基于均值CVaR准则的最优动态投资组合

是 否 +2 论坛币

k人 参与回答

经管之家送您一份

应届毕业生专属福利!

求职就业群

赵安豆老师微信：zhaoandou666

经管之家联合CDA

送您一个全额奖学金名额~ !

立即领取

感谢您参与论坛问题回答

经管之家送您两个论坛币！

+2 论坛币

英文标题：
《Optimal Dynamic Portfolio with Mean-CVaR Criterion》
---
作者：
Jing Li and Mingxin Xu
---
最新提交年份：
2013
---
英文摘要：
  Value-at-Risk (VaR) and Conditional Value-at-Risk (CVaR) are popular risk measures from academic, industrial and regulatory perspectives. The problem of minimizing CVaR is theoretically known to be of Neyman-Pearson type binary solution. We add a constraint on expected return to investigate the Mean-CVaR portfolio selection problem in a dynamic setting: the investor is faced with a Markowitz type of risk reward problem at final horizon where variance as a measure of risk is replaced by CVaR. Based on the complete market assumption, we give an analytical solution in general. The novelty of our solution is that it is no longer Neyman-Pearson type where the final optimal portfolio takes only two values. Instead, in the case where the portfolio value is required to be bounded from above, the optimal solution takes three values; while in the case where there is no upper bound, the optimal investment portfolio does not exist, though a three-level portfolio still provides a sub-optimal solution.
---
中文摘要：
从学术、行业和监管角度来看，风险价值（VaR）和条件风险价值（CVaR）是流行的风险度量。从理论上讲，最小化CVaR的问题是Neyman-Pearson型二元解。我们在预期收益上增加了一个约束，以研究动态环境下的平均CVaR投资组合选择问题：投资者在最终期限内面临一个Markowitz类型的风险回报问题，其中方差作为风险度量被CVaR取代。基于完全市场假设，我们给出了一般的解析解。我们的解决方案的新颖之处在于，它不再是内曼-皮尔逊类型，最终的最优投资组合只需要两个值。相反，在要求投资组合的价值从上方有界的情况下，最优解取三个值；在没有上限的情况下，最优投资组合不存在，尽管三级投资组合仍然提供次优解。
---
分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Portfolio Management        项目组合管理
分类描述：Security selection and optimization, capital allocation, investment strategies and performance measurement
证券选择与优化、资本配置、投资策略与绩效评价
--
一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Risk Management        风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
--

---
PDF下载：
--> Optimal_Dynamic_Portfolio_with_Mean-CVaR_Criterion.pdf (552.03 KB)

2022-4-29 16:44:16 上传

扫码加我 拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

分享0 收藏0 回帖

关键词：投资组合 CVAR CVA VaR Quantitative

基于均值CVaR准则的最优动态投资组合*, 纽约联邦储备银行，纽约，纽约10045，美国。电子邮件：京。li@ny.frb.orgMingxinXu，北卡罗来纳大学夏洛特分校，数学与统计系，夏洛特，北卡罗来纳州28223，美国。电子邮件：mxu2@uncc.eduAbstractValue-从学术、行业和监管角度来看，风险价值（VaR）和条件风险价值（CVaR）是流行的风险度量。从理论上讲，最小化CVaR的问题是内曼-皮尔逊型二元解。我们在预期回报上增加了一个约束条件，以在动态环境中研究平均CVaR投资组合选择问题：投资者在最终期限内面临马科维茨[23]类型的风险回报问题，其中方差作为风险度量被CVaR取代。基于完全市场假设，我们给出了一般的解析解。我们的解决方案的新颖之处在于，它不再是内曼-皮尔逊类型，最终的最优投资组合只需要两个值。相反，在要求投资组合的价值从上面有界的情况下，最优解取三个值；在没有上限的情况下，最优投资组合不存在，尽管三级投资组合仍然提供次优解。关键词：条件风险价值，平均CVaR投资组合优化，风险最小化，内曼佩尔森问题杰尔分类：G11，G32，C61数学学科分类（2010）：91G10，91B30，90C461简介Markowitz[23]在1952年发表的投资组合选择问题被描述为一个单期静态环境中的优化问题，目标是最大化预期收益，服从方差从上方有界的约束。2005年，Bielecki等人[8]在动态完整市场环境中发布了该问题的解决方案。

在这两种情况下，投资组合的风险度量被选择为方差，风险报酬问题被理解为“均值-方差”问题。*所表达的发现和结论仅为作者的发现和结论，并不代表纽约联邦储备银行或联邦储备系统的立场。在开发风险度量方面，已经进行了大量研究，这些风险度量关注组合损失发生时尾部分布中的极端事件（方差不区分损失或收益），基于分位数的模型迄今为止已成为最流行的选择。其中，由Rockafellar和Uryasev[26]和[27]开发的条件风险价值（CVaR），也称为Acerbi和Tasche[1]的预期短缺，已成为替代投资组合选择问题方差的一个突出候选。在理论方面，CVaR是一种“一致性风险度量”，这是Artzner等人[6]和[7]提出的一个术语，旨在通过公理化方法定义“良好”风险度量应具备的属性。在实践方面，Rockafellar和Uryasev[26]提出的CVaR的凸表示为均值CVaR问题的凸优化打开了大门，并使其在实现上具有巨大优势。在单周期静态环境中，Rockafellar和Uryasev[26]演示了如何使用线性规划来解决均值CVaR问题，使其成为Markowitz[23]均值-方差概念的令人信服的替代方案。Rockafellar和Uryasev[26]的工作引起了人们对扩展这种方法的极大兴趣。Acerbian和Simonetti[2]以及Adam等人[4]将CVaR推广到静态环境下的光谱风险度量。Cherny[10]将Spectralrisk测度也称为风险加权值（WVaR），他反过来研究了它的优化问题。

Ruszczynsk和Shapiro[29]将CVaR修正为多步动态风险度量，即“CVaR的条件风险映射”，并使用Rockafellar和Uryasev[26]技术对每个时间步解决了相应的平均CVaR问题。当预期收益被预期效用所取代时，效用CVaR投资组合优化问题通常是在连续时间动态环境下研究的，参见Gandy【15】和Zheng【33】。最近，Quaranta和Za off aroni[25]、Gotoh等人[16]、Huang等人[18]和El Karoui等人[12]讨论了稳健实施的问题。Acharya等人[3]、Chen等人[9]以及Adrian和Brunnermeier[5]对涉及CVaR的系统性风险进行了研究。据我们所知，在连续时间动态环境下，平均CVA问题的解还没有完全的特征化。与Bielecki等人[8]类似，我们将问题简化为静态优化问题和带有完全市场假设的套期保值问题的组合。我们的主要贡献是，在解决静态优化问题时，我们发现了一个完整的特征，其性质与文献中已知的不同。作为一个没有预期回报约束的纯CVaR最小化问题，Sekine[31]、Li和Xu[22]、Melnikov和Smirnov[24]找到了bebinary的最优解。Schied[30]和He及Zhou[17]证明，对于更一般的不变风险（偏好）度量最小化，这是正确的。找到二进制解的关键是将平均CVaR问题与内曼-皮尔逊问题联系起来。我们在第2.1节中观察到，CVaR最小化的随机部分可以通过Rockafellar和Uryasev[26]给出的表示（CVaRis是预期短缺的Fenchel-Legendre对偶）转化为短缺风险最小化。

F¨ollmer and Leucert[14]将一般半鞅完全市场模型中后一个问题的解描述为二元，他们已经证明了它与风险中性概率测度P和物理概率测度P之间的假设检验的内曼-皮尔逊问题的密切关系。Cherny[10]将预期收益约束添加到WVaR最小化（CVaR是WVaR的一个特例）中，发现了平均WVaR问题的解仍然存在的条件。在本文中，我们讨论了解决平均CVaR问题的所有情况，这取决于两个标准的组合：Radon Nikod’ym导数的水平，相对于风险度量的置信水平；以及退货要求的水平。更具体地说，当投资组合上下一致有界时，我们发现最优解在某些情况下是不存在的或二元的，更有趣的是，在最重要的情况下取三个值（见定理3.15的情况4）。在大多数情况下（见定理3.17中的案例2和案例4），当投资组合从上面无界时，解不存在，而三个级别的投资组合仍然给出次优解。由于我们找到的新解不仅可以取上界或下界，还可以取中间的一个水平，因此可以将其部分视为内曼-皮尔逊问题二元解的推广，并对期望值进行了额外的约束。本文的组织结构如下。第二节阐述了动态投资组合选择问题，并比较了二元解和三层解的结构，以及exactcalculation在Black-Scholes模型中的应用。

第3节详细介绍了一般情况下的解析解，其中证明延迟到附录5；第4节列出了未来可能的工作。2.最佳投资组合的结构2。1.主要问题(Ohm, F、 （F）0≤T≤T、 P）是一个过滤概率空间，满足Fis和FT=F的通常条件。市场模型由d+1可交易资产组成：一个无风险资产（货币市场账户）和d风险资产（股票）。假设无风险利率r为常数，股票为d维实值局部有界半鞅过程。将投资于风险资产的股份数ξt设为一个d维可预测过程，这样就可以很好地定义关于STI的随机积分。根据CSD的自我融资价值- ξtSt）dt，X=X。这里，如果风险资产是多维d>1，则ξtdStandξtstar被解释为内积。投资组合选择问题是找到最佳策略（ξt）0≤T≤为了将最终投资组合价值X的条件风险价值（CVaR）降至最低，且置信水平为0<λ<1，同时要求预期值保持在常数z以上。+此外，我们要求投资组合价值随时间变化的统一下限xD和上限xU，以便-∞ < xd<x<xu≤ ∞. 因此，我们的主要动力学问题是受E[XT]约束的infξtCV aRλ（XT）（1）≥ z、 xd≤ Xt≤ 徐亚。sT∈ [0，T]。请注意，可以通过将下限设置为xd=0来施加无破产条件，并且可以通过将上限设置为xu=0来从上面对Portfolio值进行无界限制∞.

我们的解决方案将基于以下完整的市场假设。假设2.1不存在风险为零的免费午餐（如Delbaen和Schachermayer[11]中所定义），市场模型具有唯一的等价局部鞅测度P，因此theRadon Nikod\"ym衍生的\"PdPhas为连续分布。在上述假设下，任何F-可测随机变量都可以被动态投资组合复制。因此，动态优化问题（1）可以简化为：首先找到最优解X**对于主要的静态问题，infX∈FCV aRλ（X）（2）服从于E[X]≥ z、 ~E[X]=xr，xd≤ 十、≤ 徐亚。s、 如果存在，然后找到复制F-可测量随机变量X的动态策略**. 在这里，期望值E和E分别在物理概率测度P和风险中性概率测度P下取值。xr=假定满足xerTis常数-∞ < xd<x≤ xr<xu≤ ∞ 而额外资本约束E[X]=xris是确保最优解决方案可以通过初始资本X的动态自我融资策略来复制的关键。Krokhmal等人[21]展示了条件，在此条件下，CVaR约束下的预期收益最大化问题等同于预期收益约束下的CVaR最小化问题。

在本文中，我们对这两种情况都使用了均值问题。利用Rockafellar和Uryasev[26]中导出的条件风险值和预期短缺的Fenchel-Legendre对偶之间的等价性，（3）CV aRλ（X）=λinfx∈RE[（x）- 十） +]- λx, λ ∈ （0，1），CVaR优化问题（2）可以简化为一个预期短缺优化问题，该问题被称为两个约束问题：步骤1：预期短缺最小化v（x）=infX∈FE[（x- 十） +]（4）受E[X]约束≥ z、 （回报约束）~E[X]=xr（资本约束）xd≤ 十、≤ 徐亚。s、 第2步：最小化条件风险值（5）infX∈FCV aRλ（X）=λinfx∈R（v（x）- λx）。为了将我们的解决方案与现有文献中的解决方案进行比较，我们还将一个辅助问题命名为一个约束问题，该问题在没有回报约束的情况下简化条件风险值：将（4）中的步骤1替换为步骤1：预期空头v（x）=infX的最小化∈FE[（x- 十） +]（6）受制于<<E[X]=xr，（资本约束）xd≤ 十、≤ 徐亚。s、 （5）中的第2步保持不变。2.2主要结果本小节致力于一个约束问题和两个约束问题的解决方案之间的概念性比较。Foollmer和Leucert[14]在假设2.1下发现，一个约束问题的第1步中的预期短缺最小化问题的解决方案本质上是二元的：（7）X（X）=xdIA+xIAc，对于xd<X<xu，其中I·（ω）是指示函数，集A被定义为RadonNikod\'ym导数高于阈值nω的状态集合∈ Ohm :d~PdP（ω）>ao。

这种特殊的结构，其中最优解X（X）只取两个值，即下界XD和X，一旦在F¨ollmer和Leucert[14]中连接了最小化预期短缺和P与¨P之间的假设检验的问题，直觉上就很清楚了。众所周知，后者拥有Neyman-Pearson引理的二元解。有多种方法可以证明最优性。除了Neyman-Pearson方法之外，它还可以从凸对偶的角度来看，参见Xu[32]中的定理1.19。此外，命题3.14证明的简化版本给出了使用拉格朗日乘子进行凸优化的直接方法。Schied[30]、Sekine[31]和Liand Xu[22]给出了一个约束问题的步骤2的解决方案，以及（1）和（2）中的主要问题，即无回报约束的纯风险最小化问题的解决方案。由于第2步只涉及实数x上的极小化，因此本步骤保留了二进制结构。在某些技术条件下，一个约束问题的步骤2的解由Li和Xu[22]（定理2.10和备注2.11）展示给beX*= xdIA*+ 十、*IA*c、 （双线配置）（8）CV aRλ（X*) = -xr+λ（x）*- xd）P（A）*) - λ∧P（A）*),（9） 在哪里*, 十、*) 是第1步中资本约束（~E[X（X）]=xr）和第2步中一阶欧拉条件（v（X）=0）的解：xdP（A）+XP（Ac）=xr，（资本约束）（10）P（A）+P（Ac）A- λ = 0. （一阶欧拉条件）（11）仅持有无风险资产的静态投资组合将产生固定的投资组合价值X≡ XR带CV aR（X）=-xr。通过动态管理风险资产的风险敞口，分散投资，将整体投资组合的风险降低了（9）中所示的金额。一个有趣的观察结果是，无论投资组合的上界是否确定，最优投资组合都存在∞ 或者不是徐=∞.

当我们在优化问题中加入收益约束时，这个结论将发生巨大的变化。本文的主要结果是证明两个约束问题的最优解，以及主要问题（1）和（2），不存在Neyman-Pearson型二元解，我们在（8）中称之为两线配置；相反，它有一个三线配置。命题3.14和定理3。15证明，当上限为有限时∞ 在某些技术条件下，两个约束问题中第二步的解变成了beX**= xdIA**+ 十、**IB**+ 徐德**, （三线配置）（12）CV aRλ（X**T） =λ（（x）**- xd）P（A）**) - λx**) ,（13） 在哪里**, B**, 十、**) 是资本约束和一阶欧拉条件的解，加上额外的回报约束（E[X（X）]=z）：xdP（A）+xP（B）+xuP（D）=z，（回报约束）（14）xd)P（A）+X)P（B）+xu)P（D）=xr（资本约束）（15）P（A）+P（B）- bP（B）a- B- λ = 0. （一阶欧拉条件）（16）方程式（14）-（16）中的集合由不同水平的Radon-Nikod’ym导数定义：A=nω∈ Ohm :ωd=dω∈ Ohm : B≤d~PdP（ω）≤ ao，D=nω∈ Ohm :d~PdP（ω）<bo。当上限为最终值时，xu=∞, 定理3.17表明，最优组合的解不再是三线结构。它可以是纯粹的货币市场账户投资（单线）、二进制（双线），或者很可能不存在。在最后一种情况下，仍然可以计算CVaR的上限，并且可以找到一系列三线配置投资组合，其CVaR收敛到上限。2.3示例：Black-Scholes模型中的精确计算我们展示了三线配置（12）-（16）的封闭形式计算，以及基准Black-Scholes模型中相应的最优动态策略。