一个非马尔可夫清算问题与带奇异值的后向SPDE

那么，对于任何p∈ (2, +∞),θ（·）u·· +Z·σsdWs∈\\τ ∈（0，T）\\δ∈（0,1）L2，∞F（0，τ）∩ SpF（[0，τ]；Cδ（Rd））。此外，函数V（t，y，x）：=ut（y）x与每个yy的值函数（1.4）重合∈ 研发证明。每N∈ N、 设（vN，ζN）为BSPDE（4.2）的唯一解。我们的目标是使用[7]中开发的BSPDE的Lp理论推导（A4）下的附加正则性性质。[7]的结果不允许线性项βTζ出现在BSPDE的dr-ift部分，thoug h。为了克服这个问题，我们对变量进行以下更改：yyt:=y+ZtσsdWs，（T，y）∈ [0，T]×Rd；\'as（y）：=\'σs（y）\'σTs（y），y∈ Rd；（~uNt，~ψNt）（y）：=（θ）-1vNt，θ-1ζNt+σTtD（θ-1vNt）（yyt），（t，y）∈ [0，T]×Rd；（vNt，ζNt）（y）：=（θuNt，θψNt）（y），（t，y）∈ [0，T]×Rd.然后，应用分布值过程的It^o-Wentzell公式（见[17，T the orem 1]），我们几乎可以肯定地得到vNt（y）=Nθ（y）+ZTtntr\'as（yys）DvNs（y）+\'bTs（y）DvNs（y）+\'cs（y）~vNs（y）+θ（y）^F（s，yys，（θ-1vNs（y））ods-ZTtζNs（y）dWs，dy-a.e。T∈ [0，T]（5.2）带位（y）：=位（yyt）+4q1+|y|dXj=1aijt（yyt）yj，i=1，D\'ct（y）：=2q1+|y|tr（at（yyt））+dXi=1yibit（yyt）+2（q- 1） 1+|y | dXi，j=1aijt（yyt）yiyj.从这个重新呈现中，我们看到我们也有一个BSDE表示（~vN，~ζN），从中我们将获得强正则性性质。具体而言，根据命题A.1，存在唯一的解决方案（\'vN，\'ζN）∈H∩ L2，∞F（0，T）x LF（0，T；H1，2（Rd）），到BSP DE-d'vNt（y）=ntr\'at（yyt）D\'vNt（y）+\'bTt（y）D\'vNt（y）+\'ct（y）\'vNt（y）+θ（y）\'λt（yyt）-~vNt（y）~vNt（y）θ（y）’ηt（yyt）-ZZθ-1（y）| vNt（y）|γt（yyt，z）+θ-1（y）vNt（y）|u（dz）odt-ζNt（y）dWt（t，y）∈ [0，T]×Rd；\'vNT（y）=Nθ（y），y∈ Rd.（5.3）根据定义，解决方案为（5.2）。

Asθ-1vN∈ L∞F（0，T；L）∞（Rd））我们可以使用同伦A.2中所述的比较原理来推断（类似于命题4.1的证明）θ-1英寸vN∈L∞F（0，T；L）∞（Rd））。因此，通过[7，命题6.4]，我们进一步得到了“vN”∈ SpF（[0，T]；H1，p（Rd））∩ 任意p的LpF（0，T；H2，p（Rd））∈ (2, +∞).因此，根据Sobolev嵌入定理，\'vN∈ SpF（[0，T]；Cδ（Rd）），对于任何δ∈ (0, 1). 因此，vNt（y）在（t，y）中几乎肯定是连续的∈ [0，T]×Rd.接下来，我们将展示! dy-a.e.为此，我们证明（~vN，~ζN）和（`vN，`ζN）满足相同的BSDE。具体地说，让y，yt:=y+Zts\'br（~ys，yr）dr+Zts\'σr（y~ys，yrr）dBr，0≤ s≤ T≤ T.因为（~vNt，~ζyt）（y）=θ（y）（θ）-1vNt，θ-1ζNt+σTtD（θ-1vNt（yyt），我们通过标准但繁琐的计算来检查“vNt”和“vNt”是否有界，并满足以下BSDE：71vnt（~ys，yt）=Nθ（~ys，yt）+ZTt\'cr（▄ys，yr）ˋvNr（▄ys，yr）+θ（▄ys，yr）▄t（y▄ys，yrr）-θ-1（~ys，yr）|vt（~ys，yr）~vt（~ys，yr）|ηt（y~ys，yr）-ZZθ-1（~ys，yr）|vt（~ys，yr）|γt（y~ys，yrr，z）+θ-1（~ys，yr）| vt（~ys，yr）|u（dz）博士-ZTtˇζNr（~ys，xr）dWr-ZTt′σTr（~ys，yr）DˇvNr（~ys，xr）dBr。这个BSDE有一个独特的解决方案。根据引理3.2和同伦3.3，我们得出结论＠vNt（＠ys，yt）=＠vNt（＠ys，yt），P dy-a.e。 0≤ s≤ T≤ T、 在这里，我们不认为vn和vn都属于H∩ L2，∞F（0，T）。取s=t，我们就有了vNt（y）=vNt（y），P dy-a.e。T∈ [0，T]。由于BSPDE（5.3）是一种独特的解决方案，我们还可以在H×LF（0，T；H1,2（Rd））中获得（~vN，~ζN）=（\'vN，\'ζN）。vNt（y）、vNt（y）和vNt（y）在（t，y）中都是连续的，概率为1。考虑到定理4.3的证明，我们使得{vNt（y）}逐渐收敛到θ（y）θ-每（t，y）1 vt（yyt）∈ [0，T]×Rd，概率为1，N等于单位。

设置（~vt（y），~ζt（y））：=θ（y）（（θ）-1vt）（yyt），（θ-1ζt（yyt）），我们得到（~v，~ζ）1[0，τ]∈H∩ LpF（0，T；H2，p（Rd））所有τ的x LF（0，T；H1,2（Rd））∈ （0，T）和p∈ (2, ∞),andcθ（y）T- T≤ ■vt（y）≤cθ（y）T- t、 P dt 此外，对于每个τ∈ （0，T），它几乎可以肯定地保持∧vt（y）=vτ（y）+ZτTtr\'as（yys）D)vs（y）+\'bTs（y）Dvs（y）+\'cs（y）vs（y）+θ（y）F（s，yys，（θ-1比（y）ds-ZτtSζs（y）dWs，dy-a.e.同样，根据[7，提案6.4]，我们进一步得到了v∈ SpF（[0，τ]；H1，p（Rd））∩ LpF（0，τ；H2，p（Rd）），p∈ (2, +∞),因此，根据Sobolev嵌入定理，~v∈ 每个δ的SpF（[0，τ]；Cδ（Rd））∈ (0, 1). 因此，vt（y）和ut（y）=θ-1（y）-RtσsdWs）~vt（y-Rtσsdw）几乎肯定在（t，y）中是连续的∈ [0，τ]×Rd.因此，V（t，y，x）：=ut（y）x，（t，x，y）∈ [0，T]×R×Rd，与e非常y的（1.4）值函数一致∈ Rd.A关于BSP分布A.1的三个结果（[7，定理5.5]）。让系数b、σ和¨σ满足假设（A1）-（A3）。假设随机函数f（·，·，·，θ，y，z）∈ LF（0，T；L（Rd））表示任何（θ，y，z）∈ R×Rd×Rmand存在一个正常数，例如对于所有（θ，y，z），（θ，y，z）∈ R×Rd×Rmand（ω，t，x）∈ Ohm ×[0，T]×Rd，|f（ω，T，x，θ，y，z）- f（ω，t，x，θ，y，z）|≤ L（|θ- θ|+| y- y |+| z- z |）。那么，对于任何给定的G∈ L(Ohm, 英尺；香港，第二（第）区）与k∈ {0，1}，BSPDE-dut（x）={trat（x）Dut（x）+Dψt（x）σTt（x）+ bTt（x）Dut（x）+f（t，x，xt（x），Dut（x），ψt（x））}dt- ψt（x）dWt（t，x）∈ [0，T]×Rd；uT（x）=G（x），x∈ Rd（A.1）允许一个唯一解（u，ψ）∈ Hk×LF（0，T；Hk，2（Rd）），也就是说，它几乎可以肯定地认为hа，uti=hа，uti+ZTtnhа，trasDus+DψsσTs+ bTsDus+f（s，us，Dus，ψs）iods-ZTth~n，ψsdWsiφ ∈ C∞c（Rd），t∈ [0，T]，（A.2）其中C∞c（Rd）是所有完全可微分函数的集合，在Rd上具有紧凑的支持s。

此外，美国∈ L2，∞F（0，T）如果k=1，存在一个常数C，它只依赖于κ，L，L，∧和Tsuch thatkukHk+kukL2，∞F（0，T）k=1+kψkLF（0，T；Hk，2（Rd））≤ Ckf（·，·，·，0，0，0）kLF（0，T；L（Rd））+kGkL(Ohm,英尺；香港，第2（d））. （A.3）通过使用标准稠密性参数，可以很容易地检查k=1时，（A.2）对溶液定义的测试函数要求与定义2.1中几乎所有地方的相应要求相同。命题A.1中的非线性项f可以用线性形式asf（t，x，θ，y，z）=αθ+βTy+θTz+f（t，x，0，0，0），（θ，y，z）表示∈ R×Rd×Rm，（A.4），其中α=f（t，x，θ，y，z）- f（t，x，0，y，z）θθ6=0；βi=f（t，x，0，y（i），z）- f（t，x，0，y（i）-1） ，z）yiyi6=0，i=1，Dθk=f（t，x，0，0，z（k））- f（t，x，0，0，z（k-1） ZK6=0，k=1，My（i）=（y，…，yi，0，…，0），y（0）=0∈ Rd，i=1，Dz（k）=（z，…，zk，0，…，0），z（0）=0∈ Rm，k=1，m、 因此，线性BSPDEs的比较原理[7，定理6.3]立即暗示了以下结果。推论A.2（定理6.3[7]的推论）。在命题A.1的假设下，对于k=1，假设配对（G′，f′）满足命题A.1中（G，f）的相同条件。设（u，v）和（u′，v′）分别为BSPDE（A.1）的解，并进一步假设对于几乎每个（ω，t，x）∈ Ohm ×[0，T]×Rdit holdsf（ω，T，x，ut，Dut，v）≥ f′（ω，t，x，ut，Dut，v）和G（ω，x）≥ G′（ω，x）。然后，你≥ u′，P dt （a，t，f）可以是线性的- f′（t，x，ut+θ，Dut+y，v+z）。证据是标准的，因此省略了。我们用下面关于BSPDEs正解部分的等式引理来结束本附录，其证明将在下面略图。引理A.3。让你∈ H

任何情况下，我们都会提高这个标准∈ C∞c（Rd），几乎可以肯定的是，uti=h~n，Gi+ZTth~n，hs+fsi-dXi=1h希尼，吉西ds-ZTthа，ζsdWsi，t∈ [0，T]，其中G∈ L(Ohm, FT，L（Rd））；ζ、 f，g∈ LF（0，T；L（Rd））和h∈ LF（0，T；L（Rd））。此外，假设（x）u+s（x）≤ 0，P dt dx-a.e.那么，它几乎可以肯定地容纳thatku+tkL（Rd）+ZTtkζsu>0kL（Rd）ds≤ kG+kL（Rd）+2ZTt胡+s，fsi-dXi=1h秀+s，吉西ds- 2ZTthu+s，ζsdWsi，t∈ [0，T]。（A.5）证明的草图。对（u，ζ）是线性BSPDE的唯一解-dut（x）=ut（x）+ft+ht+dXi=1xi（吉特）- 休特（x））dt- ζt（x）dWt（t，x）∈ [0，T]×Rd；uT（x）=G（x），x∈ 如果h∈ 如果（0，T；L（Rd）），那么（A.5）从[23，Coro llary 3.11]开始。对于h∈ 如果为（0，T；L（Rd）），则可以使用标准近似方法进行验证。为此，我们观察到，前向SPDE的It^o公式[6，命题2]的证明独立于域Otherein的有界性，因此结果扩展到o=Rd。因此，对于任何函数Φ：R→ 当有界导数Φ′、Φ′和Φ′（0）=0时，它几乎可以确定ZRdΦ（ut（x））dx+mXr=1ZTthΦ′（us）ζrs，ζrsi ds+ZTthΦ′（us），ζsdWsi=ZRdΦ（G（x））dx+ZTthΦ′（美国），fs+hsi-dXi=1hΦ′（美国）秀斯，吉西ds，t∈ [0，T]。（A.6）如果Φ′（y）=Φ′（y）1（0，∞)（y）≥ 0，那么我们对h的假设几乎可以肯定地得出（A.6）≤ZRdΦ（G（x））dx+ZTth（美国），fsi ds-dXi=1hΦ′（美国）秀斯，吉西ds，t∈ [0，T]。（A.7）我们可以通过近似Φ并传递到（A.7）中的极限，将上述不等式化为Φ′无界。然后将不等式（A.7）应用于函数ψ：y7→ （y+）。尽管ψ不是正则的eno，但这可以使用与[22，引理3.5]证明的第2步相同的近似方法来实现。B推论3.3的证明在引理3.2中，Φ可以看作是一个L（Rd）值连续半鞅。

因此，Φ∈ 我们可以进一步验证（Φ，Υ）∈H∩ LF（0，T；H2，2（Rd））x LF（0，T；H1，2（Rd））满足度（A.1），f（T，y）：=Ft（y）-trat（y）DΦt（y）+DΥt（y）σTt（y）+ bTt（y）DΦt（y）.因此，Φ∈ L2，∞F（0，T）∩Hby提案A.1。每个人∈ N、 let（uN，ψN）∈ H×LF（0，T；H1，2（Rd））是-邓特（y）=trat（y）DuNt（y）+DψNt（y）σTt（y）+ bTt（y）DuNt（y）+N∧ |英尺（y）|dt- ψNt（y）dWt（t，y）∈ [0，T]×Rd；uNT（y）=N∧ |G（y）|，y∈ Rd.（B.1）由引理3.2，我们得到了几乎e非常y∈ Rd，uNt（ys，yt）=N∧ |G（ys，yT）|+ZTtN∧ |Fr（ys，yr）| dr-ZTtnσTr（ys，yr）DuNr（ys，yr）+ψNr（ys，yr）odWr-ZTt′σTr（ys，yr）DuNr（ys，yr）dBr，其中所有成分均在测量值P下定义 dt 尤其是uNs（y）=EFsN∧ |G（ys，yT）|+ZTsN∧ |Fr（ys，yr）| dr,命题A.1产生一个常数C，它只依赖于o nκ、L、∧和T，即kunkl2，∞F（s，T）+kψNkLF（s，T；H1,2（Rd））≤ C千牛∧ |F | kLF（0，T；L（Rd））+kN∧ |吉隆坡(Ohm,英尺；H1,2（Rd））≤ CkF-kLF（0，T；L（Rd））+kGkL(Ohm,英尺；H1,2（Rd））.让N→ ∞, 通过Fatou引理和Jensen不等式，我们得到了ZRDE[|G（ys，yT）|]+ZTsE[|Fr（ys，yr）|]drdy≤ CkGkL(Ohm,英尺；H1,2（Rd））+kF kLF（s，T；L（Rd））.这证明了期望的估计以及Φ·（ys，y·）是几乎每个y的连续一致可积半鞅的事实∈ 参考文献[1]R.Almgren和N.Chriss，《投资组合交易的最佳执行》，J.Risk，3（2001），第5-39页。[2] S.An kirchner，M.Jeanblanc和T.Kruse，具有奇异终端条件的BSDE和带约束的控制问题，SIAM J.控制优化。，5.2（2014），第893-913页。[3] S.Ankirchner和T.Kruse，连续时间内对价格敏感的清算。可在SSRN上获得，2012年。[4] A。Bensoussan，《分布参数系统的随机极大极小原理》，J.Franklin Inst.，315（1983），第387-406页。[5] 张敏敏、彭永康和J。

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