求解Hamilton-Jacobi-Bellman方程的变换法

事实上，假设函数满足（10）。我们可以将函数V=V（x，t）定义为满足终端条件的一阶线性偏微分方程的唯一解：电视- GxV=0，V（x，T）=U（x），x∈ R、 t∈ [0，T），（13）其中函数g=g（x，T）由（11）给出。让我们如下介绍ψ=ψ（x，T）：ψ=1-十五十五。然后，在（12）的推导之后，我们得到函数ψ的方程：tψ=-x(xg+g（1）- ψ)).由此产生了差异≡ ψ - 满足线性偏微分方程：th=xg（h）。自φ（x，T）≡ψ（x，T）我们推导出所有x的ψ（x，T）=ψ（x，T）∈ R和t∈ [0，T]。但这意味着Vful完全符合非线性方程：电视-hα（1）- 十五/十五）- εe-十、- 里xV=0，V（x，T）=U（x）。（14） 换句话说，V=V（x，t）满足HJB方程（8）。因此，它是HJB方程（6）的解。此外，方程（14）是一个完全非线性的抛物型方程，其主体部分是一个整体十五。用这种方法可以推断（14）的解是唯一的。总之，我们已经证明，我们可以通过求解辅助拟线性方程（10）来代替求解HJB方程（6）。提议3.4。设φ（x，t）为柯西问题（10）的解。那么（13）给出的函数V（x，t）就是HJB方程（6）的解。此外，ψ=1- 十五/十五。备注3.5。将（6）转换为（8）–（9）的优点是，我们可以根据潜在的参数优化问题（分析或数值）提前定义和计算函数α（φ）。然后，可以将其插入拟线性方程（10），该方程可以解出φ，而不是解出原始的完全非线性HJB方程（8）和（6）。这样我们就不用计算价值函数V本身了。另一方面，投资者感兴趣的只是最优反馈策略θ，因此V实际上并不重要。

最优策略θ=θ（x，t）可以计算为参数值魟=魟（x，t）的二次优化问题（9）的唯一最优解。一个参数二次规划问题在一个由n个资产组成的投资组合的例子中，我们表示预期资产收益的向量和∑收益的协方差矩阵，we8 S.Kilianov\'A和D._Sev_covi_c[8]假设该矩阵是对称的正定义。对于投资组合收益和方差，我们有u（θ）=uTθ和σ（θ）=θT∑θ。对于φ>0，（9）成为参数二次凸规划问题α（φ）=minθ∈锡{-紧凸单纯形Sn上的uTθ+ПθT∑θ}（15）。在本节中，我们将讨论这种情况下的值函数α=α（ν）的定性性质。通过Ck，1（R+）我们表示（0，∞) 其k阶导数是Lipschitz连续的。通过α（~n），我们表示α（~n）w.r.对φ的导数。定理4.1。设∑ 0为正定义和u∈ 注册护士。然后，如（15）中定义的最佳值函数α（~n）是一个C1,1连续函数。此外，7→ α（^）是严格递增函数，α（^）=^θT∑^θ，（16）其中^θ=^θ（^）∈ Sni是（15）的唯一最小值，适用于φ>0。函数（0，∞) 3φ 7→^θ(φ) ∈ Rn是局部Lipschitz连续的。证据首先，我们注意到映射（0，∞) 3 φ 7→^θ(φ) ∈ SNI是连续的，可以直接从紧凸集Sn上严格凸函数最小化的基本性质推导出来。让我们表示f（θ，ν）：=-uTθ+ПθT∑θ问题（15）中的目标函数。自从|是紧集Sn上的连续函数，我们有supθ∈锡|νf（θ，|）|=C（|）<∞. f在θ中的严格凸性意味着一个唯一的极小子^θ的存在≡^θ（Д）至（15）。此外^f（^θ，^）≡^θ（^）T∑^θ（^）在^中是连续的，因为^θ（^）是连续的。

应用Milgrom和Segal[35，定理2]提出的一般包络理论，函数α（φ）在集合（0，∞).接下来，我们证明α（ν）>0。对于任何θ，函数f（θ，ν）都是线性的∈ Sn。因此，对于任何θ，都是绝对连续的。同样地，应用[35，定理2]，我们得到了α（ν）=α（0）+Z~n^f（^θ（ξ），ξ）dξ。因此α（ν）=^f（^θ（^），^）=^θ（^）T∑^θ（^），在Sn上严格为正。因此，7→ α（ν）是一个连续且递增的函数，对于ν>0。α（φ）的局部Lipschitz连续性现在来自Klatte在[24]中证明的一般结果（另见Aubin[2]）。实际上，根据[24，定理2]，极小值函数^θ（^）在^中是局部Lipschitz连续的。因此，导数α（^）=^θ（^）T∑^θ（^）也是局部Lipschitz。[9] 约束最优配置问题的HJB方程9-0.6-0.5-0.4-0.3-0.2-0.10.0jΑHjL-2.5-2.0-1.5-1.0-0.50.0jΑΑ^2HjLFigure 1：德国DAX 30指数投资组合的价值函数α及其二阶导数α，根据历史数据计算，2010年8月至2012年4月。资料来源：财务。雅虎。推论4.2。方程（10）是严格抛物型偏微分方程，即存在正实数λ-, λ+∈ (0, ∞), 因此，对于方程（10）的扩散系数α（ν），以下不等式成立：0<λ-≤ α(φ) ≤ λ+< ∞ 对于所有的φ>0。（17） 证据。这些不等式直接来自（16），它是紧集Sn上的二次正有限形式。关于（16），函数α（φ）达到最大λ+和最小λ-.例4.1。具有不连续二阶导数α的值函数α的示例基于实际市场数据，如图1所示。在这个例子中，我们考虑由30只股票组成的德国DAX指数。根据2010年8月至2012年4月的历史数据，我们计算了协方差矩阵∑和平均收益向量u。

可以观察到，二阶导数α（φ）至少有两个不连续点。4.1。值函数的平滑度更高。在本节中，我们将针对第4节开头所述的具体情况，讨论φ变量中的值函数α=α（φ）的进一步平滑特性。我们进一步证明了函数α局部是一个有理函数，它是开集上的凹函数。让我们表示IsetI= {|>0^θi（|）>0i=1，··，n}。然后（0，∞) = 我∪[|M|≤N-1IM，其中IM={~n>0 |^θi（~n）=0<=> 我∈ M} ，M在所有活跃指数子集上变化，M {1，···，n}。这里| M |表示集合M的元素个数。自|7起→θ（^）是连续的，集合I是开放的。10 S.Kilianov\'a和D.ˇSevˇcoviˇc[10]首先，让我们考虑一下这个案例∈ 我. 如果我们引入拉格朗日函数l（θ，λ）=θT∑θ- uTθ- λ1Tθ然后最优解^θ=^θ（^）和拉格朗日乘数λ=λ（^）由以下公式给出：Σ-1u + λΣ-1., λ =φ - 1T∑-1uT∑-1.因此^θ（^）=a-νb和α（ν）=a-其中a，b∈ Rn可以表示为：a=T∑-1Σ-11，b=-Σ-1u+uT∑-1T∑-1Σ-11.（19）经过简单的计算，我们得出a=T∑-1> 0，b=uT∑-1u -（1T∑-1u）T∑-1.≥ 0，c=-T∑-1uT∑-1.（20）不平等b≥ 0来自柯西-施瓦茨不等式。注意b>0，除非向量u和1是线性相关的。现在，如果∈ 关于某个子集M 在活动指数的{1，··，n}下，二次极小化问题（9）可以化为一个低维单纯形-|M |。因此，函数α（^）在int（IM）上是光滑的，因此^θ（^）和α（^）由以下公式给出：^θ（^）=aM-νbM和α（ν）=aM~n-bM~n+厘米，（21）适用于任何∈ int（IM）其中aM，bM∈ Rnand aM>0，bM≥ 0和厘米∈ R的计算公式与（19）和（20）中的公式相同，其中删除了与特定集合M中活动索引对应的∑和u中的数据（列和行）。提案4.3。

函数Д7→ （9）中定义的α（а）是C∞开放集J=I上的平滑函数∪S|M|≤N-1int（IM） (0, ∞). 公式（18）中给出了φ∈ 我按（21）计算∈ int（IM）其中M 分别为{1，···，n}。4.2. 从值函数的二阶导数中获得的有用信息。有一个有用的信息可以从α（ν）的形状中提取出来。为了便于说明，让我们观察图1所示的德国DAX 30指数示例的α（φ）不连续点。不连续点之间的间隔对应于集合IM。对于德国DAX 30指数的投资组合，我们获得了与表中总结的连续性区间相对应的活跃指数集。1.ψ的高值代表投资者的高风险厌恶。在第一个时间间隔内，只有一项资产的权重非零（等于1）。该资产是风险最大、预期回报最高的资产。实际上，对于约束最优分配问题的最低值[11]HJB方程11IMM（0，0.23）{23}（0.23，1.27）{23，30}（1.27，3.15）{16，23，30}（3.15，6.62）{16，23，27，30}（6.62，7.96）{16，21，23，27，30}（7.96，8.98）{15，16，21，23，27，30}（8.98，·················································。这些资产的标签分别是：1-阿迪达斯、15-费森尤斯、16-费雷斯医疗、21-林德、23-默克、27-SAP、30-大众。当然，投资者的风险厌恶程度较低，因此他们为了获得高回报而毫不犹豫地承担高风险。因此，如果我们能够将参数а（见第5节）与常数а+<∞, i、 e.~n（x，t）≤ 则可以确定区间（0，ν+）上α（ν）的连续性区间以及相应的活动指数集。

这将为投资者提供有关哪些资产在整个时间内以零权重进入投资组合的信息。如第8节所述，在德国DAX 30指数的数字样本中，只有Tab中的资产。1，在总数量为30的投资组合中，在[0，T]的某个时间以非零权重进入投资组合；i、 e.其余资产在考虑的整个时间段内保持非活动状态。4.3. 示例：2D问题的值函数的显式形式。本节的目的是给出二维问题的值函数α的显式形式。此外，我们还证明了定理4.1中得到的结果在某种意义上是最优的，即函数φ7→ α（~n）仅为C1,1光滑，但不是Cs光滑。最后，我们证明，在n=2的情况下，我们能够明确地确定这些集合I我也是。向量θ∈ 可以写成θ=（θ，1- θ） 这里θ∈ [0，1]是一个实数。我们用us，ub表示高风险股票和低风险债券的平均收益率，用σs，σb>0表示其标准差。我们假设≥ ub≥ 0和σb- σs≥ 0在哪里 ∈ [-1，1]是股票和债券回报之间的相关性。投资组合的平均回报率u（θ）和方差σ（θ）可以表示为u（θ）=θus+（1）- θ） ub，σ（θ）=θγ- 2θδ+（σb），（22）式中γ=（σs）+（σb）- 2σsσb 和δ=（σb）- σsσb.对于给定的φ>0，（9）中的目标函数是θ的二次函数，二次项的系数等于γφ。如果我们放松不等式约束≤ θ ≤ 1然后，验证无约束极小值^θucis givenby:^θuc（^）=ω/k+δ/γ是一个简单的演算≥ 0，其中ω=（us- ub）/γ≥ 0.因此，对于θ上的约束问题，S.Kilianov\'a和D.ˇSevˇcoviˇc[12]的最优解^θ=^θ（ˇ）∈ [0，1]可以以下形式书写：^θ（^）=min{ω/k+δ/γ，1}。

因此α（ν）=-ub- ωδ -ωγ2φ+φ(1 - )（σsσb），如果φ<ω（1-Δγ，（σs）ψ- us，如果≥ω(1 -δγ) .（23）就集合I而言我们有（0，∞) = 我∪ I{1}我在哪里= (ωγ/(γ - δ), ∞), I{1}=（0，ωγ/（γ）- δ） ]如果γ>δ，I= , I{1}=（0，∞), 如果γ≤ δ.关于提案4.3，职能部门7→ α（ν）是C1,1光滑的，当ν>0时，它是C∞集J=（0，∞) \\ {ωγ/(γ - δ） 如果γ>δ。注意γ>δiσb- σs>0。后一个条件自动满足非正相关 ≤ 股票和债券的回报率之间为0。5.经典解的存在性、唯一性和有界性在本节中，我们研究了在t=t时满足终止条件的向后拟线性抛物方程（10）的Cauchy问题的经典光滑解的性质。在第一部分中，我们将介绍几个我们将使用的功能空间。然后我们给出了有界光滑解的有用上下界。最后，根据基于所谓Schauder估计类型的方法（参见Ladyzhenskaya[28]），我们将证明（10）的经典解的存在性和唯一性。允许Ohm = （xL，xR） R是有界区间。我们表示QT=Ohm ×（0，T）时空圆柱。设0<λ<1。由Hλ(Ohm) 我们表示由所有连续函数构成的Banach空间Ohm 它们是λ-H¨older连续的，即H¨older半形式H~ni（λ）=supx，y∈Ohm,x、 y | ||（x）- |（y）|/|x- y |λ是有限的。空间Hλ中的范数(Ohm)则为最大范数φ和半范数hφi（λ）之和。空间h2+λ(Ohm) 由两个连续可区分的函数组成Ohm 谁的二阶导数x~n属于Hλ(Ohm). 空间H2+λ（R）由所有函数构成→ R以至于∈ H2+λ(Ohm) 对于任何有界的Ohm  R.接下来，我们可以定义定义在有界圆柱QT上的函数的抛物线H？older空间Hλ，λ/2（QT）。

它由qt中的所有连续函数构成，因此在x变量中是λ-H-older连续的，在tv变量中是λ/2-H-older连续的。范数定义为最大范数和相应的半型之和。空间H2+λ，1+λ/2（QT）由所有连续函数组成，因此t，x~n∈ Hλ，λ/2（QT）。最后，空间H2+λ，1+λ/2（R×[0，T]）由所有函数组成：R×[0，T]→ R以至于∈ H2+λ，1+λ/2（QT）对于任意有界圆柱QT。我们还将使用Lebesgue和Sobolev空间。根据Lp（QT），1≤ P≤ ∞, 我们表示所有p-可积函数的Lebesgue空间（p=∞) 在QT上定义，配备标准：k|kLp=（RQT||p）1/p，k|kL∞= supQT | |。Sobolev空间W（QT）由约束优化分配问题的所有[13]HJB方程组成∈ L（QT）使得分配导数x k，t~n∈ L（QT）。标准定义为kаkW=kаkL+ktkL+kx k kL。最后，抛物线Sobolevspace W2,1（QT）由所有函数组成∈ L（QT）这样x k，x k，t~n∈ L（QT），kаkW2,1=kаkL+ktkL+kx k kL+kx k kL（参见[28，第一章]）。我们首先推导柯西问题（10）解的上下界。证明ν（x，t）的上下估计值的想法是基于抛物方程（10）的合理子解和超解的构造（参见[41，28]）。备注5.1。回想一下，该值φ（x，t）- 1可以解释为中间效用（值）函数V（x，t）的绝对风险规避系数。因此，在从上到下估计绝对风险规避时，也可以使用解的上限和下限。提议5.2。假设终端条件φ（x，T）是正的，并且从上面统一绑定，即存在一个常数φ+，使得0<φ（x，T）≤ 对于任何x∈ R

假设α=α（φ）是满足（17）的光滑函数。如果∈H2+λ，1+λ/2（R×[0，T]）∩ L∞（R×（0，T）），对于某些0<λ<1，是拟线性抛物方程（10）柯西问题的有界解，然后它满足以下不等式：0<φ（x，T）≤ 对于任何t∈ [0，T）和x∈ R.证明。方程（10）可以改写为一个完全非线性的抛物型方程τ~n=H（x，t，~n，x k，其中τ=T- T∈ （0，T）和H≡ xα（ν）+十、α（ν）+（εe）-x+r）ν- α(φ)φ. 注意，（24）的右边是一个严格的抛物线算子，使得0<λ-≤ qH（x，t，~n，p，q）≡ α(φ) ≤ λ+< ∞ ,对于所有φ>0。让我们将常数子和超级解定义如下：φ（x，t）≡ 0，~n（x，t）≡ 对于所有x∈ R、 t∈ （0，T）。很明显，H（x，t，ψ，x k，x~n）≡ 0，和H（x，t，~n，x k，x~n）=-（εe）-x+r）ν+<0。因此，ψ、ψ实际上是严格抛物非线性方程（24）的次解和超解，即。τφ ≤ H（t，x，~n，x k，x~n），τφ ≥ H（t，x，~n，x k，满足不等式φ（x，T）<φ（x，T）≤ 对于任何x∈ R.不等式0<~n（x，t）≤ ν+，x∈ R、 t∈ （0，T），因此是强抛物方程抛物比较原理的结果（参见[28，第五章，（8.2）]或[41]）。14 S.Kilianov\'a和D._Sev_covi_c[14]定理5.3。假设∑为正定义，u∈ Rn，ε，r≥ 0，最优值函数α（φ）由（15）给出。假设终端条件φ（x，T）=1- U（x）/U（x），x∈ R、 x为正且一致有界∈ 在约0<λ<1/2的情况下，R属于H¨older空间H2+λ（R）。然后，满足终端条件的后向拟线性抛物方程（10）存在唯一的经典解（x，t）。函数t7→ t~n（x，t）是λ/2-H–对于所有x是连续的∈ R x 7→ 对于所有t，xа（x，t）是Lipschitz连续的∈ [0，T]。

此外，α（ψ（，））∈ H2+λ，1+λ/2（R×[0，T]）和0<ν（x，T）≤ 好的∈R k（x，T）代表所有（x，T）∈ R×[0，T）.证明.在应用所谓的Schauder关于拟线性抛物方程经典H¨older光滑解的存在性和唯一性的理论时，其系数的光滑性起着关键作用。也就是说，该理论要求拟线性抛物方程的扩散系数是充分光滑的xα（ν）=x（α（ν）x k）和扩散系数α（k）仅为Lipschitz连续。在а中，应首先正则化后向拟线性抛物方程（10）。为此，我们构造了一个δ参数化的光滑molli fier函数族α（δ）（ν），使得α（δ）（ν）=> α（ν）和α（δ）（ν）=> α（ν），asδ→ 0，（25）局部均匀∈ (0, ∞). 此外，正则化可以用0<λ的方式构造-/2.≤ α(δ)(φ) ≤ 2λ+< ∞ 对于所有的φ>0，以及所有足够小的φ<δ 1.现在，对于任何δ>0的情况，通过应用[28，ChapterV，pp.495–496]中的定理8.1和备注8.2，我们得出了δ的唯一经典有界解的存在性∈ H2+λ，1+λ/2（R×[0，T]）∩ L∞（R×（0，T））到柯西问题t~nδ+x（α（δ）（δ）x~nδ）+xf（·φδ，α（δ）（φδ））=0，φδ（x，T）=φ（x，T），（26）x∈ R、 t∈ [0，T），式中f（x，φ，α（φ））：=（εe）-x+r）ν+（1）- φ)α(φ).设QT=（xL，xR）×（0，T）是R×（0，T）中的有界圆柱。根据命题5.2，δ在空间L的范数内有界∞（QT）。更准确地说，kδkL∞（QT）≤ k~n（.，T）kL∞（R） ，对于任何0<δ 1（另见[28，第一章]）中的不等式（2.31）。根据IneQuality[28，第一章，（6.6）]的规定，在空间W（QT）中，νδ也是一致有界的，即存在一个常数c>0，使得νδ>0，kνδkW（QT）≤ c、 对于任何0<δ 1.这意味着存在一个子序列δk 弱收敛到某个元素∈ W（QT）asδk→ 0.此外，δk（x，t）→ 对于几乎每一个（x，t）。