求解Hamilton-Jacobi-Bellman方程的变换法

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英文标题：
《Transformation Method for Solving Hamilton-Jacobi-Bellman Equation for
  Constrained Dynamic Stochastic Optimal Allocation Problem》
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作者：
Sona Kilianova and Daniel Sevcovic
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最新提交年份：
2013
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英文摘要：
  In this paper we propose and analyze a method based on the Riccati transformation for solving the evolutionary Hamilton-Jacobi-Bellman equation arising from the stochastic dynamic optimal allocation problem. We show how the fully nonlinear Hamilton-Jacobi-Bellman equation can be transformed into a quasi-linear parabolic equation whose diffusion function is obtained as the value function of certain parametric convex optimization problem. Although the diffusion function need not be sufficiently smooth, we are able to prove existence, uniqueness and derive useful bounds of classical H\\\"older smooth solutions. We furthermore construct a fully implicit iterative numerical scheme based on finite volume approximation of the governing equation. A numerical solution is compared to a semi-explicit traveling wave solution by means of the convergence ratio of the method. We compute optimal strategies for a portfolio investment problem motivated by the German DAX 30 Index as an example of application of the method.
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中文摘要：
本文提出并分析了一种基于Riccati变换的求解随机动态最优分配问题演化Hamilton-Jacobi-Bellman方程的方法。我们展示了如何将完全非线性的Hamilton-Jacobi-Bellman方程转化为一个拟线性抛物方程，其扩散函数作为某个参数凸优化问题的值函数。虽然扩散函数不需要足够光滑，但我们能够证明它的存在，经典H的唯一性及其有用界的推导\\“旧的光滑解。我们进一步构造了一个基于控制方程有限体积近似的全隐式迭代数值格式。通过该方法的收敛率，将数值解与半显式行波解进行了比较。我们以德国DAX 30指数为例，计算了一个投资组合问题的最优策略方法的应用。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Portfolio Management        项目组合管理
分类描述：Security selection and optimization, capital allocation, investment strategies and performance measurement
证券选择与优化、资本配置、投资策略与绩效评价
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PDF下载：
--> Transformation_Method_for_Solving_Hamilton-Jacobi-Bellman_Equation_for_Constrain.pdf (266.02 KB)

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关键词：hamilton bellman Milton Jacobi Jacob

ANZIAM J.0（2013），求解约束动态随机最优分配问题Hamilton-Jacobi-Bellman方程的1-22变换方法。基利亚诺夫A和D.塞夫科维奇∨（2013年xx月）摘要本文提出并分析了一种基于Riccati变换的方法，用于求解随机动态最优分配问题产生的进化Hamilton-Jacobi-Bellman方程。我们展示了如何将完全非线性的HamiltonJacobi-Bellman方程转化为一个拟线性抛物方程，其扩散函数作为某些参数对流优化问题的值函数。尽管扩散函数不需要完全光滑，但我们能够证明经典H¨oldersmooth解的存在性、唯一性并推导出有用的界。我们进一步构造了一个基于控制方程有限体积近似的全隐式迭代数值模式。通过该方法的收敛性，将数值解与半显式行波解进行了比较。作为该方法应用的一个例子，我们计算了一个由德国DAX 30指数激励的组合投资问题的最优策略。2000年数学科目分类：小学：35K55，中学：34E05 70H2091B70 90C15 91B16。关键词和短语：Hamilton–Jacobi–Bellman方程、Riccati变换、拟线性抛物方程、有限体积近似格式、行波解。1.导言本文的目的是提出并分析一种基于Riccative变换的方法，用于求解有限时间范围内随机动态最优分配问题产生的时间相关Hamilton-Jacobi-Bellman方程，其中我们的目标是最大化终端效用在投资组合构成约束下的预期价值。部。

斯洛伐克布拉迪斯拉发市夸美纽斯大学数学、物理和信息学学院应用数学与统计，842 48；电子邮件：kilianova@fmph.uniba.sk, sevcovic@fmph.uniba.sk.c澳大利亚数学学会2013年，序列费代码0334-2700/13arXiv:1307.3672v2[q-fin.PM]20132年7月24日S.Kilianov\'a和D.ˇSevˇcoviˇc[2]Zariphopoulou[48]考虑并分析了具有国家约束的投资问题，其目的是在有限和有限的时间范围内，最大化由风险资产和无风险资产组成的最优组合投资的总预期消费贴现率。结果表明，潜在随机控制问题的价值函数是相应HJB方程的唯一光滑解，最优消费和投资组合以反馈形式给出。她进一步表明，该值函数是相关HJB方程的约束粘度解。Benton在[5]中讨论了求解HJB方程的经典方法。在[36]中，Musiela和Zariphopoulou应用了类幂变换，以便在指数效用函数的情况下，将值函数的非线性偏微分方程线性化。在开创性论文[23]中，Karatzas等人研究了消费投资优化的一个类似问题，该问题是在时间范围内最大化消费的总预期折扣率[0，T]。对于一类效用函数，他们导出了HJB方程的显式解。然而，在我们的案例中，目标是在对控制函数施加约束的情况下，使一般效用函数和对投资组合的非限定贡献的情况下，使投资组合的终端效用的预期价值最大化。

因此，我们必须求解动态HJB方程，一般来说，这种非线性偏微分方程的显式解不再可用。关于解决与投资组合优化相关的HJB方程的数值方法，我们可以参考Tourin和Zariphopoulou[45]、Crandall、Ishii和Lions[11]、Nayak和Papanicolaou[38]开发和分析的用于近似其粘度解的有限差分方法。在[37]中，Muthamarand Sunil解决了一个具有交易成本的多维投资组合优化问题。他们使用有限元法和迭代程序，将自由边界问题转化为一系列固定边界问题。在[39]中，Peyrl等人。应用逐次逼近算法求解相应的JB方程。Huang等人[16]讨论了求解离散化HJ方程的定点策略迭代方案。在[46]中，Witte和Reisinger提出了离散连续控制HJBE方程数值解的近似方法。在我们的方法中，我们遵循不同的方法。我们没有直接求解完全非线性的HJB方程，而是首先通过Riccati变换将其转化为拟线性抛物线方程。证明了变换后的拟线性抛物方程解的存在唯一性。此外，我们还得到了解的有用界。这些界限可以解释为对风险规避能力的估计。特别注意一个辅助参数二次规划问题的解。结果表明，这种凸规划的值函数的导数起到了拟线性方程微分系数的作用。

尽管扩散函数不需要足够光滑，但我们能够证明经典H¨oldersmooth解的存在性、唯一性并推导出有用的界。[3] 约束最优分配问题的HJB方程3所得方程可通过基于有限体积近似的迭代方法进行数值求解。与衍生证券定价的Black-Scholes方程（参见ˇSevˇcoviˇc、Stehlikovˇa和Mikula[42]）和本文研究的完全非线性HJB方程的完全非线性化解类似。在[22]中，Jandaˇcka和ˇSevˇcoviˇc提出了一种数值方法，通过将Black–Scholes方程转换为期权价格二阶导数的所谓伽马方程，来解决其完全非线性推广。实际上，Riccati变换是值函数导数的对数导数。在这里，我们应用石村等人在一系列论文中提出并分析的theRiccati变换。[1, 19, 21]. 最近，Ishimura和_Sevˇcoviˇc在[20]中分析了一类具有范围约束的HJB方程，并构造了HJB方程的行波解。关于求解变换拟线性抛物型偏微分方程的数值方法，Ishimura、Koleva和Vulkov[17,18,25,26]最近发表了一些论文，其中他们考虑了一个在最优控制函数上没有不等式约束的简化问题。论文的结构如下。在第二节中，我们阐述了我们的兴趣问题及其背后的动机。第三节分析了HJB方程到拟线性抛物方程的theRiccati变换。转换后的函数可以用投资者的相对风险厌恶系数来解释。

在第四节中，我们分析了一类参数二次优化问题。本节的目的是证明值函数是一个非常平滑的递增函数。值函数导数的Lipschitz连续性是证明第5节提出的变换拟线性抛物方程经典解的存在唯一性的关键条件。对于相应的拟线性抛物方程，我们还导出了柯西问题解的有用界。利用辅助参数二次优化问题的值函数的这些界和光滑性，我们证明了经典H¨older光滑解的存在性。第6节分析了具有行波形式的特殊半显式解。然后，在第7节中，我们利用这种特殊解作为基准解，构造了一种迭代的全隐式数值近似格式来求解aquasi线性抛物方程。第8节介绍了该方法在构建德国DAX 30指数最优响应策略中的应用。2.问题陈述我们的动机来自一个动态随机优化问题，其目的是最大化aportfolio终端效用的条件期望值：maxθ|[0，T）EhU（XθT）Xθ=xi，（1）其中{Xθt}是有限时间范围[0，t]上的It\'o随机过程，U:R→ Ris是给定的终端效用函数，xa是给定的{Xθt}在t=4时的初始状态条件。函数θ：R×[0，T）→ Rnmapping（x，t）7→ θ（x，t）代表一个控制潜在随机过程{xθt}t的未知控制函数≥这里θ|[t，t）表示0≤ t<t表示控制函数θ对时间间隔[t，t]的限制。

假设Xθ由随机微分方程dxθt=εe驱动-Xt+r+u（θ）-σ(θ)!dt+σ（θ）dWt，（2）其中wt表示标准布朗运动，函数u（θ）和σ（θ）是漂移和波动函数，取决于控制函数θ。参数ε∈ R代表系统中财产的恒定流动率，而R≥ 0是利率。许多欧洲养老金系统使用ε>0，代表储蓄者养老金账户的规定缴款率，作为其养老金的规定百分比。例如，ε=0.06- 斯洛伐克为0.09，保加利亚为ε=0.14，ε=0.02- 瑞典为0.05（c.f.[30,26]）。在本文中，我们假设控制参数θ∈ sn属于紧单纯形sn={θ∈ Rn |θ≥ 0，1Tθ=1} Rn，（3）式中1=（1，··，1）T∈ 注册护士。应该注意的是，过程{Xθt}是随机过程{Yθt}t的对数变换≥0受SDE的驱动：dY)θt=（ε+（r+u（)θ））Y)θt）dt+σ（)θ）Y)θtdWt，根据随机动态规划理论，所谓的价值函数V（x，t）：=supθ|[t，t）EhU（xθt）| xθt=xi（5）可用于求解随机动态优化问题（1）（参见Bertsekas[6]，Fleming and Soner[15]或Bardiand Dolceta[4.4]）。

如果过程Xθ由（2）驱动，则值函数V=V（X，t）满足Hamilton-Jacobi-Bellman（HJB）方程tV+maxθ∈Sn（εe）-x+r+u（θ）-σ(θ)!xV+σ（θ）xV）=0，（6）表示所有x∈ R、 t∈ [0，T）根据终端条件V（x，T）：=U（x）（参见例如Macov\'a和ˇSevˇcoviˇc[30]或Ishimura和ˇSevˇcoviˇc[20]）。作为随机动态优化问题（1）的典型例子，其中基本随机过程满足SDE（2）可以考虑动态投资组合优化问题，其中资产被标记为i=1、···、n和[5]HJB方程，用于与价格过程{Yit}t相关的约束最优分配问题5≥0，它们中的每一个都遵循一个几何布朗运动DYIT=uidt+nXj=1′σi jdWjt（参见Merton[33,34]、Browne[10]、Bielecki和Pliska[7]或Songzhe[44]）。一个投资组合的价值，其权重为∧θ=∧θ（y，t），用yθt表示。可以证明{yθt}t≥0满意度（4）。假设θ∈ SN对应于不允许借用资产的情况（θi≥ 0）和Pni=1θi=1。我们有u（θ）=uTθ和σ（θ）=θT∑θ，其中u=（u，···，un）和∑=∑∑∑∑Twhere∑=（∑i j）。终端函数U代表投资者的预定终端效用函数。备注2.1。在零流入ε=0的情况下，假设（4）对随机过程{Y)θt}t进行假设≥0与著名的默顿最优消费和投资组合选择模型有关（参见默顿[33,34]）。然而，对于默顿模型，必须考虑控制函数θ的更大约束集。也就是说，simplexsn必须被一个更大的集合Sno={θ替换∈ Rn |θ≥ 0，1Tθ≤ 1}  注册护士。

值得注意的是，当SNI被Sno替换时，所有关于值函数α的C1,1光滑性（见定理4.1）以及关于经典解的存在唯一性（见定理5.3）和数值离散格式的结果仍然成立。3.HJB方程到拟线性抛物线方程的Riccati变换遵循了Riccati变换的方法，该变换首先由Abemura和Ishimura在[1]中提出，后来由Ishimura等人[19,21]、Xia[47]或Macov\'aaand_Sevˇcoviˇc[30]研究，用于无不等式约束的问题，并由Ishimura和_Sevˇcoviˇc[20]进一步分析，我们将介绍以下转换：ψ（x，t）=1-xV（x，t）xV（x，t）。（7） 备注3.1。函数a（x，t）≡ ~n（x，t）- 1可以被视为价值函数V（x，t）的绝对风险规避系数，代表投资者在t时刻的中间性函数∈ [0，T]（参见普拉特[40]）。在原始变量y中，表示ev（y，t）=V（lny，t），我们可以推断函数a（y，t）≡ν（ln y，t）是中间效用函数v（y，t）的相对风险规避系数，定义为比率：ea（y，t）=-Y是（y，t）/是的。备注3.2。值得注意的是，基于SDE（2）的养老金储蓄模型既没有考虑交易成本，也没有考虑消费。从Dai等人[12,13]最近的论文中可以看出，一个包含这些影响的模型可以在两个空间维度上导出HJB方程。在这种情况下，不可能基于简单的一维Riccati变换（7）进行变换。6 S.Kilianov\'a和D.ˇSevˇcoviˇc[6]假设所有x的ˇ（x，t）>0∈ R和t∈ [0，T]。如果我们考虑一个函数U（x），它是x变量中的一个增函数和凹函数，那么t=t显然可以满足这个假设。

我们将在第5节中详细讨论这一假设。现在，问题（6）可以重写如下：0=电视+εe-x+r- α(φ)xV，V（x，T）：=U（x），（8），其中α（ν）是以下参数优化问题的值函数：α（ν）=minθ∈锡{-u(θ) +φσ(θ)} . （9） 如果方差函数θ7→ σ（θ）是严格凸的，θ7→ u（θ）线性（如第2节所述），问题（9）属于一类参数凸优化问题（参见Bank等人[3]）。定理3.3。假设值函数V满足（8），函数φ定义为（7）。那么φ是拟线性抛物方程柯西问题的解：t~n+xα（ν）+x[（εe）-x+r）ν+（1）- ）α（）=0，x∈ R、 t∈ [0，T），（10）~n（x，T）=1- U（x）/U（x），x∈ R.证明。通过区分（7）关于t和计算导数，可以很容易地证明这一说法电视十、电视十、电视节目（8）。事实上xV=（1）- φ)十五、我们有t~n=-十、电视十五+十五十、电视(xV）=-十、电视xV+（1）- φ)十、电视十五。让我们表示g（x，t）=α（φ（x，t））- εe-十、- r、 （11）那么电视=g十五因此十、电视=xgxV+gxV=[xg+g（1）- φ)]十五，十、电视=[xg+x（g（1）- φ)) + (xg+g（1）- φ))(1 - φ)]十五。因此t~n=-x(xg+g（1- ）和（12）以及t~n=-十、xα（ν）+（εe）-x+r）а+α（а）（1）- φ), 如前所述。最后，我们注意到xα（ν）=x（α（ν）x~n）。此外，如果α严格递增，则en（10）的确是一个终端条件为t=t的拟线性抛物型偏微分方程（见Ladyzhenskaya等人[28，第1章，（2.4]）。[7] 约束最优分配问题的HJB方程7相反，可以使用满足方程（10）的解来构造HJB方程（8）的解V（x，t）。