交易成本下资产定价的基本定理及模型

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英文标题：
《Fundamental Theorem of Asset Pricing under Transaction costs and Model
  uncertainty》
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作者：
Erhan Bayraktar and Yuchong Zhang
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最新提交年份：
2015
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英文摘要：
  We prove the Fundamental Theorem of Asset Pricing for a discrete time financial market where trading is subject to proportional transaction cost and the asset price dynamic is modeled by a family of probability measures, possibly non-dominated. Using a backward-forward scheme, we show that when the market consists of a money market account and a single stock, no-arbitrage in a quasi-sure sense is equivalent to the existence of a suitable family of consistent price systems. We also show that when the market consists of multiple dynamically traded assets and satisfies \\emph{efficient friction}, strict no-arbitrage in a quasi-sure sense is equivalent to the existence of a suitable family of strictly consistent price systems.
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中文摘要：
我们证明了离散时间金融市场的资产定价基本定理，其中交易服从比例交易成本，资产价格动态由一系列概率测度建模，可能是非占优的。利用一个向后-向前方案，我们证明了当市场由一个货币市场账户和一只股票组成时，准确定意义上的无套利等价于一个合适的一致价格系统族的存在。我们还证明了当市场由多个动态交易资产组成且满足有效摩擦时，准确定意义上的严格无套利等价于一个适当的严格一致价格系统族的存在。
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分类信息：

一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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PDF下载：
--> Fundamental_Theorem_of_Asset_Pricing_under_Transaction_costs_and_Model_uncertainty.pdf (350.55 KB)

2022-4-29 18:46:12 上传

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关键词：交易成本 资产定价 proportional Differential Quantitative

运筹学数学研究卷。00，No.0，Xxxxx 0000，pp.000–000issn 0364-765X | EISN 1526-5471 | 00 | 0000 | 0001信息MSDOI 10.1287/xxxx。0000.0000c鼓励0000名信息作者通过一个样式模板（包括期刊标题）向期刊提交新论文。然而，使用模板并不证明论文已被接受在指定期刊上发表。通知期刊模板仅用于提交给表单期刊，不得用于以印刷或在线形式分发论文，也不得将论文提交给其他出版物。交易成本和模型不确定性下资产定价的基本定理密歇根大学数学系，密歇根州安娜堡教堂街530号，48104，erhan@umich.eduYuchong纽约州阿姆斯特丹大道1255号哥伦比亚大学统计系邮编：10027，yz2915@columbia.eduWe资产交易的基本价格可能由非金融交易的基本价格构成，而非金融交易的基本价格可能由非金融交易的基本价格构成。利用一个向后-向前方案，我们证明了当市场由一个货币市场账户和一只股票组成时，准确定意义上的无套利等价于一个合适的一致价格系统族的存在。

我们还发现，当市场由多重动态交易资产和充分的摩擦组成时，准确定意义上的严格无套利相当于存在一系列严格一致的价格体系。关键词：交易成本、概率测度的非支配集合、资产定价基本定理、鞅选择问题MSC2000主题分类：主要：60G42、91B28；次要：03E15OR/MS科目分类：主要：财务：资产定价；二级：概率史：2014年5月13日收到；第二版于2015年5月8日收到；于2015年8月29日接受。1。引言资产定价的基本理论（FTAP）是数学金融中最重要的理论之一，它的名字是这样提出的，并在许多不同的环境中建立起来的：离散的和连续的，有交易的和没有交易的。它将无误的概念与一定的公平定价机制的存在联系起来，这为对偶理论中假设du al域为非空提供了合理性。我们考虑由股票和零利率货币市场账户组成的离散时间有限期金融市场。当市场无摩擦且由单一概率测度建模时，Dalang Morton-Willinger[5]的经典结果断言，当且仅当等价鞅测度集不为空时，re才是非随机的。对于比例交易成本，鞅测度集被一致价格系统集（CPS）或严格一致价格系统集（SCP）所取代。Kabanov和Stricker[12]为有限的概率空间建立了无套利和ACP存在之间的等价关系Ohm, 当维度为2时，由Grigoriev[8]提出。

这种等价性通常不适用于有限空间和更高维度（反例见Schachermayer[18]第3节和Kabanov and Sa farian[11]第128-129页）。对于这种等价性，需要注意Schachermayer在[18]中提出的鲁棒无任意性，其中他证明了这个概念与SCPS的存在是等价的。或者，稳健的无ar比特率可以被严格的无套利加有效摩擦所取代（见Kabanov等人[10]）。在Trans sactionBayraktar和Zhang下，FTAP存在一些不同的证明：交易成本和模型不确定性下的FTAP 2运筹学数学00（0），第000–000页，c0000个信息站。除了Schachermayer[18]和Kabanov等人[10]的证明依赖于可对冲索赔集的c损失和分离论证，还有Smaga[19]基于效用的证明和Rokhlin[16]基于随机集的证明。近年来，模型不确定性在金融数学中引起了很大的兴趣，因为它对应于金融市场的更现实的建模。我们所说的模型不确定性，是指一系列亲婴儿性指标，通常是非主导的。P的每个成员代表股票的一个可能模型。人们会认为P是从市场数据中获得的。我们有一系列的度量，而不是单一的度量，因为我们没有点估计，但有置信区间。非支配情形通常要困难得多，因为经典分离论不起作用。在一个没有交易成本的市场模型中，Bouchard a和Nutz[4]最近的工作使用局部分析来建立准确定意义下无障碍与鞅测度的“等价”族之间的等价关系。Acciaio等人。

[1] 通过使用不同的无套利条件获得了FTAP的不同版本，该条件排除了模型独立的套利，即仅在确定意义上的套利。在本文中，我们证明了当比例交易成本和模型不确定性同时存在时的FTAP。我们从一个由货币市场账户和单一股票组成的金融市场开始，引入无套利概念NA（P）。我们证明了其等价于一系列CPS的存在性，并随后将我们的结果推广到一个多资产市场，其中NA（P）被NAs（P）取代，加上有效摩擦，而CPS由SCP代表。与经典理论类似（在其结构中，其他因素是主要衡量标准），二维情况与多维情况不同，因为仅套利不足以暗示ACP的存在。也就是说，市场模型不需要满足有效摩擦假设。因此，二维案例值得单独研究，并将成为本文的重点。另一方面，当存在一只股票时，Dolinsky和S oner[7]证明了超级套期保值定理（首先离散状态空间，然后取一个极限），并将FTAP作为推论。我们遵循不同的方法，统计任意概率测度集合的结果，而不是所有概率测度的集合。与我们的方法相比，我们能够使用更一般的比例交易成本结构，而不是将其视为常数，这很有用，因为实际市场中的这个比例可能会随着时间的推移而变化。

我们的贡献可以被看作是Bouchardand Nutz[4]对交易成本情况的扩展，以及Rokhlin[16]关于马丁格尔选择问题的结果对非支配情况的推广。与Bouchard和Nutz[4]类似，我们以本地方式进行：首先为每个单周期模型获得一个CPS，然后使用合适的可测量选择定理进行粘贴。尽管我们的证明遵循了[4]中的观点，但当交易成本增加时，多期案例的结果是相当不同的。无摩擦市场的一个显著特征是，多期市场没有ar比特率相当于所有单期市场没有套利。所以只需单独查看每个周期，并将鞅测度粘贴在一起就足够了。然而，这种等价性在存在交易成本的情况下就失效了。一个简单的例子是以下两个时段的市场：S=1、S=3、S=2、S=4、S=3.5、S=5，其中下划线表示买入价，上划线表示卖出价。每个时期都是无套利的，但是在时间0买入，在时间2卖出，对于两个时期的市场来说是套利。所以我们不能一般地粘贴两个单周期鞅测度来得到一个双周期鞅测度；特别是，为每个周期构造的基本鞅的端点可能不匹配。我们需要解决一个非支配鞅选择问题。Rokhlin在一系列文献[15,17,16]中利用集值映射的正则条件上分布的支持度定理研究了P为单态时的鞅选择问题。在我们的例子中，由于缺乏支配性措施，很难谈论有条件的分配。

尽管如此，我们还是从Rokhlin[17,16]和Smaga[19]中得到了一些启发，并在运筹学00（0）的交易成本和模型不确定性数学下，开发了一个反向转发方案：Bayraktar和Zhang:FTAP，第000–000页，c0000通知3反向递归：通过可能更有利的价格，及时修改原始的反向买入卖出价格，以考虑未来失去的投资机会；远期扩展：在修改后的市场中及时向前扩展CPS。当没有主导措施时，后向d-forward方案会带来一些可测量性问题。一方面，在后向递归下，Borel和普适可测性都不存在。这可以通过使用较低的半解析买入价和较高的半解析卖出价来避免。另一方面，Bouchard and Nutz[4]中引理s 4.6和4.8的证明在很大程度上依赖于Borel me可测的股票价格。然而，我们修改后的市场只有半分析的买卖价格，这使得在许多地方进行可测量的选择具有挑战性（见备注6和d 7）。为了克服这一困难，我们将CP的选择分为两个步骤：首先分别使用出价和要价的半解析性选择一对度量（Q，Q），然后找到凸权函数λ，它在边界扩展中起着重要作用，这是另一个需要采取的步骤，因为缺乏有效的摩擦假设，c是二维的。可测量的单周期CPS可以由可测量的三元组（Q，Q，λ）和修改后市场的买卖价格构成。在多维情况下也存在类似的可测性问题。幸运的是，在偿付能力锥的对偶上进行反向递归可以保持图的分析性，这足以使正向扩展中的可测量选择成为可能。

在向前扩展的每一步中，我们不直接选择具有规定初始值Z=ZD的单周期SCP（Q，Z），而是通过Zi=ZDui/dQ选择与（Q，Z）相关的等效度量向量（Q，u，…，ud）。这使我们能够利用存在一个联合Borel可测函数（Q，ui，ω′）7的事实→duidQ（ω′），这是可测量选择的关键。我们指出，在审查过程中，Bouchard和Nutz[3]发表了一篇与我们密切相关的论文。作者提出了一个不同的无套利概念（第二类无套利的定性版本），用NA（P）表示，他们在充分和有界摩擦的额外假设下，用它证明了FTAP的多维版本。我们发现他们的无套利观念有点太强了。这意味着市场已经处于鞅扩张的良好状态，从而避免了向后递归。单一股票市场S=1、S=3、S=2、S=4这一简单的一个周期，我们认为这是合理的，不符合NA（P）。尽管NA（P）不适用于原始市场，但适用于相应的修改市场。本文的多维部分是[3]的一个推广，允许形成更一般的市场结构。除了所使用的非套利概念外，我们的论文还以其他两种方式进行了区分。首先，我们不假设有界摩擦和K*T∩ Rd+={0}；在二维情况下，也可以消除有效的摩擦。第二，我们的可测量性假设较弱；我们能够处理具有普遍可测量偿付能力锥的市场，只要它们的双锥具有分析图。论文的其余部分组织如下。第2、3和4节专门讨论二维情况。在第二节中，我们介绍了概率框架，建立了金融市场模型，并陈述了主要结果。

在第三节中，我们证明了一些单周期的结果，这些结果作为构造块。在第四节中，我们给出了多周期市场的向后-向前方案，并证明了主要定理。第五节将我们的方法和结果扩展到多维情况。附录中收集了一些技术引理。2.金融市场模型和主要结果我们遵循Bouchardand Nutz[4]中的注释。让我们∈ N成为时间的地平线。允许Ohm成为一个波兰空间和Ohmt:=Ohmt型折叠式自流式产品Ohm这是一种罪恶。用B表示(Ohmt） 波雷尔西格玛代数Ohmt、 到FTB的普遍完成(Ohmt） 。我们写作(Ohm, F） 因为(OhmT、 （英国《金融时报》）。当我们说一个随机过程是可预测或适应的，我们的意思是关于过滤（Ft）。让P(Ohm) 表示上所有概率度量的集合(Ohm, B(Ohm)). 每个t∈ {0，…，T- 1} Bayraktar和Zhang：交易成本和模型不确定性下的FTAP 4运筹学数学00（0），第000–000页，c0000信息与ω∈ Ohmt、 给出了一个非空凸集Pt（ω） P(Ohm), 表示第（t+1）个周期的可能模型集。我们从一个s-值映射出发Ohm托普(Ohm))有一个解析图。这个假设确保了pta接受一个普遍可测量的选择器。确定不确定性se t P P(Ohm) 多期市场的byP:={P · · ·  PT-1：每个PTI都是一个不可测量的选择器，其中 · · ·  PT-1（A）=ZOhm· · ·ZOhmA（ω，…，ωT）PT-1（ω，…，ωT）-1.dωT）··P（dω），A∈ F.考虑一个金融市场，包括一个零利率的货币市场账户，以及一个买入价格非常正的股票。圣，圣：OhmT→ 对于所有t，R分别被假定为低于半解析（l.s.a.）和高于半解析（u.s.a.）。

自融资投资组合过程是一个R值可预测过程φ=（φ，φ）满足φ=0且△φt+1≤-(△φt+1）+St+(△φt+1）-对于所有t=0，T、 在哪里△φt+1:=φt+1- φt.用H表示一组自融资portf olio过程。设AT:={φT+1:φ∈ H} 。ATis将d解释为z ero初始捐赠的一组可放弃的主张（以物理单位为单位）。定义1。我们说NA（P）对所有f都成立if∈ 在，f≥ 0P-准肯定（q.s.）意味着f=0P-q.s。。备注1。NA（P）P∈ P意味着NA（P）。的确，让我们来看看f∈ 应该是这样的≥ 0 P-q.s.亨塞普-所有P∈ P.对于每一个P，NA（P）意味着f=0 P-a.s。。因为这适用于所有P∈ P、 f=0P-q.s.，NA（P）保持不变。相反的方向是不正确的。考虑一个单周期市场，S=2，S（ω）=1，S（ω′）=3。设P=Δω，P=Δω′分别是集中在ω和ω′上的狄拉克测度。然后很容易看出，在bo th和P下存在套利，但在P:=conv{P，P}下不存在套利。定义2。如果一对（Q，S）是过滤（Ft）中的Q-鞅，则称为一致价格系统（CPS）∈ [St，St]Q-a.s。。本文的主要理论如下。定理1。以下是等价的：（i）NA（P）持有。（二）P∈ P（Q，~S）∈ Z使得P<< Q<< P.备注2。设Q是Z的第一个分量的集合，它们由P中的某个度量控制。定理1（ii）等价于说P，Q在极集合方面是等价的。当P是单态时，我们恢复了等价测度存在的经典结果。3.在本节中的单期案例中，我们证明了单期市场的FTAP更困难（即无套利意味着存在CPS）。