LSV模型定价和隐含容量的泰勒级数方法

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英文标题：
《A Taylor series approach to pricing and implied vol for LSV models》
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作者：
Matthew Lorig, Stefano Pagliarani, Andrea Pascucci
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最新提交年份：
2013
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英文摘要：
  Using classical Taylor series techniques, we develop a unified approach to pricing and implied volatility for European-style options in a general local-stochastic volatility setting. Our price approximations require only a normal CDF and our implied volatility approximations are fully explicit (ie, they require no special functions, no infinite series and no numerical integration). As such, approximate prices can be computed as efficiently as Black-Scholes prices, and approximate implied volatilities can be computed nearly instantaneously.
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中文摘要：
我们使用经典的泰勒级数和统一的欧式波动率定价方法，对欧式波动率进行了统一的定价。我们的价格近似只需要一个正常的CDF，我们的隐含波动率近似是完全明确的（即，它们不需要特殊函数、无限级数和数值积分）。因此，近似价格可以像Black-Scholes价格一样有效地计算，近似隐含波动率几乎可以在瞬间计算。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Computational Finance        计算金融学
分类描述：Computational methods, including Monte Carlo, PDE, lattice and other numerical methods with applications to financial modeling
计算方法，包括蒙特卡罗，偏微分方程，格子和其他数值方法，并应用于金融建模
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PDF下载：
--> A_Taylor_series_approach_to_pricing_and_implied_vol_for_LSV_models.pdf (192.14 KB)

2022-4-29 17:36:17 上传

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关键词：泰勒级数 SV模型 LSV Applications Quantitative

LSV模型定价和隐含容量的泰勒级数方法Matthew Lorig*Stefano Pagliarani+Andrea Pascucci此版本：2013年8月26日摘要利用经典泰勒级数技术，我们开发了一种统一的方法，用于在一般局部随机波动性环境下对欧式期权进行定价和隐含波动性。我们的价格近似值只需要一个正常的CDF，而隐含波动率近似值是完全明确的（即，它们需要无特殊函数、无有限级数和无数值积分）。因此，近似价格可以像Black-Scholes价格一样高效地计算，近似隐含波动率几乎可以在瞬间计算。1简介有无数的局部波动率（LV）、随机波动率（SV）和局部随机波动率（LSV）模型，可以明确计算欧式期权价格（例如，CEV、JDCEV、Heston、threehalves、零相关SABR）。然而，这些显式公式需要特殊的函数、大量的项或数值积分高度振荡的函数。因此，使用这些公式的计算期权价格可能既复杂又昂贵。此外，当引入与时间相关的参数（这是拟合隐含波动率的期限结构所必需的）时，这些模型中的许多失去了一开始就令人满意的分析可处理性。为了校准的目的，需要隐含的波动率，而不是价格。此外，还有一种针对LV、SV和LSV的显式隐含波动率近似方法，在这方面很有用（例如，CEV、Heston、SABR、λ-SABR）。然而，这些扩展依赖于特定的模型动力学，这可能不适用于给定的基础模型。

而且，再次强调，引入明确的时间依赖性可能会有问题。在本文中，我们介绍了一种简单而有效的方法，用于计算任何SV、LV或LSV模型的近似欧洲期权价格和相应的隐含波动率，该模型具有随时间变化的dr ift、扩散和杀伤系数（我们考虑了违约的可能性）。我们的方法基于经典泰勒级数展开，结果是定价近似值只需要一个正常的CDF，隐含的波动率近似值是完全明确的（即，它们不需要任何数值积分，也不需要特殊函数）。因此，近似的欧式期权价格可以像Black-Schole模型那样高效地计算，隐含波动率几乎可以在瞬间计算。2带违约的一般局部随机波动率模型为简单起见，我们假设一个无摩擦市场，无套利，零利率和无股息。我们所有的结果都可以很容易地推广到确定性利率。我们采用给定的等价鞅测度Q，由市场在完全过滤概率空间上选择(Ohm, F、 {Ft，t≥ 0}，Q）。过滤*美国普林斯顿普林斯顿大学公共关系学院。电子邮件：mlorig@princeton.edu.NSF拨款DMS-0739195部分支持的工作。+意大利帕多瓦帕多瓦大学Matematica分校。电子邮件：stefanop@math.unipd.it.意大利博洛尼亚博洛尼亚大学马特马蒂卡分校。电子邮件：安德里亚。pascucci@unibo.it.{Ft，t≥ 0}代表市场的历史。下面定义的所有随机过程都存在于这个概率空间中，所有的期望都是关于Q的。

我们考虑一种资产，其风险中性动态由t=I{ζ>t}eXt，dXt=u（t，Xt，Yt）dt+σ（t，Xt，Yt）dWt，X=X给出∈ R、 dYt=α（t，Xt，Yt）dt+β（t，Xt，Yt）dBt，Y=Y∈ R、 dhW，Bit=ρ（t，Xt，Yt）dt，|ρ|<1，（1）其中ζ是表示可能的默认事件ζ=inf的停止时间T≥ 0:Ztγ（s，Xs，Ys）ds≥ E,E呈指数分布且与X无关。由于资产价格S必须是一个平均值，漂移函数u必须由u（t，X，y）=-σ（t，x，y）+γ（t，x，y）。方程（1）包括几乎所有的局部波动率模型、所有的单因素随机波动率模型和所有的单因素局部随机波动率模型。此外，本文的结果可以以一种前瞻性的方式扩展到包含n个非局部波动因素的模型。不过，为了简单起见，我们的分析仅限于一个非局部因素。用V表示在T时间到期的欧洲衍生工具的无应收账款比特率价格，并支付H（ST）。众所周知（例如，见Jeanblanc等人（2009））tVt=K+I{ζ>t}Ehe-RTtγ（s，Xs，Ys）ds（h（XT）- K） |Xt，Yti，t<t，其中K:=H（0）和H（x）：=H（ex）。然后，要对欧式期权进行估值，必须计算公式（t，x，y）：=Ehe的函数-RTtγ（s，Xs，Ys）dsh（XT）| XT=x，Yt=yi。（2） 由（2）定义的函数u满足科尔莫戈罗夫向后方程(t+A）u=0，u（t，x，y）=h（x，y），（3），其中A=A（t，x，y）显式给出了算子A(十、- x） +α（t，x，y）y+b（t，x，y）y+c（t，x，y）十、y+γ（t，x，y）(十、- 1） 其中，函数a、b和c定义为a（t，x，y）：=σ（t，x，y），b（t，x，y）：=β（t，x，y），c（t，x，y）：=ρ（t，x，y）σ（t，x，y）β（t，x，y）。备注1（确定性利率）。

对于确定性利率r（t），我们必须计算公式eu（t，ex，y）的期望值：=Ehe-RTtr（s）+γ（s，eXs，Ys）dsh（eXT）| eXT=ex，Yt=yi，其中deXt=dXt+r（t）dt。在这种情况下，变量su（t，x（t，ex），y）：=eRTtr（s）eu（t，ex，y），x（t，ex）：=ex+ZTtr（s）ds，（5）的简单变化表明，u定义为（5），满足（3）。3定价近似：泰勒级数方法构造柯西问题的近似解（3），我们推进Lorig等人（2013b）的观点；Pascucci（2011），其基础是表达L’evy型积分微分算子的符号。我们的目标是在c lassicalTaylor级数近似的基础上，引入一种统一的定价方法和隐含波动率。具体而言，对于任何分析函数f=f（t，x，y），我们可以表示一个固定点（\'x，\'y）∈ 拉斯福洛夫（t，x，y）=∞Xn=0nXh=0fn-h、 h（t）（x）- \'x）n-h（y）- y）h，fn-h、 h（t）：=（n）- h） !！HN-hx油弚地小轮（t，\'x，\'y）。为了简洁起见，当n=h=0时，我们只需写出fin而不是f0,0。将这一思想应用于系数（a，α，b，c，γ），我们发现，在形式上，（4）中的运算器a允许形式的扩展=∞Xn=0An，An:=nXh=0（x- \'x）n-h（y）- “y）韩-h、 h，（6）其中{An-h、 h}是一个具有时间依赖系数的微分算子序列-h、 h:=安-h、 h（t）(十、- x） +αn-h、 h（t）y+bn-h、 h（t）y+cn-h、 h（t）十、y+γn-h、 h（t）(十、- 1).从今以后，我们将总结出，运算符A是抛物线的，这在金融应用中是典型的情况。根据A的上述扩展，我们还将定价函数u扩展为=∞Xn=0un。（7） 将（6）和（7）插入（3）中，我们发现函数{un}满足以下高加索问题序列(t+A）u=0，u（t，x，y）=h（x，y），（8）(t+A）un=-nXk=1Akun-k、 un（T，x，y）=0。

（9） 如下文所示，仅使用分布函数的一般性质，如ic类al-Chapman-Kolmogorov方程和标准Duhamel’sprinciple，就可以找到第n个函数的显式表达式。首先，考虑柯西问题（8）。该算子是一个抛物线算子，其效率与时间有关。因此，解uca可以写成asu（t，x，y）=e-RTtγ（s）dsZRΓ（t，x，y；t，ξ，ω）h（ξ，ω）dξdω，（10）其中Γ（t，x，y；t，ξ，ω）是二维高斯密度Γ（t，x，y；t，ξ，ω）=2πp|C |exp-(η - m） TC-1(η - m）, η =ξω, （11） 共变矩阵C和平均向量m由以下公式给出：C=RTta（s）dsRTtc（s）dsRTtc（s）ds 2RTtb（s）ds！，m=x+RTt（γ（s）- a（s））dsy+RTtα（s）ds！。接下来我们考虑n=1的柯西问题（9）。设h=δ（X，Y），使u直接对应于过程的跃迁密度，u（t，X，Y）=Γ（t，X，Y；t，X，Y）。对于任何算子A，让我们将其形式伴随表示为byeA，它是通过部分积分得到的。为了清楚起见，在下面的计算中，我们写下ea=A（x，y）（t）来表示A以t为参数并作用于变量（x，y）。我们有u（t，x，y）eRTtγ（s）ds=ZTtdsZRdξdω（t，x，y；s，ξ，ω）A（ξ，ω）（s）Γ（s，ξ，ω，ω；t，x，y）（由（9）和杜哈默尔原理）=ZTtdsZRdξdωeA（ξ，ω）（s）Γ（t，x，y；s，ξ，ω）Γ（s，ξ，ω；T，X，Y）（通过部分积分）=ZTtds G（X，Y）（T，s）ZRdξdω（T，X，Y；s，ξ，ω）Γ（s，ξ，ω；T，X，Y）（见等式（12）和（21））=ZTtds G（X，Y）（T，s）Γ（T，X，Y；T，X，Y）（查普曼·科莫戈罗夫著）将两边乘以e-RTtγ（s）dS，并使用（10）we findu（t，x，y）=Lu（t，x，y），L:=ZTtds G（t，s），其中，现在可以理解的是，运算符ltake t作为参数，并作用于变量x，y。对于更高阶，使用附录A中的结果we findu（t，x，y）=Lnu（t，x，y），Ln=nXh=1ZTtds··ZTsh-1dshXi∈In，hGi（t，s）··Gih（t，sh），其中h={i=（i。

，ih）∈ Nh | i+··+ih=n}，1≤ H≤ n、 而Gn（t，s）是一个运算符n（t，s）：=nXh=0Mn-h、 h（t，s）An-h、 h（s），Mh，k（t，s）：=（M（t，s））h（M（t，s））k，（12）带M（t，s）：=（x- \'x）+Zst（γ（q）- a（q））dq+2Zsta（q）dqx+Zstc（q）dqy、 （13）M（t，s）：=（y）- \'y）+Zstα（q）dq+Zstc（q）dqx+2Zstb（q）dqy、 （14）在（Lorig等人，2013b，定理9）中给出了与时间无关的无故障情况下LN的等效nt表示。备注2（定价近似值的准确性）。Paglia rani等人（2013）证明了渐近收敛结果；Lorig等人（2013a）。精确地说，假设函数a=a（t，x，y）、α=α（t，x，y）、b=b（t，x，y）和c=c（t，x，y）可微分到n阶，具有有界和Lipschitz连续导数。假设协方差矩阵一致正定义且有界。设（\'x，\'y）=（x，y）。那么对安恩来说∈ N我们有u（t，x，y）=NXn=0un（t，x，y）+O（T）- t） N+1作为t→ T-. （15） 例如，对于n=3，我们有I3，3={（1，1，1）}，I3，2={（1，2），（2，1）}和I3，1={（3）}。备注3（实际执行）。请注意，在几个术语之后，ln的表达式变为verylong。实际上，这些公式仅适用于n≤ 4.然而，根据（15），在n=2或n=3的情况下，获得非常准确的结果是很有必要的。备注4（数字效率）。当期权报酬仅为x的函数时（通常情况下），则计算期权价格展开中的条款不需要积分，也不需要比一维正常CDF更特殊的函数。因此，定价近似值的计算效率与Black-Scholes价格相当。

此外，对于（可能违约的）债券，近似价格是完全明确的；不需要集成或特殊功能。4隐含波动率：泰勒级数方法欧洲看涨期权价格通常以隐含波动率为单位，而不是以货币为单位。事实上，在金融行业，证券风险中性动态的模式l参数通常是通过校准市场的隐含波动率面来获得的。由于校准需要计算一系列冲击和到期日以及大量模型参数的隐含波动率，因此有一种快速计算隐含波动率的方法非常有用。假设5。仅在本节中，我们假设γ（t，x，y）=0（即，无默认值）。对于固定（t，t，x，k），用uBS（σ）表示看涨期权的Black-Scholes价格，该价格被视为波动率的函数（σ）：=exN（d+（σ））- ekN（d）-（σ） ），d±（σ）：=σ√T- T十、- k±σ（T）- （t）,其中N是标准正态随机变量的CDF。对应于看涨期权价格u的隐含波动率∈ （（例如- ek）+，ex）被定义为方程的唯一严格正实解σUBS（σ）=u。（16）我们的目标是找到对应于价格扩展u=P的隐含波动率σ∞n=0un。为此，我们假设σ的展开式为σ=σ+δ，δ=∞Xn=1σn.（17）为了找到序列{σn}中的未知项，我们只需将（7）和（17）插入（16）中，并在关于点σ的泰勒级数中展开uBS（σ+δ），即uBS（σ+δ）=∞Xn=0δnn！nσuBS（σ）=∞Xn=0un。从上面的等式中，可以迭代地找到序列{σn}中的未知项。Lorig等人（2013b）的定理15和Lorig（2013）的定理4.3给出了明确的表述。我们有σ=sRTta（s）dsT- t、 （18）σn=unσuBS（σ）-NnXh=2nσuBS（σ）σuBS（σ）Bn，hσ, 2!σ, 3!σ, . . .

，（n）- h+1）！σn-h+1, （19） 其中Bn，hdenotes是第（n，h）部分多项式。注意，在发现σ时，我们使用了一个事实，即价格扩展中的主导术语仅指uBS（σ）和（18）中定义的σ。明确地说，（19）中的前三项是σ=uσuBS（σ），σ=u-2.σσuBS（σ）σuBS（σ），σ=u- (σσσ+3！σσ） 瑞银（σ）σuBS（σ）。值得注意的是，序列{σn}中的每一项都可以在没有积分或特殊函数的情况下进行计算。为了了解这一点，我们回顾了ical公式σuBS（σ）=（T- t） σ(十、- x） uBS（σ），我们注意到un=Lnuis是形式为cn，k（t，t，x，y）的terms之和kx(十、- x） uBS（σ），其中c系数Cn，k（t，t，x，y）可以使用（12）显式获得。因此，可以使用nx(十、- x） 瑞银（σ）(十、- x） 瑞银（σ）=-1σp2（T）- t） !！nHn（z），z:=x- K-σ（T）- t） σp2（t）- t） 。其中Hn（z）：=(-1） 内兹nze-Zi是第n个Hermite多项式。5例在本节中，我们通过将我们的方法应用于三种模型来说明其灵活性和准确性：时间相关的Heston模型、三个半随机波动率模型和跳转到默认CEV模型。在本节中，我们始终设置（\'x，\'y）=（Xt，Yt），过程的时间t值（x，y）。5.1时间相关的Heston模型我们考虑Heston模型（S，Z），其中Z遵循一个CIR过程，具有时间相关的平均值θ（t）、volδ（t）和相关性ρ（t）。

在对数坐标（X，Y）=（logs，logz）中，我们有以下dynamicsdXt=-eYtdt+eYtdWt，Xt=x，dYt=（κθ（t）-δ（t））e-Yt- κdt+δ（t）e-YtdBt，Yt=y，dhW，Bit=ρ（t）dt。根据上述动力学，我们得到a（y）=ey，b（t，y）=δ（t）e-y、 c（t）=ρ（t）δ（t），α（t，y）=（κθ（t）-δ（t））e-Y- κ.我们选择时间相关参数δ（t）=pδ+δt，θ（t）=θ+θt，ρ（t）=δ（t）（ρ+ρt）的一个特别简单的参数化。这种参数化并不是必需的，但它很方便，因为b（t，y）、c（t）和α（t，y）在t中获得了一种独立的依赖性。对于b（t，y）、c（t）和α（t，y）可以与t显式集成的任何选择，都同样容易处理。利用第3节和第4节的结果，我们得到以下一阶隐含波动率近似值σ=ey/2，σ=3ρ+（2t+T）ρ12σ（k- x） +T- t24σ- 3δ+6θκ+3ey(-2κ + ρ) - （2t+T）（δ）- 2θκ -eyρ）.部分贝尔多项式在Mathematica中实现为Bell[n，h，{x，…，xn-h+1}]。为了简洁起见，我们省略了二阶项σ，它是（k）中的二次项-x） 。我们记得，Be nhamou e t al.（2010）提出了与时间相关的Heston模型的近似值。在图1中，我们对两个期限进行了二阶隐含波动率扩展：t=0.125和t=0.25年。为了进行比较，我们还可以通过蒙特卡罗模拟计算期权价格，并进行数值反转，以获得相应的隐含波动率（与时间相关的赫斯顿模型中没有期权价格的精确公式）。区间[0,0.25]上的参数δ（t）、θ（t）和ρ（t）的mea n值以及固定值y和κ对应于Forde等人使用的固定值（δ、θ、ρ、y、κ）。