求解Hamilton-Jacobi-Bellman方程的变换法

注意，k→ 由于嵌入W（QT）上的Rellich-Kondrashovcompactness定理，在L（QT）中强烈→ L（QT）（参见[28，第二章，定理2.1]）。[15] 约束最优分配问题的HJB方程（α（δk）（δk）→ α（ν）和α（δk）（νδk）→ α（ν）在L（QT）中强烈。这是一系列不等式|α（δ）（|δ）- α(φ)| ≤ |α(δ)(φδ) - α(φδ)| + |α(φδ) - α(φ)| ≤ |α(δ)(φδ) - α(φδ)| + λ+|φδ- φ|,|α(δ)(φδ) - α(φ)| ≤ |α(δ)(φδ) - α(φδ)| + |α(φδ) - α(φ)| ≤ |α(δ)(φδ) - α（|δ）|+L|||δ- |，其中L>0是函数|7的Lipschitz常数→ α（ψ）（见定理4.1）和（25））。将方程（26）乘以函数η∈ W（QT）在边界上消失qt并将其在域qt上积分，得到积分恒等式：ZQTt~nΔηdxdt-ZQTα(δ)(φ) xаδ+f（x，аδ，α（δ）（аδ））xηdxdt=0。通过极限δk→ 我们的结论是∈ W（QT）是满足积分恒等式zqt的后向拟线性抛物方程（10）的弱解t~nηdxdt-ZQTα(φ) xа+f（x，а，α（а））对于任何η，xηdxdt=0∈ W（QT）在边界上消失QT。自从t~n+xα（ν）+xf=0（27）和φ，f∈ 我们有xα（ν）∈ L（QT）。此外tα（ν）∈ L（QT）因为φ7→ α（~n）是Lipschitz连续的（见定理4.1），α（~n）>λ-和t~n∈ L（QT）。因此α（ν）∈ W2,1（QT）。回想一下，抛物线索波列夫空间W2,1（QT）对于任何0<λ<1/2（参见[28，引理3.3，第二章]）连续嵌入到H¨older空间Hλ，λ/2（QT）中。从方程（27）可以看出，变换后的函数z（x，t）：=α（φ（x，t））是非发散形式的拟线性抛物方程的解：tz+ζ（z）hxz+xf（x，β（z），z）i=0，z（x，T）=α（ν（x，T）），其中ζ（z）=α（β（z））和z 7→ β（z）是递增函数φ7的反函数→ α（~n），即α（β（z））=z表示任何z。显然，z为7→ β（z），β（z）是Lipschitz连续的，所以z是7→ ζ（z）也是Lipschitz连续的。

接下来，我们利用一个简单的bootstrap参数来证明z=z（x，t）是完全光滑的。很明显，这是一个非散度形式的线性抛物方程的解tz+a（x，t）xz+b（x，t）其中a（x，t）：=ζ（z），b（x，t）=ζ（z）（（εe-x+r）β（z）+1- β（z）- zβ（z））和F（x，t）=（εe-x+r）β（z），z=z（x，t）。所有的系数a，b，F都属于H？older空间Hλ，λ/2（QT），因为z∈ Hλ，λ/2（QT）。关于[28，定理12.2，第三章]我们有z∈ H2+λ，1+λ/2（QT）和定理的证明很容易遵循。16 S.Kilianov\'a和D.ˇSevˇcoviˇc[16]备注5.4。让我们考虑一个效用函数U（x）=-A.-1exp(-（a）- 1） x）表示投资者具有恒定的绝对风险规避系数a>1。然后，对于终端条件φ（x，T），我们有φ（x，T）≡ a是定理5.3中关于终端函数φ（，T）的充分线性假设的常数函数。备注5.5。从定理5.3的证明可以看出，当值函数α（φ）是满足估计（17）的一般C1,1光滑函数时，其关于H¨older光滑解φ至（10）存在性的陈述仍然成立。这允许考虑（9）中定义的更广泛的价值函数类别（另请参见2.1）。结合定理4.1和5.3，我们得到以下推论：推论5.6。在定理5.3的假设下，HJB方程（6）存在唯一的连续最优响应函数θ=θ（x，t）。这是由θ（x，t）=θ（^（x，t））给出的，其中θ（^）是（15）的最优解，对于^=^（x，t）。函数r3x7→ θ（x，t）∈ Rnis Lipschitz对所有t连续∈ [0，T].6。行波解本节的目的是构造准线性方程（10）的半显式行波解。

我们将利用这种特殊解来测试数值精度，并估计第7节中提出的数值模式的收敛速度。为了构造行波解，我们假设ε=0，r=0，∑为正定义。在这种情况下t~n+xα（ν）+十、α(φ) - α(φ)φ= 0，x∈ R、 t∈ [0，T）。（28）在定理4.1中，我们证明了函数α（ν）是严格递增的局部光滑函数。根据Ishimura和_Sevˇcoviˇc（参见[20]）的分析和想法，我们将构造形式为_（x，T）=v（x+c（T）的（28）的行波解- t） ），x∈ R、 t∈ [0，T]，波速为c∈ R和波函数v=v（ξ）。我们注意到，终端条件φ（x，T）到（28）只是行波曲线v（x）。备注6.1。根据绝对风险规避系数a（x）=-我们有a（x）=v（x）- 1.因此，递减的行波曲线对应于绝对风险规避系数a（x）递减的自主权函数。因此，它可能与具有更高风险偏好的投资者有关，随着投资组合价值x的增加，插入φ（x，t）=v（x+c（t- t） 我们推断出一个常数的存在∈ R使得ddξα（v（ξ））=G（v（ξ）），其中G（v）=K+cv- α（v）（1）- v） ，[17]约束最优分配问题的HJB方程17vv+0.51.01.52.02.53.0v-0.10.10.20.30.4GhVLF图2：根据对应于GermanDAX 30指数情况的α计算的函数G（v）。它的根被规定为v-= 0.3和v+=1.5。对于任何ξ∈ R.让我们定义一个新的辅助变量z=α（v）。然后函数z=z（ξ）满足常微分方程：z（ξ）=F（z（ξ）），ξ∈ R、 （29）式中F（z）=G（α）-1（z））=K+cα-1（z）- z+zα-1（z）。现在，让我们规定任意极限值0<v-< v+<∞ 对应于极限v的行波曲线v（ξ）-= limξ→∞v（ξ），v+=limξ→-∞v（ξ）。

Wedenote乘以z±相应的z值，即z±=α（v±）。所以v±是函数G的根，G（v±）=0。因此，F（z±）=0。给定0<v-< v+、行波速度c和截距Kare由方程G（v±）=0唯一确定，即c=α（v+）（1- v+）- α（v）-)(1 - 五、-)五+- 五、-, K=-cv++α（v+）（1- v+。（30）根据命题4.3，对于任何v∈ J (0, ∞), v7函数→ α（v）是C∞光滑的，它的形式是α（v）=av- b/v+c对于某些常数a>0，b≥ 0和C∈ R.因此我们得到h（v）=-2a- 2b/v<0，其中h（v）：=α（v）（1）- v） 。假设v±∈ J.因为G（v）=（h（v+）- h（v）-))/（五）+- 五、-) - h（v）和h（v±）<0.G（v）-) < 0，G（v+）>0和G（v）<0∈ （五）-, v+。在图2中，我们绘制了根据对应于GermanDAX 30指数情况的函数α计算出的函数G（v）（参见图1和示例4.1）。我们开了根：v-= 0.3和V+=1.5。因为F（z）=G（α-1（z））并且函数α在增加，我们得到了F（z）-) < 0和f（z+）>0。因此z-是稳定的，z+是（29）的不稳定定态解，即limξ→±∞z（ξ）=z对于任何解z（ξ）到（29），使得z（0）∈ （z）-, z+。定理6.2。假设v±∈ J是两个极限值0<v-< v+。当x变量发生位移时，存在唯一的行波解φ（x，t）=v（x+c（t- t） ）这样的边缘→-∞ν（x，t）=v+和limx→∞ν（x，t）=v-. 行波函数v（ξ）是由v（ξ）=α给出的增量函数-1（z（ξ）），其中z=z（ξ）是常微分方程（29）的解。行波速度c∈ R由（30）给出。18 S.Kilianov\'a和D.ˇSevˇcoviˇc[18]7。数值有限体积近似方案本节致力于构造一个数值近似方案，用于解决拟线性抛物方程（10）的柯西问题。

再次说明，我们没有求解包含最大算子的完全非线性HJB方程（6），而是将其转化为拟线性抛物方程（10）。在构造迭代数值格式时，我们遵循有限元近似格式（参见LeVeque[29]）与Mikula和K\'utik在[27]中提出的非线性方程迭代解算器相结合的方法。在那里，他们应用迭代有限体积法来求解广义Black-Scholes方程，该方程的avolatility项非线性地依赖于期权价格的二阶导数。方程（10）属于一般形式的拟线性抛物方程的一个子类：t~n+xA（ψ，x，t）+xB（φ，x，t）+C（α，φ，x，t）=0，x∈ R、 t∈ [0，T）、（31）满足T=T时的终端条件（参见[28]）。在我们的模型中，我们有a（ν，x，t）=α（ν），B（ν，x，t）=（εe）-x+r）а+α（а）（1）- ν），C≡ 0.为了保持标准的偏微分方程表示法，我们将方程从后向时间转换为前向时间，即φ（x，τ）：=φ（x，T- t） 。随后，我们获得τe~n=-因此τe~n=xeA（e~n，x，τ）+对于任意x，xeB（e~n，x，τ）+eC（α，e~n，x，τ）∈ R、 τ∈ （0，T]，（32）带有初始条件e（x，0）=e（x）≡ φ（x，T），式中ea（eφ，x，τ）≡ A（ψ，x，T）- τ） i增加单位为φ，andeB（eφ，x，τ）≡ B（ψ，x，T）- τ） ，eC（α，e~n，x，τ）≡ C（α，ν，x，T）- τ). 为了方便起见，我们将在下面放弃这个设计，但我们要记住，我们使用的是转换后的函数。让我们考虑一个有界计算域[xL，xR]和空间离散网格点xi=xL+ih，其中h=（xR- xL）/（n+1）。所以x=xl和xn+1=xR。内部网格点xi，i=1，···，n是细网格单元（xi）的中心-, xi+，为简单起见，表示为（xi-, xi+。我们有h=xi+- 十一-.让我们用τj=jk，j=0，···，m表示时间步长，k=T/m。

积分有限体积上的方程（32），在左侧积分上应用中点规则，并通过向前有限差和步骤k来近似时间导数，我们最终得到一组方程|j+1i=kh（I+I）+аji，I=1，··，n，j=0，··，m，（33），其中我们表示di=Zxi+xi-x(xA（а，x，τ）+B（а，x，τ））dx，I=Zxi+xi-C（α，ν，x，τ）dx。（34）[19]约束最优分配问题的HJB方程19根据上述积分是在第j层还是（j+1）层上计算，我们得到了不同的近似值。象征代表j或j+1。为了计算积分，我们应用中点法则。我们得到了= hC（α）i、 ~ni、 xi，τ) . （35）关于积分I，我们将使用以下符号：Di±=|A（|，x，τ）|i±，xi±，τ, Ei±=xA（φ，x，τ）|i±，xi±，τ,Fi±=B（φ，x，τ）|i±，xi±，τ, x~n|i±=x~n（x，τ）|xi±，τ.利用中心空间差分，我们得到了以下用于求解一般方程（32）的数值格式：j+1i=kh（D）我+x~n|我+- D我-x~n|我-+ E我+- E我-+ F我+- F我-+ 我) + ηji（36）对于i=1，··，n，具有导数的近似值x~n|我+≈ψ（xi+1，τ）) - ν（xi，τ）)Hx~n|我-≈ν（xi，τ）) - ~n（xi）-1, τ)h、 我们将注意X和xn+1处的边界值。一种简化的半隐式格式。为了计算新时间层j+1的解，我们取D项i±，Ei±，F我从上一个时间层开始 = j和术语x~n|我用 = j+1。将新层术语重新组织到左手边，将旧层术语重新组织到右手边，我们得到-khD+j+1i+1+（1+kh（Dji++Dji-))νj+1i-khDji-νj+1i-1=kh（Ij+Eji）+- 额济市-+ Fji+- Fji-) + νji，这是一个三对角系统，可通过Thomas算法有效求解。一种迭代的全隐式格式。

我们采取= （36）中的j+1和φj+1将按如下方式迭代计算：我们表示φj+1i的第l次迭代近似，i=1，···，n，从ri:=φji开始。在每次迭代中，我们用非线性项i求解rl+1i，i=1，··，n的三对角系统,l、 D,li±，E,李±，F,li±在τ处计算= τj+1和φj+1i≈ 瑞利。我们更新rli:=rl+1i，直到满足精度标准，然后从上一次迭代开始，我们将φj+1i:=rli。边界条件。我们考虑两类边界条件：非齐次Dirichlet和齐次b.c.的混合Robin型：Dirichlet b.c.а（xL，t）=аL（t），а（xR，t）=аR（t），Robin b.c。在x=xL，xR，（37）20 S.Kilianov\'a和d.ˇSevˇcoviˇc[20]中，规定了Dirichlet b.c.和d的边界函数ˇL（t），ˇR（t）∈ R对于Robin类型的b.c.是常数。在离散化并使用有限差分后，我们得到离散的b.c.：νj=L k jL+M k j，k jn+1=R k jR+N k jn，其中，对于Dirichlet b.c.的情况，L=R=1，M=N=0，对于混合Robin类型的边界条件，L=R=0，M=N=1/（1+dh）。在拟线性抛物方程（10）的数值近似中，我们使用以下边界条件：x~n（x，t）- ψ（x，t）=0，在x=xL时，在x=xR（38）处，对于所有t∈ [0，T]。x=xl处的边界条件基于以下推理：如果ε>0，则在极限x内→ -∞, 方程中的主导项t~n+xα（ν）+x[（εe）-x+r）ν+（1）- ψ）α（ν）=0等于x[（εe）-x+r）~n（x，t）]。为了平衡这个术语，我们必须假设极限→-∞x（e）-x~n（x，t））=0。意思是Limx→-∞x~n（x，t）- ψ（x，t）=0。右边界条件来自于这样一个事实，在极限x中→ ∞, 等式（10）变成t~n+xα（ν）+x[rа+（1）- ψ）α（ν）]=0，具有恒定溶液，因此limx→+∞xа（x，t）=0.7.1。行波解的数值基准。

我们使用第6节中描述的德国DAX 30指数和ε=0，r=0的行波解析解，测试上述隐式格式的精度。我们考虑时间范围T=10和计算域[xL，xR]=[-4, 4]. 为了计算半解析行波解φ（x，t），我们选择极限值v-= 0.3，v+=1.5。我们在区间[xL，xR+cT]上通过Mersonmethod（四阶龙格库塔法）求解方程（29）。在数值格式中，我们在两端使用Dirichlet边界条件，数值来自半解析行波解。为了澄清，我们使用Matlab函数quadprog数值计算函数α（ν），并进行非常精细的分解（10阶）-5） 我们认为它足够精确，可以替代精确的解析解。在计算了α（~n）之后，我们通过迭代隐式有限体积数值格式继续求解准线性PDE（10）。我们选择L作为微迭代的停止标准∞两次连续迭代的差值范数小于公差tol=10-9.我们使用嵌入的Matlab函数ODE45求解方程（29），相对公差设置为10-8.标签。2表明该方案在经验上是一阶精度的∞（0，T）：L）和L（（0，T）：W）范数，当我们限制时间步长k byk=0.1h时。k=10h时为二阶收敛，见表。3.

所谓的实验收敛阶（EOC）对应于r>0的收敛阶，因此err（h）=O（hr），其中err（h）是数值解与空间步长h和精确行波解之差的范数，即ri=ln（erri/erri）-1） ln（嗨/嗨）-1).[21]约束最优分配问题的HJB方程21h L∞（（0，T）：L）-err EOCk=0.1hL（（0，T）：W）-err EOCk=0.1h0。1 0.92313e-03-1.19224e-03 0.05 0.46046e-03 1.003 0.68451e-03 0.8010.025 0.23194e-03 0.989 0.38057e-03 0.8470.0125 0.11867e-03 0.967 0.20687e-03 0.8790.00625 0.06004e-03 0.983 0.11737e-03 0.818表2:∞空间步长h和时空步长k=0.1h的数值解和精确行波解的误差的（（0，T）：L）和L（（0，T）：W）范数。收敛的实验顺序。HL∞（（0，T）：L）-err EOCk=10hL（（0，T）：W）-err EOCk=10h0。1.9.47564e-03-14.51654e-03 0.05 2.38427e-03 1.9913.84091e-03 1.9180.025 0.59656e-03 1.999 0.98843e-03 1.9580.0125 0.14907e-03 2.001 0.25677e-03 1.9450.00625 0.03725e-03 2.001 0.08456e-03 1.602表3：∞空间步长h和时空步长k=10的数值解的误差的（（0，T）：L）和L（（0，T）：W）范数表示精确的行波解。收敛的实验顺序。t=0t=t-4-20.20.40.60.81.01.21.41.6xjHx，tl图3:t=0和t=t.22s的行波解。

Kilianov\'a和D.ˇSevˇcoviˇc[22]Fresenius MedicalVolkswagenMerck0。20.40.60.81.0y=expHxLΘHy，tL，t=0 Fresenius MedicalSAP Volkswagenmerck0。20.40.60.81.0y=expHxLΘHy，tL，t=13 TFresenius MedicalSAP VolkswageNMERCk0。20.40.60.81.0y=expHxLΘHy，tL，t=23 t医疗保险大众保险公司。20.40.60.8y=expHxLΘHy，tL，t=t图4:DAX投资组合优化的最佳响应策略θ（y，t），最常见的情况是t=0，t=t/3，t=2T/3和t=t，其中t=10。图3描绘了时间t=0和t=t.8的分析行波曲线。投资组合优化的应用在本节中，我们给出了一个示例，其中我们的目标是优化德国DAX 30指数n=30资产的投资组合。对投资组合的常规贡献设定为ε=1，r=0。我们考虑公式（x）=-A.- 1exp(-（a）- 1） x），（39），我们将绝对风险规避系数设为a=9。请注意，恒量风险规避（CARA）效用函数（39）对应于恒量相对风险规避（CRRA）函数eu（y）=-A.-1y-当用变量y=ex表示时，a+1。我们认为有限时间范围T=10。我们对y的最小和最大可能值的猜测分别是yL=0.01和yR=10，所以我们考虑X∈ [xL，xR]其中xL=ln yL，xR=ln yR。离散化步骤选择为h=0.1和k=0.1h。关于边界条件，我们在左边界使用d=1的Robin b.c.，在右边界使用Neumann b.c。图4显示，在索引中的30个资产集中，只有少数相关资产。标签。4总结了这些资产的历史平均回报和协方差矩阵。该图显示了默克股票在储蓄初期和低账户价值时期的最高比例。