基于均值CVaR准则的最优动态投资组合

假设ess supdPdP>λ如果“a”≤λ-P（\'A）1-~P（\'A）（参见定义3.2中的“Bar系统”），然后，\'X=xdI\'A+xuI\'是第2步的最佳解决方案：最小化一个约束问题的风险条件值和相关的最小风险isCV aR（\'X）=-xr+λ（xu）- xd）（P（\'A）- λ∧P（\'A））.o否则，让我们*是方程A=λ的解-P（A）1-P（A）。助理设定了一个*=nω∈ Ohm :d~PdP（ω）>a*奥恩德B*=nω∈ Ohm :d~PdP（ω）≤ A.*甲级耳蜗*. 定义x*=xr-xdP（A）*)1.-P（A）*)那么这个配置*= xdIA*+ 十、*IB*满足资本约束E[X*] = xdP（A）*) + 十、*P（B）*) = xr。然后是X*（我们称之为“StarSystem”）是第2步的最佳解决方案：一个约束问题的风险条件值最小化，以及相关的最小风险isCV aR（X*) = -xr+λ（x）*- xd）（P（A）*) - λ∧P（A）*)).定理3.11第2部分定义3.12，定义z*= 在第一种情况下，当≤λ-P（\'A）1-~P（\'A）；德涅兹*= E[X*] 在第二种情况下，当a>λ-P（\'A）1-~P（`A）。我们看到，当z小于z时*, 二元解X*定理3.11中提供的X实际上是两个约束问题中第2步的最优解。但是，当z大于z时*,在双约束问题中，这两种直线配置不再可行。我们现在表明，三线配置不仅可行，而且是最优的。首先，我们建立了目标函数的凸性及其在引理中的连续性。引理3.13v（x）是x的凸函数∈ R、 因此是连续的。提案3.14：固定资产-∞ < xd<xr<xu<∞, 和固定的z级∈ （z）*, \'\'z]。等价地，（a）*, 十、*) 可以看作是方程（10）和（11）中资本约束和一阶欧拉条件的解。假设ess supdPdP>λ。

解决方案（a）**, B**, 十、**) （因此**, B**和D**) 根据方程式xdp（A）+xP（B）+xuP（D）=z，（回报约束）xdP（A）+xP（B）+xuP（D）=xr，（资本约束）P（A）+P（B）- bP（B）a- B- λ=0，（一阶欧拉条件）存在。十、**= xdIA**+十、**IB**+徐德**（我们称之为“双星系统”）是第2步的最佳解决方案：两个约束问题的风险条件值最小化，以及相关的最小风险isCV aR（X**) =λ（（x）**- xd）P（A）**) - λx**) .把命题3.14和定理3.11放在一起，我们得到了本文的主要定理。定理3.15（当xu<∞)固定的-∞ < xd<xr<xu<∞.1.假设ess supdPdP≤λ和z=xr。纯货币市场账户投资X=xris步骤2的最佳解决方案：两个约束问题的条件风险价值最小化，以及相关的最小风险isCV aR（X）=-xr。2.假设ess supdPdP≤λ和z∈ （xr，\'\'z]。第2步的最佳解决方案：两个约束问题的风险条件值最小化不存在，且最小风险isCV aR（X）=-xr。3.假设ess supdPdP>λ和z∈ [xr，z*] （参见定义3.12了解z*).o 如果“a”≤λ-P（\'A）1-~P（\'A）（见定义3.2），然后“杆系”X=xdI\'A+xuI\'是第2步的最佳解决方案：两个约束问题的条件风险值最小化，以及相关的最小风险isCV aR（\'X）=-xr+λ（xu）- xd）（P（\'A）- λ∧P（\'A））.o否则，“星系”X*= xdIA*+十、*IB*定理3.11定义了第2步的最佳解决方案：两个约束问题的风险条件值最小化，以及相关的最小风险isCV aR（X*) = -xr+λ（x）*- xd）（P（A）*) - λ∧P（A）*)).4.假设ess supdPdP>λ和z∈ （z）*, \'\'z]。

“双星系统”X**= xdIA**+ 十、**IB**+ 徐德**命题3.14中定义了第2步的最佳解决方案：两个约束问题的风险条件值最小化，以及相关的最小风险isCV aR（X**) =λ（（x）**- xd）P（A）**) - λx**) .我们观察到，纯粹的货币市场账户投资很少是最优的。当Radon-Nikod导数以风险度量（ess supdPdP）的置信水平的倒数为界时≤λ） ，a在Black-Scholes模型中不满足的条件下，除非回报要求与无风险利率一致，否则解不存在。当Radon-Nikod′ym导数以正概率超过λ，且返回约束为低z时∈ [xr，z*], 对于无返回约束的CV aRminimization问题，双线配置是最优的，对于平均CVaR问题也是最优的。然而，在更有趣的情况下，回报约束实际上是高z∈ （z）*, 最优的三线配置有时会采用上限Xu的值，以提高预期回报，但成本最低，风险最高。该分析符合第2.3.3.2节所示的数值示例，情况xu=∞: 无上限我们首先重申Li和Xu[22]在当前背景下对一个约束问题的解决方案：当Xu=∞, 我们在其中解释“A”Ohm 和‘z=∞.定理3.16（当Xu=∞)1.假设ess supdPdP≤λ. 纯货币市场账户投资X=X是第2步的最佳解决方案：一个约束问题的条件风险价值最小化和相关的最小风险isCV aR（X）=-xr。2.假设ess supdPdP>λ。

“恒星系统”X*= xdIA*+ 十、*IB*定理3.11定义了第2步的最佳解决方案：一个约束问题的风险条件值最小化，以及相关的最小风险isCV aR（X*) = -xr+λ（x）*- xd）（P（A）*) - λ∧P（A）*)).我们观察到，虽然投资组合的价值没有上界，但最优解从上面是有界的，最小CV aR从下面是有界的。在风险不会接近的意义上，将自融资投资组合（以XD为界，以排除套利）的CV aR风险从初始资本xis中完全最小化的问题是可行的-∞ 而最小风险是通过最优投资组合实现的。当我们给CV aR最小化问题增加实质性回报约束时，尽管最小风险仍然可以在最重要的情况下计算（定理3.17中的情况4），但它确实是一个最小值，而不是一个最小值，因此它可以通过次优投资组合近似，但不能通过最优投资组合实现。定理3.17（当xu=∞)固定的-∞ < xd<xr<xu=∞.1.假设ess supdPdP≤λ和z=xr。纯货币市场账户投资X=xris步骤2的最佳解决方案：两个约束问题的条件风险价值最小化，以及相关的最小风险isCV aR（X）=-xr。2.假设ess supdPdP≤λ和z∈ （xr，∞). 第2步的最优解：两个约束问题的条件风险值最小化不存在，且最小风险isCV aR（X）=-xr。3.假设ess supdPdP>λ和z∈ [xr，z*]. “恒星系统”X*= xdIA*+ 十、*IB*在理论3中定义。11是第2步的最佳解决方案：两个约束问题和相关最小风险isCV aR（X）的条件风险值最小化*) = -xr+λ（x）*- xd）（P（A）*) - λ∧P（A）*)).4.假设ess supdPdP>λ和z∈ （z）*, ∞).

第2步的最优解：两个约束问题的条件风险值最小化不存在，且最小风险isCV aR（X*) = -xr+λ（x）*- xd）（P（A）*) - λ∧P（A）*)).备注3.18从附录5中对上述定理的证明中，我们注意到，在案例4中，我们始终可以找到一个三线配置作为次优解，即每个 > 0，对应的投资组合X= xdIA+ 十、IB+ α身份证件满足一般约束条件，并产生接近下限的CV-aR水平：CV-aR（X) ≤ CV aR（X*) + .4未来工作假设2.1的第二部分，即连续分布的Radon-Nikod\"ym导数Pdpha，用于简化主要定理中的表述。当这个假设被削弱时，可以做进一步的工作。我们预计，主要结果应该仍然有效，尽管形式更加复杂。kIt还将感兴趣地扩展平均CVaRminimization的闭式解，用一般的法律不变凸风险度量替换CVaR。另一个方向是在当前环境中采用动态风险措施。虽然在本文中我们关注的是完全市场解，但为了在不完全市场环境下解决问题，通过鞅表示定理将动态问题（1）转化为静态问题（2）的精确套期保值参数必须被Kramkov[20]和F¨ollmer和Kabanov[13]开发的通过期权分解的超级套期保值参数所取代。该细节类似于F？ollmer和Leucert[14]中的短缺风险最小化、Rudloff[28]中的凸风险最小化以及He和Zhou[17]中的定律不变风险偏好。

奇怪的问题是：第三条线路的配置会保持最佳状态吗？K其格式的结果类似于F¨ollmer和Leucert[14]以及Li和Xu[22]中所采用的技术，其中必须仔细处理（17）中氡-尼科德¨ym导数阈值上的点质量。5.引理的证明3.3。“z=maxX”的问题∈FE[X]s.t.~E[X]=xr，xd≤ 十、≤ 徐亚。s、 相当于预期短缺问题\'z=- 貂皮∈FE[（徐）- 十） +]s.t.~E[X]=xr，X≥ xda。s、 因此，答案是立竿见影的。引理3.4的证明。选择xd≤ x<x≤ xr。设X=xIB+xuid，其中B=nω∈ Ohm :d~PdP（ω）≥ b和D=nω∈ Ohm :d~PdP（ω）<bo。选择b，使E[X]=xr。这个capitalconstraint的意思是x~P（B）+xu~P（D）=xr。因为~~P（B）+~P（D）=1，~P（B）=xu-xrxu-x和P（D）=xr-xxu-x、 定义z=E[x]。类似地，z，X，B，D，B对应于X，其中B>带P（B）=xu-xrxu-x和P（D）=xr-xxu-x、 注意，D D、 B 乐队D\\D=B\\B.我们有- z=xP（B）+xuP（D）- xP（B）- xuP（D）=（xu- x） P（B\\B）- （十）- x） P（B）=（许）- x） Pb<d~PdP（ω）<b- （十）- x） Pd~PdP（ω）≥ B= （徐- x） Zb<d~PdP（ω）<bdPd~P（ω）d~P（ω）- （十）- x） Zd~PdP（ω）≥BdPd~P（ω）d~P（ω）>（xu）- x） b~P（b\\b）- （十）- x） bP（b）=（xu- x） b徐- xrxu- 十、-徐- xrxu- 十、- （十）- x） bxu- xrxu- x=0。无论如何 > 0，选择x- 十、≤ , 然后- z=（徐）- x） P（B\\B）- （十）- x） P（B）≤ （徐- x） P（B\\B）≤ （徐- 十）徐- xrxu- 十、-徐- xrxu- 十、≤（十）- x） （徐- xr）徐- 十、≤ 十、- 十、≤ .因此，当x增大时，z会持续减小∈ [xd，xr]。当x=xd时，z=定义3中的z。2.当x=xr时，x≡ X兰德z=E[X]=xr。类似地，我们可以证明，随着x从xrto-xu增加，z从xrto-z持续增加。3.3是引理的逻辑结果；命题3.7来自引理3。6.所以他们的证据将被跳过。引理3.8的证明。选择-∞ < b<b≤\'b=\'a≤ a<a<∞.

配对（IdxdIa=ωxIB）对应于ωxIa+xIB∈ Ohm :d~PdP（ω）>ao，B=nω∈ Ohm : B≤d~PdP（ω）≤ ao，D=nω∈ Ohm :d~PdP（ω）<bo。同样，让配置X=xdIA+xIB+xUID对应于该对（a，b）。定义z=E[X]和z=E[X]。因为x和x都满足了资本约束，所以我们有xdP（A）+xP（B）+xuP（D）=xr=xdP（A）+xP（B）+xuP（D）。这简化了等式（18）（x- xd）~P（A\\A）=（xu）- x） ~P（D\\D）。然后- z=xdP（A）+xP（B）+xuP（D）- xdP（A）- xP（B）- xuP（D）=（xu- x） P（D\\D）- (十)- xd）P（A\\A）=（xu）- x） P（D\\D）- （徐- x） ~P（D\\D）~P（A\\A）P（A\\A）=（xu）- x） D\\PP（D\\D）~P（D\\D）-P（A\\A）~P（A\\A）= （徐- x） ~P（D\\D）RB≤d~PdP（ω）<bdPd~P（ω）d~P（ω）~P（d\\d）-Ra<d~PdP（ω）≤A.dPd~P（ω）d~P（ω）~P（A\\A）≥ （徐- x） ~P（D\\D）B-A.> 0.假设选择了一对（a，b），以便X满足预算约束E[X]=xr。无论如何 > 0，选择b- b足够小以至于P（D\\D）≤徐-x、 现在选择a<a满足的等式（18）。然后x也满足预算约束E[x]=xr，和Z- z=（徐）- x） P（D\\D）- (十)- xd）P（A\\A）≤ （徐- x） P（D\\D）≤ .我们得出结论，随着b的减少和a的增加，三线配置的预期值持续下降。在下文中，我们提供了本文的主要证明：三线配置的最优性。命题3.9的证明。表示ρ=dPdP。

根据引理3.8，存在一个满足一般约束条件的三线结构：E[X]=xdP（a）+xP（B）+xuP（D）=z，~E[X]=xdP（a）+xdP（B）+xyp（D）=xr。where={ω∈ Ohm : ρ（ω）>^a}，B=nω∈ Ohm :^b≤ ρ(ω) ≤ ^ao，D=nω∈ Ohm : ρ（ω）<^bo。作为凸优化问题的标准，如果我们能找到一对拉格朗日乘子λ≥ 0和u∈ Rsuch^X是最小化问题（19）infX的解决方案∈F、 xd≤十、≤薛[（x）- 十）+- λX- μρX]=E[（X-^X）+- λ^X- ^X是约束问题infx的解∈F、 xd≤十、≤薛[（x）- 十） +]，s.t.E[X]≥ z、 ~E[X]=xr。定义λ=^b^a-^b，u=-^a-^b.然后（19）变成fx∈F、 xd≤十、≤薛（x）- 十） ++ρ-^b^a-^bXi。选择任意一个X∈ F其中xd≤ 十、≤ xu，表示G={ω∈ Ohm : X（ω）≥ x} L={ω∈ Ohm : X（ω）<X}。注意ρ-^b^a-^b>1在A组，0≤ρ-^b^a-^b≤ 集B上的1，ρ-^b^a-^b<0在集合D上。然后差异Eh（x- 十） ++ρ-^b^a-^bXi- 呃（x）-^X）+ρ-^b^a-^b^Xi=Eh（x- 十） IL+ρ-^b^a-^bX（IA+IB+ID）i- 呃（x）- xd）IA+ρ-^b^a-^b（xdIA+xIB+xuID）i=Eh（x- 十） 伊尔+ρ-^b^a-^b（X）- xd）- (十)- xd）IA+ρ-^b^a-^b（X）- x） IB+ρ-^b^a-^b（X）- （徐）伊迪≥ 呃（x）- 十） IL+（X- x） IA+ρ-^b^a-^b（X）- x） IB+ρ-^b^a-^b（X）- xu）IDi=Eh（x）- 十） （二）∩IL+A∩B+IL∩D） +（X）- x） （IA）∩G+IA∩五十） +ρ-^b^a-^b（X）- x） IB+ρ-^b^a-^b（X）- xu）IDi=Eh（x）- 十） （二）∩B+IL∩D） +（X）- x） IA∩G+ρ-^b^a-^b（X）- x） IB+ρ-^b^a-^b（X）- xu）IDi=Eh（x）- 十） （二）∩B+IL∩D） +（X）- x） IA∩G+ρ-^b^a-^b（X）- x） （IB）∩G+IB∩五十） +ρ-^b^a-^b（X）- 徐（身份证）∩G+ID∩五十） i=Eh（x）- 十）1.-ρ-^b^a-^bIB∩L+十、- X+ρ-^b^a-^b（X）- （徐）身份证件∩L+（X）- x） IA∩G+ρ-^b^a-^b（X）- x） IB∩G+ρ-^b^a-^b（X）- （徐）身份证∩Gi≥ 最后一个不等式成立，因为期望中的每个项都大于或等于零。定理3.10是引理3.6、命题3.7和命题3.9的直接结果。引理3.13的证明。v（x）的凸性是其定义（4）的简单结果。

R上的实值凸函数在域的内部是连续的，所以v（x）在R上是连续的。命题3.14的证明。为了z∈ （z）*, 两个约束问题λinfx的步骤2∈R（v（x）- λx）是应用定理3.10后下列五个子问题中的最小值：情况1λinf(-∞,xd]（v（x）- λx）=λinf(-∞,xd](-λx）=-除息的；情形2λinf[xd，xz1]（v（x）- λx）=λinf[xd，xz1](-λx）=-西杂一号≤ -除息的；情况3λinf（xz1，xz2）（v（x）- λx）=λinf（xz1，xz2）（（x- xd）P（Ax）- λx）；情形4λinf[xz2，xu]（v（x）- λx）=λinf[xz2，xu]（（x- xd）P（Ax）- λx）；案例5λinf[xu，∞)（v（x）- λx）=λinf[xu，∞)(十)- xd）P（`A）+（x）- xu）P（\'B）- λx.显然，情况2在最小值较低的意义上优于情况1。在情况3中，通过v（x）的连续性，我们得到λinf（xz1，xz2）（（x- xd）P（Ax）- λx）≤λ（（xz1）- xd）P（Axz1）- λxz1）=-xz1。最后一个等式来自事实P（Axz1）=0：如引理3.8中所述，我们知道当x=xz1时，三线结构x=xdIA+xIB+xuid退化为两线结构x=xz1b+xuid，其中Axz1=∞. 因此，案例3主导案例2。在情况5中，λinf[xu，∞)（v（x）- λx）=λinf[xu，∞)(十)- xd）P（`A）+（x）- xu）P（\'B）- λx=λinf[xu，∞)(1 - λ） x- xdP（\'A）- xuP（`B）=λ(1 - λ） 徐- xdP（\'A）- xuP（`B）=λ（徐- xd）P（(R)A）- λxu≥λinf[xz2，xu]（（x- xd）P（Ax）- λx）。因此，案例4主导案例5。当x∈ [xz2，xu]和ess supd)PdP>λ，定理3.10和定理3。11意味着情况4中的最大值是通过“X”或“X”实现的*. 既然我们限制z∈ （z）*, “z]在哪里*= z根据定义3.12，在第一种情况下，我们不需要在当前提议中考虑这种情况。在第二种情况下，引理3.4意味着x*< xz2（因为z>z*). 通过v（x）的凸性，然后是v（x）的连续性，λinf[xz2，xu]（（x- xd）P（Ax）- λx）=λ（（xz2）- xd）P（Axz2）- λxz2）≥λinf（xz1，xz2）（（x- xd）P（Ax）- λx）。因此，案例3主导案例4。

我们已经证明，案例3实际上提供了全球范围内的结果：λinfx∈R（v（x）- λx）=λinf（xz1，xz2）（v（x）- λx）。现在我们关注x∈ （xz1，xz2），其中X（X）=xdIAx+xIBx+xuidx表示一般约束条件：E[X（X）]=xdP（Ax）+xP（Bx）+xuP（Dx）=z，*E[X（X）]=xdP（Ax）+X*P（Bx）+xuidx（Dx）=xr以及集合Ax Bx和DxareAx=nω的定义∈ Ohm :d~PdP（ω）>axo，Bx=nω∈ Ohm : bx≤d~PdP（ω）≤ axo，Dx=nω∈ Ohm :dPdP（ω）<bxo。注意v（x）=（x- xd）P（Ax）（见定理3.10）。由于P（Ax）+P（Bx）+P（Dx）=1和P（Ax）+P（Bx）+P（Dx）=1，我们重写了资本和回报约束asx- z=（x）- xd）P（Ax）+（x- xu）P（Dx），x- xr=（x- xd）~P（Ax）+（x- xu）~P（Dx）。对x的两边进行微分，我们得到p（Bx）=（x- xd）dP（Ax）dx+（x- xu）dP（Dx）Dx，~P（Bx）=（x- xd）dP（Ax）dx+（x- xu）dp（Dx）Dx。由于＠P（Ax）dx=axdP（Ax）dx，d＠P（dx）dx=bxdP（dx）dx，我们得到dp（Ax）dx=＠P（Bx）- bP（Bx）（x）- xd）（a）- b） 。因此，（v（x）- λx）=P（Ax）+（x- xd）dP（Ax）dx- λ=P（Ax）+P（Bx）- bP（Bx）a- B- λ.当上述导数为零时，我们得到一阶欧拉条件P（Ax）+P（Bx）- bP（Bx）a- B- λ = 0.准确地说，上述差异应该用左手和右手导数来代替，如李和旭[22]中推论2.8的证明所述。但是，一阶欧拉条件将被证明是相同的，因为我们假设Radon-Nikod’ym导数PdPhas连续分布。为了完成这个证明，我们需要证明存在一个x∈ （xz1，xz2）在满足一阶欧拉条件的情况下，从引理3.8，我们知道作为x和xz1，ax%∞, P（Ax）&0。因此，limx和xz1（v（x）- λx）=-λ < 0.作为x%xz2、bx&0和P（Dx）&0。