具有最小优先级的概率序列和随机优先级机制

优先考虑, 我们说随机赋值R∈ 如果J∈ N和p，q∈ P以满足以下所有要求（i）Pjq，（ii）riq>0，（iii）Pi∈Nrip<u（p）和（iv）Pi∈Nriq>l（q）。最低限额进一步限制了有序有效的随机分配集，并且要求比不浪费更严格的条件。例5.6。设N={1,2}，P={a，b，c}和l（b）=u（b）=1，而不存在其他约束。考虑随机分配R，它通常是无效的，因为它是由R′随机支配的。观察aτb和bτa；τ是非循环的。此外，R不是浪费的sincel（b）=r1b+r2b=u（b）。 =1 2a bb cc aR=a b c 1/21/20 10 1/21/2 2R′=a b c 1 0 10 1 0 2该示例激发了以下定义。定义5.7。优先考虑, 随机分配∈ R包含一个浪费链 → P→ 我→ P→ · · · → 伊尔→ pl+1→ 如果有一系列的学生我，伊尔∈ N和一系列项目p，pl+1∈ P以满足以下所有条件：（i）pjijpj+1，（ii）rijpj+1>0，1.≤ J≤ L（三）Pi∈Nrip<u（p）和（iv）Pi∈Nripl+1>l（pl+1）。例5.8。我们在示例5.6中说明了5.7的定义。观察学生的顺序1、2和项目的a、b、c是一个浪费链。 → A.→ 1.→ B→ 2.→ C→ 就可行性而言，我们可以无成本地允许1在b的消费中替代1，以学生2的身份消费更多的项目a，而项目c在任何情况下都可以满足其较低的配额。现在，我们描述了严格优先域上的有序有效随机序列集的特征。引理5.9。随机分配∈ R通常擅长于∈ Pnif且仅当二元关系τ（R，) 是非循环的，并且R在.证据

附录B。请注意，如果R在 学生i和项目p，q定义5。5，尤其是i、p和q构成浪费链。因此，R在任何时候都是浪费的 => R包含一个浪费链.我们准备证明PSLQ与PPS机制具有相同的效率和公平性。提议5。1 0 . 对于任何市场（N、P、l、u、，), PSLQ为1。通常效率为2。嫉妒是免费的。附录C。5.3（弱）策略证明我们转向激励相容性。首先，我们使用示例4。3.举例说明引见Glower q uotas可能会鼓励学生歪曲他们的真实偏好。例5.11。首先，请注意，PSLQ和RPLQ为marketΓ生成了完全相同的赋值，这显然是不可操作的。以市场ζ为例；如果学生3错误陈述，SLQ（ζ）输出矩阵R.H′: A.′B′c、 由此产生的随机赋值是R′。然后，rdoE不随机地控制R′相对于.R=ABC“#1/21/31/611/2101/2205/616 3，4R′=ABC1/3 5/9 1/9 11/3 0 2/3 21/3 5/9 1/9 30 8/9 1/9 4 PS机制满足了较弱的激励相容性概念——较弱的策略亲性。我们发现PSLQ也与这条途径中的PS机制相吻合。我们的积极结果与Ashlagi等人（2020年）的不可能结果形成对比，后者表明，当学生被分成小组，每个小组都有自己的配额时，不可能设计出一种机制来满足有序效率、群体嫉妒自由度和弱策略证明性。定理5.12。对于任何市场（N、P、l、u、，), PSLQ是弱策略证明。证据附录D。乍一看，结果对条件l的依赖可能令人惊讶∈ Zk≥0和u∈ Nk。在附录D中的证明中，我们假设学生i∈ N假设我对′Isuchpslqi(′我-i） sd(i） P SLQi().

为了证明PSLQ是弱策略证明，我们需要证明P SLQi(′我-i） =P SLQi(). 从整数配额中抽象出来，我们证明了除非在, 学生i是唯一一个从项目p中吃东西的人，因此我从项目p中转移，任何其他项目的总分数分配是其上限或下限配额。如果我们允许非整数配额，我们将用附录D中的一个例子说明这类实例可能会导致战略操纵。1.然而，上述参数的配置与整数配额不兼容：我们分配n的总质量∈ n学生，分配给p以外项目的总质量必须是整数，因为它是整数分配的总和。最后，请注意，p的总分配在0到1之间，因为假设我们允许非整数配额，我们无法描述PSLQM机制允许策略操纵的条件。我们只表明上述参数的配置是必要条件。是唯一一个吃p的人，而我是从p转移过来的。在整数配额下，我们因此得出SLQi(′我-i） =P SLQi(), 结果如下。到目前为止，我们已经证明，如果所有的qu都是整数，那么PSLQ是弱策略证明的，否则它就不能与激励相容。事实证明，如果我们允许非整数引用，并考虑至少两个学生和三个项目，就不可能构建一个有序有效、无嫉妒、弱策略证明的随机分配机制。提案5.13。对于所有市场（N、P、l、u、，) 和n≥ 2，k≥ 3，l∈ Rk≥0安度∈ Rk>0。证据

附录E.6 lowerquotasOur模型下多个不可分割对象的随机分配可扩展为解决多个对象的随机分配问题，其中每个对象接收多个对象，且代理的偏好可在多个对象的副本之间进行额外分离。例如，考虑一下将患者分配给医生的问题。支持每位患者每年有q次医疗保险就诊，每位医生每年可以提供的就诊次数最少，最多，假设每位患者更愿意在其首选医生处获得尽可能多的就诊时间。更正式地说，我们考虑与第3节相同的设置，只是每个代理都有一个上界q∈ N取决于她可以分配的对象数量。让我们假设∈Pl（p）≤ q·n≤聚丙烯∈Pu（p）以确保可行性。赋值矩阵的每一行i必须和q之和。PSLQ对该设置的扩展很简单：让历元为[0，q]而不是[0，1]，因此每个代理都吃对象的q个副本。同样，我们可以通过创建每个代理的q个“克隆”来定义机制，与原始代理具有相同的偏好。Kojima（2009）认为PS机制自然地扩展到了这种环境，即每种食物有一个单位可用，并且没有较低的配额，并证明这种机制满足顺序效率，没有嫉妒。可以看出，当我们考虑较低的配额时，这一点也成立。由于Kojima（2009）证明，在这种情况下，没有一种机制通常是有效的、无嫉妒的和弱策略证明的，因此PSLQ机制的这种扩展无法与激励相容。类似地，我们可以通过创建每个学生的q“克隆体”来扩展RPLQ，其偏好与原始学生相同。

这种机制提高了顺序效率；然而，它是战略证明和弱无环境的。7结论我们研究了分配问题，其中对象有上下配额，代理对所有对象显示严格的顺序偏好。具有最小配额的分配问题是一个复杂的问题，我们考虑了以满足所有对象配额为目标，在假设可行分配总是存在的情况下，向对象分配代理的问题。虽然这个结果并不直接适用于引言中描述的现实环境，但它表明了整数配额下PSLQ机制弱策略证明的重要性：在配额的小扰动下，EAT算法不是弱策略证明，我们得到了不可能的结果。如果每个代理i都有一个基数效用函数ui:P，那么对对象集P子集的偏好在对象上是可加分离的→ R使得对于每个子集Q P，ui（Q）=Pp∈魁（p）。我们的主要贡献是将随机优先级机制和概率序列机制推广到这个领域。我们证明了调整后的机制与经典机制保持相同的性质，即RPLQ是弱嫉妒自由和策略证明的，但不是一般有效的，PSLQ是一般有效、嫉妒自由和弱策略证明的。我们还表明，如果我们允许配额为非负实数，没有随机分配机制，则对于至少有两个代理和三个项目的所有市场，同时具有满意的正常效率、无嫉妒性和弱战略证明性。

最后，我们将该框架扩展到多个不可分割对象的随机分配。如果我们不认为分配的可行性是理所当然的，有一个可用的外部选项，或者如果存在额外的限制，比如项目和课程的先决条件，或者在团队中工作时考虑学生的偏好，那么看看如何扩展这些机制是很有意思的。我们将这些问题留给未来的研究。参考Abdulkadiroglu，A.，Pathak，P.A.，和Roth，A.E.（2005a）。纽约市高中比赛。《美国经济评论》，95（2）：364-367。Abdulkadiroglu，A.，Pathak，P.A.，Roth，A.E.，和S"onmez，T.（2005年b）。波士顿公立学校比赛。《美国经济评论》，95（2）：368-371。Abdulkadiroglu，A.和Sonmez，T.（1998）。随机序列专政和随机捐赠的核心是房屋分配问题。《计量经济学》，66（3）：689。Abdulkadiroglu，A.和S"onmez，T.（1999年）。与现有租户的房屋分配。经济理论杂志，88（2）：233-260。Abdulkadiroglu，A.和S"onmez，T.（2003年）。学校选择：一种机械设计方法。《美国经济评论》，93（3）：729-747。阿鲁塞尔万，A.，塞赫，'A。，Gross，M.，Manlove，D.F.，和Matuschke，J.（2018）。低q值匹配：算法和复杂性。《算法》80（1）：185-208。I.阿什拉吉、A.萨贝里和A.沙米利（2020年）。分配约束下的分配机制。运筹学，68（2）：467-479。比罗，P.，弗莱纳，T.，欧文，R.W.，和曼洛夫，D.F.（2010）。大学招生问题在于较低且普遍的配额。理论计算机科学，411（34-36）：3136-3153。Bogomolnaia，A.和Moulin，H.（2001年）。随机分配问题的一种新解法。经济理论杂志，100（2）：295-328。Budish，E.，Che，Y.-K.，Kojima，F.，和Milgrom，P.（2013）。设计随机分配机制：理论与应用。

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事实上，请注意，如果在步骤k，我们将学生σ（k）的选择限制为Pkl，那么没有学生σ（k+1）。。，σ（n）将能够从P\\Pkl中选择，尽管其中一些项目可能没有完成上限。具体情况如下：1。1既得不到P rioLQσ，也得不到P rioLQσ′2。1得到pat P rioLQσ，2不能得到pat P rioLQσ3。1得到pat P rioLQσ，2可以得到pat P rioLQσ如果案例（1）成立，两个学生都不能得到pat P rioLQσ和P rioLQσ′，因此r1p=r2p=0。支持案例（2）成立。如果2得到pat P rioLQσ′，那么1在P rioLQσ也得到pat P rioLQσ′。在P rioLQσ时，2不能得到P。因此，q2p≤ q1p。现在假设案例（3）成立。然后1得到P rioLQσ和P rioLQσ′，所以我们又得到了q1p≥ 问题2。因为R是此类赋值的凸组合，所以我们有q1p≥ q2pimplies r1p≥保护责任。既然我们假设r2p≥ r1p，我们必须有r1p=r2p。因此，对于所有这样的置换{σ，σ′}对，我们正好满足以下条件之一（我们将用())1.1得到pat P rioLQσ，但不在P rioLQσ′，2得到pat P rioLQσ′，但不在P rioLQσ。两人都得到两项任务。3.都没有得到任何P rioLQσ或P rioLQσ′。接下来，我们考虑p的分配。我们区分以下情况：回忆Pkl P是在步骤k.1开始时未完成的较低配额的项目集。1得到pat P rioLQσ，2不能得到pat P rioLQσ。1得到pat P rioLQσ，2得到pat P rioLQσ。1得到pat P rioLQσ，2得到pat P rioLQσ。1得不到pnor P rioLQσ。首先，考虑案例（4）。然后两个学生都得不到pnor ponder P rioLQσnorP rioLQσ′。因此，r1p=r2p=r1p=r2p=0。接下来，考虑案例（1）。2既得不到作业，1也得不到。如果2得到patP rioLQσ′，那么1就不能得到pat P rioLQσ′。案例（2）意味着如果1和2得到pat P rioLQσ，那么1肯定得到pat P rioLQσ′。最后，让我们考虑案例（3）。

如果1得到pat P rioLQσ，2得到pat P rioLQσ，那么1不比pat P rioLQσ′差，所以2不能比pat P rioLQσ′差。然而(), 我们必须让2得到pat P rioLQσ′，所以1得到pin P rioLQσ′。我们得出结论，q1p≥ q2p，这意味着r1p≥ 保护责任。根据我们的假设，我们有r2p+r2p≥r1p+r1p，既然我们已经展示了r1p=r2p，它必须遵循r1p=r2p。注意，对于所有对{σ，σ′}，我们必须确保p，p，p\\{p，p}的分配满足{p，p}和x中至少一个x和yyP rioLQσ=x和P rioLQσ=x=> P rioLQσ′=x和P rioLQσ′=x（A.1），P rioLQσ=x和P rioLQσ=y=> P rioLQσ′=y和P rioLQσ′=x（A.2）我们通过归纳法得到。假设r1pi=r2pi，我∈ {1，…，l- 1}. 也假设x、 y∈{p，p，…，pl-1，P\\{P，P，…，pl-1} 其中至少有一个在{p，p，…，pl中-1} 还有xy、 A.1和A.2暂停。如果2得到了plat P rioLQσ′，那么根据归纳假设1从P\\{P，…，pl得到一个项目-1} 在P rioLQσ。但由于PLI在这一组中对她来说是最好的，而且它是可用的，所以1得到了plat P rioLQσ。如果2得到平台周期qσ，那么1得到pe，e≤ l、 在PrioLQσ。然后，同样通过归纳假设，2得到了peat P rioLQσ′，而pl1在P rioLQσ′时必须可用。但这意味着1必须得到平台周期σ′。我们相信这一点≤ q1pl，也就是r2pl≤ r1pl。SincePli=1r2pi≥Pli=1riby假设，r1pi=r2pi，我∈ {1，…，l- 1} 根据归纳假设，可以得出r2pl=r1pl。结果遵循数学归纳的原理。B引理5.9Fix R和 就像引理的陈述一样。首先，我们证明了如果τ（R，) 是循环的还是浪费的, R不是一般的效率。声明仅作为证据。首先，假设R包含一个浪费链, i、 e.有一系列的学生我，伊尔∈N和一系列项目p。