一个非马尔可夫清算问题与带奇异值的后向SPDE

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英文标题：
《A Non-Markovian Liquidation Problem and Backward SPDEs with Singular
  Terminal Conditions》
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作者：
Paulwin Graewe, Ulrich Horst, Jinniao Qiu
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最新提交年份：
2015
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英文摘要：
  We establish existence, uniqueness and regularity of solution results for a class of backward stochastic partial differential equations with singular terminal condition. The equation describes the value function of non-Markovian stochastic optimal control problem in which the terminal state of the controlled process is pre-specified. The analysis of such control problems is motivated by models of optimal portfolio liquidation.
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中文摘要：
建立了一类具有奇异终端条件的倒向随机偏微分方程解的存在性、唯一性和正则性。非马尔可夫过程的最优状态描述为非马尔可夫过程的最优控制。对此类控制问题的分析是基于最优投资组合清算模型的。
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分类信息：

一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Optimization and Control        优化与控制
分类描述：Operations research, linear programming, control theory, systems theory, optimal control, game theory
运筹学，线性规划，控制论，系统论，最优控制，博弈论
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Trading and Market Microstructure        交易与市场微观结构
分类描述：Market microstructure, liquidity, exchange and auction design, automated trading, agent-based modeling and market-making
市场微观结构，流动性，交易和拍卖设计，自动化交易，基于代理的建模和做市
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PDF下载：
--> A_Non-Markovian_Liquidation_Problem_and_Backward_SPDEs_with_Singular_Terminal_Co.pdf (303.58 KB)

2022-4-29 18:29:26 上传

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关键词：马尔可夫 PDE SPD 奇异值 Differential

一个具有奇异终端条件的非马尔可夫清算问题*Paulwin GraeweUlrich HorstJinniao Quabstract我们建立了一类具有奇异终端条件的后向随机偏微分方程解的存在性、唯一性和正则性。该方程描述了非马尔可夫随机最优控制问题的值函数，其中受控过程的终端状态是预先指定的。此类控制问题的分析受最优投资组合清算模型的推动。AMS主题分类：93E20、60H15、91G80关键词：随机控制、倒向随机微分方程、投资组合清算、奇异终值。1导言和模型公式我们考虑了一类在受控过程上具有奇异终端状态约束的非马尔可夫随机最优控制问题。在马尔可夫框架中，这种约束导致了在最终时刻具有奇点的非线性微分方程（PDE）。最近在[12]中建立了此类偏微分方程光滑解的存在唯一性。本文将他们的结果推广到了马尔可夫框架下。我们证明了相应的非马尔可夫控制问题的值函数可以用一个具有奇异终值的倒向随机偏微分方程（BSPDE）来描述。我们的主要贡献是证明了这个BSPDE的有效正则解的存在性和唯一性，从中可以导出反馈形式的最优控制。在价格敏感的市场冲击下，最优投资组合清算模型是分析具有奇异状态约束的最优控制问题的动力。

传统的金融市场模型假设价格波动遵循某种外生的仓促过程，所有交易都可以按现行市场价格进行。这种认为所有交易都可以在不影响市场动态的情况下结算的假设，适用于交易量仅占日均交易量微不足道比例的小投资者。对于需要在短时间内平仓的机构投资者来说，这并不总是合适的。近年来，最优投资组合清算模型在数学金融和随机控制文献中受到了广泛关注，参见[1,3,10,11,13,15,16,24]。到目前为止，关于最优流动性的文献都是基于马尔可夫模型的，在马尔可夫模型中，成本函数是确定性的，或者由服从马尔可夫动力学的随机因素驱动。然而，在现实世界的市场中，交易成本往往是非马尔可夫性质的。例如，交易成本是基于成交量加权平均价格（VWAP）计算的，VWAP是过去价格和成交量的加权平均值。这是一个通用的数学框架，它允许非马尔可夫因素的数学部分，洪堡大学，位于德国柏林大学林登分校，邮编：10099。电子邮件：graewe@math.hu-柏林。德（P.格雷维），qiujinn@gmail.com(邱杰)。洪堡大学数学系、商学院和经济学院——位于德国柏林林登河畔祖柏林6号，邮编10099。电子邮件：horst@math.hu-柏林。判定元件；通讯作者。*我们感谢各机构的研讨会参与者提出宝贵的意见和建议。感谢CRC 649经济风险与d-fine GmbH提供的财务支持。本文的第一个版本是在莱霍斯特访问豪斯多夫数学研究所时完成的。

感谢你的盛情款待。最优清算策略对可观测过程的动力学和显式函数依赖性。本文提供了这样一个框架。我们的主要关注点是在期权组合清算模型中具有单一终值的BSPDE。我们的模型足够灵活，允许非马尔可夫因素动态和成本函数，并允许同时向一级市场提交主动订单（用于立即执行）和被动大宗交易（用于未来可能的执行）跨越网络或暗池。暗池是另一种交易场所，允许投资者保护其投资者不被公众看到，从而降低市场影响和交易成本。由于提交给暗池的订单不会公开显示，因此订单执行是不确定的，通常由点流程建模。据我们所知[13,16]是第一个连续研究暗池投资组合清算问题的人。1.1模型和问题公式在本文中，我们研究的是概率空间(Ohm,F，P）配备过滤{Ft}0≤T≤t满足完整性和正确连续性的通常条件。概率空间包含两个独立的m维布朗运动W和B，以及非空Borel集Z上的一个独立点过程sJon rl具有有限的特征测量值u（dz）。我们赋予集合Z以其Borelσ-代数Z，并用π（dz，dt）表示相关的泊松随机测度。W生成的filtration和所有P空集用{Ft}t表示≥0

上可预测集的σ-代数Ohm × [0, +∞) 与{Ft}t有关≥0用P表示。在这项工作中，我们讨论了以下具有终端状态约束的随机最优控制问题：minξ，ρEZTηs（ys）|ξs |+λs（ys）|xs |+ZZγs（ys，z）|ρs（z）|u（dz）ds（1.1）受xt=x-Ztξsds-ZtZZρs（z）π（dz，ds），t∈ [0，T]；xT=0；yt=y+Ztbs（ys，ω）ds+Zt′σs（ys，ω）dBs+Ztσs（ys，ω）dWs。（1.2）这里，r值过程（xt）t∈[0，T]是状态过程；在投资组合清算框架中，XT描述了在t时持有的股份数量∈ [0，T]。状态过程由一对控制（ξ，ρ）控制，例如，描述投资组合在一级市场中清算的时间和在黑暗市场中进行的大宗交易，泊松随机测度π控制黑暗池执行。d维过程（yt）t∈[0，T]是一个不受控制的因素过程。因子过程由维纳过程W和B驱动；系数bt（y；ω）、‘σt（y；ω）和σt（y；ω）是F自适应的。我们有时写x，x，ξ，ρt为0≤ s≤ T≤ T表示状态过程对控制的依赖性（ξ，ρ），初始时间s∈ [0，T]和初始状态x∈ R.同样地，我们有时写ys，yt。所有对的容许控制集（ξ，ρ）∈ 满足几乎确定的终端状态约束TXT=0的L’F（0，T；R）×L’F（0，T；L（Z））。（1.3）我们假设与时间t的可容许控制（ξ，ρ）相关的成本∈ [0，T）和状态（x，y）∈R×rdi由jt（x，y；ξ，ρ）给出：=E’FtZTtηs（yt，ys）|ξs |+λs（yt，ys）| xt，x；ξ、 ρs |+ZZγs（yt，ys，z）|ρs（z）|u（dz）布朗运动可能有不同的维度；这个假设只是为了方便。对于F-适应系数ηt（y；ω），λt（y；ω）a和γt（y；ω）。

价值函数用vt（x，y）表示：=ess inf（ξ，ρ）admissibl eJt（x，y；ξ，ρ）（1.4）在投资组合清算框架中，系数ηt（y；ω）和λt（y；ω）分别衡量市场影响成本和投资者的提前清算意愿（“风险规避”）。术语γt（y；ω）衡量与执行暗指令相关的所谓滑动或逆向选择成本。Vt（x，y）是指在时间间隔[t，t]内，考虑到因子过程的当前值y，对包含x股的por tfolio进行liq UID的成本，并且（1.3）反映了这样一个事实，即需要在最终时间进行完全清算。1.2值函数的BSPDE最近Ankirchner等人对η、λ和γ独立于y的特殊情况进行了分析[2]。在这种情况下，值函数可以用具有奇异终值的倒向随机微分方程（BSDE）来描述。据我们所知，Popier[20]首先分析了这些方程。Ji和Zhou[14]利用正倒向随机微分系统研究了一类终端状态约束为凸集的随机最优控制问题。他们假设扩散项与控制项严格可逆，并应用庞特里亚金型最大原理。

我们通过求解彭[19]提出的相应的Tochastic Hamilton-Jacobi-B ellman（HJB）方程来解决非马尔可夫控制问题。鉴于成本函数的线性二次结构，标准参数建议对满足BSP DE的一对适应过程（u，ψ）进行乘法分解，其形式为vt（x，y）=ut（y）x和ψt（x，y）=ψt（y）x（1.5）（在一类合适的随机过程中）(-dut（y）={Lut（y）+Mψt（y）+F（s，y，ut（y））}dt- ψt（y）dWt，（t，y）∈ [0，T]×Rd；uT（y）=+∞, Y∈ Rd，（1.6）其中，对于a:=（σ∑T+’σ′σT），运算符L和M分别作用于两次，一次根据ut（y）=tr连续可微函数（在（y）Dut（y）+ bTt（y）Dut（y）和Mψt（y）=trDψt（y）σTt（y）在这项工作中，D和Db分别是梯度算子和Hessian矩阵，非线性F:R+×Rd×L（Rd）→ R由f（t，y，φ（y））给出：=λt（y）-ZZ |φ（y）|γt（y，z）+φ（y）u（dz）-|φ（y）|ηt（y）。前面的B SPDE二次依赖于ut（y）。尽管在应用概率和数学文献中对BSPDE进行了广泛的研究，例如[4,5,8,9,18,25]，但对于在u中四次增长的BSPDE，还没有可用的基因相关理论，即使是对于有限的终值也是如此。利用非线性BSPDE[21,22,23,26]解的最近存在性结果和分布值过程的It^o-Wentzell公式[17,26]，我们首先证明了由具有有限终端条件的相应控制问题产生的BSPDE具有有效的光滑解。随后，我们建立了一个比较原则，从中我们推断，具有不确定值的BSPDE的解可以作为具有不确定条件的BSPDE的解的递增序列的极限来获得。

我们也得到了辛的显式解。“滑移成本”的概念是指与不利执行或指令相关的成本，例如，在一级市场价格下跌之前，在暗池中执行购买订单。当所有系数都是状态变量和控制变量的确定函数时，我们就处于马尔可夫环境中。在这种情况下，我们的BSPDE简化为抛物线型偏微分方程（从分布的角度理解）。作为一般存在唯一性结果的副产品，在马尔可夫框架下，在对模型参数的弱假设下得到了相应的结果。本文的其余部分组织如下。我们的主要假设和结果总结在第2节中。第3节致力于验证定理的证明，而第4节确定了满足验证定理假设的奇异BSPDE解的存在性。在第5节中，我们证明了BSPDE（1.6）实际上是一个在更大类别的随机过程中唯一的非负解，该随机过程自动满足验证定理所需的终止时间附近的渐近行为。附录回顾了在整个工作过程中使用的BSPDEs的结果。2.主要结果为了说明我们的结果，我们需要引入一些函数空间。对于Bana-ch-s-pace Vwe，用SpF（[0，T]；V）表示，p∈ [1, ∞), 所有V值和P-可测c`adl`ag过程（Xt）t的集合∈[0，T]使得kxkpspf（[0，T]；V）=E supt∈[0，T]kXtkpV<∞.用LpF（0，T；V）表示V值P-可测过程（ut）T的类∈[0，T]使得kukplpf（0，T；V）=EZTkutkpVdt<∞, P∈ [1, ∞);库克尔∞F（0，T；V）=ess sup（ω，T）∈Ohm×[0，T]kutkV<∞, p=∞.以类似的方式，我们定义了Sp¨F（[0，T]；V）和Lp¨F（0，T；V）。

为了你∈ LpF（0，T；Lp（Rd）），p∈ [1, ∞), 我们写信给你∈ Lp，∞F（0，T）如果（i）u在[0，T]上是连续的，P dx-a.e。；（ii）kukpLp，∞F（0，T）=EZRdsupt∈[0，T]| u（T，x）| pdx<∞.通常，对于某些域∏而言，所有函数的Sobolev空间中的第一个k阶导数都属于Lp（∏） RDI用Hk表示，p（π）。为了简单起见，我们说一个有限维空间值函数u=（u，…，ul）∈ 香港，p（π），l∈ N、 我们是说你，ul∈ Hk，p（π）和kukpHk，p（π）：=Plj=1kujkpHk，p（π）。在这项工作中，我们使用h·，·i来表示通常的希尔伯特空间L（Rd）=H0,2（Rd）中的内积。为了k∈ N、 we setHk=SF（[0，T]；Hk，2（Rd））∩ LF（0，T；Hk+1,2（Rd））配备了标准kukhk=kukSF（[0，T]；Hk，2（Rd））+kukLF（0，T；Hk+1,2（Rd））。我们的目标是证明BSP DE（1.6）的充分正则解的存在性，并根据该解刻画控制问题的值函数。为此，我们首先定义了（1.6）的解决方案的含义。定义2.1。对于所有0，一对过程（u，ψ）是BSPDE（1.6）的一个解≤ t<τ<t itholds（u，ψ）1[0，τ]×O∈ 所有有界球O的LF（0，τ；H2,2（O））×LF（0，τ；H1,2（O）） Rd，ut（y）=uτ（y）+Zτt{Lus（y）+Mψs（y）+F（s，y，us（y））}ds-Zτtψs（y）dWt，dy-a.e.，and limτ↑Tuτ（y）=+∞, P dy-a.e.我们的结果是在模型参数的以下标准可测性和正则性条件下建立的：（A1）函数（b，σ，’σ，η，λ）：Ohm ×[0，T]×Rd-→ Rd×Rd×m×Rd×m×R+×R+是P×B（Rd）-可测的，本质上以∧>0为界。

此外，γ：Ohm ×[0，T]×Rd×Z-→ [0, +∞],是P×B（Rd）×Z-可测的。（A2）存在一个常数L，对于所有y，y∈ Rdand（ω，t）∈ Ohm ×[0，T]，|bt（y）- bt（y）|+|σt（y）- σt（y）|+|σt（y）- “∑t（y）|≤ L|y- y |。（A3）存在正常数κ和κ，因此（y，ξ，t）∈ Rd×Rd×[0，T]，dXi，j=1mXr=1′σirt（y）′σjrt（y）ξiξj≥ κ|ξ|和ηt（y）≥ κ、 P-a.e.验证定理要求过程螺母（y0，yt）|x0，x，ξ，ρt | o0的积分表示≤T≤T.（2.1）我们不知道一个普遍的L∞-BSPDEs理论；同时，在假设条件下（A1）-（A3），我们不能应用现有的Lp理论（p∈ (1, ∞)) 在我们的工作中；参见[7]及其参考文献。此外，正如将要证明的那样，（1.6）的解u必须足够规则，以允许将Ta ng和Yang[26]的广义it^o-Kunita-Wentzell公式应用于组成ut（yt）。为了保证正则性并将现有的Lp理论应用于BSPDEs，我们使用了加权解。更准确地说，对于任何整数q>d，我们定义了函数θ：Rd→ R、 y 7→ （1+| y |）-q、 直接计算验证了（u，ψ）是（1.6）的解，当且仅当（θu，θψ）解时(-dvt（y）={Lvt（y）+Mζt（y）+θF（t，y，（θ）-1vt）（y）}dt- ζt（y）dWt（t，y）∈ [0，T）×Rd；vT（y）=+∞, Y∈ （2.2）第二（2.2）年（2.2）年（2.2）第二（2.2）年（2.2）年（2.2）年（2.2）年（2.2）年（2.2）年（2.2）年（2.2）年（2.2）年（2.2）年（2.2）年）和（2）年（2.2）年（2）年（2）年）的地方（2）的地方（2）年（2.2）年）的地方（2）年（2.2）年（2.2）的地方）的地方（2）Lvt（第（2.2.2）年（2.2）年（2.2）年（2）年（2）年（2）年（2）年）年（2）年（2）年（2）年（2）的）年（2）年）年（2）年（2）年）年）的地方（2）的）的Q1+| y|tr（at（y））+dXi=1yibit（y）+2（q- 1） 1+| y | dXi，j=1aijt（y）yiyj.对于每个δ∈ （0，1），设Cδ（Rd）为Rd上常见的H¨older空间。我们现在准备总结本文的主要结果。定理2.2。