全阈值，就会发生这种情况。我们计算了每个省份的理论PMTRAffic bans计数，即连续4天PMTRAffic bans浓度超过50ugm阈值的次数。然后，对于每个区域，计算PMC禁令的频率，平均区域性禁令的频率。伦巴第地区的年平均交易量为7.2720。在威尼托地区，年平均禁令数量为7.4615。对于皮埃蒙特地区，电动汽车11bans的年平均临时采用率为6.4615。

对于Emilia Romagna地区而言，每年平均有9.3300家交易银行。我们假设化石燃料汽车车主的年折扣率为5%，并且每一次交通禁令的固定成本为150e。根据[37]，日产L eaf是2017年和2018年在意大利销售最多的电动汽车型号。因此，我们将采购价格I设定为25000e，这是日产Leaf的Acenta车型的平均采购成本。根据意大利经济发展部2019年3月20日的法令，当化石燃料车主决定报废一辆污染车辆，并购买一辆排放系数小于20 g/km的电动汽车时，将获得6000e的奖励。日产Leaf Acenta就是这种情况，其排放量低于20 gCO/km。分析中的参数值如表1所示。表1。参数描述和估计。参数描述值l 距离驱动12000Ab平均回复水平X 0.1045b平均回复速度X 0.5941σ波动系数X 0.090c与伦巴第案例中一个交易禁令150λL交易禁令频率7.2720λV交易禁令频率威尼托案例中7.4615λP交易禁令频率皮埃蒙特案例中6.4615λF交易禁令频率Emilia Romanna案例9.3300 I电气政策制定者提供的车辆购买成本25000k激励6000ρ主观折扣率0.05，使用之前参数的值，如图4所示。4提供了最佳切换规则的示意图。对于所呈现的特定场景，大约3年后购买了一辆新的电动汽车。4.2. 比较统计学。在本节中，我们从分析和数值两方面研究了决策阈值x的灵敏度*如（3.5）中关于几个关键参数的规定。

对于后续考虑，重要的是要记住，最佳切换时间的形式为τ*= inf{t≥ 0:Xxt≥ 十、*} 所以x的任何单调性*对于某个参数，τ的单调性是相同的*.对于给定的p参数y∈ {l, λ、 c，k}，我们强调对y的依赖，并（稍微滥用符号）写出（3.5）asAOU（x）*（y） ，y）：=（x*（y）-β（y））ψ′ρ（x*（y） )-ψρ（x）*（y） ）=0。然后，应用隐函数定理给出（4.2）十、*（y）y=-AOUy（x）*（y） ，y）AOUx（x）*（y） ，y），对于Emilia-Romagna区域，在每个区域中，每日PMO浓度由最糟糕的每日浓度表示。在其他区域的每个区域，每日PMD浓度的计算平均为24小时浓度。每项交通禁令的成本都是主观的，它代表了化石燃料车主在寻找替代交通工具时所遭受的经济损失，例如不同的交通时间表带来的不便、可能的延误和车票支付。12法尔博、法拉利、里兹尼、施梅克0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-0.050.050.10.150.20.25t*x*图4.4。最佳切换规则的说明。注意到这一点，因为ψ′ρ>0和x*（y） >β（y），AOUx（x*（y） ，y）=AOUx（x）*（y） ，y）=（x*（y）-β（y））ψ′ρ（x*（y） ）6=0.4.2.1。旅行的距离。我们首先研究最优阈值X的依赖性*在每年的旅行距离上，l.

由（4.2）加上y=l 我们有十、*(l)l= -AOUl（十）*(l), l)AOUx（x）*(l), l).因为β (l)l= -ρ+bl我- K-λcρ,我们有l（十）*(l), l) = ψ′ρ（x）*(l))ρ+bl我- K-λcρ.使用now thatAOUx（x*(l), l) = （十）*(l) - β (l)) ψ′ρ（x）*(l)) ,我们从（4.2）中得到f十、*(l)l= -ψ′ρ（x）*(l))ρ+bl我- K-λcρ（十）*(l) - β (l)) ψ′ρ（x）*(l)),根据（3.5）的规定，其内容也如下：十、*(l)l= -ψ′ρ（x）*(l))ρ+bl我- K-λcρψ′ρ（x）*(l)) ψρ（x）*(l)).因此我们有（4.3）十、*(l)l=（<0如果我- K-λcρ>0>0如果I- K-λcρ<0。电动汽车的最佳采用131 1.5 2.5 3 3.5 40.050.060.070.080.090.10.110.120.130.14（a）x的依赖性*w、 r.t.每年的旅行距离，l, 当我- K-λcρ>0.1 1.5 2.5 3.5 4-0.010.010.020.030.040.05（b）x的依赖性*w、 r.t.每年的旅行距离，l, 当我- K-λcρ<0。图4.5。x的依赖性*w、 r.t.每年的旅行距离，l, 对于参数λ的不同选择。（4.3）的数值表示如图4.5（A）和4.5（b）所示。案例一-K-λcρ>0如图4所示。5（a）。它代表了当决策者的激励k和避免的交易禁令带来的利益λcρ不能完全覆盖采购成本I时的情况。由于k+λcρ<I，如果行驶距离增加，化石燃料车主更能接受初始投资成本I，因为她可以收回成本I-K-λcρ多亏了fu el节省的perKilometer。在这种情况下，行驶距离的增加导致化石燃料汽车更快地采用电动汽车。交通禁令的频率会影响采用决定：在Emilia Romagna（图4.5（a）中的黑线）案例中，交通禁令的数量最多，最佳阈值是最低的（对于任何行驶距离）l). 相反，对于红林e（皮埃蒙特），交通禁令不那么频繁。情况k+λcρ>I如图4所示。5（b）。