LSV模型定价和隐含容量的泰勒级数方法

（2012）.5.2三部分随机波动率模型在三部分随机波动率模型中，随机方差过程Z satifiesdzt=κZt（θ- Zt）dt+δZ3/2tdBt。在对数坐标（X，Y）=（logs，logz）中，我们有以下dynamicsdXt=-eYtdt+eYtdWt，Xt=x，dYt=κ(θ - （艾特）-δeYtdt+δeYtdBt，Yt=y，dhW，Bit=ρdt。因此，我们确定a（y）=ey，b（y）=δey，c（y）=ρδey，α（y）=κ（θ）- （安永）-是的。利用第3节和第4节的结果，我们得到以下一阶隐含波动率近似值σ=ey/2，σ=-ey/2τ-2θκ+eyδ+ 2κ -δρ+ey/2Δρ（k）- x） ，τ：=T- t、 为了简洁起见，我们省略了二阶和三阶项σ和σ，它们在（k）中都是四阶的- x） 。据我们所知，文献中没有出现其他关于三分之二模型的隐含波动率扩展。在图2中，我们绘制了我们的三阶隐含波动率近似值以及确切的隐含波动率，我们通过计算准确的买入价格（例如，imus博士（2012）的命题2.2）和对Black-Scholes进行数值投资获得了该值。我们使用Drimus（2012）获得的参数将模型校准为S&P500选项。请注意，准确的通话价格在计算上非常昂贵，它包含一个有效的超几何函数。相比之下，在Black-Scholes公式中插入隐含波动率展开式，计算近似价格的速度要快几个数量级。5.3 JDCEVAs在Carr和Linetsky（2006）中，我们考虑了跳转到默认的CEV模型，其中潜在的St=I{ζ>t}扩展具有扩散和杀伤系数σ（x）=δeβx和γ（x）=b+cσ（x）。

因此我们有a（x）=δe2βx，γ（x）=b+cδe2βx，α=β=c=0。如果区间[0，t]没有违约，在时间t支付h=1的公司债券的收益率Y（t，x；t）由Y（t，x；t）给出=-1T- tlog u（t，x），u（t，x）=E[I{ζ>t}|Xt=x]=Ehe-RTtγ（Xs）ds | Xt=xi。注意，如果利率为零，收益率对应于信用利差。使用第3节的结果，我们计算出（t，x）=e-（b+δce2xβ）τ，u（t，x）=e-（b+δce2xβ）τ- δbce2xβτβ+δce4xβτβ- δce4xβτβ,式中τ=T- t、 同样，为了简洁起见，我们省略了高阶项。Mendoza Arriaga等人（2010年）的方程式（8.13）给出了需要Kummer反超几何函数的确切价格u（t，x）。在图3中，我们绘制了yie-ld曲线的三阶近似值，以及各种模型参数的精确yie-ld曲线。6结论和未来工作在本文中，我们举例说明了如何通过将漂移、扩散和杀死系数扩展为泰勒级数，在可违约LSV设置下获得快速、准确的定价和隐含波动率近似值。由此得出的价格近似值只需要一个标准CDF。由此产生的隐含波动率扩张是明确的。Mathematica noteb可在作者网站（如下所列）上免费计算隐含波动率。目前，有五个著名的模型（CEV、二次局部波动率、赫斯顿、三分之二随机波动率和SABR）的注释。网站经常更新，并且有计划为具有时间相关参数s的模型添加隐含波动率no teboo ks。如果作者的时间允许，将接受对其他模型的请求。http://explicitsolutions.wordpress.comwww.princeton.edu/~mlorigww。数学联合警察局。它/~stefanopwww。马克。尤尼波。它/~pascucciA Gaussian导数letΓ=Γ（t，x，y；s，ξ，ω）是（11）中的高斯函数。

直接计算表明nξmω(ξ - \'-x）h（ω）- \'y）kΓ（t，x，y；s，ξ，ω）= (-1） n+mM（x，y）（t，s）HM（x，y）（t，s）Knx（x，y，ξ）和（x，y，ω）定义。现在很容易找到第n阶近似值。实际上，回想ea表示A的伴随算子，我们有ea（ξ，ω）（s）Γ（t，x，y；s，ξ，ω）=ξ（0，ξ）s- \'-x）+eA（ξ，ω）0,1（s）（ω）- （y）Γ（t，x，y；s，ξ，ω）（由ofeA定义）=M（x，y）（t，s）A（x，y）1,0（s）+M（x，y）（t，s）A（x，y）0,1（s）Γ（t，x，y；s，ξ，ω）（by（20））=G（x，y）（t，s）Γ（t，x，y；s，ξ，ω）。（21）归纳论证证明了等式（12）。参考Benhamou，E.，E.Gobet和M.Miri（2010）。时间依赖的赫斯顿模型。暹罗金融数学杂志1（1），289-325。卡尔，P.和V.L.Inets-ky（2006）。跳转到默认扩展CEV模型：贝塞尔过程的应用。《金融与社会科学》10（3），303-30。德里马斯，G.G.（20-12）。转换法实现方差的期权：非有效随机波动模型。定量。财务12（11），1679-1694年。Forde，M.，A.Jacquier和R.Lee（2012）。赫斯顿模型下隐含波动率的小时间微笑和期限结构。SIA M金融数学杂志3（1），690-708。Jeanblanc，M.，M.Yor和M.Chesney（2009）。金融市场的数学方法。弹簧滞后。Lorig，M.（2013）。某些局部波动率模型的精确微笑。定量金融13（6），897–905。Lorig，M.，S.Pagliarani和A.Pascucci（2013a）。默认情况下，L’evy类型的一系列密度展开将继续进行。ArXiv预印本ArXiv:1304.1849。Lorig，M.，S.Pagliarani和A.Pascucci（2013b）。任何本地随机卷模式的隐含卷。arXiv预印本arXiv:1306.5447。门多萨·阿里亚加，R.，P.卡尔和V.Line ts ky（2010）。Unified creditequity建模中的时变马尔可夫过程。

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