检验幂律互相关：重标度协方差检验

同样，就误差项的相关性而言，平均值非常稳定。然而，估计量的方差随着d参数的增加而增加，并且还取决于误差项之间的相关性。4有限样本属性尽管Mxy，T（q）统计显示了一些非常理想的属性，但我们选择基于移动块自举（MBB）程序[12,13,53]的替代假设来支持或反对我们的决策，这主要是因为估计量的方差依赖于相关水平。在这个过程中，通过将序列分成大小为ζ的块并对这些块进行压缩，得到一个自举序列，然后在保留了原始序列的短程相关性和分布特性的自举序列上估计感兴趣的参数。基于Bbootstrapped估计，获得了特定水平α和经验LP值的经验密度区间。在重标度方差检验的情况下，我们使用了一个双边检验，将短程交叉相关过程的零假设与交叉持续性的替代假设相比较。为了检查测试的大小和威力，我们使用了与上一节相同的设置（等式10-11）。具体而言，我们对相关、短期相关和长期相关过程的重标度方差检验的有限样本特性感兴趣，误差项具有中等和强相关。对于第一种情况，我们只使用一个双变量的高斯噪声序列。对于第二个，我们利用AR（1）过程和三个记忆水平——θ=0.1、0.5、0.8——来控制弱、中、强互相关。

在最后一个例子中，我们使用ARFIMA（0，d，0）过程和两个级别的记忆——d=0.1，0.4——来讨论弱幂律和强幂律互相关。对于之前的所有情况，我们讨论了误差项之间的两个级别的相关性——0.5和0。9.对于相关但非交叉相关的过程（表1），我们观察到，随着过程错误项之间的相关性ρεν的增加，测试更加精确。对于ρεν=0.9，测试的大小实际上与设定的显著水平相匹配。随着q的增加，测试的规模变得更好，并且实际上不随时间序列长度T而变化。对于短程交叉相关过程，观察到的结果几乎相同，如表2所示。尺寸实际上与重要级别的理论值重叠。这些结果非常有利于重标度协方差检验，因为即使是非常强的短期记忆，它实际上也完好无损。在RCT测试中，移动块自举和协方差估计的组合显然能够充分控制可能的短期记忆偏差。对于长程交叉相关过程，我们比较Hx=Hy=0.6和Hx=Hy=0.9时的情况，以区分弱交叉持续性和强交叉持续性。我们在测试过程中假设Hx和Hy的这些值。对于弱交叉持久性情况，测试的能力相对较低（表5）。然而，我们观察到了几个有趣的点。首先，不管错误项之间的关联程度如何，测试的威力是非常相似的。其次，测试的威力随着时间序列长度的增加而增加。第三，功率随着α的增加而迅速增加。第四，随着q的增加，测试的功率也会增加，这是由qcHx+cHy引起的-1测试统计中的因素，很好地补偿了高q。

对于强交叉持久性（表6），测试的威力显著增加，测试的四个特征与前一个案例相同。正如预期的那样，随着ρεν的增加，测试更加有力，即交叉持久性更加稳定。在某些情况下，测试的威力会增加到0.967。该测试显示了非常好的统计特性，并且能够很好地区分短程和长程互相关。6 Kristoufek：检验幂律互相关：重标度协方差检验5应用在金融经济学中，波动性是最重要的变量之一，因为它被用于期权定价、投资组合分析和风险管理。在经济物理学中，波动性因其幂律性质（长期记忆、极端事件和余震动力学等）而被频繁研究。因此，研究金融序列中的幂律互相关自然会得出与波动性相关的金融序列。为了利用建议的重新标度协方差检验，我们分析了金融领域主要关注的两对序列——波动率/收益率和波动率/交易量。从经济学的角度来看，这两对变量都很有趣——波动率/回报关系被称为杠杆效应，因为负回报被认为会伴随着波动率的增加[9,7]，而波动率/成交量Pair很有趣，因为这两个变量都受到类似效应的影响，其中一个可能会影响另一个[27]。利用已实现方差（波动率）方法估计波动率过程，该方法利用高频数据和真实方差过程的收益率和有效估计[2,3,20]。

实际的方差实际上是特定一天中高频序列的非中心二阶矩。在我们的例子中，我们使用5分钟的频率，这在效率和市场微观结构噪音偏差之间提供了良好的平衡。然后将已实现的方差定义为\\σt，RV=nXi=1rt，i（13），其中rt，iis是第t天第i个5分钟间隔的返回值，n是给定一天的这5分钟间隔数。为了解决波动率序列的非标准分布和非负性的过度储蓄问题，我们关注对数波动率，即已实现方差平方根的对数，这在文献[41]中是标准的。在我们的分析中，我们关注两个美国指数——纳斯达克100指数和标准普尔500指数——介于1之间。2000年1月1日和2012年12月31日（分别为3245次和3240次观察）。在图2中，我们观察到这两个指数的收益率和波动率序列实际上是重叠的，在2000年的互联网泡沫和2007/2008年的全球金融危机爆发后，这两个指数经历了非常相似的波动率增加时期。由于纳斯达克指数的成交量在分析期内保持稳定，而标准普尔500指数在2008年和2009年之前一直呈指数增长趋势，之后趋于稳定，因此各指标成交量的变化也有所不同。为了控制交易量的这种发展，我们将重点分析去趋势对数交易量序列。在转向重标度方差检验的结果之前，我们在图3中展示了两个分析对的互相关函数。我们观察到，这些关系彼此非常不同。从波动率/成交量对开始，我们可以看到，两个分析指数的交叉相关函数的两半都存在正的交叉相关。

对于这两种情况，我们发现影响在两个方向都起作用。然而，波动性对成交量的影响比相反的方式更持久。有趣的是，这两个指数的互相关函数的形状非常相似，但纳斯达克100指数的相关性水平大约比标准普尔500指数低一半。尽管如此，一个简单的视觉检测发现，这对夫妇是LRCC存在的良好候选。右面板OFIG中显示的互相关函数右部分的可见幂律缩放进一步支持了这种说法。3.关于收益率/波动率对，我们可以看到一个非常不同的形状的互相关函数，它是非常不对称的。我们观察到收益率对波动率的单向影响，而不是相反。由于正滞后的样本互相关均为负，这意味着正（负）回报率会在统计基础上导致波动性降低（增加）。这一结果与杠杆效应融资的标准概念非常吻合。同样，正滞后的互相关衰减非常缓慢，该对是LRCC分析的良好候选，图3右面板中所示的互相关函数右部分的幂律衰减从视觉上支持了LRCC分析。因此，我们发现两对被怀疑为LRCC，一对为正，另一对为负。图4总结了两对样本的重标协方差检验结果。

在图中，我们给出了参数q在1到100之间变化的测试统计数据Mxy，T（q），以观察其在不同记忆强度下的行为。Kristoufek：检验幂律互相关：重标度协方差检验7对于波动率/成交量对，我们观察到检验统计量远低于临界值，表明具有统计学意义的交叉持续性。纳斯达克100指数和标准普尔500指数都是如此。考虑到不同的滞后q，结果是稳健的，显然，由于短期记忆偏差，LRCC没有被错误地发现。对于收益率/波动率，我们再次发现，有统计证据表明，收益率和波动率之间存在长期交叉相关性。考虑到滞后的数量q，这也是正确的。因此，根据重标度协方差检验，这两对都是幂律互相关的。6结论我们引入了一种检测一对时间序列之间幂律互相关的新测试——重标度协方差测试。该测试基于LRCC过程部分和协方差的幂律发散。结合长期协方差的异方差和自相关稳健（HAC）估计，我们开发了一个具有理想统计特性的测试。作为应用，我们证明了金融市场中波动性与交易量、波动性与收益之间的关系可以被标记为具有幂律互相关的关系。

在估计双变量长期记忆参数之前，这种测试应该作为长期互相关分析的起点。确认查理斯大学（GAUK）资助机构在1110213项目（捷克共和国政府补助计划（GACR））下的支持。安德尔观察到，对于收益/波动率（正）和成交量/波动率（负）对，测试统计的迹象是不同的。对于前一种情况，这是因为部分和的协方差和原始序列之间的协方差都是负的。对于后者，负性表明，尽管成交量和波动性序列都是持续的，但它们的部分和经常遵循相反方向的局部趋势。这就强调了测试的两面性。感谢项目P402/11/0948和402/09/0965以及项目SVV 267 504。参考文献1。J.阿尔瓦雷斯·拉米雷斯和R.埃斯卡雷拉·佩雷斯。电力市场中的时间相关。能源经济学，32（2）：269-2772010.2。O.巴恩多夫-尼尔森和N.谢泼德。已实现波动率的计量经济学分析及其在估计随机波动率模型中的应用。英国皇家统计学会期刊：B辑，64:253–280，2002.3。O.巴恩多夫-尼尔森和N.谢泼德。使用实现的方差估计二次方差。《应用计量经济学杂志》，17（5）：457-4772002.4。J.巴鲁尼克、T.阿斯特、T.迪马特奥和R.刘。了解金融市场多重分形的来源。Physica A，391:4234–42512012.5。J.巴鲁尼克和L.克里斯托菲克。重尾分布下的Hurst指数估计。Physica A，389（18）：3844–38552010.6。J.贝伦。《长记忆过程统计》，统计与应用概率专著第61卷。查普曼和霍尔，纽约，1994年7月。T.Bollerslev、J.Litvinova和G。

陶琛。高频数据中的杠杆和波动性反馈效应。金融计量经济学杂志，4（3）：353-3842006.8。A.查克拉博蒂，I.M.托克，M.帕特里亚卡和F。阿伯格尔。经济物理学评论：I.经验事实。定量金融，11（7）：991-10122011.9。R.Cont.资产回报的经验性质：程式化事实和统计问题。量化金融，1（2）（2）：223–236，2001.10。库拉德先生和戴维森先生。关于测量金融时间序列的赫斯特指数的评论。Physica A，348:404–4182005.11。T.迪马特奥。多规模融资。量化金融，7（1）：21-362007.12。B.埃夫隆。引导方法：另一个关于jacknife的例子。《统计年鉴》，7（1）：1-261979.13。B.埃夫隆、R.蒂布什拉尼和R.J.蒂布什拉尼。引导的介绍。查普曼与霍尔出版社，1993.14。欧拉。总进展法。俄罗斯石油科学院评论，6:68–971738.8 Kristoufek：检验幂律互相关：重新标度协方差检验15。J.弗莱明和C.柯比。长记忆的不可逆性和交易量。《银行与金融杂志》，35:1714–1726，2011.16。L.Giraitis、P.Kokoszka、R.Leipus和G。泰西埃。在波动性和水平上对长记忆进行重标方差和相关检验。《计量经济学杂志》，112:265–2942003.17。P.Gopikrishnan、V.Plerou、Y.Liu、L.A.N.Amaral、X.Gabaix和H.E.Stanley。金融时间序列中的比例和相关性。Physica，287:362–3732000.18。D.格雷奇和Z.马祖。时间序列去趋势分析中新旧技术的统计特性。波兰物理学报，36:2403–2413，2005.19。顾国锋和周文星。多重分形的去趋势移动平均算法。物理回顾E，82:011136，2010.20。P.汉森和A.伦德。实现了方差和市场微观结构噪声。《商业与经济统计杂志》，24:127–218，2006.21。L-Y。

他和陈士柏。农业期货市场的多重分形去趋势互相关分析。《混沌、孤子与分形》，44:355–36112011.22。L-Y.他和S-P.陈。一种量化幂律互相关的新方法及其在商品市场中的应用。Physica A，390:3806–38141011.23。L-Y.他和S-P.陈。农产品期货市场价量关系的非线性二元依赖性：多重分形去趋势互相关分析的视角。Physica A，390:297–3082011.24。H.E.赫斯特。水库的长期库容。《美国工程师学会学报》，116:770–7991951.25。江志强和周文星。多重分形去趋势移动平均互相关分析。物理回顾E，84:0161062011.26。J.坎特哈德、S.兹奇涅、E.科斯切尔尼邦德、A.邦德、S.哈夫林和H.E.斯坦利。非静态时间序列的多重分形去趋势波动分析。Physica A，316（14）：87-1142002.27。J.M.卡波夫。价格变化和交易量之间的关系：一项调查。《金融与定量分析杂志》，22（1）：109-1261987.28。克里斯托菲克。中欧股票指数回报和波动性的长期依赖性。捷克计量经济学会公报，17（27）：50–672010.29。克里斯托菲克。关于美国股票指数中虚假的反持久性。混沌、孤子和分形，43:68–782010.30。克里斯托菲克。重标极差分析和去趋势反射分析：有限样本特性和置信区间。AUCOCzech Economic Review，4:236–2502010.31。克里斯托菲克。多重分形高度互相关分析：一种分析长程互相关的新方法。EPL，95:680012011.32。克里斯托菲克。不同的记忆和分布特性如何影响重标极差分析？蒙特卡罗研究。Physica A，391:4252–42602012.33。D

科维特科夫斯基，菲利普斯，施密特，安迪。小腿。用单位根的交替检验平稳性的零度：我们有多确定经济时间序列有单位根？《计量经济学杂志》，54:159–1781992.34。F.拉万西尔、A.菲利普和D.苏盖利斯。用于比较长记忆参数的两个样本测试。多变量分析杂志，101（9）：2118-21362010.35。刘耀强、戈皮克里希南、齐佐、迈耶、彭志强和斯坦利。波动性价格波动的统计特性。物理回顾E，60（2）：1390-14001999.36。A.罗。股票市场价格的长期记忆。《计量经济学》，59（5）：1279-13131991.37。马云、魏耀文和黄德文。中国股市与周边股市的多重分形去趋势互相关分析。Physica A，392:1659–167012013.38。C.麦克劳林。流动的一种使用。T.W.和T.鲁迪曼斯，1742.39。B.曼德布罗特和J.沃利斯。约阿，约瑟夫和我。水资源研究，4（5）：909-9181968.40。R.N.曼特尼亚和H.E.斯坦利。金融学中的经济物理学相关性和复杂性介绍。剑桥大学出版社，1999.41。J-F.穆兹、J.德洛尔和E.巴克里。金融时间序列的建模过程：从级联过程到随机波动模型。欧洲物理杂志B，17（3）：537-5481000.42。C.Peng、S.Buldyrev、A.Goldberger、S.Havlin、M.Simons和H.E.Stanley。有限大小对长程相关性的影响：分析DNA序列的意义。物理回顾E，47（5）：3730-37331993.43。C.Peng、S.Buldyrev、S.Havlin、M.Simons、H.E.Stanley和A.Goldberger。DNA核苷酸的镶嵌组织。《物理评论》，49（2）：1685-16891994.44。V.Plerou、P.Gopikrishnan、B.Rosenow、L.A.N.Amaral和H.E.Stanley。