检验幂律互相关：重标度协方差检验

经济物理学：从统计学角度看金融时间序列：检验幂律互相关：重新标度协方差检验9物理学角度。Physica A，279:443–4562000.45。B.波多布尼克、I.格罗斯、D.霍瓦蒂奇、S.艾里克、P.切伊万诺夫和H.E.斯坦利。使用局部和全局去趋势方法量化互相关。欧洲物理杂志B，71:243–2502009.46。B.波多布尼克、D.霍瓦蒂奇、A.彼得森和H。E.斯坦利。数量变化和价格变化之间的交叉相关性。美国国家科学院院刊，106（52）：22079–220842009.47。B.波多布尼克，Z-Q.蒋，W-X.周，和H。E.斯坦利。幂律交叉相关过程的统计检验。物理回顾E，84:0661182011.48。B.波多布尼克和H.E.斯坦利。去趋势交叉相关分析：一种分析两个非平稳时间序列的新方法。《物理评论快报》，100:0841022008.49。G.鲍尔和C.特维。商品期货价格波动的长期相关性：基于小波的证据。Physica A，389:79–902010.50。詹纳迪·萨莫罗德尼茨基。长期依赖。基金会与趋势在随机系统中，1（3）：163–2572006.51。R.塞拉和C.赫维奇。相干性幂律的平均周期图估计器。《时间序列分析杂志》，33:340–363，2012.52。小E.L.Siqueira、T.Stoˇsi\'c、L.Bejan和B。Stoˇsi\'c.巴西农业商品和股票的相关性和交叉相关性。Physica A，389:2739–27432010.53。V.斯里尼瓦斯和K.斯里尼瓦桑。黑化后建模依赖年流的方法。《水文学杂志》，230:86–1262000.54。M.Taqqu、W.Teverosky和W.Willinger。长期依赖的估计：一项实证研究。分形，3（4）：785-7981995.55。M.Taqqu和V.Teverovsky。

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平均值基于1000次模拟，时间序列长度为5000，并以半对数刻度表示，以提高可读性。图2。纳斯达克100指数和标准普尔500指数的波动性、回报率和交易量。纳斯达克100指数（黑色）和标准普尔500指数（灰色）的已实现波动率（左上）、对数已实现波动率（右上）、对数回报率（左下）和对数交易量（右下）。Kristoufek:检验幂律互相关：重标度协方差检验11图。3.纳斯达克100指数和标准普尔500指数的收益率、波动率和交易量的互相关函数。Nasdaq-100指数显示了波动率和交易量（左上角和右上角的对数刻度）以及收益率和波动率（左下角和右下角的对数刻度）之间的相互关系() 以及标准普尔500指数(o).图4。纳斯达克100指数和标准普尔500指数的重新标度协方差统计Mxy，T（q）。测试统计显示，q参数在1到100之间变化，以控制短期记忆。纳斯达克100指数的统计数据如下所示() 以及标准普尔500指数(o) 95%的置信区间以实线显示（纳斯达克100指数为黑色，标准普尔500指数为灰色）。如果测试统计数据不在限定区间内，则无LRCC的无效假设将被拒绝。结果显示为波动量（左）和收益波动率（右）对。表1。Mxy的大小，T（q）统计量I。

基于蒙特卡罗的1000次重复过程的测试规模xt=ε，yt=ν，具有不同的相关性ρεν。0.0 0 0 0.0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.060.094q=10 0.011 0.053 0.100 0.014 0.053 0.095q=30 0.011 0.0530.100 0.014 0.053 0.095q=10.014 0.047 0.100 0.012 0.049 0.101T=5000 q=50.014 0.048 0.102 0.012 0.050.100q=10 0.014 0.048 0.098 0.012 0.050.099q=30 0.014 0.048 0.098 0.012 0.050.09912 Kristoufek：检验幂律互相关：重新标度协方差检验表2。Mxy的大小，T（q）统计量II。两个AR（1）过程1000次重复的基于蒙特卡罗的测试规模，θx=θy=0.1，不同的相关性ρεν。0.0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 017 0.049 0.087q=10 0.010 0.058 0.105 0.018 0.048 0.090q=30 0.010 0.0580.105 0.018 0.048 0.090q=10.014 0.054 0.117 0.0110.050 0.109T=5000 q=50.014 0.053 0.114 0.012 0.050.110q=10 0.014 0.051 0.115 0.012 0.052 0.109q=30 0.014 0.051 0.115 0.012 0.052 0.1093表3。Mxy的大小，T（q）统计量Ⅲ。

两个AR（1）过程1000次重复的基于蒙特卡罗的测试规模，θx=θy=0.5，不同的相关性ρεν。0.0 0 0 0.0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.012 0.046 0.096q=10 0.008 0.052 0.093 0.012 0.043 0.096q=30 0.008 0.0520.093 0.012 0.043 0.096q=10.006 0.047 0.090 0.015 0.053 0.106T=5000 q=50.006 0.042 0.083 0.013 0.055 0.107q=10 0.005 0.043 0.079 0.012 0.056 0.106q=30 0.005 0.043 0.079 0.012 0.056 0.106q=30表4。Mxy的大小，T（q）统计IV.两个AR（1）过程1000次重复的基于蒙特卡罗的测试大小，θx=θy=0.8，不同的相关性ρεν。0.0 0 0 0.0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.0450.085q=10 0.012 0.054 0.110 0.0110.047 0.083q=30 0.012 0.0540.110 0.011 0.047 0.083q=10.017 0.072 0.120 0.022 0.065 0.108T=5000 q=50.016 0.064 0.111 0.017 0.054 0.104q=10 0.013 0.058 0.104 0.017 0.053 0.102q=30 0.013 0.058 0.104 0.017 0.053 0.102Kristoufek：检验幂律交叉相关：重新标度协方差检验13表5。Mxy的幂，T（q）统计量I。

基于蒙特卡罗的1000次重复两个ARFIMA（0，d，0）过程的测试能力，dx=dy=0.1，不同的相关性ρεν。0.0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0.215 0.312q=10 0.135 0.252 0.349 0.155 0.283 0.369q=30 0.135 0.2520.349 0.155 0.283 0.369q=10.091 0.200 0.283 0.090.201 0.282T=5000 q=50.187 0.320 0.409 0.195 0.342 0.438q=10 0.233 0.368 0.466 0.235 0.399 0.500q=30 0.233 0.368 0.466 0.235 0.399 0.500表6。Mxy，T（q）统计量的幂。基于蒙特卡罗的1000次重复两个ARFIMA（0，d，0）过程的测试能力，dx=dy=0.4，不同的相关性ρεν。0.01α=0.0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.869 0 0 0 0 0 0 0 0.909 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.869 0 0 0 0 0 0 0 0.869 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0.814 0.747 0.813 0.846q=10 0.817 0.867 0.891 0.857 0.893 0.914q=30 0.817 0.8670.891 0.857 0.893 0.914q=10.464 0.584 0.636 0.584 0.685 0.737T=5000 q=5 0.823 0.878 0.899 0.892 0.922 0.934q=10 0.898 0.922 0.933 0.934 0.958 0.967q=30 0.898 0.922 0.933 0.934 0.958 0.967使用过程和协方差的零均值和平稳性对“部分和标度”命题进行证明{，我们可以写出部分和的方差asCov（Xn，Yn）=hXnYni=σxσynρxy（0）+n-1Xk=1（n- k） （ρxy（k）+ρxy(-k） )∝ nρxy（0）+n-1Xk=1（n- k） （ρxy（k）+ρxy(-k） ）。

（14） 现在，假设ρxy（k）对于k>0和k<0是对称的，我们有cov（Xn，Yn）∝ nρxy（0）+nn-1Xk=1ρxy（k）-N-1Xk=1kρxy（k）。（15） 14 Kristoufek：检验幂律互相关：重新标度协方差检验使用LRCC定义，并根据Euler–MacLaurin积分公式[14,38]用有限积分近似有限和，我们得到NN-1Xk=1ρxy（k）∝ nn-1Xk=1k-γxy≈ nZnk-γxydk∝ n2-γxy，（16）n-1Xk=1kρxy（k）∝N-1Xk=1k1-γxy≈Znk1-γxydk∝ n2-γxy。（17） 最后，我们利用nρxy（0）的线性增长在后一项中渐近地由幂律增长所控制，即使用l\'H^opital规则，我们得到了limn→+∞n2-γxynρxy（0）=limn→+∞(2 - γxy）n1-γxyρxy（0）=+∞ 对于0<γxy<1（18），我们得到cov（Xn，Yn）∝ n2-γxyas n→ +∞. （19） 注意等式中的替换。16和17 fromPn-1k=1ρxy（k）toPn-1k=1k-对1和n之间的k进行γxy-1不损失一般性，因为我们对Cov（Xn，Yn）的渐近性质感兴趣。此外，我们有2Hxy=2- γxy所以hxy=1-γxy。（20） 对于非对称互相关函数，结果没有显著差异。我们有Cov（Xn，Yn）≈ nρxy（0）+nn-1Xk=1k-γxy-N-1Xk=1k-γxy+1 |{z}∝n2-γxy+nn-1Xk=1k-γxy-N-1Xk=1k-γxy+1 |{z}∝n2-γxy，（21），其中近似比例来自等式。16岁和17岁。渐近地，幂律标度由较高的指数，即较低的γxy控制。对于γxy<γxy，我们有cov（Xn，Yn）~ n2-反之亦然。注意，较低的γxy与较高的二元Hurst指数hxy相连，这意味着协方差的标度由较强的交叉持续性决定。

关于“部分和协方差发散极限”命题的证明→+∞Cov（Xn，Yn）n∝ 画→+∞n2Hxyn=limn→+∞n2-γxyn=limn→+∞n1-γxy=+∞ 对于0<γxy<1。 （22）Kristoufek：检验幂律互相关：重新标度协方差检验15证明“部分和协方差的收敛极限”根据LRCC情况的证明，我们假设一个对称互相关函数，以便我们可以写ECOV（Xn，Yn）∝ nρxy（0）+nn-1Xk=1ρxy（k）-N-1Xk=1kρxy（k）。（23）它认为→+∞Cov（Xn，Yn）n∝ 画→+∞ρxy（0）+n-1Xk=1ρxy（k）-nn-1Xk=1kρxy（k）！。（24）使用短程互相关定义分别求和，我们得到-1Xk=1ρxy（k）∝N-1Xk=1exp-kδ∝1.- 经验-nδ1.- 经验-δ（25）n-1Xk=1kρxy（k）∝N-1Xk=1k exp-kδ= 经验-δ- n exp-nδ+ （n）-1） 经验-n+1δ（26）替换回来，我们得到了→+∞Cov（Xn，Yn）n∝ 画→+∞ρxy（0）+1- 经验-nδ1.- 经验-δ-经验-δn+nnexp-nδ+N- 1nexp-n+1δ#= ρxy（0）+1- 经验-δ（27）极限明显收敛于0≤ δ < +∞ 这就是证据。对于不对称情况，证明是平行的。