交易成本下资产定价的基本定理及模型

在Nc上，我们通过XT的定义-1，YT-1.支持-1XT≤ XT-1.≤ YT-1.≤ 吃吧吃吧-1YT。我们分别对以下通用可测集执行扩展：对A:={inf sup pPT-1XT=XT-1=~ST-1.支持-1YT}∩Nc，我们设定了QT-1=^PT-1:=PT-1，λT-1:=0和<<ST:=XT。在A:={inf sup pPT-1XT<ST-YT=1-1=支持支持-1YT}∩ Nc，我们设定了QT-1=^PT-1:=PT-1，λT-1:=1和<<ST:=YT。在A:={inf sup pPT-1XT=~ST-1=支持支持-1YT}∩Nc，我们设定了QT-1=^PT-1:=PT-1，λT-1:=1/2和ST:=（XT+YT）/2。关于：={inf SUPPT-1XT<ST-1.支持-1YT}∩ Nc，命题2保证了集值ma pΞT-由（4）定义的数据是非空的。为了获得一个普遍可测量的选择器，我们首先修改PT-1（·）和ST-1（·）在^P′-null集^N上（因此Q′-null和P|OhmT-1-null）使其可测量（见Bertsekas和Shreve[2，引理7.27]）。通过PBT记录得到的Borel核和随机变量-1和SBT-1.我们不能用引理4来获得普遍的measu-rablemaps QT-1（·），QT-1（·），^PT-1（·）和λT-1（·）使PBT-1(ω) << QT-1(ω) ~ QT-1(ω) <<^PT-1（ω），如果ω∈ A\\^N，然后^PT-1(ω) ∈ PT-1（ω）和λT-1（ω）EQT-1（ω）[YT（ω，·）]+（1- λT-1（ω））EQT-1（ω）[XT（ω，·）]=SBT-1(ω). （6） 定义-1:=λT-1QT-1+ (1 - λT-1） QT-1.（7）让我们-1、Q2BT-1、QBT-1是否对QT进行了任何Bor el修改-1，QT-1，QT-1在^P′下。同时确定▄ST：=λT-1dQ1BT-1dQBT-1YT+（1）- λT-1） dQ2BT-1dQBT-1XT（8），其中我们选择了一种形式的Radon-Nikodym导数，它可以在（ω，ω′）中联合测量∈ Ohmt×Ohm. 在∩^N，重新定义QT-1=^PT-1:=PT-1，λT-1:=1/2和ST:=（XT+YT）/2。定义Q:=Q\' QT-1，^P=^P′^PT-1.我们有P<< Q<<^P∈ P（注意P=P|OhmT-1.PT-1=P|OhmT-1. PBT-1） ，以及∈ ri[XT，YT]Q-a.s。。第2步：验证EQ[~ST | FT-1] =~ST-1.

这就说明S是一个广义鞅，实际上是卡巴诺夫和萨法里安[11，命题5.3.2，5.3.3]提出的一个真正的鞅。我们现在检查[ST | FT]-1] =~ST-1分别在每个通道上。2a）声称XT=~ST-1P-q.s.（因此q-a.s.）在一个确定的停止时间τn，σnbyτ：=inf{t∈ [0，T- 2] ：λt=0}，△σn:=inf{t∈ （)τn，T- 2] ：λt>0}，△τn+1:=inf{t∈ （∑n，T）- 2] ：λt=0}。归纳假设意味着xτn=Yτn=XtT∈ [~τn，~σn∧ （T）- 1） [9）Bayraktar和Zhang:FTAP下的交易成本和模型不确定性运筹学数学00（0），第000-000页，c在集合{τn<∞} P′-q.s。。通过φ：=0定义投资组合过程φ，对于t=0，T，φT+1:=Xn{τn≤t<σn}- 1{τn<σn=∞}∩交流电∩{t=t-1}- 1{τn<σn=∞}∩A.∩{t=t}，以及△φt+1=-(△φt+1）+Xt- (△φt+1）-嗯。然后，φ在M市场上进行自我融资。M以上，φT+1≥ 0个P-q.s。。实际上，在集合{τ=∞},没有交易记录。关于集{τm<σm=∞} 对我来说≥ 1.策略是在时间τ重复购买ashare，并在时间σ出售所有n<m的ashare。之后，在时间τ购买股票并在时间T出售- 1如果未观察到Ais，在时间T如果观察到Ais。在未观察到Ais的情况下，（9）意味着每个持有期的售价为P′-q.s.（h也是P-q.s.，因为所有交易都发生在时间T或之前）- 1） 与持有期的买入价相同。所以我们最终处于零位。在观察到Ais的情况下，（9）再次暗示P′-q.s.在最后一个保存期之前取消；在最后一个持有期内，我们以时间τmat the price Yτm购买一股股票，并在时间t以XT的价格出售-1-q.s.大于或等于ST-1=XT-1根据A.（9）的定义，则意味着≥ 关于{τm<σm=∞} ∩ A.这样我们就可以平仓而不亏损。

关于set{σm<τm+1=∞} 对我来说≥ 1.时间T或之前的所有交易- 我们有P′-q.s.（因此P-q.s.）完美相消。根据NA（P），对于修正市场（Lemma3），我们必须有φT+1=0 P-q.s。。但φT+1=1A∩{λT-2=0}（XT-~ST-1).这显示XT=~ST-A上的1P-q.s∩ {λT-2= 0}. A.服务∩ {λT-2> 0}  A′：={inf sup pPT-1XT=XT-1=~ST-YT=1-1.支持-1YT}∩ 北卡罗来纳州。我们可以构建另一个自我融资的投资组合流程，在T时间购买股票- 1，并在T时间出售。终端位置为1A′（XT-~ST-1） 这是P-q.s.非负的。NA（P）则意味着XT=~ST-A′上的1P-q.s。结合前面的结果，我们证明了这一说法。它沿着t hatAEQ[|ST | FT]走-1] =EQ[1AXT | FT-1] =EQ[1A~ST-1 |英尺-1] =1A~ST-1，当第一个等式通过构造成立时，我们有2b）类似地，我们可以证明YT=~ST-A上的1P-q.s.这意味着-1] =等式[1AYT | FT-1] =EQ[1A~ST-1 |英尺-1] =1A~ST-1.2c）自XT=~ST-1=YTP-q.s.和<<ST=（XT+YT）/2在A上，我们有AEQ[~ST |英尺-1] =等式[1A（XT+YT）/2 | FT-1] =EQ[1A~ST-1 |英尺-1] =1A~ST-1.2d）在A，u sing（6），（7）和（8），我们有-1[~ST]=EQBT-1[~ST]=λT-1EQ1BT-1[YT]+（1）- λT-1） EQ2BT-1[XT]=λT-1EQT-1[YT]+（1）- λT-1） EQT-1[XT]＝SBT-1=~ST-1，其中除第二个等式外的所有等式均为Q′-a.s。。这意味着-1] =1A~ST-1.Bayraktar和Zhang：交易成本和模型不确定性下的FTAP 12运筹学数学00（0），第000-000页，c第三步。验证扩展重量过程（λt）t=0，。。。，T-1和相应的停止时间满足（ii\'）中所述的特性。我们将用τn，σn，τn，σn来表示市场M的停止时间。注意，它们与市场M′的对应时间＠τn，＠σn，＠τn，＠σn不同，仅可能在最后一个交易周期。

我们只检查与τn，σn有关的性质，因为我们在步骤2中的扩展是对称的。在这一步中，为了保持符号简单，我们将Ft可测函数定义为Ohm 对于每个t，即如果f是Ft可测的，ω|Ohm这是ω的第一个t分量∈ Ohm, 然后我们把f（ω）写成f（ω）的意思|Ohmt） 。让ω∈ {τn<∞}. 还假设ω属于P′-q.s.集，其中（9）保持不变（P′-q.s.集也是op-q.s.）。共有四例。3a）τn（ω）<σn（ω）≤ T- 2.在这种情况下，τn（ω）=τn（ω），σn（ω）=σn（ω），我们有Xτn（ω）（ω）=Yτn（ω）（ω）=Xt（ω）T∈ [τn（ω），σn（ω）∧ T]=[τn（ω），σn（ω）∧ （T）- 1） 【参考译文】根据诱导假说。3b）τn（ω）≤ T- 2，σn（ω）=T- 1.在这种情况下，τn（ω）=τn（ω）和∧σn（ω）=∞. 同样，归纳假设给出Xτn（ω）（ω）=Yτn（ω）（ω）=Xt（ω）T∈ [τn（ω），σn（ω）∧ T]=[τn（ω），σn（ω）∧ （T）- 1） ].3c）τn（ω）≤ T- 2，σn（ω）=∞. 在这种情况下，τn（ω）=∞ 和[τn（ω），σn（ω）∧ T]=[)τn（ω），T]。归纳假设意味着t的Xτn（ω）（ω）=Yτn（ω）（ω）=Xt（ω）∈ [°τn（ω），T- 1]. 它需要检查XT（ω）=XT-1（ω）表示P-q.s.例如ω。就过程λ而言，情况3c）对应于λT-2（ω）=λT-1(ω) = 0. λT-2（ω）=0意味着ST-1（ω）=XT-1(ω). 根据我们的构造，λT-1=0，仅在我们拥有XT=~ST的Aon上-1=XT-1P-q.s..3d）τn（ω）=T- 1，σn（ω）=∞. 在这种情况下，τn（ω）=σn（ω）=∞. 我们需要检查一下-1（ω）=YT-1（ω）=XT（ω）表示P-q.s.例如ω。就过程λ而言，情况3d）对应于λT-2（ω）>0=λT-1(ω). 通过构造，λT-1（ω）=0仅当ω∈ A.So XT（ω）=ST-1（ω）=XT-1（ω）表示p-q.s.这样的ω。如果XT-1（ω）6=YT-1（ω），然后λT-2（ω）>0意味着ST-1（ω）>XT-1(ω). 所以我们必须有一个-1（ω）=YT-1（ω）=ST-1（ω）=XT（ω）表示P-q.s.ω，即f进入情况3d）。关于tσn，τnca的陈述可以通过对称参数进行验证。

因此，我们证明了（i）意味着（ii\'）对于周期为T的递归定义市场[X，Y]。最后，我们注意到（ii\'）清楚地暗示（ii）。（二）=> （i） ：让f∈ 应该是这样的≥ 0个P-q.s。。为了表示f=0 P-q.s，我们假设在对比中，P∈ 假设P（kfk>0）>0，并试图推导出一个矛盾。对于某些φ，写入f=φT+1∈ H.设（Q，~S）为（ii）给出的Cp。根据引理11，我们可以找到Q′~ 这么说△φt+1对于所有t=0，…，都是Q′-可积的，T.然后对Kabanov和Safarian[11，引理3.2.4]稍作修改，得到一个有界的、严格正的Q′-鞅Z=（Z，Z）满足≤ Z/Z≤ 让h·，·i表示通常的内积。一方面，EQ′[hZT，fi]=TXt=0EQ′[hZT，△φt+1i]=TXt=0EQ′[hZt，△φt+1i]=TXt=0EQ\'Zt公司△φt+1+zt△φt+1≤TXt=0EQ′Zt公司△φt+1+St(△φt+1）+- 圣(△φt+1）-≤ 0根据Q′下Z的鞅性质和φ的自融资性质。另一方面，Q′~ Q>> P表示Q′（kfk>0）>0。和f一起≥ 当dzt>0时，我们得到了矛盾的线性方程[hZT，fi]>0。5.多维扩展在本节中，我们将我们的方法和结果扩展到多维情况。概率框架和模型不确定性集与第2节相同。现在考虑的金融市场由d个动态交易资产组成，每个交易资产在t∈ {0，…，T}，我们得到一个随机锥Kt：OhmtRd，名为Bayraktar和Zhang:FTAP《运筹学的交易成本和模型不确定性数学》00（0），第000-000页，c0000通知13偿付能力锥。假设每个kT是一个封闭的凸锥，包含非负的Orthantard+。这是一个圆锥投资组合，可以被清算成零投资组合。-Kt是从零开始可用的Portfolio圆锥体，Kt:=Kt∩ (-Kt）是投资组合的线性空间，可以转换为零，反之亦然。

我们还定义了双锥K*t（ω）：={y∈ Rd:hx，易≥ 0 十、∈Kt（ω）}，ω∈ Ohmt、 K*这是一个封闭的凸锥，包含在Rd+中。我们假设图（K*t） 是分析型的。特别是，这意味着K*tand-kT可以通过引理12、13和16进行普遍测量（关于可测量集值d映射的定义，请参见附录）。给定一个（随机）集G Rd，我们用L（G；Ft）表示G中所有Ft可测量函数值的集合。定义为：=Pts=0L(-Ks；财政司司长）。然后Atis被解释为从零开始在时间t可实现的权利主张集。也可以为所有Ft可测量函数的集合写LP（G；Ft），取gp-q.s中的值。。备注8。对于第2节所述的市场，偿付能力锥K是由单位向量e、e和向量S平移的闭合凸锥- e、 Ste- e、 自我约束条件可以等效地写为△ φt+1∈ -L（Kt；Ft）。定义3。我们说NAs（P）适用于所有t∈ {0，…，T}，在∩ LP（千吨；英尺） LP（Kt；Ft）。定义4。我们说，如果intK*t6= P-q.s.适用于所有t∈ {0，…，T}。备注9。intK*t6= 等于Kt={0}。我们现在将NAs（P）与Bouchard和Nutz[3]使用的无套利概念NA（P）进行比较。它完全类似于经典的单测度情形。定义5（[3，定义2.2]）。我们说NA（P）对所有t都成立∈ {0，…，T}，LP（Kt+1；Ft） LP（Kt；Ft）。引理5。假设摩擦力足够大，NA（P）意味着NAs（P）。证据让f∈ 在∩ LP（Kt；Ft）。在ξs处写f=ξ+··+ξtw∈ L(-Ks；Fs），s=1，t、 我们有ξ+··+ξt-1.∈ LP（Kt；Ft）-1） 因为这是一个圆锥体。NA（P）则意味着ξ+··+ξt-1.∈LP（Kt）-1.英尺-1). 因此，ξ+··+ξt-2=ξ+··+ξt-1+ (-ξt-1) ∈ LP（Kt）-1.英尺-2) LP（Kt）-2.英尺-2). 重复这个过程，直到得到ξ+··+ξs∈ LP（Ks；Fs）对于所有s=t，0.然后ξ∈ K∩ (-K） ={0}通过有效摩擦。

回到e步，我们有ξ+ξ=ξ∈K∩ (-K） ={0}P-q.s。。重复这个过程，直到我们g etξs=0 P-q.s.对于所有s=0，t、 然后f=ξ+··+ξt=0∈ KtP-q.s。。备注10。在引理5中，有效摩擦假设不能被放弃。例如，考虑一个简单的单周期确定性市场，它由零利率货币市场和一只股票组成，股票的b id要价S=S=S=1，b id要价S=2。然后K={（x，x）∈ R:x+x≥ 0}和K={（x，x）∈ R:x+x≥ 0，x+2x≥ 0}. 很明显，K K.苏娜（P）持有。但是(-1, 1) ∈ A.∩ L（K；F）不是K={0}的元素。所以NAs（P）失败了。备注11。反之则不然。NA（P）表示，今天没有偿付能力的头寸，明天就不可能有偿付能力，而这种偿付能力相当强。再次，考虑一个由零利率货币市场和一只股票组成的单期决定论市场，其b id-ask价格S=1、S=3、S=2和=4。我们有K={（x，x）∈ R:x+x≥ 0，x+3x≥ 0}和k={（x，x）∈ R:x+2x≥ 0，x+4x≥ 0}. 通过图片可以很容易地验证，这种方法是NAs（P），但不符合NA（P）。职位(-1，2/3）今天没有偿付能力，但明天就会偿付，因此是第二种套利。我们不想考虑这种套利行为，因为(-1，2/3）甚至在今天都无法实现。考虑到更一般的市场结构，我们将使用NAs（P）而不是NA（P）。结果表明，NAs（P）加上有效的摩擦，足以暗示一个双元素家族的存在。Bayraktar和Zhang：交易成本和模型不确定性下的FTAP 14运筹学数学00（0），第000–000页，c定理2。以下是等效的。（i） NAs（P）和高效摩擦保持。（二）P∈ P Q∈ P(Ohm) 过滤（Ft）中的Q-鞅Z，使得P<< Q<< P和ZT∈ intK*tQ-a.s。 t=0。

我们将上述两个（Q，Z）称为严格一致的价格体系（SCPS）。更困难的指示（i）=> （ii）我们的目标是证明NAs（P）与有效摩擦的结合意味着存在一个具有偿付能力的改良市场 KTT，这也满足了效率要求，此外，还满足了NA（P）的本地版本。然后，我们可以模仿Bouchardand Nutz[3]中的证明，在一个SCP家族中，每个SCP对应一个∈ P、 对于修改后的市场。辛辛泰克*T intK*t对于所有交易而言，修改市场的任何SCP也是原始市场的SCP。在正向扩展部分，我们不能直接使用[3]的结果，因为我们修改后的市场总体上不可测量。我们还发现了他们关于有界摩擦和K的假设*T∩ Rd+={0}不需要。5.1. 向后递归*T:=K*t=t的Tand- 1.0, ω ∈ Ohmt、 埃克*t（ω）：=K*T∩ cl（conv（Γt（ω）），其中Γt（ω）：=suppt（ω）eK*t+1（ω，·）。（10） 这里支持（ω）eK*t+1（ω，·）表示最小闭集F Rdp（eK）*t+1（ω，·） F）=1P∈ Pt（ω）。可以证明∈ suppt（ω）eK*t+1（ω，·）当且仅当ε > 0,  P∈ Pt（ω）这样的P（eK*t+1（ω，·）∩ Bε（y）6=) > 0.每个人*这很明确，也就是说，由于Lemma6，支持操作是有意义的。埃克*这是一个非空的、封闭的凸锥体。一旦我们有了*t、 我们可以通过ekt:=（eK）定义修改后市场的溶解锥*（t）*. 很明显，艾克*T K*坦德KteKt。引理6。对于每个t，图（eK*t） 是分析型的。证据根据假设，图（eK）*T） =图（K）*T） 是分析型的。上位图（eK）*t+1）是解析的，我们将显示图（eK）*t） 是分析型的。观察该图（Γt）=n（ω，y）∈ Ohmt×Rd:y∈ suppt（ω）eK*t+1（ω，·）o=\\nn（ω，y）∈ Ohmt×Rd：P∈ Pt（ω）s.t。

P（eK）*t+1（ω，·）∩ B1/n（y）6=) > 0o=\\n项目Ohmt×Rdn（ω，y，P）∈ Ohmt×Rd×P(Ohm) :（ω，P）∈ 图（Pt），EPh{eK*t+1（ω，·）∩B1/n（y）6=}i> 0o。自图（eK）*t+1）是由归纳假设分析的，我们知道（ω，ω′，y）∈ Ohmt×Ohm×Rd:eK*t+1（ω，ω′）∩ B1/n（y）6=o=项目Ohmt×Ohm×Rdn（ω，ω′，y，z）∈ Ohmt×Ohm×Rd×Rd:| y- z |<1/n，（ω，ω′，z）∈ 图（eK）*t+1）ois分析。因此（ω，y，P）7→ EP{eK*t+1（ω，·）∩B1/n（y）6=}是美国。。因此，Γthas是一个分析图。其余部分来自Lemma12。也可以使用IngekT而不是ofeK来描述后向递归*t、 这对于推导无套利性质更为方便。let∧t（ω）：={x∈ Rd:x∈eKt+1（ω，·）Pt（ω）-q.s.}。事实上，它比SCP多一点，因为SCP只需要Zt∈ 里克*所有t.Bayraktar和Zhang的tQ-a.s.：交易成本和模型不确定性下的FTAP运筹学数学00（0），第000–000页，c引理7。∧t=Γ*t、 证据。“  ”: 让x∈ ∧t（ω）和y∈ Γt（ω）。我们想展示hx，易≥ 0.让我们 Ohmt（ω）-q.s.设置为x∈eKt+1（ω，ω′）ω′∈ A.y∈ Γt（ω）=suppt（ω）eK*t+1（ω，·）意味着ε > 0,Pε∈ Pt（ω）使得Pε（Aε）>0，其中Aε：={ω′∈ Ohm:埃克*t+1（ω，ω′）∩ Bε（y）6=}. 对于每个ε>0，由于Pε（A）=1和Pε（Aε）>0，我们必须有一个∩Aε6=. 设ωε∈ A.∩ Aε。我们有x∈eKt+1（ω，ωε）andeK*t+1（ω，ωε）∩ Bε（y）6=. 选择zε∈埃克*t+1（ω，ωε）∩ Bε（y）。我们构造了一个满足hx，zεi的序列（zε）≥ 0和zε→ y为ε→ 0.这是hx，易≥ 0.“  ”: 对于每个ω∈ Ohmt、 考虑普适可测集Aω：={ω′∈ Ohm:埃克*t+1（ω，ω′）Γt（ω）}。通过定义集值映射的支持度，我们得到了所有P的P（Aω）=1∈ Pt（ω）。让x∈ Γ*t（ω）。向x展示∈ λt（ω），表示x∈eKt+1（ω，ω′）ω′∈ ω。这是显而易见的*t（ω） （eK）*t+1）*（ω，ω′）=eKt+1（ω，ω′）ω′∈ ω。提议3。（i） 埃克*t=K*T∩ Λ*t、 （ii）eKt=cl（Kt+t）。如果英特*t6=, theneKt=Kt+λt.证明。

（i） 通过引理16和7，方程（10）可以改写为k*t=K*T∩ (Γ*（t）*= K*T∩ Λ*t、 （ii）在（i）的两侧取d，并使用引理16。推论1。NA（Pt（ω））对单周期市场{eKt（ω），eKt+1（ω，·）}有效。证据该语句成立的充要条件是∧t（ω）eKt（ω），紧跟在Pro position3（ii）之后。下一个目标是验证修正后的市场满意度。为此，我们利用反向归纳法证明了有效摩擦和严格无套利性质。引理8。任何f∈ LP（Kt+λt；Ft）允许对某些g进行分解f=g+HP-q.s∈L（Kt；Ft）和h∈ L（eKt+1；英尺）。证据应用Filippov的隐函数定理Himmelberg[9，定理7.1]，以f（ω，x，y）=x+y作为Carath\'eodor y函数，我们得到了g的存在性∈ L（Kt；Ft）和h∈L（λt；Ft），使得f=g+hpqs。。根据∧和富比尼定理的定义，h∈eKt+1P-q.s。。提议4。让NAs（P）和高效摩擦保持原有市场。然后，他们也为改造后的市场卖命。证据{K，Kt:=-1，eKt，eKT}表示（T- t） -通过反向递归程序获得的中间市场。假设英特克*r6= r=t+1的P-q.s，T、 NAs（P）适用于Mt+1。我们想让英特克看看*t6= P-q.s.和NAs（P）适用于Mt步骤1。让我们展示int∧*t6= P-q.s。。我们有∧*t（ω）=（Γ*t（ω））* Γt（ω）=suppt（ω）eK*t+1（ω，·）埃克*t+1（ω，·）Pt（ω）-q.s.，其中最后一个包含由集值映射的支持定义。富宾一世理论∧*T埃克*t+1P-q.s。。然后根据归纳假设，int∧*T 英特克*t+16=P-q.s。。第二步。现在，我们将验证inteK*t6= P-q.s。。根据命题3（i），必须证明*T∩ int∧*t6= P-q.s。。都是intK*tand int∧*皮重（P-q.s.）非空、开放、凸锥。