局部方差Gamma和期权价格的显式校准

有关伽马过程和更一般的列维过程的介绍，请参见Bertoin[2]、Sato[19]或Applebaum[1]。有关其在金融环境中的应用，请参见Schoutens[20]或Cont and Tankov[6]。t时刻伽马过程的边缘分布≥ 0是伽马分布：Q{Γt∈ αt}*Γ（t/t）*)st/t*-1e-α-sds，s>0，t>0，（8）对于参数α>0和t*> 0.对于t<t*, 这个PDF在s=0时有一个奇点，而对于t>t*, 在thePDF处消失。t=t时*, PDF与平均值α呈指数关系。因此，我们从此引用参数t*> 0表示伽马过程的特征时间。特征时间t*阿加玛过程的Γ是唯一的确定性等待时间t，直到Γ呈指数分布。回想一下，Γt的平均值由以下公式给出：EQΓt=tαt*, （9） 尽管如此，t≥ 0.如果我们设置参数α=1/t*, 然后伽马过程变得无偏，即所有t的等式Γt=t≥ 0.一般来说，Γtis的方差为：tαt*, t>0。（10） 因此，无偏伽马过程的标准偏差仅仅是t和t的几何平均值*. 设定值α=1/t*在（10）中，我们得到了无偏伽马过程。t时刻无偏伽马过程Γ的分布≥ 0是：Q{Γt∈ ds}=st/t*-1e-s/t*（t）*)电汇*Γ（t/t）*)当t=t时，ds，s>0，（11）*, 这个PDF是指数的，伽马过程是无偏的这一事实意味着Γt的平均值和标准偏差*都是t吗*.备注3。α=1/t的选择*在上述构造中，其动机仅仅是希望有一个无偏的阿加玛过程：它在时间t等于t时的期望值。我们认为这是一个自然属性，因为在接下来的内容中，我们使用伽马过程作为时间变化。然而，伽马过程完全没有必要是无偏的。事实上，后续章节的结果将适用于任何α>0的情况。

特别是，如果无偏伽马过程产生了不切实际的路径（例如，有很多非常小的跳跃，很少有非常大的跳跃），可以更改参数α以获得更真实的动力学。局部方差伽马过程的II-D构造我们假设，潜在现货价格S的风险中性过程是通过将无漂移差D服从独立的无偏伽马过程而获得的。回想一下，D被构造成连续路径空间上的正则过程OhmD=C（[0，∞)), 配备了Borel-Sigmaalgera B（C（[0，∞))), 用概率量度QD，x表示x∈ R.在不同概率空间上OhmΓ，FΓ, 利用概率测度QΓ，我们构造了一个参数为t的无偏gamma过程*.最后，关于产品空间OhmD×OhmΓ，B（C[0，∞)))  FΓ我们为每个（ω，ω）定义了潜在风险的风险中性动态∈ OhmD×OhmΓ，如下所示：St（ω，ω）=DΓt（ω）（ω），t≥ 0.（12）通过条件作用，可以很容易地证明，在任何测量条件下，S就其自然过滤而言继承了D的鞅性质qx=QD，x×QΓ（13）注4。作为正向空间变量的函数，St的PDF（当它存在时）可能具有一些不寻常的特性，即t小但不小。例如，当a为常数时，很容易看到PDF在x处为有限，时间为t<t*/2.因此，对于短期期权，针对罢工的graphof值将为C，但不是C。同样，对于短期ATM期权，gamma将不存在。对于一个分段连续的a，我们猜想St的PDF在a的每一个不连续点上都有一个跳跃。然后，在每一个这样的点上，买入价格是C，而不是C，被视为罢工的函数。随着离散时间随独立的L’evy时钟的变化，过程S，以及{Qx}（定义（13）），为x∈ R、 组成一个马尔科夫家族。

下面的命题使这一陈述变得严格，我们感谢Jan Ob l’oj指出，无偏伽马过程的模拟路径可能看起来不现实，t的强制确定值*除此之外，SDG模型还显示了如何降低LVG的价格。回想一下，在一个模型中，标的资产的风险中性动态由S给出，初始值S=x，具有支付函数φ和到期日t的欧式期权的时间t价格为nByvφt（t）=Exφ（ST）|FSt, （14） 其中，fss是由S生成的过滤，虽然符号有点滥用，但我们用关于Qx的extheexpection表示。特别是以下命题表明，aLVG模型中的期权价格由价格函数决定，定义为asVφ（τ，x）=Exφ（Sτ），（15）命题5。过程S和测度族{Qx}x∈r形成马尔可夫族（参见[11]中的定义2.5.11）。特别是，对于任何Borel可测且指数有界的函数φ，对于所有T≥ 0和x∈ R:Vφt（t）=Vφ（t- t、 St），Vφ（τ，x）=Z∞uτ/t*-1e-u/t*（t）*)τ/t*Γ（τ/t）*)VD，φ（u，x）du，（16），其中Vφt，Vφ和VD，φ分别由（14）、（15）和（2）给出。证据根据[11]中的定义2.5.11和命题2.5.13，为了证明S和{Qx}x∈对于马尔可夫族，我们需要展示两个性质。首先，对于任何F∈ B（C）（[0，∞)))FΓ，地图7→ Qx（F）=QD，x×QΓ（F）是普遍可测量的。这个性质可以很容易地从映射x7的普遍可测性推导出来→ QD，x（F），对于任何F∈ B（C）（[0，∞))), 通过单调类定理。其次，我们需要验证，对于任何B∈ B（R）和任何u，t≥ 0，QxSu+t∈ B | FSu= Qy（圣∈ B） |y=sut后者通过对Γ进行条件处理并利用D的马尔可夫性质很容易实现。类似地，我们可以得到（16）中的第二个方程。

（16）中的第一个等式源自马尔可夫性质。假设到期时间τ等于特征时间t*伽马过程。然后（16）屈服值φ（t*, x） =Z∞E-u/t*T*VD，φ（u，x）du。（17） 特别是对于看涨期权，我们得到：Ct（T，K）=Ex（圣- （K）+FSt= C（T）- t、 K，St），其中C（τ，K，x）是LVG模型中的买入价格函数，满足C（τ，K，x）=Z∞uτ/t*-1e-u/t*（t）*)τ/t*Γ（τ/t）*)CD（u，K，x）du，（18），其中CD由（4）给出。当τ=t时*, 我们有*, K、 x）=Z∞E-u/t*T*CD（u，K，x）du。（19） 下一节将展示如何使用上述表示生成控制期权价格的新方程式。III PDDE的期权价格在本节中，我们表明，第II-D小节中对s施加的额外结构导致上一节中给出的方程简化为更简单的偏微分方程（PDDE）。新方程可用于更快地计算期权价格，以及根据看涨期权的市场价格精确校准模型。在本节和下一节中，我们将假设扩散的局部方差率函数a（D）和特征时间t*伽马过程的性质不知怎么地是已知的。在下一节中，我们将讨论从市场数据中识别正函数和正常数的各种方法。III——期权价格的Black-Scholes PDDE考虑了欧洲类型的或有权益，在到期日T时支付φ（ST）。回想一下（15）中定义的LVG模型Vφ中该索赔的价格函数。等式（17）表明，该价格函数只是扩散模型中价格函数的拉普拉斯-卡森变换，其中变换参数的计算值为1/t*.

积分Black-Scholes方程（3）的两边，观察thatlimτ↓0Vφ（τ，x）=φ（x），我们试探性地导出了LVG模型中价格函数的Black-Scholes PDDE（20）。回想一下Black-Scholes偏微分方程（3）由于系数的可能不连续性而被理解为弱意义。下面的定理解决了这个问题，以及其他一些困难，并使推导变得复杂。定理6。假设φ（x）在x中是连续可微的∈ （L，U）并且它在L+和U上有零限制-. 此外，假设φ是绝对连续的，并且有一个平方可积导数。那么，以下是正确的。1.对于任何τ≥ T*, 函数Vφ（τ，·）（在（15）中定义）具有与φ相同的性质：它在边界处有零极限，它是一次连续可微的，具有绝对连续的导数，其二阶导数是平方可积的。2.此外，对于所有x∈ （L，U），除了a，Vφ（t）的不连续点*, x） 在x和satifiesa（x）中两次连续可区分xxVφ（t）*, 十）-T*Vφ（t）*, 十）- φ（x）= 0（20）性质1-2决定函数Vφ（t*, ·) 独特地定理6的证明在附录A中给出。注意，到期日t>t的未定权益的价值*, 在任意的未来时间t∈ （0，T- T*], Vφt可被视为另一项索赔的支付，到期日为t，支付函数为Vφ（t- t、 ·）。事实上，定理6指出函数Vφ（T- t、 ·适当函数f（t）的拉普拉斯-卡森变换定义为rtλe-λtf（t）dt，其中λ通常是实部为正的复数。具有与φ相同的性质。

因此，如果当前到期时间为*+ τ，带τ≥ T*, 价格函数必须满足方程（20），用Vφ（τ，·）代替φ：a（x）xxVφ（t）*+ τ、 十）-T*Vφ（t）*+ τ、 十）- Vφ（τ，x）= 0（21）PDDE（21）可用于数值计算所有τ=nt时的价格函数*, 对于n=1，2。，通过求解一维常微分方程序列，而不是抛物线偏微分方程（与（3）相比）。也就是说，价格函数可以在τ中向前传播，从初始条件Vφ（0，x）=φ（x）开始，递归求解（21），以获得下一个τ的值。事实上，如果我们能以一个常数的形式来表示，这是一个分段的。此外，可以在任意到期时间τ>0时近似期权价值。对于τ=t*,人们可以通过ODE（20）计算期权价格。对于τ∈ （0，t*) ∪ （t）*, 2t*), 价格函数Vφ（τ，x）可以通过蒙特卡罗方法来近似，或者通过计算（3）的数值解并将其与Γτ的密度积分来解析。完成此操作后，可以使用（21）以τ向前传播价格值，如上所述。III-B Dupire的认购价格PDDE在本小节中，我们重点介绍认购期权。我们将推导出一些方程，这些方程虽然看起来与Black-Scholes方程类似，但性质非常不同，并且特定于调用（或出售）支付函数。如前所述，我们首先使用方程（19）得出结论，欧洲aLVG模型中的价格函数是其在扩散模型中的价格函数的拉普拉斯-卡森变换。