Wishart多维随机波动率模型的精确模拟

如果一个d×d对称正定随机矩阵W具有概率密度函数（21），则W被称为具有δ自由度、协方差矩阵C和非中心参数矩阵的非中心Wishart分布Ohm. 我们会说W有Wd（δ，C，Ohm) 分配命题A.5（Gupta和Nagar[23]中的定理3.5.3]）。假设W具有非中心分布Wd（δ，C，Ohm). 然后给出了它的拉普拉斯变换E-tr（θW）= 数据[Id+2θC]-δ/2expn- trθ（Id+2Cθ）-1COhmo、 对于任何对称正半有限矩阵θ。A.2具有时变线性漂移的Wishart过程在本节中，我们稍微扩展了Wishart过程的概念，以便计算给定波动水平的对数价格的条件拉普拉斯变换。如果对称正半有限矩阵值随机过程X是以下随机微分方程dxt=（Δ∑）的弱解，则称其为具有时变线性漂移的Wishart过程∑+H（t）Xt+XtH（t）)dt+pXtdWt∑+dWtpXt，X=X，（22）式中δ≥ D- 1，∑是一个d×d矩阵，x是一个对称正半限定矩阵，H（·）是一个d×d矩阵值连续函数，W是一个标准的d×d矩阵布朗运动。具有时变线性漂移的Wishart过程具有非中心Wishart边际分布。提案A.6。设X为具有时变线性漂移的Wishart过程，其解为（22）。那么Xt具有非中心Wishart分布Wd（δ，V（0），V（0）-1Ψ(0)xψ（0）），其中V（t）和ψ（t）是下列常微分方程组的解滴滴涕ψ（t）=-H（t）ψ（t），ddtV（t）=-ψ（t）Σ∑ψ（t），终端值ψ（t）=i，V（t）=0。证据

使用标准参数（例如，参见Gourieroux和Sufana[22]的附录B），可以证明对称正半无限矩阵θE-tr（θXT）= E-^φ（0，θ）-tr（^ψ（0，θ）x），其中^φ和^ψ是下列方程的解t^ψ（t，θ）=2^ψ（t，θ）∑∑ψ（t，θ）- H（t）^ψ（t，θ）-^ψ（t，θ）H（t），t^φ（t，θ）=-δtr[^ψ（t，θ）∑∑），终端值^φ（T，θ）=0和^ψ（T，θ）=θ。使用差异规则DTA（t）-1=-A（t）-1ddtA（t）A（t）-1和ddtln det[A（t）]=tr[A（t）-1ddtA（t）]，可以检查^ψ（t，θ）=ψ（t）θ（Id+2V（t）θ）-1ψ（t）,^φ（t，θ）=δln det[Id+2θV（t）]解上述微分方程组。因此E-tr（θXT）= det[Id+2θV（0）]-δ/2expn- trθ（Id+2V（0）θ）-1Ψ(0)xψ（0）o、 由于拉普拉斯变换唯一地刻画了d分布，因此XT具有非中心Wishart分布Wd（δ，V（0），V（0）-1Ψ(0)命题A.5中的xψ（0）。A.3（12）的计算细节在本节中，我们提供了条件特征函数（12）的计算细节。系统（11）中的第一个方程是经典的Riccati方程，其闭式解是众所周知的（例如，见Filipovi’c[17]第10.7.2节）。特别是ψ（t，u）=-u（u+1）（eη（u）（T）-（t）- 1） η（u）（eη（u）（T）-t） +1）+（κ+uσρ）（eη（u）（t）-（t）- 1） ，ZTtψ（s，u）ds=-σlog2η（u）e（η（u）+κ+uσρ）（T）-t） η（u）（eη（u）（t）-t） +1）+（κ+uσρ）（eη（u）（t）-（t）- 1)!,式中η（u）=p（κ+uσρ）- σu（u+1）。就这样-φ（t，u）=2η（u）e（η（u）+κ+uσρ）（t-t） η（u）（eη（u）（t）-t） +1）+（κ+uσρ）（eη（u）（t）-（t）-1)!δ/2e-乌尔（T）-t） 。第三个线性方程的解是ψ（t，u）=exp-RTt（κ+uσρ+σψ（s，u））ds= E-（κ+uσρ）（T）-t） 经验-σRTtψ（s，u）ds= E-（κ+uσρ）（T）-t） 2η（u）e（η（u）+κ+uσρ）（t）-t） η（u）（eη（u）（t）-t） +1）+（κ+uσρ）（eη（u）（t）-（t）- 1） =2η（u）eη（u）（T）-t） η（u）（eη（u）（t）-t） +1）+（κ+uσρ）（eη（u）（t）-（t）- 1） （23）v（t，u）=σ（eη（u）（t）的直接积分-（t）- 1） η（u）（eη（u）（T）-t） +1）+（κ+uσρ）（eη（u）（t）-（t）- 1).

（24）我们将（23）除以（24）得到ψ（0，u）V（0，u）=4η（u）e0。5η（u）Tσ（eη（u）T- 1） =4η（u）e-0.5η（u）Tσ（1）- E-η（u）T）。特别地，ψ（0，0）V（0，0）=4κe-0.5κTσ（1- E-κT）。观察φ（t，u）和ψ（t，u）之间的关系：-φ（t，u）=（ψ（t，u））δ/2expnδ（κ+uσρ）（t- （t）- 乌尔（T）- t） o.提醒超几何函数和修正贝塞尔函数之间的关系：Fν + 1;十、= （x/2）-νΓ（ν+1）Iν（x）。利用上述身份，我们发现V（0，0）V（0，u）δ/2exp-φ（0，u）Fδ;ψ（0，u）V（0，u）√xxTFδ;ψ（0,0）V（0,0）√xxT=V（0，0）V（0，u）δ/2ψ（0，u）V（0，u）-δ/2+1ψ（0,0）V（0,0）δ/2-1×ψ（0，u）δ/2expδ（κ+uσρ）T- 城市轨道交通I0。5δ-1(√xxTψ（0，u）V（0，u））I0。5δ-1(√xxTψ（0,0）V（0,0））=V（0,0）ψ（0，u）V（0，u）expκT- u（r）-κθρσ）TI0。5δ-1(√xxTψ（0，u）V（0，u））I0。5δ-1(√xxTψ（0,0）V（0,0））=η（u）（1- E-κT）κ（1）- E-η（u）T）exp-u（r）-κθρσ）T-（η（u）- κ） TI0。5δ-1.√xxT4η（u）e-0.5η（u）Tσ（1）-E-η（u）T）I0。5δ-1.√xxT4κe-0.5κTσ（1-E-κT）.回想一下η（u）=（κ+uσρ）- σu（u+1）。

利用这个恒等式，我们得到了2ψ（0，u）+ψ（0，u）V（0，u）=-2u（u+1）（eη（u）T- 1） η（u）（eη（u）T+1）+（κ+uσρ）（eη（u）T）- 1） +4η（u）e-0.5η（u）Tσ（1）- E-η（u）T）2η（u）e0。5η（u）Tη（u）（eη（u）T+1）+（κ+uσρ）（eη（u）T）- 1)=-2σu（u+1）（eη（u）T-1)(1 -E-η（u）T）+8η（u）σ（1）- E-η（u）T）（η（u）（eη（u）T+1）+（κ+uσρ）（eη（u）T）- 1))=-2σu（u+1）（1）-E-η（u）T）+8η（u）e-η（u）Tσ（1）- E-η（u）T）（η（u）（1+e）-η（u）T）+（κ+uσρ）（1）- E-η（u）T）=-2σu（u+1）- 4σu（u+1）e-η（u）T- 2σu（u+1）e-2η（u）T+8（κ+uσρ）e-η（u）Tσ（1）- E-η（u）T）（η（u）（1+e）-η（u）T）+（κ+uσρ）（1）-E-η（u）T）=-2σu（u+1）（1+e）-η（u）T）+8（κ+uσρ）e-η（u）Tσ（1）- E-η（u）T）（η（u）（1+e）-η（u）T）+（κ+uσρ）（1）- E-η（u）T）=σ（η（u）- （κ+uσρ））（1+e-η（u）T）+4（κ+uσρ）e-η（u）T（1）- E-η（u）T）（η（u）（1+e）-η（u）T）+（κ+uσρ）（1）- E-η（u）T））=ση（u）（1+e-η（u）T）- （κ+uσρ）（1）- E-η（u）T）（1- E-η（u）T）（η（u）（1+e）-η（u）T）+（κ+uσρ）（1）- E-η（u）T））=ση（u）（1+e-η（u）T）-（κ+uσρ）（1）-E-η（u）T）1- E-η（u）T.和v（0，0）=σ2κ1- E-κTandψ（0,0）V（0,0）=σ2κe-κT1-E-κT.通过将上述量代入公式（7），我们得到了赫斯顿模型的条件拉普拉斯变换的闭式表达式（12）。A.4命题的证明4.1我们从一个简单的引理开始。引理A.7。让b>（d）- 1). 假设^ι（k）是k划分为不超过d个部分中的最小划分。然后0<（b）^ι（k）≤ （b） ι用于将k分成不超过d个部分的所有分区。证据修正k，我们将符号^ι（k）简化为^ι。超几何系数的因子的形式为0<b-（d）- 1) ≤ b+l-（j）- 1) ≤ b+k-1，对于j=1，·d和l=0，·kj-1.因此，我们有（b）^ι>0。对于一个划分ι=（k，…，kd），定义α（ι）：=max{ki- kj:1≤ i<j≤ d} 和β（ι）：=min{j- i:ki- kj=α（ι），i<j}。假设ι不是最小的。然后是α（ι）≥ 2.设α（ι）=ki*- 千焦*β（ι）=j*- 我*.我们定义了一个新的分区‘’=（k，…，ki）*-1.ki*- 1.ki*+1.千焦*-1千焦*+ 1千焦*+1.

，kd）。然后（b）ι′=（b）ι×b+kj*-（j）*+1） /2b+ki*-（一）*+1） /2<（b）ι。对于新的划分，如果我们有α（ι′）=α（ι），那么β（ι′）=β（ι）+2。自β（·）≤ D- 1.经过一些迭代之后，我们应该有一个α值减小的分区。因此，我们得到了一个带有α（^ι）的划分≤ 1在有限的步骤中，这是最小的一步。由于新划分总是具有较小的超几何系数值，我们得出结论（b）^ι<（b）ι适用于任何非最小划分ι。为了让读者更好地理解，我们举了一个例子来说明上述证明的观点。考虑情况d=5和k=8。在这种情况下，最小的分区是^ι=^ι（8）=（2,2,2,1,1）。我们从一个不是最小的分区开始，比如ι=（4,3,1,0,0）。从这个划分中，我们依次寻找一个超几何系数更小的新划分，直到我们得到最小的一个：（4,3,1,0,0），α（ι）=4，β（ι）=312345b+3b+2b+1b+b-B- 1.-→（3,3,1,1,0），α（ι）=3，β（ι）=312345b+2b+b+1b+bbb-B- 1b-2.-→（3,2,1,1,1），α（ι）=2，β（ι）=212345b+2b+1b+bb-B- 1b-2 b-3.-→（2,2,2,1,1），α（^ι）=1，β（^ι）=11 2 3 4 5b+1 b+bb b-B- 1b- 2 b-3在每个阶段，超几何系数的值都会减小，最小的分区具有最小的超几何系数。下一个引理是关于不同尺寸隔板的超热学系数之间的比较。引理A.8。让b>（d）- 1） 和k≥ d、 然后（b）^ι（k）<（b）^ι（k+1）。证据这个引理是递归关系（20）的一个简单结果。我们写^ι（k）=（k，·kd）。自从k≥ d、 我们有kj≥ 1代表所有j=1，·，d。因此，1≤ kj<b+kj-（d）-1) ≤ b+kj-（j）- 1） 对于所有的j=1，·，d。这一观察结果和复发关系（20）完成了预测。现在我们考虑分区多项式。

分区多项式是矩阵特征值的多项式，它们的系数都是非负的（参见Muirhead[29]第234页的递推关系（14））。因此，|Cι（α，···，αd）|≤ Cι（|α|，···，|αd |），对于所有的分区ι和所有的复数α···，αd。命题4.1的证明。证明是引理a.7和a.8中建立的不等式的组合。观察| F（b；y）-mF（b；y）|=∞Xk=m+1X |ι|=k（b）ιCι（y）k！≤∞Xk=m+1X |ι|=k（b）ι| C（y）k！≤∞Xk=m+1k！（b） ^ι（k）X|=kCι（|α|，···，|αd |）≤（b） ^ι（m+1）∞Xk=m+1k！X |ι|=kCι（|α|，···，|αd·）。通过定义，对分区多项式进行归一化，使x|ι|=kCι（β，··，βd）=（β+···+βd）kf用于所有复数形式的sβ，··，βd（见Muirhead[29]的定义7.2.1）。因此，我们有| F（b；y）-mF（b；y）|≤（b） ^ι（m+1）∞Xk=m+1k！（|α|+··+|αd |）k≤（b） ^ι（m+1）∞Xk=0（k+m+1）！（|α|+··+|αd |）k+m+1≤（|α|+··+|αd |）m+1（m+1）！（b） ^ι（m+1）∞Xk=0k！（|α|+·αd |）k=（|α|+·αd |）m+1（m+1）！（b） ^ι（m+1）e |α|+·αd |。参考文献【1】J.Abate和W.Whitt。概率分布逆变换的傅里叶级数方法。排队系统理论应用。，10(1-2):5–87, 1992.[2] A.Ahdida和A.Alfons i.Wishart过程的精确和高阶离散化方案及其有效扩展。安。阿普尔。Probab。，23(3):1025–1073, 2013.[3] D.E.阿莫斯。算法644：一个用于复杂非负阶贝塞尔函数的便携软件包。ACM Trans。数学软的。，12（3）：265-273，1986年9月。[4] D.贝茨。跳跃和随机波动：德国马克期权中隐含的汇率过程。牧师。财务部。螺柱。，9(1):69–107, 1996.[5] D.S.贝茨。标准普尔500指数期货期权市场在1987年崩盘后的担忧。《计量经济学杂志》，94（1-2）：181–238，2000年。[6] A.Benabid，H.Bensusan，N.El Karoui，等.威斯哈特随机波动率：渐近微笑和数值框架。

预印本，2008年。[7] 布罗迪先生和卡娅先生。随机波动和其他波动过程的精确模拟。奥普。第54（2）号决议：217-231页，2006年。[8] 男-女-布鲁。威斯哈特进程。J.Theoret。Probab。，4(4):725–751, 1991.[9] P·卡尔、D·B·马丹和R·H·史密斯。使用快速f-O-rier变换进行期权估值。计算金融杂志，2:61-731999。[10] P·卡尔和L·吴。货币期权中的随机偏斜。《金融经济学杂志》，86（1）：213–247，2007年。[11] P.克里斯托·弗森、S.赫斯顿和K.雅各布斯。指数选择假笑的形状和期限结构：为什么多因素随机波动率模型如此有效。管理Sci。，55（12）：1914年至1932年，2009年12月。[12] C.库奇罗、D.菲利波维奇、E.梅尔霍夫和J。泰奇曼。在正酰胺有限矩阵上的一个有效过程。安。阿普尔。Probab。，21(2):397–463, 2011.[13] J.达·丰塞卡和M.格拉塞利。骑在微笑上。数量。《金融》，11（11）：1609-163221011。[14] J.Da Fonseca、M.Grasselli和C.Tebaldi。多因素波动率Heston模型。定量。《金融》，8（6）：591-6042008。[15] J.R.休眠和d.P.J.普林斯。一系列嵌入的龙格-库塔公式。J.计算机。阿普尔。数学6(1):19–26, 1980.[16] D.杜菲、J.潘和K.辛格尔顿。转换分析和资产定价，以获得更高的收益。《计量经济学》，68（6）：1343-13762000。[17] D.菲利波维c.期限结构模型。斯普林格金融公司。S pringer Verlag，柏林，2009年。不成熟的过程。[18] P.高蒂耶和D.波萨马。价格在w ishart模型中进行了扩展。IUP计算数学杂志，4（1）：44–712011。[19] P.高蒂耶和D.波萨马。有效模拟wishart模型。IUP计算数学杂志，5（1）：14-582012。[20] 格拉斯曼。金融工程中的蒙特卡罗方法，《数学应用》（纽约）第53卷。斯普林格·维拉格，纽约，2004年。

随机建模和应用概率。[21]L。J.格雷泽。非中心Wishart分布的规范表示，对模拟有用。J.艾默尔。统计学家。协会，71（355）：690-6951976。[22]C.Gourieroux和R.Sufana。Wishart多元随机波动率的衍生产品。J公共汽车经济。统计学家。，28(3):438–451, 2010.[23]A.K.古普塔和D.K.纳加尔。《矩阵变量分布》，查普曼和H all/CRC专著第104卷，纯数学和应用数学调查。查普曼和霍尔/CRC，佛罗里达州博卡拉顿，2000年。[24]S.赫斯顿。具有随机波动性的期权的闭式解，适用于债券和货币期权。《金融研究回顾》，6（2）：327–343，1993年。[25]P.科耶夫。http://math.mit.edu/~plamen/software/。[26]P.科夫和A.埃德尔曼。有效评估amatrix参数的超几何函数。数学公司。，75(254):833–846, 2006.[27]A.M.Kshirs琼脂。Bartlett d ecomposition和Wishart distribution。安。数学统计学家。，30:239–241, 1959.[28]M.Leippold and d F.特洛伊。具有矩阵跳跃差异的资产定价。可从SSRN12744822008获得。[29]R.J.缪尔黑德。多元统计理论的几个方面。约翰·威利父子公司，纽约，1982年。威利概率和数理统计系列。[30]D.Revuz和M.Yor。《连续鞅与布朗运动》，数学三人组第293卷，《数学科学基本原理》。S pringer Verlag，柏林，第三版，1999年。