精打细算的大胆：用非流动资产优化财务决策

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英文标题：
《Calculated Boldness: Optimizing Financial Decisions with Illiquid Assets》
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作者：
Stanislav Shalunov, Alexei Kitaev, Yakov Shalunov, Arseniy Akopyan
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最新提交年份：
2020
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英文摘要：
  We consider games of chance played by someone with external capital that cannot be applied to the game and determine how this affects risk-adjusted optimal betting. Specifically, we focus on Kelly optimization as a metric, optimizing the expected logarithm of total capital including both capital in play and the external capital. For games with multiple rounds, we determine the optimal strategy through dynamic programming and construct a close approximation through the WKB method. The strategy can be described in terms of short-term utility functions, with risk aversion depending on the ratio of the amount in the game to the external money. Thus, a rational player\'s behavior varies between conservative play that approaches Kelly strategy as they are able to invest a larger fraction of total wealth and extremely aggressive play that maximizes linear expectation when a larger portion of their capital is locked away. Because you always have expected future productivity to account for as external resources, this goes counter to the conventional wisdom that super-Kelly betting is a ruinous proposition.
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中文摘要：
我们考虑外部资本无法应用于游戏的人玩的机会游戏，并确定这如何影响风险调整后的最佳下注。具体而言，我们将Kelly优化作为一个指标，优化总资本（包括在用资本和外部资本）的预期对数。对于多轮博弈，我们通过动态规划确定最优策略，并通过WKB方法构造一个逼近。该策略可以用短期效用函数来描述，风险规避取决于游戏中的金额与外部资金的比率。因此，理性玩家的行为会有所不同，既有接近凯利策略的保守策略，因为他们能够投资更大比例的总财富，也有极端激进的策略，当他们的大部分资本被锁定时，会最大化线性预期。因为你总是期望未来的生产力会被视为外部资源，这与传统观点相违背，即超级凯利赌博是一个毁灭性的提议。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Portfolio Management        项目组合管理
分类描述：Security selection and optimization, capital allocation, investment strategies and performance measurement
证券选择与优化、资本配置、投资策略与绩效评价
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一级分类：Economics        经济学
二级分类：Theoretical Economics        理论经济学
分类描述：Includes theoretical contributions to Contract Theory, Decision Theory, Game Theory, General Equilibrium, Growth, Learning and Evolution, Macroeconomics, Market and Mechanism Design, and Social Choice.
包括对契约理论、决策理论、博弈论、一般均衡、增长、学习与进化、宏观经济学、市场与机制设计、社会选择的理论贡献。
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一级分类：Physics        物理学
二级分类：Biological Physics        生物物理学
分类描述：Molecular biophysics, cellular biophysics, neurological biophysics, membrane biophysics, single-molecule biophysics, ecological biophysics, quantum phenomena in biological systems (quantum biophysics), theoretical biophysics, molecular dynamics/modeling and simulation, game theory, biomechanics, bioinformatics, microorganisms, virology, evolution, biophysical methods.
分子生物物理、细胞生物物理、神经生物物理、膜生物物理、单分子生物物理、生态生物物理、生物系统中的量子现象（量子生物物理）、理论生物物理、分子动力学/建模与模拟、博弈论、生物力学、生物信息学、微生物、病毒学、进化论、生物物理方法。
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Risk Management        风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
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PDF下载：
--> Calculated_Boldness:_Optimizing_Financial_Decisions_with_Illiquid_Assets.pdf (818.7 KB)

2022-4-28 15:27:03 上传

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关键词：财务决策 流动资产 精打细算 Optimization Quantitative

计算大胆利用非流动资产优化财务决策Stanislav Shalunov、Alexei Kitaev、Yakov Shalunov和Arseniy AkopyanFORA CapitalCalifornia理工学院，帕萨迪纳，加利福尼亚州91125，USAIITP RAS（哈克维奇学院），莫斯科，俄罗斯，2020Abstracts我们考虑外部资本无法应用到游戏中的人玩的机会游戏，并确定这如何影响风险调整后的最佳下注。具体而言，我们将Kelly优化作为一个指标，优化总资本的预期对数，包括在用资本和外部资本。对于多轮博弈，我们通过动态规划确定最优策略，并通过WKB方法构造封闭近似。该策略可以用短期效用函数来描述，风险规避取决于游戏中的金额与外部资金的比率。因此，理性玩家的行为会有所不同，既有接近凯利策略的保守玩家，因为他们能够投资更大比例的总财富，也有极端激进的玩家，当他们的大部分资本被锁定时，他们会最大化线性预期。因为你总是希望未来的生产力能够考虑外部资源，这与传统观点相违背，即超级凯利赌球是一个毁灭性的提议。1导言假设读者在拉斯维加斯参加了一个会议，并获得了一个机会。你将获得1000美元，并有机会玩一个特殊的游戏。游戏很简单：你可以在一枚硬币上投下你想要的任意多的钱，但你可能没有其他的钱。如果你赢了，无论你付出多少，你都能赚+0.3。如果你输了，那就是-0.25%的股份。然后你再做999次。如果你想的话，你可以带着1000美元离开，开始你的一天。

但这是一场积极的期待游戏。平均而言，每场比赛你赢+0.025倍。有了1000个游戏，把所有可用资金投入到每一个游戏中的预期回报大约为530000000美元。天文数字，但实际上是虚构的：如果你这样打赌，有一半时间你什么也得不到，不到微不足道的0.3美分。如果你想带着超过1000美元的起价离开，你的赔率只有7%（在固定分数下注的情况下，结果的顺序无关紧要；因此，如果k是获胜的分数，k<524在最后给出的赔率不到1000美元，简单的指数分布可以让你计算概率）。你所有的赢款都集中在少数不太可能的大规模结果上。根本不玩是浪费，但押注一切都太冒险了。这就提出了一个显而易见的问题：你应该怎么玩？这并不是一个毫无意义的假设：我们不是在武断地考虑这个游戏，而是因为它是一个简单的生活模式。我们可以将职业发展视为一系列决定，即在机会出现时，投资于这些机会有多大的帮助。此外，由于整体财富在增长，我们可以假设这些机会平均为正预期。然而，由于盲目地把所有东西都投资在每一个项目上显然会导致破产，我们知道机会的中值结果是负面的。因此，我们得出了一个粗略的结论：人生是一系列回合，每个回合都有一个积极的期望，但中间结果是消极的，这使得这个游戏成为一个合理的代理和一个有趣的问题来解决。考虑到风险和差异的成本，最好的选择不是优化预期回报，而是优化某些效用函数的值。在下一节中，我们将更详细地讨论效用函数，但我们将研究的是对数。

1738年，伯努利[1]首次提出了这一概念，并将其现代应用于反复赌博和投资[2]。如果你只是简单地优化回报的对数，你就可以得到更合理的策略，将你的资本放在每一个层面上。你带着超过1000美元离开的概率飙升到93%，中值增加到大约63000美元。然而，这一策略仍然不够理想。毕竟，如果Kelly optimization为您提供了给定财富的最佳风险收益，那么您必须考虑总财富，包括除1000美元之外的其他财富。即使你身无分文，你也有所有未来的收入和前景可以考虑，以便发挥最佳效果。换句话说，你需要优化ln（1+x）（将外部资本标准化为1），这是一个比简单优化ln（x）（简单下注）复杂得多的问题，我们将在本文中解决这个问题。传统智慧的一部分是，合理的行为至少和对数一样厌恶风险，而较少的厌恶风险会导致破产。通过使用等弹性效用函数族（见第2.1节），我们可以直观地看到这一点，注意到对数和所有更多的风险规避函数的值为-∞ 如果风险厌恶程度低于对数，则其值为0。

令人惊讶的是，在前一种情况下，不会进行导致破产可能性的押注，而在后一种情况下，可以进行有破产可能性的押注，这意味着破产概率随着时间的推移接近1。然而，我们在这里看到的一个关键结果是，理性下注超过“凯利下注”的情况不仅存在于生活中，而且实际上是完全正常的，即使是对于整体效用函数将真正的破产置于-∞.2效用函数我们已经提到了伯努利的论点：对于一个总财富为w的人，这个总和的效用由ln w给出。在任何赌博中，理性的玩家都应该最大化这个数量的期望值（但不是，例如，w或w的期望值）√w） 。然而，这样一个笼统的说法似乎不可能是真的，因为不同的人对可接受的风险和他们需要多少钱有不同的偏好。例如-W似乎很好地代表了一些风险厌恶者的行为。不同效用函数的客观分析-0.4-0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0α0.00.20.40.60.81.0λ*（α） 图1：最佳下注分数λ*作为收益系数a=1.3、a=0.75和概率p=p=0.5的赌博的风险参数α的函数。在这个例子中，凯利分数是λ*（0）=1/3，赌博是有吸引力的（即λ*（α） =1）对于α≥ α≈ 0.6685.这是通过关注相应的最优行为及其结果来实现的，可以使用一些通用的度量进行比较。2.1等弹性效用函数在确定性情况下，效用可以通过任何单调递增函数U（w）来定义，最大化它相当于最大化w。当涉及机会时，考虑凹函数是自然的，因为获得一定的财富w通常比预期相同平均数的随机收益更好。

（无论如何，第一种选择可以通过去赌场转换为第二种。）在单调凹函数中，我们关注的是公式（x）=cxα+常数的函数。只要c有正确的符号，常数项和系数c就无关紧要，即，如果0<α<1，则为正；如果α<0，则为负。让我们也包括α=0case:uα（x）=（α-1（xα- 1） 如果α∈ (-∞, 0) ∪ （0,1]，Lnx=lims→0秒-1（xs）- 1） 如果α=0。（1） 这被称为“具有风险规避1的等弹性效用函数”- α”. 我们更喜欢使用α，并将其称为风险参数。结果表明，使用α>0可能非常危险，但α≤ 0是相对安全的。等弹性效用函数导致了短视的最优策略（不考虑历史或未来机会并独立对待每个机会的策略），这使得它们具有实际应用价值。让我们讨论一次性赌博中E[uα（w）]的最大化。玩家的决定由一个参数λ表示∈ [0,1]，他最初的财富中他愿意得到的那部分。游戏由一些增益因子Aj和概率pj定义。（例如，介绍中描述的每一轮游戏的a=1.3、a=0.75和p=p=0.5。）因此，该层将拥有数量wj（λ）=（1+λ（aj- 1） 赢（2）概率pj。采用效用函数uα，我们感兴趣的是最大化其期望值，uα（λ）=Ejuα（wj（λ））=Xjpjuα（wj（λ））。（3） 这是λ的凹函数，其导数单调递减：Uα（λ）=wαinXjpjaj- 1（1+λ（aj）- 1))1-α.

（4） 因此，λ=λ的值有三种可能性*Uα（λ）达到最大值时：λ*= 如果Uα（0）=wαinPjpj（aj- 1) ≤ 0（不利赌博）；λ*= 1如果Uα（1）=wαinPjpj（aαj- aα-1j）≥ 0（吸引人的赌博）；0 < λ*< 1否则，在这种情况下，Uα（λ*) = 0（中间情况）。（5） 请注意，“好感”是赌博本身的属性；这仅仅意味着平均收益因子a=Pjpjajis大于1。另一方面，“吸引力”取决于风险参数α。如需说明，请参见图1。现在，我们将研究效用函数uα所带来的风险，尤其是当α>0时。只考虑有吸引力的赌博是不够的，因为λ*下注相当于在修改后的游戏中下注所有人的钱，其中aj=1+λ*（aj）-1). 对于有两种可能结果的博弈，我们有以下约束：p（aα- aα-1） +p（aα）- aα-1) ≥ 0，p+p=1。（6） 通过选择一个足够大的a，它们可以满足任意小的正数p。（这里我们假设α>0。）因此，在某些情况下，玩家将面临任意大损失的风险，概率任意接近1。例如，一个效用函数为uα，α=1/2的玩家会爱上这个命题：a=1000，a=0.1，p=0.1，p=0.9，这意味着10倍的损失概率为0.9。伯努利的效用函数（α=0）有助于避免这种鲁莽行为。在这种情况下，吸引力条件变为SPJPJA-1j≤ 1，或者简单地说p≤ 两场比赛的结果→ ∞. 因此，如果发生概率小于1/Aor，伯努利玩家将承担a因子的损失风险。这就是我们所说的“相对安全”。然而，如果不允许分数赌注，风险就会增加。在这里，我们得出了一个隐含的假设，伯努利的理论基于这种假设，即通过拆分资本（例如，分为押注和安全部分）来管理风险的可能性。

这个概念在下面被形式化为凸博弈。2.2日志优化一般的机会博弈由一组正实数wJ（λ）描述，其中∧代表一种博弈策略，J代表一些随机事件，概率为pJ。这个定义适用于描述每一轮赌博以及整个游戏。在后一种情况下，∧是规定玩家在整个游戏中的行为的函数。我们假设随机性是玩家的外部因素，玩家根据可用信息做出确定性决策。我们感兴趣的是优化平均伯努利效用U（λ）=EJln（wJ（λ））=XJpJln（wJ（λ））。（7） 最大化U（λ）的策略被称为凯利策略，尽管在他的论文中，凯利专注于重复赌博。凸对策的性质是：对于任何策略∧（0），∧（1）和任何数字0≤ T≤ 1，存在一个插值策略∧（t），即满足条件wj的策略∧（t）= (1 - t） wJΛ(0)+ t wJΛ(1)对于所有的J.（8）凸对策的对数优化，特别是基于投资组合的对策，在[3,4]中进行了研究。这些论文，以及其他几篇论文，证明了Kellyst策略不仅在最大化特定功能方面，而且在更客观的意义上更优越。我们现在讨论这类的一些简单性质。以下结果（在投资组合的上下文中）作为推论2出现在参考文献[3]中。提议1。让∧*和∧分别是凸对策中的Kelly最优策略和任意策略，且≥ 1.然后事件的概率wJ（λ）/wJ（λ）*) ≥ A在most1/A证明。考虑∧（t）在∧之间插值的策略*和∧。自∧*是最优的，我们有0≥杜∧（t）dtt=0=XJpJwJ（λ）- wJ（λ）*)wJ（λ）*)= EJwJ∧wJ∧*)- 1.

（9） 这个说法紧接着就是马尔可夫不等式。本质上，策略∧*这在很大程度上是难以战胜的。这可以直观地与这样的想法相比较：如果你有一定数量的钱，比如1美元，以及任何形式的非有利条件，你将能够以不大于1/A的概率获得A美元。显然，在非有利条件的赌场玩不是一个好主意。凯利原著[2]中的一个关键观察结果是，对于重复赌博或投资，最大化对数效用与最大化增长率是相同的。这一点可以简单地展示出来。如果Wn是第n轮之后的财富（对于n=0，1，2，…），然后将增长率定义为limn→∞nlnwnw。对于任何短视的策略，这个极限等于E自然对数wn+1wn=E[ln wn+1]- 概率为1的E[ln wn]。这源于强大的大数定律。注意最大化E自然对数wn+1wn（因此，增长率）不同于最大化Wn+1wn的预期值。从长远来看，凯利战略主导着任何其他战略。关于这个属性的一个天真的说法是*nand WN分别是凯利策略和任何其他策略的结果，然后是Pr[w]*N≥ [wn]→ 1作为n→ ∞. 但这只适用于近视眼策略；在一般情况下，索普给出了一个反例[5]。对于一般策略，有不同的方法来计算渐近最优性，例如[6]。由于这些优势，我们特别考虑外部资本的Kelly优化，而不是其他效用函数的优化。3.反复赌博和动态编程现在我们正式确定了主要问题。游戏由n个相同的回合组成。我们从最后开始计算它们，因为做出决定的重要因素是剩余的k数和当前的xk数。

（我们的符号有点复杂，因为我们记录了比赛历史。）初始资本xn=x是固定的。每一轮都是一场有收益因素和概率pj的有利赌博。玩家可以下注任意分数λk∈ 当前金额的[0,1]。根据概率pjk发生的偶然事件j=jk，新的数量为xk-1=（1+λk（ajk）- 1） ）xk。（10） 游戏策略是一系列函数∧=（λn，…，λ），其中∧k使用所有可用信息描述第k轮中的最佳分数：λk=∧k（x；jn，…，jk+1）。通过组合（10）这样的单独步骤，我们得到函数依赖性xk-1=Xk-1（x；λn，…，k；jn，…，jk）。因此，最终金额可以写成x=x（x，λ，J），其中J=（jn，…，J）是偶然事件的整体顺序。这个游戏（或者更确切地说，函数集（x，J）7→ X（X，λ，J）对应于不同的策略）是凸的。实际上，给定策略∧（0），∧（1）之间的插值可以通过依次定义λ（t）k=∧（t）k（x；jn，…，jk+1）来构造：λ（t）k=（1）- t） 式中，n=x（k）和k=x（k）和-1.使用递推关系（10）获得0。因此，x（t）k=（1- t） x（0）k+tx（1）k对于所有x、J和k.（12）最后一个方程的k=0情况正是所需的凸性性质。实际上，我们在更大的背景下考虑n轮比赛。除了投入的资本，玩家还有一些额外的资金。在不丧失一般性的情况下，我们将该金额取为1。比赛期间不允许额外投资。因此，获得的总财富为w=1+x。我们希望最大化其预期伯努利效用E[ln（1+x）]。更准确地说，目标是计算efn（x）=max∧EJln（1+X（X，λ，J））（13） 并找到相应的最优策略。后者只取决于当前的历史，而不是整个历史，即。