精打细算的大胆：用非流动资产优化财务决策

λk=λk（xk）。用动态规划方法得到了一般解。显然，f（x）=ln（1+x）。（14） 对于k>0，第k轮的情况相当于使用效用函数fk进行一次性赌博-因此，fk（x）=最大λ∈[0,1]Xjpjfk-1.（1+λ（aj）- 1） ）x, （15） 而∧k（x）由达到最大值的λ值给出。10-2410-1810-1210-610106x10-1210-1010-810-610-410-2100fn（x）n=0n=250n=500n=750n=100010-1810-1210-610106x0。30.40.50.60.70.80.91.0∧n（x）n=1n=250n=500n=750n=1000图2：初始条件为f（x）=ln（1+x）的方程（15）的数值解。第二个图显示了最佳下注分数，从1到1/3不等。方程（15）在渐近情况下易于求解。为了x→ 0，我们可以使用近似值f（x）≈ x、 为了使E[x]最大化，人们应该把所有可用的钱都押上（因为我们假设这场赌博是有利的）。我们现在可以看到，使用k中的归纳法，fk是一个线性函数，赌所有的钱总是好的。（这是一个短视战略的例子。）的确，如果fk-1是线性的，那么等式（15）中的最大值在λ=1时达到，因此，fk（x）=Pjpjfk-1（ajx）也是线性的。更具体地说，解决方案是：fk（x）≈ \'\'akx代表x→ 0，其中a=Xjpjaj>1。（16） 在x→ ∞ 在这种情况下，效用函数f（x）可以近似为lnx，因此最佳下注分数为λKelly=λ*（0）（参见第2.1节，尤其是图1）。与前一种情况一样，同样的短视策略可以在整个游戏中使用。因此，预期效用以恒定速率v:fk（x）增长≈ ln x+kVx代表x→ ∞, 式中，v=Xjpjln（1+λKelly（aj- 1)). （17） 我们的示例性赌博（A=1.3，A=0.75，p=p=0.5）的方程（15）的数值解如图2所示。请注意，这些曲线图涵盖了广泛的参数，包括一些小得离谱的x值。

此外，预期效用fn（x）可能太小，不值得进行优化。（一般来说，只有当一个微小的函数可以与其他微小的函数相结合时，它才是值得追求的。）然而，对这些极端参数问题的研究有助于理解大n行为，这是下一节的主题。图3所示的例子没有那么极端。它说明了对于足够大的n，但中间的x，最优策略和凯利策略之间的差异。凯利策略保证了最终资本x的更高中值。另一方面，最优策略实现了更高的概率，即获得1个数量级的xo。这个概率可能很小（事实上，它随n呈指数下降），但在这种情况下，冒险比有把握但收益很小要好。这将用有效效用函数和适当选择的风险参数0来解释≤ α ≤ 1.10-610-410-2100102x0概率密度KellyOptimal10-610-410-2100102x00。00.20.40.60.81.0尾部概率KellyOptimalFigure 3：使用最优策略与Kelly策略时最终资本的概率分布。游戏包括n=1000轮，初始资本为xn=10-3.3（初始资本的选择在结论中讨论）。第二个图显示了尾部分布，即最终资本超过给定金额的概率。我们以一个相当技术性的评论来结束本节。为了在有限区间内求解方程（15），同时避免不合理的计算成本，必须施加一些边界条件，例如，fn（0）=0和fn（x）=ln x+nv，对于x>xmax。第二个条件的简单实现可能会导致不稳定。为了避免这种不稳定性和其他可能的不稳定性，我们保持了函数Fn对所有n都是凹的精确问题的不变量。

更确切地说，如果fn-1是凹的，然后FN是凹的；这个性质与博弈本身的凸性密切相关。为了从网格值重建函数，我们使用了一个保持凹度的二次插值。当粘上x<xmax的数值解和x>xmax的凯利渐近线时，我们在边界处切下“齿”，这样得到的函数是凹的。4渐近区域和WKB解让我们现在找到函数fn的渐近形式。从数值计算中可以得出的关键见解是，d ln fn（x）d ln x（即图2中左图中曲线的斜率）在x的大范围内缓慢变化。为了优化给定点x=xn处的下注分数，我们可以假定斜率α为常数。也就是说，我们可以使用近似值fn-1（x）≈ cn-1xα，0≤ α ≤ 1（18）在xn点附近。幂律函数在方程（15）的迭代下是不变的，总因子呈指数增长。更确切地说，cn=eκ（α）cn-1，其中κ（α）=maxλ∈[0,1]r（α，λ），r（α，λ）=lnXjpj（1+λ（aj）- 1))α. （19） 图4a中绘制了特定博弈的函数κ（α）及其衍生物κ（α）。我们将证明κ是凸的，因此，κ是单调的。0.0.2 0.4 0.6 0.8 1.0α0.000.010.020.030.040.050.060.07κ（α）κ0（α）时间t=空间坐标q=ln xmomentum p=-iα哈密顿量H=κ（α）速度dqdt=Hp=iκ（α）a）b）图4:a）生长率κ及其衍生物κ作为风险参数α的函数。b） 一维粒子的量子力学和赌博问题之间的映射。当局部使用近似（18）时，方程cn=eκ（α）cn-1应该用这个替换： ln fn（x）n=κ（αn（x））与αn（x）= ln fn（x） lnx.（20）这里n被视为一个连续变量，第二个变量是q=lnx。

本质上，这是在一个稍微不寻常的情况下使用的WKB近似值。让我们离题一点，详细解释一下这个类比。WKB近似常用于量子力学。它相当于将沿q轴运动的粒子的波函数写成ψ（t，q）=eiS（t，q），直到在空间和时间上缓慢变化的某个因子。然后将ψ的薛定谔方程简化为哈密顿-雅可比方程，Sdt=-Hq、 p）带p=sq、 我们可以很容易地看到等式（20）的类比；两个问题之间的变量映射如图4b所示。注意动量泵=-iα是虚构的，就像量子隧穿问题一样。在想象时间内研究量子演化也是一种常见的技巧，用于计算热力学性质。回到主题，方程（20）是一阶的，因此可以用特征线法求解。特征线是（lnx，n）平面上的常数α线。它们由方程ln xdn=-κ(α). （21）事实上，让我们区分（20）中关于Lnx和express的第一个方程的两侧 ln fn（x） ln xon左手边为α=αn（x）。结果是αn=κ（α）α lnx，意味着α在第（21）行上是常数。这些直线从n=0直线上的点xon投影，其中α=α（x）如下所示：α（x）=d ln f（x）d ln x=x（1+x）ln（1+x）→（1如果x→ 0,0如果x→ ∞.（22）对于每个特征，方程式（20）被简化为一个普通的微分方程式，其具有a10-2710-1810-9100109X020040006008001000N图5:WKB特征（左）和n中的渐近区域→ ∞ 限制（右）。第5节将研究左图中的蓝色区域。简单的解决方案：fWKBnE-nκ（α）x= E-n（ακ（α）-κ（α））f（x），其中α=α（x）。

（23）从算法角度来看，fWKBn（x）是通过拍摄具有适当斜率的特征来计算的-κ（α）从点（lnx，n）开始，以满足终点处的方程α=α（x），见图5。这是κ（α）：κ（α）的显式表达=r（α，λ）αλ=λ*（α） =Pjpj＠aαjln＠ajpj＠aαj，其中＠aj=1+λ*（α） （aj）- 1). （24）特别是，κ（0）等于等式（17）中定义的方钻杆速率vde，我们将用v表示κ（1）。让我们使用以下近似值：α（x）≈如果x<0，则为1；如果x>0，则为0；如果x=0，则为0和1之间的任何数字。（25）它会在相对较小的时间间隔x内产生误差~ 1，总体精度损失与WKB近似本身造成的精度损失相当。因此，我们得到了图5所示的渐近区域。在中间区域，位于带坡度的线之间-范德-v、 近似解是fn（x）~ E-新罕布什尔州(-ln xn），（26）其中h是函数κ的勒让德变换：h（v）=maxα∈[0,1]（αv）- v的κ（α））≤ 五、≤ v、 （27）也就是说，h（v）=ακ（α）- κ（α）表示唯一的α∈ [0,1]满足方程κ（α）=v。现在让我们建立函数κ（α）、r（α，λ）（见方程（19））和h（v）的一些有用性质。随后的一些论点借鉴了统计力学和切尔诺夫界的推导。提议2。函数κ（α）和r（α，λ）在α中是凸的。证据允许 是一次赌博结果的概率分布集。Thenr（α，λ）=maxq∈Xjqjlnpjaαjqj, 式中∧aj=1+λ（aj- 1). （28）事实上，最大值是在, 可以通过使用拉格朗日乘子对qjand求偏导数来确定。

具体来说，qj=pjaαj/a，其中a=Pjpjaαj，因此，Pjqjlnpjaαjqj=lna=r（α，λ）。接下来，我们将方程（28）中的最大值解释为α：r（α，λ）=maxv（αv）中某些函数的勒让德变换- s（v，λ）），（29）式中（v，λ）=minq∈Q（v）Xjqjlnqjpj, Q（v）=Q∈  :Xjqjlnaj=v. （30）（空集上的最小值定义为+∞.) 因此，r（α，λ）在α中是凸的，因此，κ（α）=maxλ∈[0,1]r（α，λ）也是凸的。提议3。方程（27）定义的函数h允许以下表示：h（v）=minλ∈v的[0,1]s（v，λ）≤ 五、≤ v、 （31）其中s（v，λ）是最小相对熵，见等式（30）。证据它源自函数q 7的凸性→Pjqjlnqjpj表示s（v，λ）在v中是凸的。对凸函数应用勒让德变换两次，得到相同的函数；因此，s（v，λ）=supα∈R（αv）- r（α，λ））。（32）让我们暂时将α限制在区间[0,1]内。如果α∈ [0,1]，那么r（α，λ）在λ中是凹的，因此，我们可以应用冯·诺依曼的极小极大定理[7]：h（v）=maxα∈[0,1]最小λ∈[0,1]（αv）- r（α，λ））=minλ∈[0,1]最大α∈[0,1]（αv）- r（α，λ））。（33）我们声称约束α∈ [0,1]在最后一个最大值上，如果v≤ 五、≤ v、 为了看到这一点，让我们假设这两个不平等都是严格的；一般情况下是连续的。如果v<v<v，则在某个点（α（v），λ（v））达到最大值，0<α（v）<1。这一点是函数φ（α，λ）=αv的鞍- r（α，λ），表示最小λ∈[0,1]~n（α（v），λ）=~n（α（v），λ（v））=maxα∈[0,1]~n（α，λ（v））。（34）因为0<α（v）<1，而对于α，φ（α，λ（v））在α中是凹的∈ R、 最后一个最大值实际上是全局的。因此，（α（v），λ（v））满足λ的鞍条件∈ [0, 1], α ∈ R、 因此，也是这个域中的极小极大点。

我们得出结论：h（v）=minλ∈[0,1]supα∈R（αv）- r（α，λ）），其中，由于等式（32），上确界等于s（v，λ）。10-2410-1810-1210-610106x10-1210-1010-810-610-410-2100f1000（x）exactWKBdi功能10-410-310-210-1100101102x012345678910f1000（x）exactWKBdi函数图6：精确解Fn与使用WKB和微分近似法获得的精确解Fn的比较，n=1000。垂直虚线位于e处-nv，对应于α=0区域的边界。WKB特征有一个有趣的概率解释。它的确切陈述需要详细阐述，证据将涉及切尔诺夫边界，相对熵将发挥其通常的作用。我们将不尝试这样做，但请注意，这张定性图片很好地解释了数字。假设参与者使用最优策略，假设xnbe为初始资本，p（x）为最终资本的尾部分布。那么预期效用fn（xn）=E[f（x）]可以表示为：fn（xn）=Zf（x）-dp（x）dxdx。（35）我们声称，该积分由通过的特征端点（ln xn，n）的一个小邻域控制。鉴于此，该特征代表了玩家希望遵循的“乐观轨迹”。沿着这条轨迹的预期效用在理论上呈指数增长-d ln fn（x）dn=ακ（α）-κ(α). 这里，我们指的是条件期望值，假设玩家保持在正轨上。然而，这一事件的概率以相同的速率降低，因此总期望值是守恒的。（如果有其他路径到达目的地，概率可能会下降得更快。然而，如果玩家落后，恢复的机会非常渺茫。）因此，我们可以称v=κ（α）为“乐观增长率”，而h（v）=ακ（α）- κ（α）“失败率”。

我们的渐近分析都是关于这些量之间的平衡，从WKB解（23）的表达式中可以明显看出：fWKBn（x）=maxve-nh（v）fenvx. （36）5扩散近似如前所述，α=1区域和中间0<α<1区域的预期增益fn（x）随n呈指数下降。现在让我们研究中间区域和凯利区域（α=0）之间的边界，其中增益可能是显著的。凯利地区也将包含在我们的分析中。计划是将κ（α）扩展到α中的二阶，并写出相应的微分方程，本质上就是微分方程。我们从r（α，λ）在α中的二次展开式开始：r（α，λ）=αv（λ）+D（λ）α+O（α）, （37）式中v（λ）=Xjpjlnaj，D（λ）=Xjpj（lnaj）-Xjpjlnaj, ~aj=1+λ（aj-1). （38）以下中间计算使用假设λKelly=λ*（0）<1，但结果对于λKelly=1也是有效的。在λ中展开v（λ）和D（λ）- λKelly，我们比必要的高一个数量级：v（λ）=v（λKelly）+v（λKelly）（λ- λ方钻杆+v（λ方钻杆）（λ- λ方钻杆）+··，D（λ）=D（λ方钻杆）+D（λ方钻杆）（λ- λKelly）+··。（39）较高的精度有助于说明λ优化的工作原理。注意v（λKelly）=0，因为根据定义，λKelly是v（λ）=Pjpjln（1+λ（aj）的点-1） ）达到最大值。因此，λ*（α） =λKelly-D（λKelly）v（λKelly）α+O（α）。（40）然而，近似值λ*(α) ≈ λKelly对于我们的目的是有效的，如果λKelly=1，它也适用。使用这个近似或方程（40），我们得到：κ（α）=vα+Dα+O（α），其中v=v（λKelly），D=D（λKelly）。（41）与κ（α）的具体表达式无关，近似值λ≈ λKelly使问题线性化：fn（x）≈Xjpjfn-1（~ajx），~aj=1+λ方钻杆（aj- 1). （42）可以方便地用lin对数坐标书写，即。

根据变量y=lnx和函数gn（y）=fn（ey）。（43）因此，递归关系（42）变成n（y）≈Xjpjgn-1（y+lnaj）。（44）为了进一步简化，我们将使用κ（α）的表达式（41）用线性二阶微分方程拟合标准溶液集gn（y）=eκ（α）n+αy：Gn=vGy+DGy、 （45）它的解可以明确地写成：gn（y）=ZKn（y，z）g（z）dz，其中Kn（y，z）=√πDnexp-（y）- z+vn）4Dn. （46）用一个粗略的近似代替g（y）=ln（1+ey），g（y）=yθ（y），（47）我们得到：gn（y）=√4DNGy+vn√4Dn, g（t）=t1+erf（t）+e-T√π、 （48）其中θ是阶跃函数，erf是误差函数。6结论我们现在已经准备好了工具，可以回到最初的问题，并确定一个人应该如何现实地玩这个游戏，特别是考虑到我们最年轻的读者。我们为这位研究生提供外部资本。我们可以采取一些方法来估计这一点。EPA将2006年的统计寿命价值定为740万美元[8]，调整为950万美元。然而，这项评估考虑了死亡和痛苦，而不仅仅是金钱损失。卡内瓦尔、罗斯和切赫[9]的一篇论文得出的结果更符合我们的目的，该论文将2009年拥有硕士学位的美国人一生的平均收入定为270万美元，相当于现在的320万美元。

然而，这仍然有可能被高估，主要原因有两个：第一，工作有直接成本（开车上班的汽油成本、在工作中心附近居住的住房成本等），第二，为了一定数量的钱而不工作比为了这个数量的钱而工作更有价值（除了可能失去工作的风险）。相反，我们可以提出一个思想实验：为了放弃所有未来收益（也许除了被动投资），一个人会接受多少钱作为交换？我们可以考虑使用年金，因为它们实际上是在一生中一次性支付的。CharlesSchwab估算工具[10]为25岁的人提供每月约5000美元的年金收入，初始投资为200万美元。这大大低于预期收入，但我们必须考虑到这已经考虑到退休储蓄（因为年金不作区分），这使得它每年大约相当于70000美元（假设相当典型的15%退休储蓄率）。考虑到这是一个人永远不会再工作的收入（即极早退休），而且这场游戏最好是以对数尺度来看待（因此200万美元和300万美元之间的差异很小），我们将使用200万美元作为我们的外部资本估算。因为我们没有求解ln（xext+xint），而是将其标准化为ln（1+x），我们最初的xnis$1000$2000000=5·10-4.≈ 10-3.3，n=1000。通过动态规划求解（15），我们发现第一步的最佳下注分数约为0.494。如果投币率不错，我们的资本就会增加，下一次的赌注会略微下降到总资本的0.492。如果情况不好，我们的赌注也会增加。