基于均值CVaR准则的最优动态投资组合

假设一名代理人在利率为r的amoney市场账户和一只股票之间进行交易——该股票遵循几何布朗运动dSt=uStdt+σstdwt，瞬时回报率u、波动率σ和初始股价S。捐赠从X开始，在最后期限T之前的任何时间，xd=0，都禁止破产。expectedterminal值E[XT]必须高于固定级别“z”，以满足返回约束。当“z”较低时，即z≤ Z*= E[X*], X在哪里*是单约束问题的最优投资组合（8），收益约束是无约束的，显然是双线配置X*这是最优的。让z成为从初始资本x（seeDe Fition 3.2和Lemma 3.3）开始的任何自我融资投资组合可实现的最高预期值。当退货要求变得有意义时，即z∈ （z）*, \'z]，三线配置X**在（12）中，这一点变得最佳。由于Radon-Nikod'ym导数'Pdpi是最终股票价格的标度幂函数，具有近似正态分布，因此方程（15）-（16）中的概率可以以闭合形式计算：P（a）=N(-θ√T-lnaθ√T） ，P（D）=1- N(-θ√T-lnbθ√T） ，P（B）=1- P（A）- P（D），~P（A）=N（θ）√T-lnaθ√T） ，P（D）=1- N（θ）√T-lnbθ√T） ，P（B）=1-P（A）-~P（D），其中θ=u-rσ和N（·）是标准正态随机变量的累积分布函数。根据这些，解决方案（a）**, B**, 十、**) 方程（15）-（16）可通过数值计算得出。

最优投资组合X的动态值公式**t、 相应的动态套期保值策略ξ**t、 以及相关的最终最小风险CV aRλ（X**T） 是：X**t=e-r（T）-t） [x]**N（d+（a）**, St，t））+xdN（d-（a）**, St，t）]+e-r（T）-t） [x]**N（d）-（b）**, St，t）+xuN（d+（b**, [St，t]]- 呃(T)-t） x**,ξ**t=x**- xdσStp2π（T- t） e-r（T-（t）-D-（a）**,St，t）+x**- xuσStp2π（T- t） e-r（T）-（t）-d+（b）**,St，t），CV aRλ（X**T） =λ（（x）**- xd）P（A）**) - λx**) ,我们定义的地方-（a，s，t）=θ√T-t[- lna+θσ（u+r）-σt- lnsS）+θ（T）- t） ]d+（a，s，t）=-D-（a，s，t）。—直接将计算推广到多维Black-Scholes模型。由于本文提供了静态CVaR最小化问题的解析解，只要动态套期保值可以用简单的方式表示，就可以在其他完整的市场模型中进行计算。表1总结了比较各种上限和回报约束下最小风险的数值结果。正如预期的那样，投资组合价值的上限对一个约束问题没有影响，如（x）*, A.*) 和CV aRλ（X*T） 在任何时候都是最优的≥ 十、*. 相反，在两个约束问题中，退货要求z越严格，三线配置X越多**偏离双线配置X*. 更严格的退货要求（更高的z）意味着更高的最低风险CV aRλ（X**T） )；而不那么严格的上限（更高的xu）会降低最小风险CV aRλ（X**T） 。

值得注意的是，在定理3.17中的某些条件下，对于所有的收益水平z∈ （z）*, “z”，当徐→ ∞, CV aRλ（X）**T） 接近CV aRλ（X）*T） ，因为在极限情况下最优解不再存在。一个约束问题两个约束问题xu30 50 xu30 50z 20 25 25x*19.0670 19.0670 x**19.1258 19.5734 19.1434a*14.5304 14.5304 a**14.3765 12.5785 14.1677b**0.0068 0.1326 0.0172CV aR5%（X*T） -15.2118-15.2118变异系数aR5%（X**T） -15.2067-14.8405-15.1483表1：参数为r=5%，u=0.2，σ=0.1，S=10，T=2，x=10，xd=0，λ=5%的一个约束（纯CVaR最小化）和两个约束（平均CVaR优化）问题的Black-Scholes示例。因此，z*= 18.8742和¨z=28.8866。图1绘制了上述平均CVaR投资组合选择问题的有效边界，上界固定为xu=30。返回水平z之间的曲线*“z”是各种三线配置的平均CVaR效率组合，而当回报约束不具有约束力时，直线是相同的平均CVaR效率两线配置。定位于(-xr，xr）=(-11.0517，11.0517），其中xr=xerT对应于纯粹投资于货币市场账户的投资组合。与它在传统资本市场线上的地位（均值-方差投资组合选择问题的有效前沿）不同，纯货币市场账户投资组合在均值-CVaR投资组合选择问题中不再有效。3投资组合选择问题的解析解在假设2.1下，主要的平均CVaR优化问题（2）的解决方案，即两个约束问题（4）和（5），将在投资组合值的上限为有限或不确定的两种情况下讨论。主要结果分别在定理3.15和定理3.17中说明。

为了清晰地展示最佳解决方案与两行和三行配置之间的关系，所有证明将推迟到附录5。-16-15-14-13-12-11-1005 1015202530C V aR（XT）zz*图1：平均CVaR投资组合选择的有效边界3。1例xu<∞: 有限上界我们首先定义了一般的三线结构及其退化的两线结构。根据第2.2节重新计算，集合A、B、D的定义为（17）A=nω∈ Ohm :ωd=dω∈ Ohm : B≤d~PdP（ω）≤ ao，D=nω∈ Ohm :d~PdP（ω）<bo。定义3.1假设x∈ [xd，xu].1。任何三线配置的结构都是X=xdIA+xIB+xuID。2.与上述定义相关的两行结构X=xIB+xuIDis在案例a=∞, B=nω∈ Ohm :d~PdP（ω）≥ b和D=nω∈ Ohm :d~PdP（ω）<bo。在b=0，A=nω的情况下，双线结构X=xdIA+xib与上述定义相关∈ Ohm :d~PdP（ω）>ao，B=nω∈ Ohm :d~PdP（ω）≤ 敖。在A=b，A=nω的情况下，与上述定义相关的双线结构X=xdIA+xuidi∈ Ohm :d~PdP（ω）>ao，且d=nω∈ Ohm :d~PdP（ω）<ao。此外，1。一般约束是资本约束和预期回报约束的相等部分，对于三线结构X=xdIA+xIB+xuID:E[X]=xdP（a）+xP（B）+xuP（D）=z，~E[X]=xdP（a）+X~P（B）+xuP（D）=xr。2.

退化约束1是两线结构X=xIB+xuID:E[X]=xP（B）+xuP（D）=z，~E[X]=XP（B）+xuP（D）=xr的资本约束和预期收益约束的相等部分。退化约束2是两行结构X=xdIA+xIB:E[X]=xdP（a）+xP（B）=z，~E[X]=xdP（a）+XP（B）=xr的资本约束和预期收益约束的相等部分。退化约束3是两行结构X=xdIA+xuID:E[X]=xdP（a）+xuP（D）=z，~E[X]=xdP（a）+xuP（D）=xr的资本约束和预期收益约束的相等部分。请注意，退化约束1对应于a=∞; 退化约束2对应于b=0时的一般约束；退化约束3对应于a=b时的一般约束。我们使用两行配置X=xdIA+xuID，其中随机变量X的值取其上限或下限，以及其资本约束，以确定计算最高可实现回报的“条形系统”。定义3.2（“酒吧系统”）用于固定-∞ < xd<xr<xu<∞, 设a为两线配置X=xdIA+xuID的资本约束＠E[X]=xd＠P（a）+xu＠P（D）=xrin退化约束3的解。在“杆系”中，“A”、“D”和“X”与常数“A”相关联，即“X=xdI”、“A+xuI”Dwhere“A=nω”∈ Ohm :d~PdP（ω）>ao，且d=nω∈ Ohm :d~PdP（ω）<\'ao。

将“酒吧系统”的预期回报定义为“z=E[\'X]=xdP（\'A）+xuP（\'D）。引理3.3“z”是指初始资本为X的自融资投资组合所能获得的最高预期回报，其值在XD和xu之间：\'z=maxX∈FE[X]s.t.~E[X]=xr=xerT，xd≤ 十、≤ 徐亚。s、 在下面的引理中，我们改变了两行配置中的“x”值x=xIB+xuIDandX=xdIA+xIB，同时分别保持资本约束。我们观察到它们的预期回报在X和z之间以单调和连续的方式变化。引理3.4用于固定-∞ < xd<xr<xu<∞.1.给定任何x∈ [xd，xr]，设“b”为两线结构X=xIB+xuID的资本约束＠E[X]=X＠P（b）+xu＠P（D）=xrin退化约束1的解。将结果双线配置的预期回报定义为z（x）=E[x]=xP（B）+xuP（D）。§z（x）是x的连续函数，从¨z到xras减小，从xd到xr增大。2.给定任何x∈ [xr，xu]，让\'a\'作为资本约束的解决方案，对于双线配置X=xdIA+xIB，E[X]=xd＠P（a）+X＠P（B）=xrin退化约束2。将结果双线配置的预期回报定义为z（x）=E[x]=xdP（A）+xP（B）。z（x）是x的一个连续函数，随着x从x增加，从x增加到x。从现在起，我们将关注区间z的预期收益要求∈ [xr，\'z]因为在一方面，引理3.3确保了如果我们要求的预期回报率高于\'z，则主要问题（2）没有可行的解决方案。

另一方面，引理3.3、引理3.4和定理3.11得出结论，返回约束∈ (-∞, xr）太弱，无法区分两个约束问题和一个约束问题，因为它们的最优解是一致的。固定资产的定义3.5-∞ < xd<xr<xu<∞, 和固定的z级∈ [xr，\'\'z]，定义xz1和xz2，分别为满足生成约束1和退化约束2的两种线条配置x=xIB+xuid和x=xdIA+xIB的对应x值。§通过资本约束，阈值“b”和相应的集合“b”和“D”都依赖于“x”，因此z（x）不是x的线性函数。定义3.5意味着当我们确定预期回报水平z时，我们可以找到两个特定的可行解决方案：x=XZ1b+XuidSatifizingE[x]=xz1P（b）+xuP（D）=xrand E[x]=xz1P（b）+xuP（D）=；X=xdIA+xz2i满足＠E[X]=xd＠P（A）+xz2＠P（B）=xrand E[X]=xdP（A）+xz2P（B）=z。由于引理3.4保证z（X）在这两种情况下都是可逆函数，因此xz1和xz2的值得到了很好的定义。在以下引理中，我们总结了满足资本约束的两条线配置是否满足回报约束，因为定义3.1中的两条线和三条线配置的x范围在其域[xd，xu]内。引理3.6用于固定-∞ < xd<xr<xu<∞, 和固定的z级∈ [xr，\'z].1。如果我们∈ [xd，xz1]，满足资本约束的两行结构X=xIB+xuidE[X]=XP（B）+xuP（D）=xrin退化约束1满足预期回报约束：E[X]=xP（B）+xuP（D）≥ Z2.如果我们∈ （xz1，xr），满足资本约束的两行配置X=xIB+xuidE[X]=XP（B）+xuP（D）=xrin退化约束1未满足预期回报约束：E[X]=xP（B）+xuP（D）<z；3.

如果我们∈ [xr，xz2），满足资本约束的两行配置X=xdIA+xib，即E[X]=xd~P（A）+X~P（B）=xrin退化约束2未能满足预期回报约束：E[X]=xP（B）+xuP（D）<z；4.如果我们∈ [xz2，xu]，满足资本约束的两行结构X=xdIA+xib，E[X]=xdp（A）+XP（B）=xrin退化约束2满足预期回报约束：E[X]=xP（B）+xuP（D）≥ z、 我们将注意力转向解决两个约束问题（4）中的第1步：第1步：期望短路v（x）=infX的最小化∈FE[（x- 十） +]受制于E[X]≥ z、 （回报约束）~E[X]=xr（资本约束）xd≤ 十、≤ 徐亚。s、 请注意，任何给定的实数x都会调用一个解决方案，与返回级别z或capitallevel xr无关。从引理3.6和两条直线的配置是一个约束问题（见定理3.11）第一步的最优解这一事实，我们可以立即得出以下结论。提案3.7：固定资产-∞ < xd<xr<xu<∞, 和固定的z级∈ [xr，\'z].1。如果我们∈ [xd，xz1]，则存在一个双线配置X=xIB+xuid，这是两个约束问题中步骤1的最佳解决方案；2.如果我们∈ [xz2，xu]，然后存在一个双线配置X=xdIA+xib，这是两个约束问题中步骤1的最佳解决方案。当x∈ （xz1，xz2），引理3.6表明，满足资本约束（~E[X]=xr）的双线配置不会产生足够高的预期回报（E[X]<z），不再可行。结果表明，三线配置的新解决方案就是答案：它可以被证明是可行的和最优的。引理3.8用于固定-∞ < xd<xr<xu<∞, 和固定的z级∈ [xr，\'z]。

给定任何x∈ （xz1，xz2），让我们看看这对数字（a，b）∈ R（b）≤ a） 是资本约束的一种解决方案，即三线结构的一般约束X=xdIA+xIB+xuID。将最终三线配置的预期回报定义为z（a，b）=E[X]=xdP（a）+xP（b）+xuP（D）。那么z（a，b）是一个连续函数，它从z减少到z:1以下的一个数字。当a=b=a来自“Bar System”的定义3.2时，三线结构退化为toX=\'X和z（\'a，\'a）=E[\'X]=\'z.2。当b<a和a>a时，z（a，b）随着b的减小和a的增大而不断减小。3.在极端情况下，当a=∞, 三线配置变为两线配置X=xIB+xuID；在极端情况下，当b=0时，三线配置变为两线配置X=xdIA+xIB。在这两种情况下，期望值都低于引理3.6的z。提案3.9针对固定资产-∞ < xd<xr<xu<∞, 和固定的z级∈ [xr，\'z]。如果我们∈ （xz1，xz2），则存在一个满足一般约束的三线配置X=xdIA+xIB+xuid，这是两个约束问题中步骤1的最佳解决方案。结合命题3.7和命题3.9，我们得出以下关于三线配置最优性的结果。定理3.10（步骤1的解决方案：预期短缺的最小化）用于固定-∞ < xd<xr<xu<∞, 和固定的z级∈ [xr，\'z]。下面描述的X（X）和相应的值函数v（X）是步骤1：最小化两个约束问题的预期短缺的最佳解决方案：oX∈ (-∞, xd]：X（X）=[xd，xu]中的值同时满足资本约束E[X（X）]=X和回报约束E[X（X）]≥ Z

v（x）=0.o十、∈ [xd，xz1]：X（X）=[X，xu]中的值同时满足资本约束E[X（X）]=X和回报约束E[X（X）]≥ z、 v（x）=0.o十、∈ （xz1，xz2）：X（X）=xdIAx+xIBx+xuidx，其中Ax，Bx，dx由满足一般约束条件的（17）中的Ax和bxa确定：~E[X（X）]=X和E[X（X）]=z.v（X）=（X- xd）P（Ax）。o十、∈ [xz2，xu]：X（X）=xdIAx+xibx，其中axas在定义3.1中确定Ax，bx，满足资本约束E[X（X）]=X和回报约束E[X（X）]≥ z、 v（x）=（x- xd）P（Ax）。o十、∈ [徐，∞): X（X）=xdI\'A+xuI\'B=\'X，其中A和B与A相关，如定义3.2中所述，满足资本约束E[X（X）]=X和回报约束E[X（X）]=z≥ z、 v（x）=（x- xd）P（`A）+（x）- 徐）P（\'B）。为了解决两个约束问题（5）的第2步，以及主要问题（2），我们需要最小化λinfx∈R（v（x）- λx），其中v（x）已在定理3.10中计算。根据返回约束中的z水平是单约束还是严格约束，有时通过双线配置获得解决方案，这对一个约束问题是最优的，有时通过真正的三线配置获得解决方案。为了朝着这个方向前进，我们回顾了Li和Xu[22]提出的单约束问题的解决方案。定理3.11（李和徐[22]中的定理2.10和备注2.11，当徐<∞)1.假设ess supdPdP≤λ. X=xris第2步的最佳解决方案：一个约束问题的风险条件价值最小化和相关的最小风险isCV aR（X）=-xr。2.