能量、熵和套利

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英文标题：
《Energy, entropy, and arbitrage》
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作者：
Soumik Pal and Ting-Kam Leonard Wong
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最新提交年份：
2016
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英文摘要：
  We introduce a pathwise approach to analyze the relative performance of an equity portfolio with respect to a benchmark market portfolio. In this energy-entropy framework, the relative performance is decomposed into three components: a volatility term, a relative entropy term measuring the distance between the portfolio weights and the market capital distribution, and another entropy term that can be controlled by the investor by adopting a suitable rebalancing strategy. This framework leads to a class of portfolio strategies that allows one to outperform, in the long run, a market that is diverse and sufficiently volatile in the sense of stochastic portfolio theory. The framework is illustrated with several empirical examples.
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中文摘要：
我们引入一种路径方法来分析股票投资组合相对于基准市场投资组合的相对表现。在这个能量熵框架中，相对绩效被分解为三个组成部分：波动率项、衡量投资组合权重与市场资本分布之间距离的相对熵项，以及投资者可以通过采取适当的再平衡策略来控制的另一个熵项。这一框架引出了一类投资组合策略，从长远来看，它能让一个人超越一个在随机投资组合理论意义上具有多样性和足够波动性的市场。通过几个实证例子说明了该框架。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Portfolio Management        项目组合管理
分类描述：Security selection and optimization, capital allocation, investment strategies and performance measurement
证券选择与优化、资本配置、投资策略与绩效评价
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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PDF下载：
--> Energy,_entropy,_and_arbitrage.pdf (501.4 KB)

2022-4-29 17:48:44 上传

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关键词：Differential distribution Optimization Applications Quantitative

能量、熵和套利soumik PAL和TING-KAM LEONARD WONGAbstract。我们引入一种路径方法来分析股票投资组合相对于基准市场投资组合的相对表现。在这个能量熵框架中，相对绩效被分解为三个组成部分：波动率项、衡量投资组合权重与市场资本分布之间距离的相对熵项，以及投资者可以通过采取适当的再平衡策略来控制的另一个熵项。该框架产生了一类投资组合策略，从长远来看，它可以让一个人跑赢一个在随机投资组合理论意义上具有多样性和高度波动性的市场。该框架用几个实证例子加以说明。1.介绍1。1.重新平衡和波动性提升。再平衡和波动性泵送是数学金融和投资管理中的热门话题。对于Recala经典示例（参见示例[Lue98，示例15.2]和[DESH07]），考虑两种资产，其价格变化如下（参见图1（左））。资产1收益-所有奇数周期50%的回报率，所有偶数周期100%的回报率。另一方面，资产2是一种无风险资产，其回报率始终为0%。如果购买并持有这两项资产中的任何一项，显然不会产生长期增长。尽管如此，如果投资者重新平衡投资组合，以便在每个时期开始时对这两种资产投入相等的资本，那么产生的等权投资组合在一段时间内的表现将以指数形式优于任何买入和持有投资组合。

要了解原因，请注意，在第一个周期内，等权投资组合的回报率为×(-50%) +× 0% = -25%.第二阶段的回报率为×100%+×0%=50%，在两个阶段，投资组合的增长是“下降系数”0.75和“上升系数”1.5的乘积：0.75×1.5=1.125。这严格地大于1，并且复合使其表现出指数级的优越性。这个例子说明，即使基础资产经历零增长，系统性再平衡也能够从“波动性”中获取利润。直觉上，这是因为再平衡有一个内在的买-低-卖-高效应，即2016年1月5日。关键词和短语。随机投资组合理论，再平衡，波动性收获，相对性，相对套利，超额增长率，无模型，成对交易。2 SOUMIK PAL和TING-KAM LEONARD WONGtimeprice$1$0.5资产2资产2 TimePrice$1$0.5$0.25资产2资产2图1。波动性泵送的说明。资产2是现金，资产1要么上升2倍，要么下降0倍。5.图中显示了六个时期。左图：价格是- + - + -+. 右图：价格模式是- - - + ++.在买入并持有投资组合中缺席。在实践中，有人观察到（见[BNPS12，PUV12]）再平衡投资组合的表现往往优于资本化加权基准投资组合。尽管有大量关于再平衡和波动性泵送的理论和实践的文献（参见[FS82、FM07、DESH08、PR11、MTZ11、CZ14、Hal14]和其中的参考文献），但学者和实践者之间存在一些困惑。我们认为，这是因为在大多数再平衡的理论分析中，对资产价格的动态施加了非常强烈的假设，这给人一种错误的印象，即再平衡只在这些情况下有效。

一个重要的例子是（错误的）断言，即只有当基础价格变化与上述例子[CZ14]呈负相关时，再平衡才是有利的。因此，迫切需要研究在什么样的精确条件下，平衡或波动性注入能够击败资本化加权投资组合。1.2. 随机投资组合理论。随机投资组合理论（SPT）（见[Fer02]和[FK09]的介绍）是一种描述股票市场和投资组合选择的理论，在这个问题上取得了重要进展。为了激发创意，考虑一个由n只股票组成的股票市场。如果Xi（t）是时间t时股票i的市值，则比率（1.1）ui（t）=Xi（t）X（t）+···+Xn（t）被称为股票i的市场权重，代表股票i中总市场资本的比例。向量u（t）=（u（t），un（t））的市场权重取开放单位单纯形中的值n=（p=（p，…，pn）：pi>0，nXi=1pi=1）。如果在每个时期根据市场权重进行投资，则产生的投资组合称为市场投资组合。市场投资组合是一种资本化加权投资组合，其价值代表市场的整体表现。因此，它经常被作为投资基准。例如，标准普尔500指数可以作为美国股市市场投资组合的代表，而SCI EAFE指数是全球股市（除美国和加拿大外）的基准。能量、熵和套利3将市场权重从最大值重新排列到最小值，我们得到市场的资本分布：u（1）（t）≥ · · · ≥ u（n）（t）。随机投资组合理论利用了资本分布在长期内表现出显著稳定性的事实（见[Fer02，第4章]）。

一种称为多样性的特殊属性表明，最大的公司无法主导市场，即u（1）（t）≤ 1.-δ对于所有t，对于某些δ>0（参见[Fer02，第2章]）。利用这种稳定性，该理论确定了一系列投资组合的子集——功能性生成的投资组合——能够通过在足够长的时间内系统性地重新平衡和超越市场投资组合，从波动中获利。这些投资组合被称为在多样性和有效波动性条件下相对于市场的相对套利。每个功能生成的投资组合由一个确定性函数给出，该函数将投资组合向量π（t）分配给当前市场权重向量u（t）。一个例子是多样性加权投资组合，其投资组合权重由（1.2）πi（t）=μλi（t）Pnj=1μλj（t），i=1，n、 其中0<λ<1是一个固定参数。有关其实际应用，请参见[FGH98]。这些显著的结果（参见[FK09，第2章]中的精确陈述）由Fernholz在连续时间环境中获得，其中股票价格由连续It^o过程建模。人们很自然地会问，在离散时间内是否会有相同的结果（在实践中，所有的投资组合都不能连续地重新平衡），以及是否有在多样性和有效波动性的类似假设下击败市场的非功能性投资组合[FK09，备注11.5]。由于原始证明基于随机演算，因此需要另一种方法。1.3. 我们的贡献。本文的目的是介绍一个信息论、路径和无模型的框架，用于分析任何投资组合相对于市场投资组合的表现，重点是从市场波动中获利。我们称之为能量熵框架。

本文是[PWng，Won15a，BNW15，Won15b]系列论文中的第一篇，致力于相对套利、功能生成投资组合和随机投资组合理论的路径方法。特别是，[BNW15]为从业者提供了更容易理解的能量熵框架，并包含了更多的实证例子。我们将我们的贡献总结如下。首先，我们对离散时间随机投资组合理论的基本结果进行了处理，表明需要怀旧建模假设。我们分析的基本单位不是分析股票价格的特定统计模型，而是股票价格的个别路径。由于缺乏概率考虑，我们可以将注意力集中在与再平衡相关的股价路径属性上。其次，我们推导了任意组合相对于市场组合的绩效的横向分解公式；它量化了投资组合因再平衡和市场变动而产生的收益或损失。虽然连续时间随机投资组合理论中函数生成投资组合的分解公式（见[Fer02，定理3.1.5]）也是路径式的，但它们的推导依赖于随机演算。在这里，我们的推导完全不考虑概率因素。第三，这一框架带来了一类投资组合策略，从长远来看，这些策略能够击败多样且剧烈波动的市场；它们不是功能生成的4 SOUMIK PAL和TING-KAM LEONARD WONG（因此回答[FK09，备注11.5]），更灵活。我们称之为能源投资组合。最后但并非最不重要的一点是，该框架也适用于分析层次结构投资组合（即基金中的基金，见第4.3节）。

能量熵框架在CRAN上提供的R包RelValAnalysis（相对价值分析）中实现。通过对第一个例子的简单修改，可以理解再平衡和波动性泵送机制的主要思想（它还表明，再平衡不需要负相关）。假设资产1的收益随着时间的推移而恢复，如图1（右）所示。现在，除了第四个时期，价格变化是正相关的。由于我们可以重新排列因子：0.75×0.75×0.75×1.5×1.5×1.5=（0.75×1.5），因此六个时期内同等加权投资组合的增长保持不变。因此，再平衡投资组合长期增长的关键驱动因素是增长因子0.75×1.5可以匹配的次数。事实证明，这与有效波动性的概念密切相关。我们的框架将这一想法推广到任何数量的资产和任何动态投资组合策略。1.4. 配对交易。两种资产的特殊情况通常被称为配对交易。在实践中被广泛使用[GWR06]，这通常是第一个出现在脑海中的统计比特率示例。不幸的是，尽管配对交易已经实施了30多年，但它的分析经常使用严格的假设，例如一种资产相对于另一种资产的相对价格的回归。正如我们在第2.3节中通过二叉树模型所展示的，配对交易是一般随机投资组合理论的一个特例，其效率仅取决于一种资产相对于另一种资产的多样性和相对波动性。我们的方法的优点是，上面的声明是针对每个离散时间路径显示的，没有关于其未来行为的任何假设或统计建模。1.5. 概述论文的其余部分组织如下。

第2节描述了数学设置，包括投资组合策略相对于市场投资组合的相对价值。特别是，第2.3节给出了两个资产示例的正式处理。它为重新平衡和配对交易提供了新的见解，并引入了与Fernholz功能性投资组合的联系。第三节推导了能量熵框架的主要分解公式。第4节将给出该框架的几个应用。特别是，我们引入了一类投资组合策略，称为能量熵投资组合。在第4节。2.我们用实际数据来说明这些投资组合的表现。最后，在第4.3节中，我们将分析扩展到一个投资组合。我们展示了我们的信息理论框架，根据经典统计学中方差分析分解的精神，将再平衡的收益巧妙地归因于层次结构的各个层次（即，投资组合内的再平衡与投资组合间的再平衡）。2.准备工作2。1.市场资本分配。我们考虑一个离散时间的股票市场，由n≥ 2只股票。尽管我们仅限于股票市场，但只要我们正确解释市场能量、熵和套利5组合，其他资产类别也可以用于以下分析。例如，我们可以将每个“股票”解释为工业部门或国家股票指数。假设Xi（t）>0是时间t时股票i的资本化。我们假设每个股票都有一股流通股，因此Xi（t）也可以被视为股票i的价格。时间t时股票i的市场权重由（1.1）定义。在我们的理想化模型中，所有的资本变动都是由股票收益驱动的。

因此，如果Ri（t）代表股票i在时间间隔[t，t+1]内的收益率，则市场权重可以通过公式ui（t+1）=Xi（t）（1+Ri（t））X（t）（1+R（t））+·n（t）（1+Rn（t））=ui（t）（1+Ri（t））u（t）（1+R（t））+·n（t）（1+Rn（t））进行更新。（2.1）我们将市场的演变视为一个序列{u（t）}∞t=市场权重向量的0，其值为n、 在我们的路径方法中，我们不假设序列{u（t）}∞t=0是一个随机过程的实现。我们以路径为例，研究了存在相对搜索机会所需的路径属性。2.2. 投资组合的相对价值。投资组合权重向量是封闭单位单纯形的一个元素这是关闭尼恩。π的组成部分代表投资于可用资产的资本比例。特别是，所有考虑的投资组合都是长期投资，并完全投资于股票市场。Aportfolio策略是一个序列π={π（t）}∞t=0根据投资者的历史价格和其他信息依次选择投资组合权重向量。给定π，考虑相应的自融资投资组合，初始投资为1美元。如果Zπ（t）表示这个投资组合的价值，我们有（2.2）Zπ（t+1）=Zπ（t）1+nXi=1πi（t）Ri（t）！，其中Ri（t）是股票i在区间[t，t+1]内的收益率。如果πi（t）≡ ui（t），由此产生的投资组合称为市场投资组合，并用u表示。很容易检查zu（t）=X（t）+··+Xn（t）X（0）+·+Xn（0）。本文的目的是分析投资组合相对于市场投资组合的绩效。这将通过相对值来衡量。为了简单起见，交易费用不包括在内。定义2.1（相对值）。

给定一个投资组合策略π，其相对价值（相对于市场投资组合）为比率π（t）=Zπ（t）Zu（t）。下面的引理表明，相对价值的演化只取决于市场权重。引理2.2。任何投资组合策略的相对值π满足Vπ（0）=0和（2.3）Vπ（t+1）Vπ（t）=nXi=1πi（t）ui（t+1）ui（t）。6 SOUMIK PAL和TING-KAM LEONARD WONGProof。由于Zπ（0）=Zu（0）=1，很明显Vπ（0）=1。我们有Zπ（t+1）Zπ（t）=nXi=1πi（t）（1+Ri（t））和Zu（t+1）Zu（t）=nXi=1ui（t）（1+Ri（t））。通过（2.1），我们得到Vπ（t+1）Vπ（t）=Zπ（t+1）/Zπ（t）Zu（t+1）/Zu（t）=nXi=1πi（t）1+Ri（t）Pnj=1uj（t）（1+Rj（t））=nXi=1πi（t）ui（t+1）ui（t）。(2.4)如果投资组合向量π（t）随时间变化为常数，则称投资组合策略π为常数加权。滥用符号，常数加权投资组合可以用向量π表示∈ n、 备注2.3（再平衡）。大多数投资组合策略，包括恒定权重的投资组合（其中π至少有两个严格的正分量），都需要交易以维持所需的投资组合权重。更精确地说，假设在时间t，投资组合向量是π（t）。根据导致（2.1）的对价，就在交易发生之前的时间t+1，股票i中的资本比例为（2.5）eπi（t+1）=πi（t）（1+Ri（t））Pnj=1πj（t）（1+Rj（t））。隐含权重eπi（t+1）有时被投资组合管理者称为漂移权重，正确地说，再平衡是将投资组合权重从eπ（t+1）移动到新权重π（t+1）（而不是从π（t）移动到π（t+1））的交易。使用这个术语，买入并持有投资组合——比如marketportfoliou——是一种投资组合策略π，满足所有t.2.3的eπ（t+1）=π（t+1）。两个资产案例。在这一小节中，我们使用二叉树模型展开介绍中的两个资产示例。