能量、熵和套利

获得的直觉在一般情况下是有用的。假设有两种资产的价格分别为X（t）和X（t）。LetY（t）：=logX（t）X（t）是相对价格的度量。我们假设Y（t）=Y（t+1）- Y（t）只取σ和-σ，其中σ>0是固定常数。我们认为σ是相对价格的内在波动。给定一个投资组合策略π（t）=（π（t），π（t）），我们让π（t）=Zπ（t）X（t）/X（0）能量、熵和套利7tY（t）Y（0）匹配匹配图2。在二叉树模型中匹配上下移动。是投资组合π相对于资产2的价值。因此，资产2的目的是为了满足Num’eraire（在引言中的示例中，资产2是现金）。然后Wπ（0）=1，通过一个类似于引理2.2的参数，我们得到了Wπ（0）=1和Wπ（t+1）Wπ（t）=1+π（t）EY（t）- 1.=（1+π（t）（eσ）- 1） 如果Y（t）=σ，1+π（t）（e）-σ- 1） 如果Y（t）=-σ.这些是“上升”和“下降”因素（图1σ=对数2）。对于任何时间t，我们认为Wπ（t）是这些上下因子的乘积：（2.6）Wπ（t）=t-1Ys=01+π（s）EY(s)- 1..例2.4（固定加权投资组合）。设π=（q，1）- q） 成为一个稳定的投资组合，其中0<q<1。对于每一对上下移动，我们得到贡献（2.7）κ：=（1+q（eσ）- 1))1+qE-σ- 1.= 1+q（1）- q）eσ/2- E-σ/2> 1.因此，每个匹配产生一个“生长因子”κ。请注意，当q=即投资组合加权相等时，该数量最大化。假设在时间t之前有N（t）个匹配（见图2）。从图2可以清楚地看出，不匹配的移动数正好是M（t）：=|Y（t）- Y（0）|/σ。在乘积表示法（2.6）中，对于每对上下移动，我们得到（2.7）给出的因子κ。因此我们得到了分解（2.8）log Wπ（t）=N（t）κ+M（t）η，其中η：=log（1+q（e±）σ- 1） ）取决于Y（t）的符号- Y（0）。

分解（2.8）表明，当且仅当匹配移动的数量相对于非匹配移动的数量较大时，常数加权投资组合的表现优于集合2。特别是，如果N（t）↑ ∞ M（t）=o（N（t）），然后Wπ（t）↑ ∞作为t↑ ∞.在附录中，我们考虑使用依赖于状态的投资组合函数进行再平衡，并将其与Fernholz的功能生成投资组合相关联。3.能量熵再平衡8 SOUMIK PAL和TING-KAM LEONARD WONG3。1.离散超额增长率。我们通过引入关键量开始我们对能量熵框架的处理。设π为任何投资组合策略。取（2.3）两边的对数，并使用符号A（t）：=A（t+1）- A（t），我们有 logvπ（t）=lognXi=1πi（t）ui（t+1）ui（t）=nXi=1πi（t）logui（t+1）ui（t）+lognXi=1πiui（t+1）ui（t）！-nXi=1πi（t）logui（t+1）ui（t）！。（3.1）定义3.1（离散超额增长率）。设π={π（t）}∞t=0是一个portfoliostrategy。周期[t，t+1]内π的离散超额增长率由（3.2）γ定义*π（t）=lognXi=1πi（t）ui（t+1）ui（t）！-nXi=1πi（t）logui（t+1）ui（t）。累积离散超额增长率用（3.3）Γ表示*π（t）=t-1Xs=0γ*π（s）。注意γ*π（t）取决于π（t）、u（t）和u（t+1），可以在时间t+1计算。根据Jensen不等式，离散超额增长率γ*π（t）总是非负的。更明确地说，考虑一个随机变量Y，使得Y=logui（t+1）ui（t），概率为πi（t）。然后我们有γ*π（t）=对数Eπ（t）嗯-Y（E）π≥ 0，其中Eπ（t）表示关于被视为概率分布的π（t）的期望。尤其是γ*π（t）是严格正的，除非Y是π（t）-a.s。

常数这使我们能够观察γ*π（t）作为市场横截面波动性的度量。通过泰勒近似，我们得到了（3.4）γ*π（t）≈nXi，j=1πi（t）（δij）- πj（t）） 对数ui（t） 当u（t+1）接近u（t）时，对数uj（t）（这里δij是克罗内克增量）。在该限制中，这成为[FS82]中引入的超额增长率（另见[FK09，（1.13）]）。由于我们在离散时间工作，为了简单起见，我们将删除“离散”一词，这应该不会与连续时间超额增长率混淆。超额增长率在以下意义上是num’eraire不变量（另见[Fer02，引理1.3.4]）。引理3.2（数值不变性）。设Xi（t）为股票i的资本化，设{M（t）}∞t=0可以是任何用作数字的正序。让eri（t）= log（Xi（t）/M（t））是股票i相对于M（t）的对数回报，ander（t）= log（Zπ（t）/M（t））是投资组合的相应数量。然后是（3.5）γ*π（t）=er（t）-nXi=1πi（t）eri（t）。能量、熵和套利。通过（2.2），我们得到了（t）=lognXi=1πi（t）Xi（t+1）Xi（t）·M（t）M（t+1）！= 对数Zπ（t）-  对数M（t）。同样，nXi=1πi（t）eri（t）=nXi=1πi（t）logXi（t+1）Xi（t）-  对数M（t）=nXi=1πi（t）对数ui（t+1）ui（t）+ 对数Zu（t）-  对数M（t）。这个引理是通过取两个方程的差来证明的。特别是，取M（t）≡ 1分（3.5），我们有γ*π（t）=log1+nXi=1πi（t）Ri（t）！-nXi=1πi（t）log（1+Ri（t）），表示投资组合对数收益率与股票对数收益率加权平均值之间的差异。因此γ*π（t）也等于[BF92]中研究的分流收益。我们解释了累积超额增长率Γ*π（t）为投资组合策略π可能捕捉到的市场横截面波动量。

自从γ*π（t）通常是严格正的（当π（t）∈ n） 市场权重u（t）不断变化，我们预计Γ*π（t）↑ ∞ 作为t↑ ∞. 术语“能量”指的是这种波动性术语。关于术语的更多讨论将在第3.4.3.2节中给出。相对熵。能量熵框架的第二个关键量是源自信息论的相对熵。定义3.3（相对熵）。为了p∈ nand q∈ n、 相对熵（p | q）由h（p | q）=nXi=1pilogpiqi定义，约定为0 log0=0。相对熵在统计学中也被称为Kullback-Leibler散度。根据詹森不等式，我们得到了H（p | q）≥ 当且仅当p=q时，H（p | q）=0。相对熵可以解释为概率向量之间的一种距离，尽管它不是对称的，不满足三角形不等式。关于相对熵的进一步性质，请读者参考[CT06，第2章]。现在考虑一下（3.1）最后一行的第一项。观察nXi=1πi（t）logui（t+1）ui（t）=nXi=1πi（t）logui（t+1）πi（t）-nXi=1πi（t）logπi（t）ui（t）=-H（π（t）|u（t+1））+H（π（t）|u（t））。（3.6）结合（3.1）和（3.6），我们可以分解相对对数收益 对数Vπ（t）的形式为（3.7） 对数Vπ（t）=γ*π（t）+（H（π（t）|u（t+1））- π-t和π-t*π（t）log Vπ（t）H（π|u（0））- H（π|u（t））图3。常权投资组合的能量熵分解π.3.3。固定加权投资组合。恒定加权投资组合是再平衡理论中最简单、概念上最重要的投资组合。让我们首先将分解（3.7）转化为一个常数加权投资组合π∈ N

随着时间的推移求和（3.7），我们得到了能量熵分解（3.8）logvπ（t）=Γ*π（t）+（H（π|u（0））- H（π|u（t）），其中“能量”指波动率项Γ*π（t）（更多讨论见第3.4节）。注意，相对熵的和是伸缩和，因为π（t）≡ π随时间是常数。这种分解如图3所示。备注3.4。对于常数加权投资组合，分解（3.8）是Fernholz的“主方程”（参见[Fer02，定理3.1.5]）的离散时间版本，用于功能生成的投资组合。事实上，恒定加权的portfoliosa是函数生成的（其中“生成函数”是几何平均值）。广义能量熵分解（3.9）将该分解推广到任何动态投资组合策略。参见[PWng]，了解功能生成投资组合理论的离散时间路径方法。在分解（3.8）中，累积超额增长率Γ*π（t）衡量投资组合π捕获的市场波动量（与引言中示例中匹配因子的数量类似）。相对向性termH（π|u（0））- H（π|u（t））衡量相对性能偏离Γ的程度*π（t）。请注意，相对熵项仅取决于市场权重向量的初始位置和当前位置；它代表了资本分配的变化如何影响投资组合的绩效，不包括波动性的影响。特别是，如果市场权重向量变得更接近投资组合π，即H（π|u（t））<H（π|u（0）），则相对熵项为正，Vπ（t）>1。在典型的市场情况下，我们预计Γ*π（t）随时间线性增长，即Γ*π（t）- Γ*π（s）≈ （t）- s） 对一些人来说 > 0

在短期内，对数Vπ（t）的变化主要由相对熵项决定，而长期增长则来自累积的超额增长率。下面是一个简单的例子。提案3.5。让π∈ nbe是一个不断加权的投资组合。假设市场权重序列{u（t）}∞t=0满足以下条件：（i）存在能量、熵和套利集K 确保u（t）∈ K代表所有t和（ii）Γ*π（t）↑ ∞ 作为t↑ ∞.那么Vπ（t）↑ ∞ 作为t↑ ∞. 特别地，让t=inf{t≥ 0 : Γ*π（t）>c}式中-c:=infp∈K（H（π|u（0））- H（π| p））。那么Vπ（t）>1表示所有的t≥ t、 证据。自u（t）∈ 对于所有t，通过相对熵H（π|·）的连续性和K的紧性，我们得到了，对于所有t，inft≥0（H（π|u（0））- H（π|u（t）））≥ infp∈K（H（π|u（0））- H（π| p））=-c>-∞.其余的直接来自分解公式（3.8）。命题3.5的美妙之处在于它是路径式的，完全没有随机建模假设。也就是说，当序列{u（t）}∞t=0满足路径属性（i）和（ii）。命题3.5并不声称一个恒定加权的投资组合总是优于市场投资组合。相反，它给出了一组明确的有效条件，投资组合经理可以评估这些条件在agiven市场中的有效性。因此，路径方法将再平衡问题分为两个部分：（i）实现再平衡所需的路径属性，以及（ii）投资期内的实际市场是否满足这些条件。以前的方法倾向于同时考虑这两个问题，并根据使用的数据给出混合的结果。在股票市场中，u（t）没有理由保持在n、 事实上，在一个典型的市场中，大多数股票的市场权重接近于0。

例如，如果我们将每个环节解释为一个或一组工业部门或国家，则命题3.5更适用。在这种情况下，我们希望资本分配更加稳定。由于固定权重投资组合的适用性有限，因此，在该框架下如何实施动态投资组合策略是一个值得关注的问题。这就是下一小节的目的。3.4. 广义能量熵分解。对于一般的投资组合策略π，其中π（t）可能不是常数，我们将重新安排（3.7），以便量化改变投资组合权重的影响。为此，我们写 对数Vπ（t）=γ*π（t）+（H（π（t）|u（t））- H（π（t+1）|u（t+1））+（H（π（t+1）|u（t+1））- H（π（t）|u（t+1）））。（3.9）以下nmemonic有助于记忆和解释之前的分解：（3.10） 对数Vπ（t）=能量- 相对熵+控制，在哪里能量=γ*π（t），相对熵=H（π（t+1）|u（t+1））- H（π（t）|u（t）），控制=H（π（t+1）|u（t+1））- H（π（t）|u（t+1））。（3.11）我们称（3.9）和（3.10）（以及它们的时间集合）为投资组合策略π的能量熵分解。一些术语的注释是正确的。直觉上，我们认为市场以Γ的形式提供恒定的波动性*π（t）↑ ∞. 在Suitable2 SOUMIK PAL和TING-KAM LEONARD WONG的带领下nu（t+1）π（t）π（t+1）图4。能量熵再平衡。椭圆形是H（·|u（t+1））的顶点，虚线表示π（t）处的切面。在图中，π（t+1）的选择使得H（π（t+1）|u（t+1））>H（π（t）|u（t+1））。因此这一时期的控制期为正值。在市场条件下，它可以通过动态再平衡战略捕获并转化为利润。这类似于自然界中的能量（如海浪和风），可以通过机器转化为功。

顾名思义，相对entropyterm监控投资组合权重和市场权重向量之间的距离。最后，控制项由在时间t+1选择的新投资组合权重向量π（t+1）确定。由于这取决于投资者的行为，我们称之为控制项。当H（π（t+1）|u（t+1））>H（π（t）|u（t+1））时，即投资组合离开市场时（见图4），为正；当投资组合走向市场时，为负。在第二种情况下，我们说能量被“消耗”以接近市场（见例3.7）。例3.6（固定加权投资组合）。自π（t）≡ π对于所有t，对于一个恒定的二元投资组合，控制项总是满足的控制≡ 0、注意control=0并不意味着投资组合在t+1时不交易（见备注2.3）。这仅仅意味着，恒定加权投资组合不会试图使H（π（t+1）|u（t+1））大于或小于H（π（t）|u（t+1））。例3.7（市场组合）。市场组合满足π（t）≡ u（t）表示所有t。根据定义，相对熵项等于零。自Vu（t）≡ 1.定义，从（3.10）开始能量=-继续我们关于能源的比喻，我们说市场投资组合将所有可用的能源用于跟随市场，而且由于没有剩余能源（波动性）累积，它永远不会跑赢市场。4.申请4。1.能量熵组合。

如果投资组合不是常数加权的，我们可以选择权重，使控制项为正或负。将一般能量熵分解（3.10）的时间聚合写在能量、熵和套利13中，形式为log Vπ（t）=X(能源+（控制）-十、相对熵=X(能源+（控制）- （H（π（0）|u（0））- H（π（t）|u（t）））。（4.1）凭直觉，我们想到精力+控制是再平衡后能量的“剩余”，这种再平衡的目的是控制相对熵距离（π（t）|u（t））。这是因为，如果H（π（t）|u（t））较大，市场权重的微小变化可能会导致相对性能的大幅下降（这可能被称为entropicrisk，与跟踪误差的概念有关）。然后，我们的想法是选择一种对开本策略，使得H（π（t）|u（t））在上面有界，并且第一项是递增的。这导致了以下定义。定义4.1（能量熵组合）。能量熵投资组合是一种满足以下条件的投资组合策略π：D（t）- 1) := 能量（t）- 1) + 控制（t- 1)= γ*π（t）- 1） +（H（π（t）|u（t））- H（π（t）- 1） |u（t）））≥ 0（4.2）表示所有t≥ 1.请注意，能量熵组合可以仅使用观测到的历史来构建。在时间t，投资者知道之前的投资组合权重{π（s）}t-1s=0以及市场权重{u（s）}t-1s=0直到并包括时间t。由此，可以计算γ*π（t）- 1） 和H（π（t）- 1） |u（t）），然后为周期[t，t+1]选择π（t），以便D（t）- 1) ≥ 0.写D（0）=0，对于能量熵组合，分解（4.2）允许我们写一个类似于（3.8）的表达式，对于常数加权组合：（4.3）logvπ（t）=D（t）+H（π（0）|u（0））- H（π（t）|u（t））。我们称D（t）为漂移过程。

只要漂移过程的增长速度快于投资组合和市场权重之间的相对熵距离H（π（t）|u（t）），能量熵投资组合最终就会跑赢市场。备注4.2。一般来说，能量熵投资组合的投资权重取决于整个市场权重历史。因此，能量熵通常不是功能性生成的（定义见[Fer02，定理3.1.5]）。相反，大多数功能生成的投资组合不是（4.2）意义上的能量投入。这是因为功能生成的投资组合π是当前市场权重的确定函数，即π（t）=π（u（t）），因此π可以被视为投资组合图π：N→ n、 事实上，我们在[PWng]中证明，在所有确定性投资组合图中，功能生成的投资组合在某种意义上都是波动捕获的投资组合。虽然能量熵框架并没有穷尽动态情况下的所有可能性，但它提供了一种构建波动捕获投资组合的系统方法。作为能量熵组合的一个明确例子，我们引入了一系列组合策略，我们称之为λ-策略。该策略取决于参数λ∈[0,1]并按如下方式工作。假设我们在时间t持有投资组合π（t）。在时间t+1，我们观察u（t+1）和能量项γ*π（t）。然后我们将Portfolio向u（t+1）移动，使得π（t+1）是π（t）和u（t+1）的凸组合，并且选择位置，以便我们“消耗”能量γ的λ部分*π（t）、14苏米克·帕尔和丁甘·伦纳德·黄π（t）u（t+1）eπ（t+1）漂移平衡π（t+1）消耗λ能量图5。λ-策略的说明。在时间t+1时，隐含的Portfolio权重为eπ（t+1）（参见（2.5））。