Wishart多维随机波动率模型的精确模拟

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英文标题：
《Exact Simulation of Wishart Multidimensional Stochastic Volatility Model》
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作者：
Chulmin Kang, Wanmo Kang
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最新提交年份：
2013
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英文摘要：
  In this article, we propose an exact simulation method of the Wishart multidimensional stochastic volatility (WMSV) model, which was recently introduced by Da Fonseca et al. \\cite{DGT08}. Our method is based onanalysis of the conditional characteristic function of the log-price given volatility level. In particular, we found an explicit expression for the conditional characteristic function for the Heston model. We perform numerical experiments to demonstrate the performance and accuracy of our method. As a result of numerical experiments, it is shown that our new method is much faster and reliable than Euler discretization method.
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中文摘要：
在本文中，我们提出了一种Wishart多维随机波动率（WMSV）模型的精确模拟方法，该模型最近由Da Fonseca等人提出。我们的方法基于对给定波动水平的对数价格的条件特征函数的分析。特别是，我们找到了赫斯顿模型的条件特征函数的显式表达式。我们进行了数值实验来证明我们的方法的性能和准确性。数值实验结果表明，该方法比欧拉离散化方法速度快、可靠性高。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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PDF下载：
--> Exact_Simulation_of_Wishart_Multidimensional_Stochastic_Volatility_Model.pdf (325.73 KB)

2022-4-29 18:36:57 上传

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关键词：波动率模型 wish Hart ART 波动率

Wishart多维随机波动率模型的精确模拟*Wanmo Kang+2018年11月19日摘要在这篇文章中，我们提出了Wishart多维短期波动率（WMSV）模型的精确模拟方法，该模型最近由Da Fonseca等人提出[14]。我们的方法基于对给定波动水平的对数价格的条件特征函数的分析。特别是，我们找到了赫斯顿模型的条件特征函数的显式表达式。我们进行了数值实验，以证明我们的方法的性能和准确性。数值实验结果表明，该方法比欧拉-r离散化方法速度快、可靠性高。关键词：Wishart过程、随机波动率、蒙特卡罗方法、精确模拟1简介自从1993年引入Heston的随机波动率模型[24]以来，它一直是随机波动率模型中最重要、应用最广泛的模型。它的流行依赖于对参数的清晰财务解释和模型的计算可执行性。Heston[24]以封闭形式给出了对数资产价格的特征函数，并证明了欧式看涨期权可以通过反转特征函数来定价。尽管Hestonmodel很受欢迎，但广泛的实证研究已经证明了它的局限性[4,5,10,11,13]。该模型最关键的缺陷在于它不能生成真实的波动率期限结构；Heston模型提供了太过丰富的隐含波动性表面，无法捕捉现实。但经验研究表明，短期到期的隐含波动率曲线具有相当陡峭的斜率，并且是凸的，而长期到期的隐含波动率曲线则趋于可信[11,13]。

因此，大量工作集中在推广赫斯顿模型，以适应此类程式化事实。有两种方法可以推广赫斯顿模型。第一个是增加股票收益率、波动率或两者的动态跳跃[4、5、16]。另一条流一直在研究隐含波动的多因素性质[5,11,14,16]。在多因素随机波动率模型中，Wishart多维随机波动率（WMSV）模型是最灵活的模型，它与隐含波动率的期限结构非常匹配[14,13]。该模型中已实现波动率的期限结构由一个正的半限定矩阵值随机过程描述，即由Bru[8]开发并由Gourieroux和Sufana[22]在财务文献中介绍的Wishart过程。资产价格与波动率因子之间的依赖关系也用平方矩阵表示。这种模型的矩阵规格使得捕捉*韩国国家数学科学研究所，电子邮件：ckang@nims.re.kr+韩国KAIST数学科学系，电子邮件：wanmo。kang@kaist.edustylized期权市场中观察到的事实。该模型可以同时满足长期波动水平和短期偏差。此外，该模型还表现出随机杠杆效应，使该模型足以处理随机倾斜效应。即使有了这些灵活的参数规格，它仍然可以进行分析处理；通过Du ffee等人[16]和Carr和Madan[9]的快速傅立叶变换方法，可以处理欧洲香草价格期权的问题。尽管WMSV模型的分析方面得到了很好的探索[6,14,13,18]，但对该模型的模拟研究却很少。

Gauthier和Possamai[19]在原始Euler格式的基础上提出了一些离散化格式，但它们的格式在精度方面不太令人满意。他们的方案会产生严重的偏差误差，其精度对模型参数敏感。在本文中，我们提出了一种WMSV模型的精确模拟方法，该方法不受偏差的影响。我们对WMSV模型的新模拟方法是由Broadie和Kaya[7]对Heston模型的精确模拟方法推动的。他们的主要观察结果是，只要对端点和方差过程的整体进行精确采样，就可以对赫斯顿模型进行精确采样。为此，他们推导了方差过程积分到端点的条件特征函数，并用它通过Fourier反演技术对积分进行采样。我们采用了一种类似但相当直接的方法从WMSV模型生成样本。我们对波动系数过程的终值进行采样。然后，我们使用傅里叶逆变换技术，在波动率因子的给定终值的条件下，生成股票的对数价格。为了应用傅里叶反演技术，有必要找到相关的特征函数。在我们的例子中，它是给定波动因子终值的对数价格的条件特征函数。我们证明了它可以通过求解一个特定的常微分方程组得到。特别是，我们为赫斯顿模型提供了一个条件特征函数的显式公式。一般来说，由于矩阵乘法的不可交换性，常微分方程组不允许有闭式解，但可以用数值方法有效地求解。本文的其余部分组织如下。

第2节介绍了WMSV模型规范，并推导了原木价格的条件特征函数。第3节简要回顾了Broadie Kaya对Heston模型的精确模拟方法。第4节详细介绍了WMSV模型的精确模拟方法。在第5节中，我们给出了一些数值结果，并将我们的方法与标准离散化方法和Broadie Kaya方法进行了比较。第六部分总结全文。一些详细的推导遵循附录。2 Wishart多维随机波动率模型在WMSV模型中，风险中性度量下的资产价格动态由DSTST=rdt+trhpXt描述dWtR+ dZtpId- RRi、 S=S>0，（1）其中tr是迹算子，r是代表风险中性漂移的常数，W和z是独立的d×d标准矩阵布朗运动，即W和Zare的所有项独立于标准一维布朗运动。在本规范中，挥发度由d×d对称正半定矩阵值过程Xt确定。在下文中，我们用S++d（S+d）表示对称正（半）有限矩阵集。d×d矩阵R规定了资产价格和波动因素之间的相关性，并确定了回报分布的偏度。假设波动率因子过程是一个Wishart过程，它求解方程dxt=（Δ∑）∑+HXt+XtH)dt+pXtdWt∑+dWtpXt，X=X∈ S+d，（2）其中∑，H是d×d矩阵，δ≥ D-1.参数限制δ≥ D-1确保（2）[12]的唯一弱解的存在。Wishart过程是平方根均值回复过程的矩阵模拟。

为了赋予波动率的典型均值回复特征，假设矩阵H为负定义。在本文中，我们用对数价格Yt=log（St）来表示资产价格，因此（1）变成了Dyt=R-tr[Xt]dt+trhpXtdWtR+ dZtpId- RRi、 Y=Y。（3）我们首先回顾了WMSV模型的有效转换公式[14]，并且我们推导了对数价格Y的条件拉普拉斯转换，给出了终端波动率，使用有效转换公式和测量技术的变化。2.1 YT的拉普拉斯变换由于WMSV模型的有效性质，原木价格过程的拉普拉斯变换在初始值（x，y）中呈指数形式。特别是，拉普拉斯变换的形式如下。命题2.1（Da Fonseca等人[14]）。原木价格的拉普拉斯变换-uYTi=e-φ（0，u）-tr[ψ（0，u）x]-uy，如果LHS是有限的，（4），其中（φ，ψ）是tψ（t，u）=2ψ（t，u）∑∑ψ（t，u）-（H）- uR∑ψ（t，u）- ψ（t，u）（H）- u∑R) +u（u+1）Id，tφ（t，u）=-δtr[ψ（t，u）∑Σ] - ur，（5）代表0≤ T≤ 终端值ψ（T，u）=0和φ（T，u）=0。备注2.2。在本文中，为了便于注释，我们将方程（5）作为反向方程。有了这个后向方程，给定的条件拉普拉斯变换可以写成X，yhe-uYTFti=EXt，Ythe-uYT-ti=e-■φ（0，u）-tr[°ψ（0，u）Xt]-uYt，式中（∧φ，∧ψ）是（5）与∧ψ（T）的解- t、 u）=0和∧φ（t）- t、 u）=0。注意，通过解的唯一性，ψ（·+t，u）=ψ（·，u）和φ（·+t，u）=φ（·，u）。所以我们得到了△ψ（0，u）=ψ（t，u）和d△φ（0）=φ（t）。因此我们有了爱-uYTFti=e-φ（t，u）-tr[ψ（t，u）Xt]-嗯。（6） 2.2给定Ytxt的条件拉普拉斯变换本小节的目的是找到给定Ytxt=XT的条件拉普拉斯变换∈S++d.我们应用了a ffine变换公式（6）和测量技术的变化（例如。

见定理十一。[30]的第3.2页），以查找条件拉普拉斯变换。从这一节中，我们假设∑是非奇异的，δ>d- 1确保Wishart过程Xt的非奇异性。为了陈述和证明这一部分的主要结果，有必要回顾非中心Wishart d分布和一些多元特殊函数的定义。我们在附录A.1中收集它们。定理2.3。给定XT=XT的原木价格的条件拉普拉斯变换∈ S++dsatis Fiesex，yhe-uYTXT=xTi=det[V（0，0）]det[V（0，u）]δ/2expn- φ（0，u）- uyo×expn-tr（2）ψ（0，u）+ψ（0，u）V（0，u）-1ψ（0，u）- ψ（0,0）V（0,0）-1Ψ(0, 0))十、o×expn-tr（V（0，u）-1.- V（0,0）-1） xTo（7）×Fδ;V（0，u）-1ψ（0，u）xψ（0，u）V（0，u）-1xTFδ;V（0,0）-1Ψ(0, 0)xψ（0,0）V（0,0）-1xT,其中，F是附录A.1中定义的矩阵参数的超几何函数，矩阵值函数ψ、ψ、V和实值函数φ是普通微分方程组的解：tψ（t，u）=2ψ（t，u）∑∑ψ（t，u）-（H）- uR∑ψ（t，u）- ψ（t，u）（H）- u∑R) +u（u+1）Id，tφ（t，u）=-δtr[ψ（s，u）∑Σ] - 呃，tψ（t，u）=-（H）- uR∑- 2ψ（t，u）∑∑）ψ（t，u），电视（t，u）=-ψ（t，u）Σ∑ψ（t，u），（8）表示0≤ T≤ 终端值ψ（T，u）=V（T，u）=0，ψ（T，u）=Id，φ（T，u）=0。证据使用a ffine变换公式（6），我们定义了一个正鞅zt=Ex，yhexp- uYT+φ（0，u）+tr[ψ（0，u）x]+uyFti=exp- φ（t，u）+φ（0，u）- tr[ψ（t，u）Xt]+tr[ψ（0，u）x]-u（Yt）- y）,为了0≤ T≤ 其中（φ，ψ）是方程（5）的解。因为Z=1，Zt>0≤ T≤ T，它可以用作氡-尼科德姆衍生过程。我们在FT上定义了一个等价的度量P bydPdP=ZT。为了应用Girsanov定理，我们需要找到一个鞅（Mt）0≤T≤t表示Zt=E（M）t。

我们将分部积分公式应用于havetr[ψ（t，u）Xt]- tr[ψ（0，u）x]=Zttr[sψ（s，u）Xs]ds+Zttr[ψ（s，u）dXs]=Zttr(sψ（s，u）+Hψ（s，u）+ψ（s，u）H）Xsds+Ztδtr[ψ（s，u）∑∑]ds+Zttr2∑ψ（s，u）pXsdWs,安度（Yt）- y） =Zt呃-tr[uXs]ds+Zttr呃pXsdWs+ZttrupId-RRPXSDZ.由于（φ，ψ）满足方程（5），-φ（t，u）+φ（0，u）- tr[ψ（t，u）Xt]+tr[ψ（0，u）x]-u（Yt）- y） =-Zttr（2∑ψ（s，u）+uR)pXsdWs-ZttrupId- RRPXSDZ-Zttr（4ψ（s，u）∑∑ψ（s，u）+2uR∑ψ（s，u）+2uψ（s，u）∑R+ uId）Xsds。SetM=-Z·tr（2∑ψ（s，u）+uR)pXsdWs-Z·trupId- RRPXSDZ.ThenhMit=Zttr（4ψ（s，u）∑∑ψ（s，u）+2uR∑ψ（s，u）+2uψ（s，u）∑R+ uId）Xsds。因此，我们有Zt=E（M）t，0≤ T≤ T根据Girsanov定理，X的动力学为asfollowsdXt=（Δ∑）+ H（t，u）Xt+XtH（t，u）)dt+pXtdWt∑+∑d~WtpXt，其中H（t，u）=H- u∑R-2Σ∑ψ（t，u）和W是P下的d×d矩阵布朗运动。因此，X是具有附录a意义上的时变线性漂移的Wishart过程。2.根据附录A.2中的命题A.6，在P下，Xt具有非中心Wishart分布Wd（δ，V（0，u），V（0，u）-1ψ（0，u）xψ（0，u）），它具有从时间0到T的跃迁密度：p0，T（x，xT；u）=（det[xT]）（δ）-D-1） /2dδ/2Γd（δ）（det[V（0，u）]）δ/2expn-trV（0，u）-1（xT+ψ（0，u）xψ（0，u））o×Fδ;V（0，u）-1ψ（0，u）xψ（0，u）V（0，u）-1xT, （9） 式中，ψ（t，u）和V（t，u）解（8）中的相应方程。注意，X在P下的传递度可以通过取u=0获得，因为H（t，0）=H表示所有0≤ T≤ T现在我们已经准备好计算给定XT=XT的条件拉普拉斯变换。观察zs++dEx，yE-uYTXT=XTf（xT）p0，T（x，xT；0）dxT=Ex，yhe-uYTf（XT）i=e-φ（0，u）-tr[ψ（0，u）x]-uyEx，yhZTf（XT）i=e-φ（0，u）-tr[ψ（0，u）x]-uyEx，yhf（XT）i=e-φ（0，u）-tr[ψ（0，u）x]-uyZS++df（xT）p0，T（x，xT；u）dxT。对于S++d上的所有非负可测函数f。

因此，有条件拉普拉斯变换满足条件E-uYTXT=XT= E-φ（0，u）-tr[ψ（0，u）x]-uyp0，T（x，xT；u）p0，T（x，xT；0）。通过将（9）代入上述等式，我们完成了证明。2.3 Heston模型的条件拉普拉斯变换如果波动率只有一个因素，WMSV模型将简化为经典的Heston随机波动率模型[24]。因此，前一小节中的分析可以很容易地应用于赫斯顿模型。此外，（8）允许一个封闭形式的解决方案，这为进一步分析赫斯顿模型的条件拉普拉斯变换开辟了可能性。在赫斯顿模型中，在风险中性测度下，原木价格过程Y和方差过程X的动力学由以下s-tochastic微分方程组描述：dXt=κ（θ）-Xt）dt+σ√XtdWt，dYt=R-Xtdt+√XtρdWt+p1-ρdZt,（10） 初始值为X=X≥ 0和Y=Y∈ R.第二个方程给出了对数价格过程的动力学：股票价格统计时间t由St=eYt给出，R是风险n的中性漂移，和√这就是波动性。第一个方程描述了随机方差过程的动力学。参数κ>0决定均值回归的速度，θ>0代表方差过程的长期均值，σ>0代表方差过程的波动性。Wand Z是独立的标准1维眉毛运动。WMSV模型和Heston模型的参数之间的关系如下：κθ=Δ∑Σ = δΣ, σ = 2Σ, κ = -2H，ρ=R.和（8）减少到tψ（t，u）=σψ（t，u）+（κ+uσρ）ψ（t，u）+u（u+1），tφ（t，u）=-κθψ（t，u）- 呃，tψ（t，u）=（κ+uσρ+σψ（t，u））ψ（t，u），电视（t，u）=-σψ（t，u），（11），终端值ψ（t，u）=φ（t，u）=V（t，u）=0和ψ（t，u）=1。通过简单的计算，我们可以导出赫斯顿模型的条件拉普拉斯变换。

详细计算见附录A.3。推论2.4。对于Heston模型，Ytxt=XT>0满足条件下的条件拉普拉斯变换-uYTXT=xTi=η（u）（1）- E-κT）κ（1）- E-η（u）T）expn- Uy+（r-κθρσ）T-（η（u）- κ） 扩展-ση（u）（1+e）-η（u）T）-（κ+uσρ）（1）-E-η（u）T）1-E-η（u）T-2κe-κT1-E-κTxo（12）×expn-ση（u）（1+e）-η（u）T）+（κ+uσρ）（1）-E-η（u）T）1-E-η（u）T-2κ1-E-κTxTo×I0。5δ-1.√xxT4η（u）e-0.5η（u）Tσ（1）-E-η（u）T）I0。5δ-1.√xxT4κe-0.5κTσ（1-E-κT）,其中Iν（·）是第一类修正贝塞尔函数，η（u）=p（κ+uσρ）- σu（u+1）。3 Broadie和Kaya方法回顾在进入我们的精确模拟方法之前，我们简要回顾了Heston模型中Broadie和Kaya的精确模拟方法[7]。他们设计的模拟方法激发了我们的研究，它包含了傅里叶反演技术的重要思想。由于随机微分方程组（10）不接受封闭形式的解，也没有简单的方法来精确模拟。Broadie和Kayap提出了一种使用傅里叶反演技术的精确采样方案[7]。从（10）开始，YT=y+rT-ZTXsds+p1- ρZTpXsdZs+ρZTpXsdWs=y+rT-ZTXsds+p1- ρZTpXsdZs+ρσXT- 十、- κθT+κZTXsds= y+ρσXT- 十、+ （r）-κθρσ）T+ρκσ-ZTXsds+p1- ρZTpXsdZs。回想一下，Z独立于W。因此，Z取决于σ场FXT=σ（Xt:0≤ T≤ T）。所以，FXT是RT的条件分布√XsdZsis正常，平均值为0。它的条件方差可以通过It^o的等距来计算：varx，yRT√XsdZsFXT= 前，yhRT√XsdZsFXTi=Ex，yhRTXsdsFXTi=ZTXsds。这些观察结果给出了以下状态变量（XT，YT）的精确抽样方案：算法1（Broadie和Kaya[7]）。