能量、熵和套利

投资组合向量π（t+1）是π（t）和u（t+1）的凸组合，其选择如下：控制=-λ能量即。，控制=-λ能量换句话说，我们正在“拯救”1- λ每个周期能量项的分数。我们的想法是向市场重新平衡，以降低“熵风险”（见第4.1节），并且步长是有界的，从而捕捉到市场波动的恒定比例。明确地说，我们通过以下算法构造投资组合：（i）固定起始权重向量π（0）∈ n、 （ii）假设在时间t选择π（t）。在时间t+1，显示u（t+1）和离散超额增长率γ*π（t）可以计算。然后定义π（t+1）=π（t）+η（u（t+1）- u（s）），其中η解方程-λ能量=控制：（4.4）- λγ*π（t）=H（π（t+1）|u（t+1）- H（π（t）|u（t+1）））。例4.3。如果λ=0，那么π（t+1）=π（0）对于所有的t，所以π是一个常数加权的投资组合。如果λ=1且π（0）=u（0），则π为市场投资组合u。通过（4.4），我们立即得到λ-策略的能量熵分解。提案4.4。设π为带λ的λ-策略∈ [0, 1]. 然后（4.5）logvπ（t）=（H（π（0）|u（0））- H（π（t）|u（t））+（1）- λ)Γ*π（t）。方程（4.4）是非线性的。在实践中，我们可以通过线性近似来估计解，更复杂的版本是让λ依赖于市场条件。λ-策略的实际性能将在第4.2节中研究。备注4.5。λ-策略类似于多样性加权投资组合givenby（1.2）。请注意，当λ=0时，多样性加权投资组合的权重相等，当λ=1时，它是市场投资组合。

对于λ∈ [0,1]，多样性加权投资组合的相对对数收益率可近似表示为（见[Fer02，示例3.4.4]）（4.6） 对数Vπ（t）≈  对数Φ（t）+（1）- λ)γ*π（t）、能量、熵和套利151995 2000 2005 2010-0.4-0.2 0.0 0.2 0.4 0.6能量-熵分解对数V（t）H（π（0）|u（0））- 星巴克1995 2000 2005 20100.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9市场组合图6中的H（π（t）|u（t））D（t）重量。（左）关于苹果星巴克市场的π的能量熵分解，其中λ=0.3。（右）星巴克的投资组合和市场权重随时间的变化。式中Φ（t）=nXi=1μλi（t）！1/λ是分集函数。这两类投资组合都可以看作是一个固定加权投资组合和一个市场跟随投资组合之间的插值。4.2. 经验例子。在本小节中，我们使用实际数据说明了第4.1节中定义的λ-策略。作为第一个例子，我们考虑了苹果和星巴克从1994年1月到2012年4月的月度股价。市场由这两种股票组成，我们将价格标准化，以便在1994年1月对它们进行同等加权（即u（0）=（0.5,0.5））。[BNPS12]中也对该数据集进行了研究。现在我们模拟λ=0.3时λ-策略的性能。我们将π（0）=u（0）=（0.5,0.5）作为起始权重，并使用每月的时间步长。图6（左）绘制了能量熵分解对数Vπ（t）=D（t）+H（π（0）|u（0））- H（π（t）|u（t））作为时间的函数。由于π是一个能量熵组合，漂移过程D（t）随着构造而增加。从图中可以明显看出，漂移过程推动了投资组合的长期表现。在右边，我们还绘制了星巴克的重量。我们看到投资组合慢慢走向市场（近似于一个有限的变化过程）；当市场波动时，即当能量项较大时，它调整得更快。

与常权投资组合相比，相对熵项的波动更小。接下来，我们来看一个更现实的例子，其中我们考虑了18个新兴市场国家从2001年1月到2013年3月的月度国家收益（以美元计）。我们为每个国家选择了2002年和2006年的16个国家，LEONARD和2006年的16个国家-0.1 0.0 0.1 0.2 0.3π（0）=u（0）logv（t）H（π（0）|u（0））- H（π（t）|u（t））D（t）2002 2006 2010-0.1 0.0 0.1 0.2 0.3π（0）=（1/n，…，1/n）对数V（t）H（π（0）|u（0））- H（π（t）|u（t））D（t）图7。π相对于合并国家假设市场的表现，λ=0.3。（左）投资组合从市场权重开始。（右）投资组合的初始权重相等。该指数的收益率被视为国家收益率。数据是从Factset中提取的。市场由这些国家组成，这些国家的起始市场权重与指数的总资本化成比例。例如，巴西、智利和中国的初始市场权重分别为0.138、0.044和0.073。我们再次模拟了λ=0.3时λ-策略的性能。我们分别考虑了π（0）=u（0）和π（0）=（1/n，…，1/n）的两种情况。图7显示了两个投资组合的能量熵分解。在这两种情况下，π的表现都优于市场，漂移过程有稳定增长的趋势。请注意，尽管我们在这两种情况下使用相同的更新规则，但相对熵项的时间序列非常不同，因为投资组合取决于投资组合和市场权重的整个历史。4.3. 分级投资组合。以全球市场的投资者为例。

可以方便地在层次结构框架中考虑投资组合：（i）描述在每个国家投资的资本比例的投资组合，（ii）对于经济中有多个部门的每个国家，描述每个部门投资金额占该国投资总额的比例的投资组合，以及（iii）对于每个国家的每个部门，如何将分配的金额分配到不同的库存中，作为相应总数的比例。以上是分级投资组合的一个例子，类似的结构出现在基金管理或不同管理者业绩的组合中。能量、熵和套利17分层投资组合的投资组合权重可以被认为是自然的条件概率。在这一小节中，我们展示了离散的超额增长率和相对熵满足链式规则，这些链式规则允许我们量化层次结构中每个层次的收益或损失。为了方便起见，我们研究了两步层次结构（“部门”和“股票”），类似的考虑可以应用于多个层次。假设有m个扇区，每个扇区都有NISTOCK，i=1，m、 因此宇宙由n组成≤ n+···+nmstocks，当扇区不相交时相等。现在，这个宇宙中的投资组合向量π是扇形投资组合πi=（πi1，…，πini）的组合∈ 镍。将每个πiasa作为投资组合权重向量，这在很大程度上是有帮助的简单地说，将不属于该行业的股票归零。让扇区权重为λ=（λ，…，λm）∈ m、 那么投资组合权重向量π可以表示为π=nXi=1λiπi.命题4.6（链规则）。考虑两对扇区权重和扇区端口组合（λi，πi），i=1，m、 和（αi，νi），i=1，m、 设π和ν是分布在所有n个股票上的总投资组合。

我们有以下身份。（i） 相对熵链规则：H（π|ν）=H（λ|α）+mXi=1λiH（πi |νi）。（ii）离散超额增长率的链式规则：γ*π（t）=γ*,扇形π（t）+nXi=1λi（t）γ*,股票πi（t）。给你，γ*π（t）和γ*,股票π是基本资产为股票的离散超额增长率，γ*,部门π是基本资产为部门投资组合的离散超额增长率。证据（i） 相对熵的链式法则是相对熵的一个众所周知的性质，可以在[CT06，第24页]中找到。（ii）确定一个时间段[t，t+1]，为了简化符号，我们将在下面的计算中删除时间。如果X（t）代表一只股票的市值，那么它在区间内的对数回报率为r（t）= 对数X（t）。现在让我们来计算所有股票对数收益的向量。类似地，让rsector=（rsector，…，rsectorm）是扇区对数收益的向量。我们现在反复使用引理3.2。如果我们把π看作n支股票的组合，我们可以写出π=mXi=1niXj=1λiπijrstockij+γ*π.（4.7）我们也可以认为π是行业投资组合的混合物，每个行业投资组合π是行业股票的混合物。因此，在扇区级别，我们也可以写入π=mXi=1λirsectori+γ*,部门π（4.8）18 SOUMIK PAL和TING-KAM LEONARD Wongfinal，对于每个部门投资组合，我们有r部门i=rπi=niXj=1πijrstockij+γ*,stockπi（4.9）设a·b表示两个向量a和b的欧氏内积。将（4.9）代入（4.8），我们得到rπ=mXi=1λi（πi·rstock+γ）*,股票πi）+γ*,扇区π=π·rstock+mXi=1λiγ*,股票πi+γ*,扇区π。（4.10）比较（4.10）和（4.7），我们有γ*π=Pmi=1λiγ*,股票πi+γ*,扇区π。命题4.6提供了一种简洁的方法，可以将任何投资组合的能量和相对熵归因于各个层次。

我们现在问一个自然的问题：如果我们在每个部门内运行一个能量熵投资组合，并在这些部门之间运行一个能量熵投资组合，那么总投资组合也是一个能量熵投资组合吗？在这种情况下，下面的命题给出了一组充分条件。提案4.7。使用引理4.6的表示法，让π（t）=Pmi=1λi（t）πi（t）为投资组合，让u（t）=Pmi=1αi（t）ui（t）表示市场投资组合（此处每个ui表示一个部门市场投资组合）。假设每个π都是i区内的一个能量熵组合。如果满足以下两个条件之一，则π是整个宇宙上的一个能量熵组合。（i）λ是一个常数加权组合。（ii）λ是一个能量熵组合，满足任何一对指数（i，j）的以下单调条件：λi（t+1）λi（t）≥λj（t+1）λj（t），ifH（πi（t+1）|ui（t+1））>H（πj（t+1）|uj（t+1））。（4.11）证据。我们从分解（4.3）开始。必须考虑漂移过程D（t），并表明其随时间增加。我们有D（t）=γ*π（t）+H（π（t+1）|u（t+1））- H（π（t）|u（t+1））。（4.12）我们现在使用引理4.6来展开上述等式右侧的每个项：γ*π（t）=γ*,扇形π（t）+mXi=1λi（t）γ*,股票πi（t），H（π（t+1）|u（t+1））=H（λ（t+1）|α（t+1））+mXi=1λi（t+1）H（πi（t+1）|ui（t+1）），H（π（t）|u（t+1））=H（λ（t）|α（t+1））+mXi=1λi（t）H（πi（t）|ui（t+1））。能量、熵和套利19当λ是常数加权时，我们有λ（t）=λ（t+1）≡ λ. 这使我们能够结合上述三个术语，并获得D（t）=Dsector（t）+mXi=1λiDstocki（t），其中的符号是自解释的。由于我们在每个部门中都有能量熵投资组合，在各个部门中都有一个恒定的加权投资组合，所以D·（t）项是非负的。

这表明D（t）≥ 证明了π是一个非熵再平衡投资组合。在一般情况下，我们写D（t）=Dsector（t）+mXi=1λi（t+1）H（πi（t+1）|ui（t+1））+mXi=1λi（t）γ*,股票πi（t）- H（πi（t）|ui（t+1））= Dsector（t）+mXi=1[λi（t+1）- λi（t）]H（πi（t+1）|ui（t+1））+mXi=1λi（t）H（πi（t+1）|ui（t+1））+γ*,股票πi（t）- H（πi（t）|ui（t+1））.因为我们在行业内部和行业之间运行能量熵组合，所以上述最终表达式中的第三项的倒数是非负的。我们现在展示如何控制中期。考虑一个随机整数I，它以λI（t）的概率取值I，对于I=1，2，m、 考虑两个函数：f（i）=λi（t+1）λi（t），g（i）=H（πi（t+1）|ui（t+1））。显然，Ef（I）=1，hencemXi=1[λI（t+1）- λi（t）]H（πi（t+1）|ui（t+1））=Cov（f（i），g（i））。如果（I，I）是I.I.d.随机变量，则上述协方差由对称表达式cov（f（I），g（I））=Eh（f（I）给出- f（I））（g（I）- 因此，在假设的单调性条件（4.11）下，对于（I，I）的任何一对值，我们必须有（f（I）- f（I））（g（I）- g（I））≥ 这反过来意味着Cov（f（I），g（I））≥ 0.结合我们得到的一切D（t）≥ 0，从而证明了我们的结果。20 SOUMIK PAL和TING-KAM LEONARD WONGAppendix A.重新平衡和功能生成的Portfolios我们继续第2.3节的讨论。示例A.1（确定性投资组合函数）。考虑一个投资组合策略π（t）=（q（Y（t）），1- q（Y（t）），其中q:R→ [0，1]是Y（t）的函数。现在，匹配的增益或损耗取决于Y的值。

从kσ向上移动到（k+1）σ的匹配和从（k+1）σ向下移动到kσ的匹配的贡献是（1+q（kσ）（eσ+1））1+q（（k+1）σ）E-σ+ 1.这个贡献什么时候大于1？假设q是可微的，使用泰勒近似，如果我们让σ→ 0我们得到微分不等式（A.1）q（y）≤ q（y）（1）- q（y））。注意，如果q（y）=ey1+ey（即当π是市场投资组合时），那么q=q（1-q） 安第斯质量保持不变。事实证明，不平等性（A.1）与费恩霍尔茨函数生成的投资组合密切相关。使用[Fer02，第3章]中给出的功能生成投资组合的定义，我们得到以下结果。提议A.2。任意组合π（t）=（q（Y（t）），1- q（Y（t）），其中q是连续可微分的，是函数生成的。生成函数（唯一到乘法常数）为（A.2）Φ（u，u）=expF对数μ- 对数u,其中F是q的反导数。此外，不等式（A.1）适用于所有y，且仅当Φ是凹的。证据设Φ=eG，其中G是y=logXX=logu的可微分函数。根据[FK09，（11.1）]，Φ生成组合（π，π），其中π（u）u=DlogΦ（u）+1- u（u）DlogΦ- uDlogΦ=G（y）+u。生成权重（q，1- q） ，我们要求q（y）=G（y）+u=G（y）+ey1+ey。然后我们可以选择G（y）=F（y）-Rey1+eydy=F（y）- 日志（1+ey）。第二种说法之后是直接的区别。不平等（A.1）和命题A.2是一个更大故事的开始。[PWng]研究了潜在的“再平衡几何”，在功能生成的投资组合、凸分析和最优运输之间建立了合法的联系。[Won15a]和[Won15b]中报告了与优化和Cover的通用投资组合[Cov91]相关的进一步发展。确认这项研究部分由西雅图的Parameteric Portfolio Associates赞助。

我们感谢Paul Bouchey、Alex Paulsen、Mahesh Pritamani、Vassilii Nemtchinov和David Stein的评论、问题和激励性对话。我们感谢罗伯特·费恩霍尔茨和伊奥尼斯·卡拉萨斯对早期草稿的详细评论。第一作者还要感谢HKUSTENERGY、熵和套利21的Rik Sen，感谢他们进行了许多愉快的讨论。他的研究也得到了NSF拨款1308340的部分支持。参考文献[BF92]D.Booth和E.Fama，《多元化回报和资产贡献》，金融分析师杂志第48期（1992年），第3期。[BNPS12]P.Bouchey、V.Nemtchinov、A.Paulsen和D.M.Stein，《波动性收获：多样化和再平衡为什么会创造投资组合增长？》？，《财富管理杂志》第15期（2012年），第2期，第26-35页。[BNW15]P.Bouchey，V.Nemtchinov和T.-K.L.Wong，《理论与实践中的波动性收获》，财富管理杂志（2015年）。[Cov91]T.M.Cover，环球投资组合，数学金融1（1991），第1期，第1-29页。[CT06]T.M.Cover和J.A.Thomas，《信息论要素》，威利，2006年。[CZ14]D.R.Chambers和J.S.Zdanowicz，《多元化回报的局限性》，投资组合管理杂志40（2014），第4期，第65-76页。[DESH07]M.A.H.邓普斯特、I.V.埃夫斯蒂涅夫和K.R.申克·霍普，《波动性诱导的金融增长》，定量研究。《金融》第7期（2007），第2期，151-160页。[DESH08]M.A.H.邓普斯特、I.V.埃夫斯蒂涅夫和K.R.申克·霍普，金融市场。《波动的喜悦》，量化金融8（2008），第1、1-3号。[Fer02]E.R.Fernholz，随机投资组合理论，数学应用，斯普林格，2002。[FGH98]R.Fernholz，R.Garvy和J.Hannon，多样性加权索引，投资组合管理杂志24（1998），第2期，74-82页。[FK09]E.R.Fernholz和I.Karatzas，《随机投资组合理论：概述》，数值分析手册（P.G。

《数值分析手册》，第15卷，爱思唯尔出版社，2009年，第89-167页。[FM07]R.Fernholz和Carey Maguire，Jr.，统计套利的统计，金融分析杂志63（2007），第5期，第46-52页。[FS82]E.R.Fernholz和B.Shay，《随机投资组合理论与股市均衡》，J.Finance 37（1982），615-624。[GWR06]E.Gatev、Goetzmann W.N.和K.G.Rouwenhorst，《成对交易：相对价值套利规则的表现》，金融研究综述19（2006），第3期。[Hal14]W.G.Hallerbach，《分离再平衡回报》，资产管理杂志第15期（2014），第5期，301-316页。[Lue98]D.G.Luenberger，投资科学，牛津大学出版社，1998年。[MTZ11]L.C.麦克莱恩、E.O.索普和W.T.齐姆巴，《凯利资本增长投资标准：理论与实践》，第3卷，《世界科学》，2011年。[PR11]E.Platen和R.Rendek，《资产管理杂志》第13期（2011年），第1期，第34-50页，通过朴素的多元化来近似num’eraire投资组合。[PUV12]Y.Plyakha、R.Uppal和G.Vilkov，为什么等权投资组合的表现优于价值和价格加权投资组合？，可从SSRN 1787045（2012）获得。[PWng]S.Pal和T.-K.L.Wong，《相对套利的几何学、数学和金融经济学》（即将出版）。[Won15a]王天光，相对套利优化，金融年鉴11（2015），第3345-382号。[Won15b]，随机投资组合理论中的通用投资组合，ArXiv e-prints（2015）。华盛顿大学数学系华盛顿州西雅图98195电子邮件地址：soumikpal@gmail.comDepartment华盛顿大学数学系华盛顿州西雅图98195电子邮件地址：tkleonardwong@gmail.com