一个非马尔可夫清算问题与带奇异值的后向SPDE

假设条件下（A1）- （A3）以下结论成立：（i）BSPDE（1.6）允许满足（θu，θψ）1[0，τ]的解（u，ψ）∈ H×LF（0，T；H1,2（Rd）），τ∈ [0，T）、（2.3）和Ct- T≤ ut（y）≤计算机断层扫描- t、 P dt dy-a.e.，其中Cd为两个正常数。函数v（t，y，x）：=ut（y）x，（t，x，y）∈ [0，T]×R×Rd，（2.4）与几乎每个y的值函数一致∈ 而最优（反馈）控制由（ξ）给出*t、 ρ*t（z））=ut（yt）xtηt（yt），ut（yt）xt-γt（z，yt）+ut（yt）.（ii）解（u，ψ）是（1.6）的唯一非负解，因为如果（\'u，\'ψ）是另一个满足（2.3）和\'u≥ 0，P dt dx-a.e.，然后“ut（y）=ut（y），P dt dy-a.e.（iii）在σ是空间不变的附加假设下，即对于任何p不依赖于y∈ (2, +∞),θ（·）u·· +Z·σsdWs∈\\τ ∈（0，T）\\δ∈（0,1）L2，∞F（0，τ）∩ SpF（[0，τ]；Cδ（Rd））和（2.4）中的函数V（t，y，x）与每个y的值函数一致∈ 备注2.3。当所有的系数b，σ，βσ，λ，η，γ都确定为极小函数时，最优控制问题是马尔可夫问题，相应的BSPDE（1.6）简化为确定的抛物偏微分方程(-tu=Lu+F（t，y，u），（t，y）∈ [0，T]×Rd；uT（y）=+∞, Y∈ Rd.（2.5）在这种情况下，我们可以毫无普遍性地假设σ≡ 因此，定理2.2（iii）指出（2.5）在分布意义上允许唯一的非负解u满足θu∈\\τ ∈（0，T）\\δ∈（0,1）C（[0，τ]；Cδ（Rd）），V（t，y，x）=ut（y）x与每个y的连续值函数重合∈ Rd.3验证定理我们现在准备好陈述验证定理。它的证明需要一些准备，并在下面进行。定理3.1。

假设（A1）- （A3）满足并假设（u，ψ）是满足（θu，θψ）1[0，t]的（1.6）的解∈ H×LF（0，T；H1，2（Rd）），T∈ [0，T）、（3.1）和Ct- T≤ ut（y）≤计算机断层扫描- t、 P dt dy-a.e.（3.2），其中Cd为两个正常数。那么θu∈ ∩τ ∈（0，T）L2，∞F（0，τ）和v（t，y，x）：=ut（y）x，（t，x，y）∈ [0，T]×R×Rd，几乎每一个y都与（1.4）的值函数一致∈ 此外，最优（反馈）控制由（ξ）给出*t、 ρ*t（z））=ut（yt）xtηt（yt），ut（yt）xt-γt（z，yt）+ut（yt）. （3.3）我们首先回顾以下广义It^o-Kunita-Wentzell公式，然后从中推导出（2.1）的积分表示。引理3.2（[26，定理3.1]）。让系数b、σ和¨σ满足假设（A1）-（A3）让G∈ L(Ohm, 英尺；H1,2（Rd）），Φ∈ LF（0，T；H2，2（Rd）），Υ∈ LF（0，T；H1，2（Rd））和F∈LF（0，T；L（Rd））使得ΦT（y）=G（y）+ZTtFs（y）ds-ZTtΥs（y）dWs，dy-a.e.，适用于所有t∈ [0，T]。然后，在测度P下很好地定义了组成Φ·（ys，·）、G（ys，·T）、F·（ys，·）和Υ·（ys，·）dt 几乎每一个y∈ Rdit几乎完全适用于所有t∈ [s，T]ΦT（ys，yt）=G（ys，yt）-ZTtntrar（ys，yr）DΦr（ys，yr）+DΥr（ys，yr）σTr（ys，yr）+ bTr（ys，yr）DΦr（ys，yr）- Fr（Y，yr）odr-ZTtσTr（ys，yr）DΦr（ys，yr）+Υr（ys，yr）dWr-ZTt′σTr（ys，yr）DΦr（ys，yr）dBr。Yang和Tang[26]利用[22]中对BSP-DEs弱解的局部估计，证明了上述组分的定义良好。但他们没有建立我们证明验证定理所需的可积性。以下条款确立了此类属性。证明完全是技术性的，推迟到附录中。推论3.3。在引理3.2的假设下，Φ·（ys，y·）是几乎每个y的连续一致可积半鞅∈ Rd和Φ∈ L2，∞F（0，T）。

此外，还存在一个仅依赖于κ、L、∧和T的常数，如（i）ZRd | G（ys，yT）| dy≤ CkGkL(Ohm,英尺；H1,2（Rd））；（ii）ZRdZTsE | Fr（ys，yr）| drdy≤ CkF kLF（s，T；L（Rd））；（三）ZRdsupr∈[s，T]E |Φr（ys，yr）| dy≤ CkGkL(Ohm,英尺；H1,2（Rd））+kF kLF（s，T；L（Rd））.我们的第二个辅助结果是以下关于容许控制集的引理。它表明，我们可以在不损失一般性的情况下，假定与容许控制有关的状态过程是单调的。在[12]中，马尔科夫病例也得出了类似的结果。引理3.4。对于每个容许控制（ξ，ρ），存在一个相应的容许控制（^ξ，^ρ），成本较小或相等，因此过程x0，x；^ξ，ρ几乎肯定是单调的。此外，这里存在常数C∞ 独立于t，x，ρ，ξ，使得|x0，x；^ξ，^ρt|≤ C（T）- t） E|FtZTt|710;ξs|ds，t∈ [0，T]。（3.4）证据。假设x≥ 0（x的cas e）≤ 0以类似的方式出现）。对于容许控制（ξ，ρ），设（~xt）∈ S’F（[0，T]）是下列随机微分方程的唯一解xt=x-Ztξ+sds-ZtZZρ+s（z）∧ ~x+sπ（dz，ds），其中f+：=ma x{f，0}表示f=~xs，ξsorρs。集合^ξt:=ξ+t!xt>0和^ρt（z）：=ρ+t（z）∧ ~x+s。很容易检查（^ξ，^ρ）∈ L′F（0，T）×L′F（0，T；L（Z））是一个可容许的控制对，具有较小的orequal代价和x0，x；^ξ，^ρ几乎肯定在下降。因为x0，x；^ξ，^ρ为非负且递减，0≤ ρt≤ x0，x；^ξ，ρt，P dt u（dz）-a.e.因此，|x0，x；^ξ，^ρt|≤ 行政长官ZTt^ξsds+Z[t，t]×Z^ρs-（z） ~π（dz，ds）+Z[t，t]×Z^ρs-（z） u（dz）ds≤ C（T）- t） E英尺ZTt|710;ξs|ds+ZTt|x0，x；^ξ，^ρs | ds,根据Gronwall不等式，这意味着|x0，x；^ξ，^ρt|≤ C（T）- t） E|FtZTt|710;ξs|ds。我们现在准备给出验证定理的证明。定理3.1的证明。

假设θu1[0，t]∈ H对于任何t∈ （0，T），命题a.1的一个应用，其中G=θuτ，对于任何τ<T产生θu∈ ∩τ ∈（0，T）L2，∞F（0，τ）。与优化问题相关的随机HJB方程由以下BSPDE给出：-dVt（x，y）=LVt（x，y）+Mψt（x，y）+e ss infξ，ρ- ξDxVt（x，y）+ηt（y）|ξ|+λt（y）| x |+ZZVt（x）- ρ、 y）- Vt（x，y）+γt（y，z）|ρ|u（dz）dt- ψt（x，y）dWt（t，x，y）∈ [0，T）×R×Rd；VT（x，y）=+∞ · 1x6=0（x，y）∈ R×Rd.很容易证明，对Vt（x，y）：=ut（x）|x |和ψt（x，y）：=ψt（y）|x |解上述方程当且仅当（u，ψ）解（1.6）。这是怎么回事（ξ）*, ρ*) 是候选人的最佳策略。因此，仍需证明（ξ）*, ρ*) 是可接受的，并且成本最低。在or de r中，我们插入（ξ）的显式表达式来表示可容许性*, ρ*) 进入状态进程和getx*t:=xY0<s≤T1.-ZZus（y0，ys）γs（y0，ys，z）+us（y0，ys）π（dz，{s}）经验-Ztus（y0，ys）ηs（y0，ys）ds对于t∈ [0，t）。因此，|x*t|≤ |x | exp-Ztus（y0，ys）ηs（y0，ys）ds≤ |x | exp-Ztc∧（T）- s） ds= |x|T- tTc/t∧↑T-→ 0.从（ξ）的定义*, ρ*), 我们立即推断ρ*∈ L′F（0，T；L（Z））和ξ*∈ 任何t的L’F（0，t；R）∈ （0，T）。此外，关联的状态序列x*这很单调。为了证明（ξ）*, ρ*) 且成本函数在（ξ）处达到其最小值*, ρ*),我们注意到，过程θ（y0，yt）ut（y0，yt）满足引理3.2的假设，因此我们可以应用广义It^o-Kunita-Wentzell公式。标准It^o公式在θ乘积中的应用-1和θu得出ut（y0，yt）的随机微分方程。应用标准的It^o公式a增益，这次是ut（y0，yt）|x0，x；ξ、 ρt |，我们最终得到候选值函数的SDE。

一个乏味但简单的计算表明，对于所有可容许策略（ξ，ρ），它几乎适用于每个y∈ Rdthaut（y）x|- E’Ftnuτ（yt，yτ）xt，x；ξ,ρτo=E!FtZτt2us（yt，ys）xt，x；ξ、 ρsξs+us（yt，ys）ZZ2ρs（z）xt，x；ξ、 ρs- |ρs（z）|u（dz）+λs（yt，ys）|xt，x；ξ、 ρs|-ZZ | us（yt，ys）| | xt，x；ξ、 ρs |γs（yt，ys，z）+us（yt，ys）u（dz）-|us（yt，ys）|xt，x；ξ、 ρs |ηs（yt，ys）ds≤ E’FtZτtηs（yt，ys）|ξs |+λs（yt，ys）xt，x；ξ、 ρs+ZZγs（yt，ys，z）|ρs（z）|u（dz）ds（3.5）适用于所有0≤ T≤ τ<T。根据引理3.4，我们可以在不损失一般性的情况下，计算x0，x；ξ、 ρ是单调的，因此limτ→TE¨Ftnuτ（yt，yτ）xt，x；ξ,ρτo≤ limτ→TcT- τC（T）- τ） E’FtZTτ|ξs | ds=0。因此，取极限τ→ （3.5）中的T得出Jt（x，y；ξ，ρ）≤ 任何容许控制的ut（y）xf（ξ，ρ）。对于（ξ）*, ρ*) 我们在（3.5）中有等式，这意味着ut（y）x=Jt（x，y；ξ）*, ρ*). 但这特别说明了ξ*∈ L′F（0，T；R），因此（ξ*, ρ*) 是可接受的，成本最低，因此是最优的。4 BSPDE（1.6）解的存在性根据验证定理，在满足（3.1）和（3.2）的情况下，至少存在一个解（u，ψ）到（1.6）。在本节中，我们证明了具有这些性质的解的存在性。为此，我们设置^F（t，y，φ（y））：=F（t，y，|φ（y）|），（t，y，φ）∈ R+×Rd×L（Rd），（4.1），并将解构造为此类解序列对一系列BSPDE的极限，其驱动因子^F和有限增加的终值。更重要的是，每N∈ N、 我们考虑BSPDE(-dvNt（y）={LvNt（y）+MζNt（y）+θ（y）^F（t，y，（θ）-1vNt（y））}dt- ζNt（y）dWt（t，y）∈ [0，T]×Rd；vNT（y）=Nθ（y），y∈ R、 （4.2）与单数BSPDE（2.2）相对应，∞) 替换为（^F，Nθ）。由于（4.1）中的驱动函数^F对|φ（y）|的二次依赖性，我们不能直接求助于命题A.1来证明前面BSPDE的解的存在性。

然而，我们希望VN是有限的，因此能够通过标准截断参数构造解决方案。提议4.1。假设（A1）- （A3）满足每一个N∈ N、 存在（4.2）的唯一解，使得（vN，ζN）∈ （H）∩ L2，∞F（0，T））×LF（0，T；H1，2（Rd））和θ-1vN∈ L∞F（0，T；L）∞（Rd））。证据每M∈ N存在唯一的溶液（vN，M，ζN，M）∈ （H）∩ L2，∞F（0，T）×LF（0，T；H1，2（Rd））到BSP DE-dvN，Mt（y）=~LvN，Mt+~MζN，Mt+θλ-ZZθ-1 | vN，Mt |γt（·z）+θ-1vN，Mt |u（dz）-（M）∧ |θ-1vN，Mt |）vN，Mt |ηt（y） dt- ζN，M（y）dWt，（t，y）∈ [0，T]×Rd；vN，MT（y）=Nθ（y），y∈ Rd，（4.3）由于位置A.1。把^vt（y）=θ（y）（N+T- t） ，我们验证了（^v，0）是上述BSPDE的解，其中（λ，γ，M）替换为（λ+∞, 0). 推论A.2 yields0中所述的比较原则≤ 越南，Mt（y）≤ ^vt（y），P dt dy-a.e.，这意味着∈ 不是吗≤ θ-1（y）越南，Mt（y）≤ N+λT，P dt 因此，如果M>N+T，那么（vN，M，ζN，M）不依赖于M，并且是（4.2）的fa-c-T解。这也产生了解的唯一性，因为（4.3）允许每个M的解是唯一的∈ 命题4.1的证明表明（vN，ζN）到（4.2）的解与一些M的（4.3）的t一致∈ 因此，作为推论A.2的直接结果，我们得到以下比较原则。推论4.2。假设（A1）- （A3）满足并让（‘λ，’γ，’η）满足与（λ，γ，η）相同的条件。

进一步假设（\'v，\'ζ）∈ H×LF（0，T；H1，2（Rd））与θ-1伏∈ L∞F（0，T；L）∞（Rd）），是以下BSPDE的解决方案：(-d\'vt（y）={L\'vt（y）+MζNt（y）+θ（y）^F（t，y，（θ）-1vNt（y））}dt-ζt（y）dWt（t，y）∈ [0，T]×Rd；vT（y）=G（y），y∈ Rd.（4.4）如果（G，\'λ，\'γ，\'η）≥ （N，λ，γ，η），关于（G，’λ，’γ，’η）≤ （N，λ，γ，η），那么对于几乎所有的（ω，y），它都认为≥ 分别为vt（y），vny，\'\'≤ vNt（y），T∈ [0，T]。现在，我们准备证明我们的单BSPDE的解的存在性，该解满足验证理论e m.定理4.3的假设。假设（A1）- （A3）满足。然后BSPDE（1.6）允许满足（3.1）和（3.2）的解（u，ψ）。证据根据位置4.1，对于每个N>2∧+κu（Z），存在（vN，ζN）到（4.2）的唯一解，使得（vN，ζN）∈ （H）∩ L2，∞F（0，T））×LF（0，T；H1，2（Rd））和θ-1vN∈ L∞F（0，T；L）∞（Rd））。如果用∧替换三元组（λ，γ，η）+∞, ∧）和（0，0，κ），然后直接计算显示（4.2）的预期解由（`uN，0）和（`uN，0）给出，其中`uNt（y）：=κu（Z）θ（y）1-NN+κu（Z）e-u（Z）（T）-（t）- κu（Z）θ（y），~uNt（y）：=2∧θ（y）1-N-∧N+e-2（T）-（t）- λθ（y）。从推论4.2中，我们得出结论，对于几乎每个y∈ Rd，几乎可以肯定的是，uNt（y）≤ vNt（y）≤ ~uNt（y），t∈ [0，T）。用v表示递增序列{vN}的极限，我们推断几乎每个y∈ 这几乎肯定是κe-u（Z）Tθ（y）T- T≤ vt（y）≤θ（e2T）∧- t、 t∈ [0，T）。

（4.5）此外，通过主导收敛，limN→∞kθ（·）^F（·，·，（θ）-1vN·）（·））- θ（·）F（·，·，（θ）-1v·（·））kLF（0，τ；L（Rd））=0，τ∈ （0，T）。现在，我们使用EV通过分析[0，τ]上的BSPDE和终值vτ来构造所需的解。更准确地说，让我们用（`v，ζ）表示∈LF（0，τ；H1,2（Rd））∩ SF（[0，τ]；L（Rd））×LF（0，τ；L（Rd））以下BSPDE的唯一解（由命题A.1保证为vτ）∈ L(Ohm, Fτ；L（Rd）by（4.5））：(-d\'vt（y）={L\'vt（y）+Mζt（y）+θ（y）^F（t，y，（θ）-1vt）（y）}dt- ζt（y）dWt（t，y）∈ [0，τ）×Rd；\'vτ（y）=vτ（y），y∈ 我们用这个方程来证明v位于正确的空间。鉴于提案n A.1中的估算（A.3），我们将其作为n→ +∞,k（vN）- \'v）1[0，τ]kH+kζN- ζkLF（0，T；L（Rd））≤ CkvNτ- vτkL(Ohm,Fτ；L（Rd））+kθ^F（·，·，（θ）-1vN·）（·））- θF（·，·，（θ）-1v·（·））kLF（0，τ；L（Rd））-→ 因此，v=v1[0，τ]∈ H=LF（0，τ；H1,2（Rd））∩ SF（[0，τ]；L（Rd））。因此，对于每个δ∈ （0，τ）存在τ∈ (τ - δ、 τ]使得v)τ∈ L(Ohm, F~τ；H1,2（Rd）），通过命题A.1，我们进一步得到了（v1[0,τ]、ζ1[0,τ]）∈ （L2，∞F（0，τ）∩ H） ×LF（0，τ；H1,2（Rd））。这表明（u，ψ）：=（θ）-1v，θ-1ζ）是BSPDE（1.6）的解决方案，具有des-ired特性。5唯一性和正则性在这一节中，我们证明了上一节构造的BSPDE（1.6）的解是（1.6）的唯一非负解。随后，利用BSPDEs已有的Lp理论，我们考虑了s解的正则性。5.1唯一性以下唯一性结果基于以下观察结果：（1.6）的任何非负解自动满足验证定理的增长条件。定理5.1。

假设条件下（A1）- （A3），定理4.3中给出的解（u，ψ）是（1.6）的唯一负解，即如果（\'u，\'ψ）是另一个满足（3.1）和\'u）的解≥ 0，P dt dx-a.e.，然后“ut（y）=ut（y），P dt dy-a.e.证明。根据定理3.1，为了建立唯一性声明，有必要验证“usatis”是否满足增长条件（3.2）。设置（\'v，\'ζ）=（θu，θψ）和N∈ N、 设（vN，ζN）为（4.2）的唯一解。从定理4.3的证明中，我们可以看出，要建立（3.2）中的下界，只需证明vt（y）≥ vNt（y），P dt dy-a.e.（5.1）推杆（~v，~ζ）=（vN）- \'v，ζN-注意到目前只有η-1 | | v |位于LF（0，t；L（Rd））而不是LF（0，t；L（Rd）），我们应用了附录中引理A.3中所述的BSPDE不等式。自从F（t，y，（θ）-1φ（y））- F（t，y，（θ）-1φ（y））(φ- φ） +（y）≤ 0，P dt dy-a.e.，对于Rd上的任意一对非负可测函数φ和φ，由于σ和¨σ有界且Lipschitz连续，我们从τ的引理中得到∈ （0，T）和T∈ （0，τ），Ek~v+tkL（Rd）+Zτtkζsu>ukL（Rd）ds≤ Ek~v+τkL（Rd）+Zτt2h~v+s，aijsyiyjvs+σjrsyj)ζrs+~bisyi~vs+βTs~ζs+cs~vsi-ds,适用总结惯例的地方。根据假设（A1）- A3），利用H¨older不等式和零件积分公式，通过采用线性方程组的“标准机械”（参见insta nc e[22，2 3]），我们得出：k~v+tkL（Rd）+Zτtkζsu>ukL（Rd）ds≤ Ekv+τkL（Rd）+ZτtnCkv+skL（Rd）-κkD＠v+skL（Rd）+k＠ζsvN>＠vkL（Rd）ods.根据Gronwall的不等式，这意味着Sekv+tkL（Rd）≤ CEkv+τkL（Rd），其中C独立于τ和t。

Asθ-1vN∈ L∞F（0，T；L）∞（Rd）和vN∈ Hby命题4.1，和v+=（vN- “（v）+≤ |vN |，P dt dy-a.e.，我们用法图的lemmaZ[0，T]×RdE |v+T（y）| dydt≤ CT lim supτ↑TZRdE | | v+τ（y）| dy≤ CTZRdE lim supτ↑T |v+τ（y）| dy=0。因此，（3.2）的下限适用于u。为了建立（3.2）中的上界，我们扩展了[12]中给出的一个参数，并考虑了确定性函数^ut:=∧coth（T- t） =2∧1- E-2（T）-（t）- Λ ≤∧e2TT- t、 那么，（^u，0）是（1.6）的一个解，其中三元组（λ，γ，η）被替换为（λ+∞, Λ). 此外，当时间移动时，（^u，0）仍然是一个解，即δ∈ [0，T）对（^u·+δ，0）是（1.6）与∧相关的解+∞, 但在t=t处有一个奇点- δ. 因此，注意到F（t，y，（θ）-1φ（y））- Λ + Λ-1|(θ-1φ（y）|(φ- φ） +（y）≤ 0，P dt dy-a.e.对于Rd上的任意一对非负可测函数φ和φ，使用类似于本证明第一部分中所用的参数，我们得出[0，T-δ] ×RdE |（θ’ut）- θ^ut+δ）+（y）|dydt≤ C（T）- δ） ZRdE lim supτ↑T-|θu- θ^uτ+δ）+（y）| dy=0。这就产生了，ut（y）≤∧e2TT- δ - t、 P dt dy-a.e.最后，让我们→ 我们得到了期望的上限。5.2正则性我们证明了，在假设（A1）下- （A3），BSPDE（1.6）承认一个独特的非负解（u，ψ），满足（3.1）。该解决方案自动满足生长条件（3.2）和v（t，y，x）：=ut（y）x，几乎每个y的值函数为（1.4）∈ 受BSPDEs的Lp理论（p>2）的启发，我们现在在以下附加假设下证明了u的附加正则性性质：（A4）σ是空间不变的（不依赖于y）。定理5.2。假设条件下（A1）- （A4），设（u，ψ）为满足（3.1）的（1.6）的唯一非负解。