检验幂律互相关：重标度协方差检验

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英文标题：
《Testing power-law cross-correlations: Rescaled covariance test》
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作者：
Ladislav Kristoufek
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最新提交年份：
2013
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英文摘要：
  We introduce a new test for detection of power-law cross-correlations among a pair of time series - the rescaled covariance test. The test is based on a power-law divergence of the covariance of the partial sums of the long-range cross-correlated processes. Utilizing a heteroskedasticity and auto-correlation robust estimator of the long-term covariance, we develop a test with desirable statistical properties which is well able to distinguish between short- and long-range cross-correlations. Such test should be used as a starting point in the analysis of long-range cross-correlations prior to an estimation of bivariate long-term memory parameters. As an application, we show that the relationship between volatility and traded volume, and volatility and returns in the financial markets can be labeled as the one with power-law cross-correlations.
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中文摘要：
我们介绍了一种新的检测一对时间序列之间幂律互相关的测试——重标度协方差测试。该测试基于长程互相关过程部分和协方差的幂律发散。利用长期协方差的异方差和自相关稳健估计，我们开发了一个具有理想统计特性的测试，能够很好地区分短期和长期互相关。在估计双变量长期记忆参数之前，这种测试应该作为分析长期互相关的起点。作为一个应用，我们证明了金融市场中波动性与交易量、波动性与收益之间的关系可以被标记为具有幂律互相关的关系。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Statistical Finance        统计金融
分类描述：Statistical, econometric and econophysics analyses with applications to financial markets and economic data
统计、计量经济学和经济物理学分析及其在金融市场和经济数据中的应用
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PDF下载：
--> Testing_power-law_cross-correlations:_Rescaled_covariance_test.pdf (1.57 MB)

2022-4-28 17:58:27 上传

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关键词：方差检验 互相关 协方差 correlations Applications

EPJ手稿号（将由编辑插入）测试幂律互相关：捷克共和国科学院信息理论与自动化研究所，捷克共和国布拉格波德沃达伦斯库·维兹4号，182 08，社会科学学院，布拉格查尔斯大学，布拉格奥普莱塔洛娃261100，社会科学学院，欧盟经济研究所，捷克共和国，欧洲接收：日期/修订版：日期摘要。我们介绍了一种新的检测一对时间序列之间幂律互相关的测试——重标度协方差测试。该测试基于长程互相关过程部分和协方差的幂律发散。利用长期协方差的异方差和自相关稳健估计，我们开发了一个具有理想统计特性的测试，能够很好地区分短期和长期互相关。在估计双变量长期记忆参数之前，这种测试应该作为分析长程互相关的起点。作为一个应用，我们证明了金融市场的波动性和交易量、波动性和回报之间的关系可以被标记为幂律互相关。PACS。05.10.-统计物理和非线性动力学中的计算方法–05.45-非线性动力学与混沌——89.65。Gh经济学；经济物理学、金融市场、商业和管理1介绍幂律自相关和长期记忆的分析在经济物理学领域有着悠久的传统。从20世纪90年代的早期研究[40,35,17,44]开始，主要关注金融时间序列、收益率和波动性度量的自相关性的具体尺度。

长程相关过程的特征是长期记忆参数H——赫斯特指数——对于平稳过程，其范围介于0和1之间。0.5的临界点是不相关和短期记忆过程的特征（具有指数衰减的自相关）。H>0.5的过程被标记为持续性过程，它们类似于局部趋势序列，而H<0.5的过程是反持续性过程，具有频繁切换增量方向的特性。H 6=0.5的长期相依序列的动力学表现为自相关函数ρ（k）与滞后k的标度，它遵循渐近幂律衰减ρ（k）∝k2H-2关于k→ ±∞, 在频谱f（λ）与频率λ的发散中，使得f（λ）∝λ1-2Hforλ→ 0+ [6].大量金融数据的可用性增加了实证研究的数量，自相关函数的幂律标度仍然是一个热门话题[11,49,1,29,28,15,8,4]。除了实证工作，还有许多关于长期记忆各种估计量的统计性质的论文，讨论了它们在各种记忆和分布性质下的表现[54,55,56,60,26,10,18,5,30,32]。这些研究表明，几乎所有的估计器都会受到这些特性的影响，而且虚假的Kristoufek:检验幂律互相关：重标度协方差检验长期记忆很容易被报告。作为长期记忆分析的第一步，有人提出了几种长期记忆测试方法。Hurst[24]提出了最初的重新调整范围，后来Mandebrot&Wallis[39]对其进行了调整。Lo[36]提出了一种重新调整范围统计的修正版本，用于控制短期记忆偏差。Giraitis等人。

[16] 介绍重标度变异统计，并表明它取代了经过修改的重标度范围分析和KPSSstatistic[33]，用于短期和长期记忆过程的各种设置。随着2007/2008年全球金融危机的爆发，各种资产之间的相关性和交叉相关性的研究吸引了越来越多的兴趣。在经济物理学中，越来越多的论文关注互相关函数的幂律行为[45,46,52,23,21,37,58,57]。到目前为止，已经引入了几种二元赫斯特指数HXY的估计量——去趋势互相关分析（DCCA）[48,62,19,25]，多重分形高度互相关分析（MFHXA）[31]，去趋势移动平均互相关分析（DMCA）[22]，多重分形统计矩互相关分析（MFSMXA）[59]和平均周期图法（APE）[51]。与单变量情况相比，对于两个系列之间是否存在幂律互相关的实际测试几乎没有给予关注。据我们所知，Podobnik等人[47]利用Zebende[61]的DCA相关性提出了一个测试。我们提出了一种基于幂律互相关过程部分和协方差发散性的新检验——重标度方差检验，该检验对短期记忆效应具有鲁棒性。本文的结构如下。第2节介绍了长程互相关过程的基本定义和概念，以及第3节中构建重标度协方差测试所需的命题。第4节描述了测试的有限样本特性。

在第5节中，测试应用于一组财务时间序列。第6节结束。2方法论幂律（或长期/长程）互相关过程可以用多种方式定义，例如，通过互相关函数的非和性，以及发散的原始互功率谱，对互相关函数或缓慢的单位变化函数进行缩放，从而定义最重要的互相关过程。就我们的目的而言，通过互相关函数ρxy（k）随时间滞后k的幂律衰减来定义长程互相关过程是有效的∈ Z定义为ρxy（k）=h（xt- hxti）（yt-K- hyti）iphxt- Hxtiiyt- 海蒂。（1） 以下两个定义说明了短程和长程互相关过程之间的本质差异，这源于互相关函数的衰减和消失之间的对比。定义：短程互相关过程。两个联合平稳过程{xt}和{yt}是短程互相关（SRCC），如果k>0和/或k<0，互相关函数表现为ρxy（k）∝ 经验(-k/δ）（2）的特征时间衰减为0≤ δ < +∞.定义：长期相互关联过程。对于k，两个联合平稳过程{xt}和{yt}是长程互相关（LRCC）→ +∞, 互相关函数表现为ρxy（k）∝ K-γxy（3），长期记忆参数为0<γxy<1。因此，LRCC过程的定义只需要一半的互相关函数就可以遵循幂律，RCC过程也是如此。如果互相关函数在k<0时指数消失，在k>0时双曲线衰减，则视为lrcc，因为幂律衰减主导指数衰减。

在更一般的意义上，与自动相关函数相比，交叉相关函数通常是不对称的。然而，我们发现不对称性并不影响LRCC和SRCC过程的几个统计特性。与单变量情况类似，我们将LRCC过程标记为长期（长期）交叉相关或持续。与单变量情况相反，Kristoufek：检验幂律互相关：重标度协方差检验3我们可以在正（负）长程（长期）互相关或正（负）持续交叉之间分离LRCC过程。在实际应用中，对于有限样本，互相关函数的渐近行为分析更为复杂。在时域中，研究过程的部分和的行为通常更方便。定义：部分和。我们有一个平稳过程{xt}，其中hxti=0，hxti=σx<+∞. 部分和过程{Xt}定义为x=x+x+…+xt=tXi=1xi。（4） 历史上，Hurst[24]使用重标度范围分析[39]对长期相关性进行了分析，该分析基于以下假设：根据幂律，零均值过程标度部分和的调整重标度范围。除调整范围外，还使用了其他变量测量方法来研究长期相关性，最流行的是去趋势函数分析[42,43,26]和Taqquet al[54,55,56]所涵盖的各种方法。在接下来的建议中，我们对长程交叉相关过程遵循这一逻辑（证据见附录）。命题：部分和协方差标度。让我们有两个联合平稳过程{xt}和{yt}，以及它们各自的部分和{xt}和{yt}。

如果过程{xt}和{yt}是长程互相关的，则它们的部分和之间的协方差标度为asCov（Xn，Yn）∝ n2Hxy（5）as n→ +∞ 其中hxy是二元Hurstexponent。此外，它认为Hxy=1-γxy。命题：部分和协方差的发散极限。对于两个联合平稳的长程互相关过程，{xt}和{yt}，以及它们各自的部分和{xt}和{yt}，它认为limn→+∞Cov（Xn，Yn）n=+∞. （6） 上述散度与长程相关过程的部分和方差的散度平行[50]，眼角可以被视为长程互相关的标志。然而，只有当短程相互关联过程的发散极限不成立时，区分短程相互关联过程和长程相互关联过程才有意义。下面的命题及其证明（见附录）确实证明了这一点。命题：部分和协方差的收敛极限。对于两个联合平稳的短程互相关过程{xt}和{yt}，以及它们各自的部分和{xt}和{yt}，表达式limn→+∞Cov（Xn，Yn）n（7）收敛。我们利用这些定义提出了一种新的检验两个过程之间是否存在幂律互相关的方法——重标度协方差检验。3重标度协方差检验受Giraitis等人[16]和Lavancier等人[34]的工作启发，我们提出了一种新的检验两个序列之间是否存在长程互相关的方法。这个测试，我们称之为缩放协方差测试，是基于部分和协方差的缩放和部分协方差的发散极限。

在提出测试之前，我们需要确定互协方差sxy，q的异方差和自相关一致性（HAC）估计量[16,34]。定义：协方差的HAC估计。设过程{xt}和{yt}与交叉协方差函数γxy（k）联合平稳∈ Z.γxy（0）的异方差和自相关一致性估计量定义为[sxy，q=qXk=-Q1.-|k | q+1dγxy（k），（8），其中q是考虑的互协方差函数的滞后数，互协方差用Barlett核权加权。4 Kristoufek:检验幂律互相关：重标度协方差检验重标度协方差检验（RCT）的基本思想是利用长程互相关过程的部分和的方差发散性，但也利用短程互相关过程的收敛性，同时控制不同程度的相关性利用[sxy，q]的短时记忆。重新标度的方差检验定义如下：定义：重新标度的协方差检验。对于k，t=1，2，…，t，t，是具有交叉协方差函数γxy（k）的联合平稳过程∈ Z和分别具有部分和{Xt}和{Yt}。假设是这样+∞k=-∞γxy（k）6=0，重新标度的协方差统计Mxy，T（q）定义为asMxy，T（q）=qcHx+cHy-1dCov（XT，YT）T[sxy，q，（9）其中[sxy，qis是{XT}和{YT}之间协方差的HAC估计，dCov（XT，YT）是部分和{XT}和{YT}之间的估计协方差，chxandchy是独立过程{XT}和{YT分别地与基于修正方差的单变量序列中的长期相关性测试类似，如重标度方差[16]和修正重标度范围分析[36]，参数q的选择至关重要。

如果参数太低，强的短程互相关可以被检测为长程互相关，反之，如果参数太高，真实的长程互相关可以被过滤为短程互相关。这个问题将在后面讨论。回到RCT的构建，其动机是构建一个测试，该测试将具有（至少部分）独立于包含在无效假设中的参数的测试统计量。对于检验，我们有短程相互关联过程的完整假设和相互持续过程的替代假设。因此，希望测试统计量独立于短程互相关过程的相关水平以及时间衰减δ。在图1中，我们给出了具有不同参数的短期和长期记忆情况下测试统计数据Mxy，T（q）的平均值和标准偏差。短期记忆过程由AR（1）过程{xt}和{yt}表示，它们具有相关的错误项和记忆参数θ：xt=θxt-1+εtyt=θxt-1+νthεti=hνti=0hεti=hνti=1hεtνti=ρεν（10），长时记忆过程被ARFIMA（0，d，0）过程{xt}和{yt}覆盖，相关误差项为：xt=+∞Xn=0an（d）εt-纽约时报=+∞Xn=0an（d）νt-nan（di）=Γ（n+di）Γ（n+1）Γ（di）hεti=hνti=0hεti=hνti=1hεtνti=ρεν（11）为了讨论测试的基本性质，我们设置θ=θ=θ和d=d，然后我们确定q=30。请注意，分数差分参数d与长期记忆赫斯特指数的关系为H=d+0.5。对于短程互相关过程，我们观察到，对于θ=0.7的参数，无论误差项之间的相关性如何，平均值都是显著的。

对于更高的值，统计数据会发生偏差，但这可能是因为我们采用q=30来估计测试统计数据，这显然不足以满足这样庞大的记忆。有趣的是，0的检验统计量的平均值≤ θ ≤ 0.7实际值与重新标度变异测试[16]的测试统计值一致，该测试定义为asU=ZWtdt-ZWtdt（12） 这里是标准的布朗桥。统计量U的平均值等于1/12，重定标协方差测试的项目代码可在http://staff.utia.cas.cz/kristoufek/Ladislav_Kristoufek/Codes.html或根据作者的要求。Kristoufek：检验幂律互相关：重新标度的协方差检验5由图1中的红线表示。在图中，我们还展示了统计标准差的行为。尽管它明显依赖于AR（1）过程误差项之间的相关性，但在不同的θ水平上，它是非常稳定的。重要的是，方差随着误差项之间相关性的增加而减小，这是一个非常重要的特性。对于序列中完全相关的误差项，统计量的标准偏差甚至达到了U等于1的水平/√360.对于长范围的交叉相关过程，我们观察到统计的平均值随着d的增加而增加。