局部方差Gamma和期权价格的显式校准

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英文标题：
《Local Variance Gamma and Explicit Calibration to Option Prices》
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作者：
Peter Carr and Sergey Nadtochiy
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最新提交年份：
2014
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英文摘要：
  In some options markets (e.g. commodities), options are listed with only a single maturity for each underlying. In others, (e.g. equities, currencies), options are listed with multiple maturities. In this paper, we provide an algorithm for calibrating a pure jump Markov martingale model to match the market prices of European options of multiple strikes and maturities. This algorithm only requires solutions of several one-dimensional root-search problems, as well as application of elementary functions. We show how to construct a time-homogeneous process which meets a single smile, and a piecewise time-homogeneous process which can meet multiple smiles.
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中文摘要：
在一些期权市场（如商品），期权上市时每个标的只有一个到期日。在其他情况下（如股票、货币），期权以多个到期日列出。在本文中，我们提供了一个校准纯跳跃马尔可夫鞅模型的算法，以匹配多重行使和到期的欧式期权的市场价格。该算法只需要求解几个一维的根搜索问题，并应用初等函数。我们展示了如何构造一个满足单个微笑的时间齐次过程，以及一个满足多个微笑的分段时间齐次过程。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Analysis of PDEs        偏微分方程分析
分类描述：Existence and uniqueness, boundary conditions, linear and non-linear operators, stability, soliton theory, integrable PDE\'s, conservation laws, qualitative dynamics
存在唯一性，边界条件，线性和非线性算子，稳定性，孤子理论，可积偏微分方程，守恒律，定性动力学
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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PDF下载：
--> Local_Variance_Gamma_and_Explicit_Calibration_to_Option_Prices.pdf (646.65 KB)

2022-4-29 16:49:51 上传

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关键词：gamma GAM Quantitative Differential Applications

局部方差伽马和期权价格的显式校准密歇根州安阿伯市密歇根大学约克大学密歇根大学数学科学学院48109pcarr@nyc.rr.com sergeyn@umich.eduThis版本：2014年2月3日文件参考：lvg8。德克萨斯州初稿：2012年4月11日在一些期权市场（如商品）中，期权上市时每一百年只有一个到期日。在其他情况下（如股票、货币），期权以多个到期日列出。本文分析了一类特殊的纯跳马尔可夫鞅模型，并给出了一种算法来校准该模型，使其与多重行使和到期的欧式期权的市场价格相匹配。该算法精确匹配期权价格，只需求解多个一维根搜索问题并应用初等函数。我们展示了如何构造一个满足单个微笑的时间齐次过程，以及一个满足多个微笑的分段时间齐次过程。我们非常感谢Laurent Cousot、Bruno Dupire、David Elizer、Travis Fisher、Bjorn Flesaker、Alexey Polishchuk、Serge Tchikanda、Arun Verma、Jan Ob l\'oj和Liuren Wu的评论。我们还感谢匿名推荐人的宝贵意见和建议，这些意见和建议帮助我们显著改进了论文。我们对任何改革者负责。我的介绍：为什么总是有这么多的钱在最后一个月Sarah Lloyd最早的期权定价文献对基础资产价格施加了一个过程，并根据动态假设和无套利推导出了唯一的期权价格。我们可以把这些文献描述为“从过程到价格”。

然而，一旦引入隐含波动性的概念，“从价格到过程”的逆问题就建立起来了。实践者对这个反问题青睐的术语是校准——确定模型所需输入的实践，以便它们与特定的市场价格一致。隐含波动率只是这个校准过程中最简单的例子，其中给出了一个单一的期权价格，并确定了Black-Scholes模型的波动率投入，以获得与这一市场价格的精确一致性。当校准仪器的数量扩展到几个不同成熟度的选项时，Black-Scholes模型可以很容易地进行调整，以与该信息集保持一致。一种简单的假设是，瞬时方差是时间的分段常数函数，它在每一个跃变成熟时都会跳变。选择阶梯级别，使时间平均累积方差与每个到期日的隐含方差相匹配。只要给定的期权价格是无套利的，Black-Scholes模型的这种确定性波动性版本就能够实现与任何给定的市场期权价格期限结构的精确一致性。由于Europeana的期权价格是封闭的。不幸的是，当校准仪器的数量被扩展到不同打击的几个共终点时，Black-Scholes模型没有唯一的简单扩展，能够满足这一信息集。当单一期限的隐含波动率是履约价格的非恒定函数时，有许多方法可以获得与相关期权价格的精确一致性。关于这个问题的最早研究似乎是鲁宾斯坦[18]在他的总统演讲中。

他在一个离散时间环境下工作，假设标的资产的价格是一个在非对数格上演化的马尔可夫链。假设晶格的终端节点落在期权罢工上，他能够找到决定该晶格的节点和转移概率。鲁宾斯坦结果的连续时间和状态版本可在卡尔和马丹[5]中找到。Cox、Hobson和Ob l\'oj[7]、[9]、[17]以及Madan和Yor[16]中介绍了校准为单一微笑的其他方法，以及校准为多重微笑的其他方法。然而，所有这些工作都假设连续微笑的可用性，即连续罢工的期权价格。在本文中，我们提出了一种新的方法，从一个给定的期权价格集合到连续时间背景下的马尔可夫鞅。这种校准方法可以成功地应用于连续微笑，以及具有多个罢工和到期日的有限系列期权价格。为了实现我们的算法，只需要解决几个一维根搜索问题并应用元素函数。据作者所知，这是第一个明确精确校准具有多个罢工和到期日的一组有限期权价格的例子，这样校准（连续时间）过程在任何时候都具有连续分布。此外，如果给定的市场选项是共终端，则校准过程将变得时间均匀。假设作为一组欧式期权基础的资产（远期）价格的风险中性过程是一个在独立且无偏伽马过程上运行的无漂移时间同质差异。我们将该模型命名为“局部方差伽马”（LVG），因为它结合了杜皮尔[8]的局部方差模型和马丹和塞内塔[15]的方差伽马模型的思想。

由于差异是时间齐次的，从属的伽马过程是L’evy，它们的独立性意味着现货价格过程也是马尔可夫和时间齐次的。由于从属关系是一个纯跳跃过程，因此支配基础现货价格的LVG过程也是纯跳跃过程。此外，LVG模型中控制期权价格的正向和反向方程变成了更简单的偏微分方程（PDDE）。这些PDDE的存在既允许对theLVG模型进行显式校准，也允许对未定权益进行快速数值评估。由于前向PDDE保持不变，可以用一个（连续的）微笑明确表示（校准）扩散系数。然后，通过在空间变量中连续求解二阶线性常微分方程（ODE）的有限序列，反向PDDE允许对其他未定权益进行有效估值。虽然单一微笑的结果与商品期权市场相关，但它们与股票和货币期权市场中的市场庄家不相关，在这些市场中，多个期权到期日同时交易。为了与多重微笑保持一致，我们还提出了LVG模型的一个扩展，该扩展导致了基础资产价格的分段时间齐次过程。AnyIt在多个smiles的具体应用中不需要显式优化。上述结果使我们能够校准LVG模型，或将其扩展到连续套利自由里程，这意味着，特别是，必须在市场中观察连续罢工的期权价格。

为了摆脱这种不切实际的假设，我们展示了如何使用与LVG模型相关的PDDE，从一系列有限的期权价格、多次履约和到期日构建连续的无套利微笑。据作者所知，这是首次构建了一个连续可差的无套利的隐含波动率插值模型，它只需要解决一维根搜索问题和应用初等函数。本文的结构如下。在下一节中，我们将介绍LVG过程的基本假设和构造，即服从无偏伽马过程的无漂移时间均匀扩散。在下一节中，我们将推导控制期权价格的正向和反向PDDE。在最后一节中，我们将讨论校准策略。为了满足多重微笑，我们构造了LVG过程的分段齐次扩展，并开发了相应的正向和反向PDDE。第四小节介绍了从有限的期权价格集合构造连续微笑的算法，以及相应的定理和数值结果- C.最后一部分对论文进行了总结，并对未来的研究提出了一些建议。II局部方差伽马过程II-A模型假设在本小节中，我们列出了本文中使用的一般财务和数学假设。为简单起见，我们假设所有资产的账面成本为零。因此，我们的利率、股息收益率等为零。直接将我们的结果推广到这些数量是时间的确定函数的情况（相关的数值问题在备注19中讨论）。我们还考虑了无摩擦市场和无套利。

受资产定价基本定理的启发，我们假设存在一个概率测度Q，使得所有资产的市场价格都是Q-鞅。按照标准术语，我们将Q称为风险中性概率度量。我们假设市场包括一系列欧洲看涨期权，这些看涨期权写在一个共同的基础资产上，其价格过程我们用S表示。我们假设初始现货价格是已知的。在本文中，我们用（L，U）表示-∞ ≤ L<U≤ ∞, 进程所在的空间间隔。边界点L和U可能达到，也可能无法达到。如果一个边界点是可以达到的，我们假设这个过程在该点被吸收。如果一个边界点是有限的，我们假设它是不可触及的。因为我们把S理解为价格过程，为了简单起见，我们可以把L和U看作0和0∞,分别地在以下小节中，我们考虑了基础过程的几个特定类别，并将它们用作构建局部方差伽马过程的构建块。也就是说，理想的纯跳跃过程是由无漂移扩散服从无偏伽马过程而产生的。II-B无漂移差分为了详细说明这个额外的结构，让W是一个标准的布朗运动。我们将其定义为与发电机（D）的无漂移时间同质扩散DD，dDs=a（Ds）dWs，s∈ [0，ζ]，（1）和初始值x∈ （L，U）。停止时间ζ表示扩散首次从间隔（L，U）中退出。该过程在ζ处停止（吸收）。我们假设扩散系数：（L，U）→ (0, ∞) 是一个分段连续函数，具有有限数量的分形不连续性（即在每个点上存在左极限和右极限），从上方和远离零均匀地有界，并且在这些有限的边界点上有有限的极限。

在这些假设下，对于任何初始条件x∈ （L，U），SDE（1）有一个弱解，它在概率律意义下是唯一的（参见定理5.7，第335页，在[11]中）。很容易看出，在这些假设下，边界点L或U是可访问的，当且仅当它是有限的。还要注意的是，我们可以通过假设（1）的解对于任何x都保持在x，从而将初始条件集扩展到整个实数线∈ R \\（L，U）。（1）弱解的分布集合，对于所有x∈ R、 在定义2.5.11的意义上，在[11]的第74页，形成了一个马尔可夫家族。更准确地说，在连续路径的正则空间上OhmD=C（[0，∞)), 配备了Borel-sigma代数B（C（[0，∞))), 我们考虑一系列概率测度QD，x, 为了x∈ R、 每个QD，xis是（1）的弱解的分布，初始条件为x。例如，根据定理5.4.20和注释5.4.21，第322页，在[11]中，QD，x以及正则过程D：ω7→ （ω（t），t）≥ 0）形成马尔科夫家族。由于ona的增长限制，D是一个真正的鞅，关于它的自然过滤，在任何度量QD，x下。值得一提的是，我们以这种特殊的方式构造D是有原因的，引入了这个族QD，x. 也就是说，为了进行第II-D小节和第IV-B小节中的构造，我们需要考虑扩散过程D作为其初始条件x的函数。特别是，我们使用其分布QD，x的某些性质，例如映射x 7的可测性→ QD，x，源自马尔可夫族的定义（参见定义2.5.11，第74页，见[11]）。我们可以在一个模型中计算欧式期权的价格，其中标的资产的风险中性动态由上述无漂移差异给出。

也就是说，给定一个Borel可测量的指数型支付函数φ，我们回忆相关欧洲类型索赔的时间t价格，到期时间t:VD，φt（t）=Exφ（DT）|FDt= Ey（φ（DT）-t） ）| y=Dt，适用于所有x∈ R和t∈ [0，T]。在上面，我们用关于qd的Exthe期望表示，用fdt表示D生成的过滤。最后一个等式是由于马尔可夫性质。因此，在无漂移扩散模型中，欧式期权的价格在任何时候都可以通过价格函数计算：VD，φ（τ，x）=Ex（φ（Dτ））。（2） 在整篇论文中，τ被用作辅助变量，它通常具有成熟时间的含义：τ=T-t、 此外，我们通过添加下标（通常为“t”），将价格作为随机变量与价格函数区分开来。无漂移扩散模型中的期权价格函数有望满足（τ，x）中的Black-Scholes方程：τVD，φ（τ，x）=a（x）xxVD，φ（τ，x），VD，φ（0，x）=φ（x）。（3） 然而，请注意，上述方程中的系数可能是不连续的，因此，我们只能期望值函数在弱意义上满足该方程。定理1。假设φ：（L，U）→ R是指数有界且连续可微的，φ是绝对连续的，具有平方可积导数。那么，VD，φ（定义在（2）中）是（3）的唯一弱解，在这个意义上：VD，φ是连续的，它的弱导数τVD，φ和对于任意固定的T>0，xxVD，φ在（0，T）×（L，U）中是平方可积的，对于VD，φ满足（3）。定理1的证明在附录A中给出。对于一类特殊的未定权益，我们可以导出一个额外的抛物线偏微分方程，由期权价格满足。回想一下，在无漂移扩散模型中，具有行使K和到期T的看涨期权的价格由以下公式给出：CDt（T，K）=Ex（DT）- （K）+FDt= CD（T）- t、 K，Dt），对于所有x∈ R和t∈ [0，T]。

在上文中，我们用CDD表示看涨价格函数，定义为asCD（τ，K，x）=Ex（Dτ）- （K）+. （4） 买入价格函数满足另一个抛物线型偏微分方程（τ，K），称为杜皮尔方程：τCD（τ，K，x）=a（K）KKCD（τ，K，x）。（5） 由于a可能不连续，我们只能在弱意义上建立这个方程。定理2。对于任何x∈ （L，U），买入价格函数CD（τ，K，x）（在（4）中定义）作为K的函数是绝对连续的∈ [L，U]。它的偏导数KCD（τ，，，x）有一个独特的非减损且正确的连续修改，它定义了[L，U]（选择）上的概率度量KCD（τ，U，x）=0）。此外，对于任何有界Borel函数φ，在（L，U）中有紧支集，我们有Zuld（τ，K，x）φ（K）dK=ZUL（x）- K） +φ（K）dK+ZτZULa（K）φ（K）dKCD（英国、韩国）du，（6）对于所有τ>0和所有x∈ （L，U）。定理2的证明见附录A.II-C伽马过程{Γt（t*, α） ，t>0}是参数为t的独立伽马过程*> 0和α>0。众所周知，伽马过程是一个递增的L’evy过程，其L’evy密度由kΓ（t）=e给出-αtt*t、 t>0，（7）参数为t*> 0和α>0。直观地说，大小在区间[t，t+dt]内的跳跃是强度为kΓ（t）dt的泊松过程。分数1/t*控制跳转到达的速率，而1/α控制平均跳转大小，前提是发生了跳转。一个人也不能直接凭直觉*和α，而不是它们的相互作用。由于伽马过程具有有限的活动性，任何有限时间间隔内的跳数对于小跳和大跳都是有限的。如果我们忽略小的跳跃，那么较大的是t*, 平均而言，等待固定数量的大跳跃发生的时间越长。此外，α越大，这些大跳跃的运行总和达到最佳正水平所需的时间就越长。